16.4.014 Vireen arviointia NUMEERISIA JA ALGEBRAL- LISIA MENETELMIÄ, MAA1 Virettä, tai oikeammin vireen suuruutta, voidaan arvioida seuraavilla tavoilla: 1. Maksimi-minimikeino (-menettely), nopea ja yksinkertainen, mutta karkea.. Väliarvolauseen yödyntäminen, kurssin 13 asioita. 3. Virekaavojen käyttö ja vireiden neliöllinen ydistäminen, kun on vain peruslaskutoimituksia (+,,, ), parempi kuin ma-minkeino. 4. Vireen eteneminen menettely, sopii kaikille funktioille, mutta vaatii derivointia (osittaisderivaattoja). Muista aina myös miettiä, mikä muuttuja dominoi virettä, eli vaikuttaa eniten vireeseen! 1. Maksimi-minimikeino (-menettely) Lasketaan lausekkeen suurin ja pienin madollinen arvo, jonka jälkeen näiden, edellä laskettujen, arvojen erotus jaetaan kadella. Siis f f ma f min, missä f on laskulauseke. Tämä menetelmä antaa virearvion paimman madollisen tilanteen mukaan, eli antaa arvion vireen maksimiarvosta. Virearviota tetäessä oletetaan, että epävarmuudet vaikuttavat samaan suuntaan. Menetelmä on äärimmäisen nopea ja saadaan ns. ensisilmäys vireen suuruudesta. Esimerkki Määritä puolisuunnikkaan pinta-ala ma-minkeinolla. A puolisuunnikas A 6,6 + 11, 13 690 A ma 6,8 + 11,9 100,3 13 776,05 A min 6,4 + 10,5 99,7 13 604,065 A ma A min 17,14 86,07 ja ± 0,3 A 86,07 0,006 0,6%. 13 690 b a Vastaus: A 13 690 ± 0,6% A 13 690 ± 90 1
16.4.014. Väliarvolauseen yödyntäminen (lyyesti, kts. moniste) Olkoon f jatkuva suljetulla välillä a, b ja derivoituva avoimella välillä a, b. Tällöin on olemassa ξ a, b siten, että f b f a f ξ b a. Hyödynnetään tulosta: Olkoon b muuttujan tarkka arvo ja a likiarvo. Tällöin vire on f f b f a f ξ b a. Ja jos derivaatan itseisarvolle tunnetaan yläraja välillä a, b, eli niin f M, a, b, M R, f b f a f ξ b a M b a R R Esimerkki Kuinka suuri vire tedään, kun luku e 3 lasketaan käyttäen Neperin luvulle likiarvoa,7? Aluksi todetaan, että e,718 ;,7. Tarkastellaan funktiota f: f 3,,718 ;,7.. Esimerkki(jatkuu) Ja saadaan arvio Näin ollen f Derivointi antaa: f : f 3. 3,7,195 : M. f e f,7 3,7 e,7 3,7,718,7 0,039 95 < 0,04 3. Virekaavojen käyttö Kaavojen käyttö nojautuu kolmioepäytälöön ja peruslaskutoimitusten luonteeseen. Kun f on laskulauseke,, y muuttujia ja laskutoimituksena on - summa tai väennys, niin absoluuttinen vire on f + y - tulo tai osamäärä, niin suteellinen vire on f f - potenssi, niin suteellinen vire on f f n n Z + y y
16.4.014 Tarkempi käsittely löytynee kirjasta. Virekaavat pätevät myös, jos on useampia muuttujia kuin kaksi. Esimerkiksi, jos f + y + z + u v w, niin f + y + z + + u + v + w + Esimerkki Lasketaan puolisuunnikkaan pinta-ala käyttäen virekaavoja. Pyöristyksestä jotuen pituuksien likiarvojen absoluuttiset vireet ovat enintään 0,05, joten A a, b, A jossa kerroin voidaan jättää uomioimatta (miksi?). Arvio etenee, sillä summa uomioiden + a + b + +, 0,05 + 0,05 11, + 6,6 + 0,05 3,65 10 4 + 5 10 4 8,65 10 4 0,09 %. Vireen arvio on parempi kuin ma-min menetelmällä saatu 0,6 %. Vireiden neliöllinen ydistäminen on yleinen periaate todennäköistä virettä arvioitaessa. Tätä menettelyä käytetään aina, kun muuttujat ovat riippumattomia ja niiden vireet satunnaisia. Soveltunee paraiten peruslaskutoimituksia sisältäville laskutoimituksille. Yleisesti, jos f f, y + y, eli summalauseke, niin f + y. Ja, jos f f, y y, eli tulolauseke, niin f + y Esimerkki Kuten edellä, lasketaan puolisuunnikkaan pinta-ala käyttäen vireiden neliöllistä ydistämistä. Pyöristyksestä jotuen pituuksien likiarvojen absoluuttiset vireet ovat enintään 0,05, joten A a, b, A + A a + b + y +. 3
16.4.014 0,05 + 0,05 11, + 6,6 + 0,05,58 10 4 + 5 10 4 5,67 10 4 0,06 % Jälleen parani vireen arvio. 4. Yleinen vireen etenemis-menetelmä Tarkastellaan lyyesti esimerkkien avulla. Tätä ei vaadita kokeessa. Esimerkki Kuten edellä, lasketaan puolisuunnikkaan pinta-ala käyttäen vireen etenemis -menetelmää. Pyöristyksestä jotuen pituuksien likiarvojen absoluuttiset vireet ovat enintään 0,05. Aluksi tarvitaan osittaisderivaatat jokaisen muuttujan suteen tarkasteltavasta funktiosta, joka nyt on pinta-alafunktio (3 muuttujaa) A A a, b, Saadaan: ja a, a a a b, + b b + b + + + + 73,8,5 +,5 + 6,845 7,704156 Näin ollen suteellinen vire on A 7,704156 5,67 10 4 0,06 % 13 690 4
16.4.014 Esimerkki Tarkastellaan toisena esimerkkinä kirjan esimerkkien 1 ja 3 (sivut 13 ja 15) tilannetta. Nyt tarkasteltavana on särmiön tieysfunktio ρ ρ m, a, b, c m. Lisäksi tiedetään, että a 0,5 kuin abc myös b c 0,5 sekä m 0,05. Osittaisderivaatat: m 1 abc, a 1 a m bc, b 1 b m ac, c 1 c m ab Näin ollen (uomaa, että pitää muuttaa millimetrit metreiksi) ρ m m + a a + b b + c c 1 abc + m a bc 0,0005 + m b ac 0,0005 + m c ab 0,0005 18,8 + 10,303 + 1,187 + 9,11 95,36908 ρ ρ 95,36908 664, 0,0154 1,5% Huomautus 1. Muista: vire pyöristetään aina ylöspäin. Voidaan käyttää 15 yksikön sääntöä.. Kun vire on pyöristetty pyöristetään itse suureen arvo normaalien pyöristyssääntöjen mukaisesti. 3. Likiarvoilla laskettaessa ei välituloksia saa pyöristää! Vasta lopputulos pyöristetään. 5