Matematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo 16.00 (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4! Tämä laskuharjoitus ei ole pakollinen, eikä sen pisteitä lasketa 50 prosentin suoritusvaatimukseen. Laskuharjoituksesta saa kuitenkin lisäpisteitä kuten normaalisti, ja tehtävien tekeminen on hyvää kertausta välikokeeseen (tai uusintatenttiin. Koska tässä lisäharjoituksessa on tuplasti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kahden tavallisen harjoituksen edestä lisäpisteitä. Huom: viimeisiin tehtäviin (11-13 kuuluu melko haastavia integraaleja r:n suhteen. Taulukkointegraalien tai tietokoneen käyttö näiden integraalien ratkaisemiseen on sallittua (joskaan ei välttämätöntä, kunhan kirjoitat selkeästi tehtäväpaperiin mitä olet tehnyt. Jos sinulla ei ole käytössä integraalitaulukoita tai sopivaa tietokoneohjelmaa, etkä osaa laskea integraaleja käsin, ratkaise tehtävä niin pitkälle kuin osaat (ts siitäkin saa jo pisteitä että näyttää täsmälleen mitkä integraalit tulisi laskea - mahdollisimman sievennetyssä muodossa. 1. Laske integraali e x sin(xdx, (a kahteen kertaan osittaisderivoimalla (b Eulerin kaavaa käyttäen (vinkki: sin(x on imaginääriosa e ix :stä, joten integraalin arvo on imaginääriosa e x e ix :n integraalista. (c Laske integraali e ax sin(bxdx. Voit käyttää jompaakumpaa edellä käytettyä menetelmää. 2. (a Keksi vähintään kolme esimerkkiä karkeasta, systemaattisesta ja satunnaisesta virheestä laboratoriotyöskentelyssä. (b Miten a-kohdan virheet voi ehkäistä, niiden vaikutusta pienentää tai arvioida niiden merkitystä? (Vastaa vain niihin kohtiin, joihin vastaaminen on järkevää. 3. Arvioi mahdollisia virhelähteitä seuraavissa kemistin työtehtävissä. Millä tavalla mittauksen tarkkuutta voi kasvattaa ja virheiden suuruutta arvioida kussakin työssä? (a NaOH-liuoksen pitoisuus määritetään titraamalla 1, 0 dl NaOHliuosta 0, 0010 M HCl-liuoksella. 1
(b Pommikalorimetrin lämpökapasiteetti vakiotilavuudessa c v = H T määritetään polttamalla pommikalorimetrissä massa m(sokeri sokeria ja mittaamalla lämpötilan nousu pommikalorimetrissä T. Palamisentalpia H lasketaan sokerin tarkasti tunnetun moolisen palamisentalpian avulla: H = m(sokeri M(sokeri H mol(sokeri. (c Beerin ja Lambertin lain mukaan kromoforin (valoa tietyllä aallonpituudella absorboiva aine absorbanssi A on suoraan verrannollinen kromoforin konsentraatioon c. Verrannollisuuskerrointa kutsutaan absorptiokertoimeksi. Kromoforin absorptiokerroin määritetään mittaamalla kromoforiliuoksen absorbansseja eri liuoksen pitoisuuksilla. 4. Ideaalikaasun tilanyhtälö on pv = nrt. Tarkasti mitattu 1 mol ideaalikaasua suljettiin astiaan jonka tilavuus on (2, 0 ± 0, 1 dm 3 ja kaasun paineeksi mitattiin (754, 7 ± 0, 2 torr. Laske kaasun lämpötila virherajoineen käyttämällä virheen arviointiin (a Funktion maksimivirheen lauseketta (b Maksimi-minimikeinoa (c Funktion keskivirheen lauseketta 5. CCl 4 :n tiheyden määrittämiseksi mitattiin ensin pyknometrin tilavuus täyttämällä se 25 C:lla vedellä. Veden massaksi saatiin 15,032 g. Sen jälkeen sama pyknometri täytettiin hiilitetrakloridilla ja termostoitiin 25 C:een. CCl 4 :n massaksi saatiin 23,887 g. Laske CCl 4 :n tiheys ρ = m/v ja arvioi tiheyden maksimivirhe olettaen veden tiheys 0,99707 g cm 3 virheettömäksi ja punnitusvirheiksi ±0, 002 g. 6. m-massaisen kaksiulotteiseen L-sivuiseen laatikkoon suljetun hiukkasen (0 x L ja 0 y L Schrödingerin yhtälö on ( 2 d 2 2m dx + d2 ψ = Eψ 2 dy 2 Todista että funktio ψ = A sin ( n xπx ( L sin nyπy L toteuttaa Schrödingerin yhtälön. Mikä on systeemin energia? Laske tai päättele aaltofunktion suurin ja pienin arvo. 7. Joissain tapauksissa origon valinta vaikuttaa dipolimomentin arvoon. Varauksilla q 1 = 3, q 2 = 2 ja q 3 = 1 on paikkavektorit r 1 = 2 i+2 j + k, r 2 = 2 i 2 j + 3 k ja r 3 = 4 j 3 k. 2
(a Laske systeemin dipolimomentti valittuun origoon nähden. (b Etsi sellainen piste jossa dipolimomentti on nolla. 8. Entropian kokonaisdifferentiaali on ( S ds = T dt + p ( S dp. p T 1 moolille ideaalikaasulle entropian osittaisderivaatat lämpötilan ja paineen suhteen ovat ( ( S = 5R ja S = R. Osoita että suljetulla T p 2T p p T reitillä T 1, p 1 T 2, p 1 T 2, p 2 T 1, p 2 T 1, p 1 on voimassa T ds = pdv. 9. Monissa fysikaalisissa sovelluksissa tärkeä differentiaaliyhtälö on d 2 y dx2 + ω2 y = 0 (a Osoita sijoittamalla että y = Ae iωx + Be iωx missä A ja B ovat vakioita on tämän yhtälön ratkaisu. (b Vaihtoehtoinen muoto ratkaisulle on y = Ccos(ωx + Dsin(ωx, missä C ja D ovat vakioita. Ilmaise C ja D A:n ja B:n avulla. 10. Tarkastellaan kemiallista alkeisreaktiota A + B C. Olkoon A:n konsentraatio ajanhetkellä t = 0 a 0, B:n konsentraario ajanhetkellä t = 0 b 0 (siten että a 0 b 0 ja C:n konsentraatio ajanhetkellä t = 0 nolla. Olkoon reaktion nopeuskerroin k. Reaktion nopeuslaki on muotoa dx dt = k[a][b] = k(a 0 x(b 0 x missä x = x(t on tuotteen C konsentraatio ajanhetkellä t. Osoita integroimalla k.o. nopeuslaki että systeemille pätee kt = 1 ln[ b 0(a 0 x(t a 0 b 0 a 0 (b 0 x(t ] (Vihje 1: Rationaalifunktion integrointi. Vihje 2: Voit joko integroida nopeuslain määräämättömässä muodossa, ja ratkaista sen jälkeen integrointivakio C asettamalla x=0 kun t=0, tai voit integroida suoraan integrointirajoilla x : 0 x(t ja t : 0 t. Vihje 3: muista logaritmien laskusäännöt. 3
11. Vetyatomin 3p-orbitaalia kuvaa pallokoordinaateissa aaltofunktio ψ 3p = N(4 ρρe 1 2 ρ cos θ, missä ρ = 2r 3a 0 ja a 0 on Bohrin radan säde a 0 = 52, 92 pm. Elektronin etäisyys vetyatomin ytimestä on r, kulma θ kuvaa elektronin sijainnin suuntaa ytimen ympärillä. Laske normitusvakion N arvo, kun se on määritelty niin, että aaltofunktion todennäköisyysjakauman ψ 3p 2 integraali yli koko avaruuden on yksi. HUOM! Taulukkointegraalien käyttö on integroitaessa sallittua ja suotavaa. LISÄTIETOA: Kun elektronin todennäköisyysjakauma integroidaan yli koko avaruuden, lasketaan todennäköisyys, että elektroni löytyy jostain. Koska elektroni varmasti löytyy jostain, todennäköisyys on yksi. Samalla tavalla integroimisaluetta pienentämällä voidaan tutkia, millä todennäköisyydellä elektroni löytyy joltain muulta alueelta. 12. Elektronin paikan todennäköisyysjakaumaa voidaan käyttää erilaisten odotusarvojen laskemiseen. Laske odotusarvo elektronin etäisyydelle ytimestä ( r = ψ 3p rψ 3p d. Aaltofunktion lausekkeen saat edellisestä tehtävästä. Sijoita normitusvakion paikalle edellisessä tehtävässä laskemasi arvo. Jos laskeminen ei onnistunut, käytä symbolia N. 13. Vetyatomin 1s-orbitaalin aaltofunktio on pallokoordinaateissa ψ 1s = 1 πa 3 0 e r a 0. Bohrin radan säde on a 0 = 52, 92 pm. Aaltofunktion neliö ψ 1s 2 on elektronin paikan todennäköisyysjakauma. Laske vetyatomin (a potentiaalienergian odotusarvo ( ˆV = ψ1s ( e2 elec 4πɛ 0 r ψ 1s d, missä e elec on alkeisvaraus ja ɛ 0 on tyhjiön permittiivisyys, ja (b kineettisen energian odotusarvo ( ˆT = ψ1s ( 2 2 ψ 1s d, 2m e 4
missä m e on elektronin massa ja 2 on Laplacen operaattori. Pallokoordinaateissa Laplacen operaattori on 2 = 2 r 2 + 2 r r + 1 r 2 2 θ 2 + cosθ r 2 sinθ θ + 1 r 2 sin 2 θ 2 φ 2 (Vinkki: koska ψ 1s :llä ei ole kulmariippuvuutta, kaikki kulmamuuttujien suhteen otetut osittaisderivaatat ovat nollia. 5