Torstai 4.9.2014 1/18 Klassisen mekaniikan historiasta Nikolaus Kopernikus (puolalainen pappi 1473-1543): aurinkokeskeinen maailmankuva Johannes Kepler (saksalainen tähtitieteilijä 1571-1630): planeettojen ellipsiradat; planeettojen rataliikkeen lait Galileo Galilei (italialainen tähtitieteilijä 1564-1642): teleskooppi (maailmankuva); kinematiikka: tasaisesti kiihtyvä liike, liike kaltevalla tasolla
Torstai 4.9.2014 2/18 Klassisen mekaniikan historiasta Isaac Newton (englantilainen fyysikko 1642-1727): differentiaali- ja integraalilaskenta; Newtonin liikeyhtälö F = d p dt Joseph-Louis Lagrange (italialais-ranskalainen matemaatikko 1736-1813): variaatiolaskenta d L dt q L q = 0, L = T U William Rowan Hamilton (irlantilainen matemaatikko 1805-1865): Hamiltonin yhtälöt H H = ṗ, q p = q, H = T + U = E
orstai 4.9.2014 3/18 Vapausasteet Liikkeen kuvailu: massapisteen koordinaatit (x, y, z) ja nopeudet (v x, v y, v z ). Vapaasti liikkuvalla massapisteellä on kolme vapausastetta. N:llä vapaasti liikkuvalla massapisteellä on 3N vapausastetta 3N koordinaattia x i, i = 1,..., 3N 3N nopeuskomponenttia Newtonin yhtälöt: ṗ i = U x i, p i = m i ẋ i Koordinaatit x i parametrisoi 3N-ulotteisen konfiguraatioavaruuden C. Jokainen piste C:ssä vastaa yhtä systeemin konfiguraatiota ts. kaikkien N:n hiukkasen paikkaa. Aikakehitys tuottaa käyrän avaruudessa C. Esimerkkinä mietitään matemaattista heiluria. Tämä on akateeminen kolmiulotteinen ongelma. Sidosehtoja: tasoliike: -1 koordinaatti pituus L=vakio: -1 koordinaatti yhteensä: 3-2 = 1 vapausastetta, heilumiskulma θ
Torstai 4.9.2014 4/18 Esimerkki: Tuoli Toisena esimerkkinä voidaan miettiä tuolia. Se koostuu n. 10 24 atomista, joten sen kuvailu hitutasolla on vaivalloista. Jos tarkastellaan sitä jäykkänä kappaleena, niin saamme paljon sidosehtoja. massakeskipiste: 3 koordinaattia asento: 3 kulmaa yhteensä: 6 vapausastetta Rajoitutaan lisäksi tapaukseen, jossa tuoli on pystyssä lattialla 3 lisäsidosta: z CM =vakio 2 koordinaattia selkänojan suunta 1 kulma yhteensä: 3 vapausastetta (x, y, θ)
Torstai 4.9.2014 5/18 Sidosehdot Newtonin mekaniikassa Näille sidosvoimille F (s) = T, F (s) = J pätee F (s) v. Tästä seuraa F (s) v = 0 W (s) = F (s) d r = 0 Eli tällaiset sidosvoimat, jotka ovat liikettä vastaan eivät siis tee työtä! Kappaleen liiketila muuttuu sen kokonaisenergian pysyessä samana. On olemassa myös työtä tekeviä sidosvoimia esim. kitkaiset sidokset. Näistä lisää myöhemmillä luennoilla.
orstai 4.9.2014 6/18 Esimerkki: matemaattinen heiluri Matemaattisella heilurilla on vain yksi vapausaste θ. Massapisteen m koordinaatit x 2 + y 2 = L 2. Tämän voi parametrisoida { x = L sin θ y = L cos θ Käyttämällä Newtonilaista menetelmää, piirrämme kuvaan jännitysvoiman J ja ratkaisemme voimavektorit: mẍ = J x L, mÿ = mg J y L Käytämme nyt sidosehtoa liikeyhtälöihin (HT): θ = g L sin θ, J = ml θ 2 + mg cos θ Vaikka tämä oli suoraviivaista ratkoa, yleisesti laskut ovat hyvin monimutkaisia. Huomaa, että suurin työ ratkomiseen meni jännityksen määräämiseen. Tyypillisesti sidosvoimat eivät ole kiinnostavia (vaan itse heilurin liike). Lagrangen formalismi antaa tähän tehokkaan menetelmän. Määritellään ensin tarkemmin mitä sidosehdoilla tarkoitetaan.
Sidosten luokittelu (N:n massapisteen systeemissä) Holonominen sidos: f j ( r 1, r 2,..., r N, t) = 0 (hyperpinta) esim. kiinteä kappale: ( r i r j ) 2 c 2 ij = 0 Vastakohta: ei-holonominen sidos esim. massapiste (x, y)-tason yläpuolella: z j 0 Jos lisäksi ei ole ekplisiittistä t-riippuvuutta: skleronominen sidos esim. heilurin varren pituus vakio: l a = 0 Vastakohta: reonominen sidos esim. heiluri, jonka varren pituus muuttuu l at = 0 Torstai 4.9.2014 7/18
Torstai 4.9.2014 8/18 Yleistetyt koordinaatit Paikkakoordinaatit: (x, y, z), jolla pituuden dimensio (SI-yksikkö: m) Aikaderivaatat nopeuksia (m/s) Kulmakoordinaatit (radiaani tai aste): esim. pallokoordinaateissa (r, θ, φ) Aikaderivaatat kulmanopeuksia (rad/s, /s) Yleistetyt koordinaatit ovat fysikaalisista suureista muodostettuja muuttujia, jotka ovat toisistaan riippumattomia kuvaavat systeemin täydellisesti Voivat siis olla paikka- tai kulmamuuttujia tai joitain muita fysikaalisia suureita kunhan vain edellä olevat ehdot täyttyvät.
orstai 4.9.2014 9/18 Tarkastellaan holonomisia sidoksia Otetaan n kpl tavallisia koordinaatteja ja k kpl holonomisia sidoksia, joista jokainen siis vähentää riippumattomia muuttujia yhdellä. Tarvitaan n k kpl yleistettyjä koordinaatteja q j, j = 1,..., n k. Muunnokset: x 1 = x 1 (q 1, q 2,..., q n k, t) x 2 = x 2 (q 1, q 2,..., q n k, t). x n = x n(q 1, q 2,..., q n k, t) Jokaisella massapisteen koordinaatilla on oma yhtälö! Jos n = 3N, voidaan kirjoittaa vektorimuodossa r k = r k (q 1, q 2,..., q 3N k, t), k = 1,..., N
Esimerkki sidosehtojen käytöstä m 1 ja m 2 jäykän massattoman tangon päissä (l vakio) m 1 : (x 1, x 2, x 3 ) ja m 2 : (x 4, x 5, x 6 ) m 1 liikkuu (x, y)-tasossa ρ-säteisellä ympyrällä Sidosehdot (holonomisia), 3 sidosta, 3 koordinaattia eliminoitavissa: r 2 r 1 l = 0 x 3 = 0 r 1 ρ = 0 Kulmat (ϕ 1, ϕ 2, θ 2 ) ovat riippumattomia, joten käytetään niitä yleistettyinä koordinaatteina q 1, q 2, q 3 : x 1 = ρ cos ϕ 1 x 2 = ρ sin ϕ 1 x 3 = 0 x 4 = ρ cos ϕ 1 + l sin θ 2 cos ϕ 2 x 5 = ρ sin ϕ 1 + l sin θ 2 sin ϕ 2 x 6 = l cos θ 2 Torstai 4.9.2014 10/18
Torstai 4.9.2014 11/18 Virtuaalinen siirros Kirjoitetaan differentiaali koordinaateille x i = x i (q j, t), i = 1,..., n, j = 1,..., n k: Määritellään sitten virtuaalinen siirros δx i : infinitesimaalinen hetkellinen, dt 0 n k x i dx i = dq j + x i q j=1 j t dt noudattaa annettuja (holonomisia) sidoksia n k x i δx i = δq j q j=1 j d Alembert (ranskalainen matemaatikko 1717-1783) oletti, että kitkattomista sidoksista johtuvat voimat eivät tee työtä virtuaalisissa siirroksissa F (s) δ r = 0
Torstai 4.9.2014 12/18 Virtuaalinen siirros Otetaan sitten virtuaalinen siirros komponentin i-suuntaan ja kirjoitetaan Newtonin liikeyhtälö n ( ) ṗ i = F i + F (s) i F i + F (s) i ṗ i δx i = 0 i=1 Josta seuraa d Alembertin periaate n (F i ṗ i ) δx i = 0 i=1 Jos δx i :t ovat riippumattomia, niin saamme Newtonin liikeyhtälöt komponenttimuodossa ṗ i = F i. Jos systeemissä on sidoksia (ts. δx i :t toisistaan riippuvia), tulee meidän siirtyä yleistettyihin koordinaatteihin, joissa δq i :t ovat riippumattomia! Tarkastellaan ensin ensimmäistä termiä hieman lähemmin...
Virtuaalinen työ Ulkoisen voiman virtuaalisessa siirroksessa tekemä virtuaalinen työ δw n i=1 F i δx i on: ( n k n ) δw = i n k F i j=1 x i δq j = x i F i δq j q j=1 i=1 j }{{} Q j Eli virtuaalinen työ voidaan kirjoittaa yleistetyn voiman avulla: 1 n k δw = Q δ q = Q j δq j j 1 Huom! yleistetyn voiman dimensio ei välttämättä ole sama kuin tavallisen voiman (esim. kun δqj :n dimensio ei ole pituus), mutta Q j δq j :n dimensio on aina työn/energian dimensio. Torstai 4.9.2014 13/18
orstai 4.9.2014 14/18 Lagrangen liikeyhtälöiden johto Tarkastellaan sitten d Alembertin periaatteen toista termiä ( i (F i ṗ i )δx i ) = 0... Nämä hitaustermit voidaan kirjoittaa muodossa: ṗ i δx i = i i = j = j x i m i ẍ i δq j q j j ( ) x j m i ẍ i δq j q i j ( [ ( ) ] ) d x i d x i m i ẋ i ẋ i δq j dt q i j dt Seuraavaksi tarvitaan pari aputulosta: n k x i (AP1) : ẋ i = q l + x i q l=1 l t (AP2) : [ d x i = dt l ẋ i q j ] q l + x i q l t = x i = ẋ i
orstai 4.9.2014 15/18 Käyttämällä aputuloksia saadaan: Lagrangen liikeyhtälöiden johto i m i ẍ i x i = d dt = d ( T dt q j ( ) x i d ẋ i ẋ i dt ) = [ d m i dt i ( = d ẋ i m i ẋ i dt q i j i ( 1 i 2 m ) i ẋi 2 q j ) T ] x i m i ẋ i ẋ i i 1 2 m i ẋ 2 i Sijoitetaan nämä d Alembertin yhtälöön n n k ( 0 = (F i ṗ i ) δx i = Q j d dt i=1 j=1 ( T q j ) + T ) δq j Ja koska δq j ovat mv saadaan yhtälö radalle {q j (t)}: ( ) d T T = Q j, j = 1,..., n k dt q j
Torstai 4.9.2014 16/18 Lagrangen liikeyhtälöiden johto Oletetaan lisäksi, että ulkoiset voimat ovat konservatiivisia jolloin Q j = i F i x i = U(q 1,..., q n k, t) U q j = 0 Määritellään viimein tämän kurssin yksi päähenkilöistä Lagrangen funktio ( ) ( Tälle pätee d L = d T dt q j dt johdetuksi Lagrangen yhtälöt: L = L({q j }, { q j }, t) = T U d dt ( L q j ) q j ja L huomaa minus! = T + Q, jolloin olemme saaneet j ) L = 0, j = 1,..., n k Muista oletukset: 1) holonomiset sidokset ja 2) konservatiivinen voima.
Torstai 4.9.2014 17/18 Esimerkki: Hitu homogeenisessa painovoimakentässä Valitaan U(x 3 = 0) = 0: T = 1 2 m ( ẋ1 2 + ẋ2 2 + ) ẋ2 3 U = mgx 3 L = 1 2 m ( ẋ1 2 + ẋ2 2 + ) ẋ2 3 mgx3 ( ) Lagrangen yhtälöinä d L L = 0 saadaan tutut vinon heittoliikkeen yhtälöt: dt ẋ j x j mẍ 1 = 0 mẍ 2 = 0 mẍ 3 = mg Sidosehto: liike (x 1, x 3 )-tasossa tiputtaa yhden vapausasteen pois. Muunnokset x 1 = q 1, x 2 = 0, x 3 = q 2 tuottavat: L = 1 2 m ( q 2 1 + q2 2) mgq2
orstai 4.9.2014 18/18 Lagrangen formalismin jälkimotivointi Kaikki fundamentaalit luonnonlait voidaan kirjoittaa käyttäen Lagrangen formalismia. Tämä pitää siis sisällään sähkömagnetismin, yleisen suhteellisuusteorian ja hiukkasfysiikan standardimallin sekä monet standardimallin laajennukset, esim. säieteorioissa. Lähes kaikki tuntemamme fysiikka voidaan kirjoittaa seuraavaan Lagrangen funktioon: L = ( g R 1 ) 2 FµνF µν + ψd/ψ Missä ensimmäinen Einsteinin termi kuvaa painovoimaa, toinen Maxwell/Yang-Mills-termi luonnonvoimia (sähkömagnetismi ja ydinvoimat) ja kolmas Diracin termi hiukkasten (kvarkkien/elektroneiden) dynamiikkaa. On kaksi tärkeää syytä miksi käytämme työskentelemme mieluummin Lagrangen kuin Newtonin yhtälöiden parissa: 1. Lagrangen yhtälöt ovat voimassa missä tahansa koordinaattisysteemissä (Newtonin yhtälöt vain inertiaalikoordinaatistossa) 2. sidosehtojen käsittely on helppoa Lagrangen formalismissa