Ulkoiset seikat vastaamisessa Tuo MAOL ja Laskin tarkistettavaksi viimeistään kirjoituspäivää edeltävänä päivänä klo 14.30. A-osa: Vastaa kysymyspaperin ruututilaan jokaiseen A-osan 4 tehtävään. Jos ratkaisusi eivät mahdu niille varattuun tilaan, jatka vastauksiasi puoliarkille (kullekin tehtävänumerolle oma puoliarkki), jolle kirjoitat MAA, tehtävänumeron ja JATKOA. A-osan vastauspaperi + mahdolliset A-osan jatkoarkit palautetaan klo 12 viimeistään, jolloin saat ottaa käyttöön laskimesi. B1-osa: Vastaa tehtävään 5 kokonaiselle arkille. Jos et vastaa lainkaan kysymykseen 5, vastaa tehtävään 6 kokoarkille. Vastaa muihin valitsemiisi kysymyksiin puoliarkeille. Jos tehtävä ei mahdu puoliarkille, jatka uudelle puoliarkille, jolle kirjoitat MAA, tehtävänumeron ja JATKOA. B2-osa: Vastaa puoliarkeille. Kuhunkin puoliarkkiin MAA ja tehtävänumero. Kokeen palauttaminen: Lajittele tehtävän 5 kokoarkin väliin loput puoliarkit tehtävänumerojärjestyksessä, tehtävävihko sekä suttupaperit (alimmaiseksi) ennen palauttamista. MAOLin ja Laskimen saat viedä mukanasi, kun poistut kokeesta. Tehtävien tehtävien lukumäärä: yhteensä 10 4 A-osassa, 4 B1-osassa ja 3 B2-osassa. Jos YTL on tehnyt kokeen ohjeisiin toisenlaiset ohjeet, noudata koepaperin ohjetta orjallisesti. Vaikka et osaisi ratkaista kymmentä tehtävää, aina kannattaa yrittää edes tehtävän alkuun tuhertaa jotain parin hakuammuntapisteen toivossa. Jos olet yrittänyt useampaa tehtävää, tee valinta ja ruksi yli ylimääräiset tehtävät. Tehtäväpaperin merkinnät: Piirrä marginaalit, koulun nimi, kokelasnumero, nimikirjoitus ja nimenselvennys jokaiseen paperiin, (myös suttupapereihin) johon olet jotakin vastannut. Kirjoita tehtävän alkuun MAA ja SELKEÄLLÄ käsialalla tehtävän numero. Tehtävän numeron voi laittaa marginaaliin tai otsikoksi. Jos jatkat toiselle puoliarkille, kirjoita MAA ja tehtävän numero sekä JATKOA. Jos vastauksesi ulottuu puoliarkin toiselle puolelle, siitä ei tarvitse olla huomiota sivun alalaidassa tai marginaalissa.
Kirjoita tehtävän loppuun aina erikseen Vastaus: ja selkeästi vastaat siihen mitä kysyttiin, etkä johonkin muuhun välivaiheeseen. Huomaa, että osa kysytystä on voinut selvitä jo aikaisemmassa vaiheessa tehtävää, mutta sekin on syytä mainita lopuksi uudelleen, ellei sitä ole erikseen kirjoitettu esim. a) -kohdan vastaukseen. Muita merkintöjä Jos piirrät kuvan tehtävänannosta, kirjoita sen viereen MALLIKUVA, vaikka olisit miten tarkasti piirtänyt. Tämä on erityisen tärkeää, jos kuva todella on varsin viitteellinen. Käsittele sitä myös kuin mallikuvaa. Yleensä kuvasta ei saa lukea asioita, ellei sitä erikseen pyydetä. Piirrä kuvat aina harpin ja viivottimen avulla. Silloin saat niistä myös itse paremmin selvää. Selityksiä Alkupään tehtävissä ei yleensä paljoa tarvitse selitellä ja yleensä loppupäässäkään tiettyjen valikoitujen selityksien puutteesta ei rokoteta, mutta erityisesti osoita ja todista-tehtävissä ei kannata jättää mitään arvailujen varaan. Mainitse itsestäänselvyydetkin ääneen. (Kirjallisesti) Selitysten tarvittavaa määrää pystyt arvioimaan malliratkaisuista. Niissä on yleensä hyvin niukalti selityksiä, eli jos selität yhtään vähemmän, se ei riitä. Ei kuitenkaan ole tarkoitus, että kaikki aikasi kuluu asioiden selittelyyn. KAIKKI PAPERIT ON PALAUTETTAVA EHJÄNÄ. Suttupapereita voi kuitenkin taitella havaintomateriaaliksi, kunhan ne oikaisee suoraksi samaan nippuun muiden kanssa palautusta varten.
Läpipääsyyn vaadittavat tehtävät POLYNOMIT Tehtävä 1 a) Jaa tekijöihin x 2 8 x+15 b) Jaa tekijöihin 3 x2 75 c) Milloin polynomi 2 x 3 (3 x 5)2 (5 x 6) saa arvon nolla? d) Mikä on funktion x 2 3 x 2 1 määrittelyehto? Tehtävä 2 (2 ab)2 a) Sievennä lauseke (4 ab)4 KYMMENPOTENSSIT Tehtävä 3 Kirjoita numeroin: 8 10 = 4 1,74 10 = 2,8 10 11=
Tehtävä 4 Kirjoita kymmenpotenssimuodossa: a) 0,000002098 = b) 123 000 000 000 000 = YHTÄLÖT Tehtävä 5 Ensimmäisen asteen yhtälöllä ratkaisuja voi olla n. asteen polynomiyhtälöllä ratkaisuja voi olla (n>4) ei yhtään tasan yksi tasan kaksi tasan kolme ääretön määrä ei yhtään tasan yksi tasan kaksi tasan kolme tasan neljä tasan n-1 kappaletta tasan n kappaletta tasan n+1 kappaletta enintään 2n kappaletta ääretön määrä Toisen asteen yhtälöllä ratkaisuja voi olla ei yhtään tasan yksi tasan kaksi tasan kolme ääretön määrä JUURET Tehtävä 6 Ilmaise murtopotenssimuodossa. a) x2 x b) 6 x x 2 c) Tehtävä 7 Ilmaise juurimuodossa: a) a 3 4 b) 3 n 8 3 1 53 n n
LOGARITMIT Tehtävä 8 Laske tai sievennä. b) log 5 (5 9)3 a) log 6 60 log 6 5+ log 6 3 c) 6log 3 d) log 6 LUKUJONOT Tehtävä 9 Jatka lukujonoa ja kirjoita sen sääntö. 1, 2, 3, 4,,,... n. jäsen an = 1, 2, 4, 8,,,... n. jäsen 1, -1, 1, -1,,,... n. jäsen TILASTOT Tehtävä 10 1. Laske lukujen 8, 9, 9, 7, 5, 8 a) keskiarvo b) keskihajonta: an = an = x2 2 log x y Määrittelyehto:
DERIVAATTA Tehtävä 11 Tunnista funktioiden derivaatat. Jokaiselle kuudelle funktiolle ei löydy näiden kuuden kuvan joukosta derivaattaa. Siis oikea vastaus voi olla myös tyhjäksi jätetty kohta. Mieti ensin, mitä tiedät derivaatasta. Mitkä ovat derivaattafunktion nollakohtia? Onko derivaattafunktio vaakasuora/nouseva suora/laskeva suora/paraabeli/3. asteen kuvaaja? Kuva 1 Kuva 2 Kuva 3 Tämän funktion derivaatta Tämän funktion derivaatta löytyy kuvasta löytyy kuvasta löytyy kuvasta Kuva 4 Tämän funktion derivaatta Kuva 5 Tämän funktion derivaatta Tämän funktion derivaatta Kuva 6 Tämän funktion derivaatta löytyy kuvasta löytyy kuvasta löytyy kuvasta
TRIGONOMETRIA Tehtävä 12 Kulma ilmoitetaan aina radiaaneina, mikäli toisin ei ilmiselvästi ilmene tehtävästä tai muuta ilmoiteta. a) sin x=sin 3 x Vastaus: x= + n TAI x= + n, n ℤ TAI x= + n, n ℤ b) cos 2x = cos 5x Vastaus: x= + n c) tan x = tan 3x Määrittelyehto: x + n Vastaus:, n ℤ x= + n, n ℤ VEKTORIT Tehtävä 13 Ovatko samat vektorit samansuuntaiset eri suuntaiset vastakkaissuuntaiset Ovatko vektorit a = i + 2 j k ja b = i +2 j+ k kohtisuorassa toisiaan vastaan? Vektoreiden kohtisuoruutta selvitetään ristitulon pistetulon vektorien summan yksikkövektorien avulla
Tehtävä 14 Piirrä vektorit a + b ja a b. KORKEAMPIIN ARVOSANOIHIN VAADITTAVAT TEHTÄVÄT POLYNOMIT Tehtävä 15 2 Kumpi luvuista 8n + 1 ja 24 +3 n 2 on suurempi? YHTÄLÖT PROSENTIT Tehtävä 16 a) Kuutio pienennetään toiseksi kuutioksi siten, että sen kokonaispinta-ala pienenee 36 %. Kuinka monta prosenttia tilavuus pienenee? b) Paulan palkka nousee (toiveajattelua?!) kahdesti peräkkäin p %. Tällöin palkan kokonaislisäys on 12,5 %. Määritä p.
Tehtävä 17 a) Sievennä lauseke 2x - 2-2, kun 0 x 1 Tehtävä 18 a) Joen rantaan pystytettävän suorakulmion muotoisen aitauksen kolmeen sivuun on käytettävissä 50 m köyttä. Kuinka pitkä jokea vastaan kohtisuorassa olevan sivun on oltava, jotta aitauksen pintaala olisi yli 300 m²? m < x < m b) Polttomoottorin mäntä suorittaa yhden kierroksen aikana edestakaisen liikkeen ylhäältä alas ja takaisin. Auton moottorin kierroslukumittarin osoittaessa 4000 kierrosta minuutissa auton pyörä pyörähtää 780 kierrosta minuutissa. Pyörän halkaisija on 73 cm. Moottorin männän ylhäältä alas kulkema matka eli iskun pituus on 70 mm. Kun autolla ajetaan 60 km, kuinka pitkän matkan mäntä kaiken kaikkiaan kulkee liikkuessaan edestakaisin? YO6/K1999 JUURET Tehtävä 19 Millä muuttujan arvolla funktion f ( x)=3 x 2 1 x arvo on 2? Määrittelyehto: Neliöönkorotusehto:
LOGARITMIT Tehtävä 20 a) Ratkaise yhtälö kolmen numeron tarkkuudella. x 3 =6 b) Ratkaise yhtälö 2lg 2 x lg( x +5)=1 Määrittelyehto: Sovelluksia Tehtävä 21 a) Montako numeroa on luvussa 4 2000? Vastaus: numeroa b) Missä ajassa radioaktiivisen aineen määrä vähenee puoleen, jos aineesta hajoaa 2,0 % vuorokaudessa? Vastaus: vuorokaudessa.
GEOMETRIA Tehtävä 22 Seitsemän mäntytukkia sidotaan vaijerilla vieressä olevan poikkileikkauskuvion mukaisesti. Kuinka paljon vaijeria tarvitaan yhteen kierrokseen? Jokaisen tukin halkaisija on 20 cm. Anna vastaus senttimetrin tarkkuudella. Vastaus: cm Tehtävä 23 Kolmion sivujen pituudet ovat 3,5 cm, 5,6 cm ja 7,8 cm. Piirrä kolmio. Kuinka suuri kolmion suurin kulma on? Vastaus: º Tehtävä 24 Ympyrät sivuavat toisiaaan, ja niiden kaksi yhteistä tangenttia leikkaavat pisteessä P. Mikä on pisteen P etäisyys pienemmän ympyrän keskipisteestä?
Kuva tehtävään alla. ANALYYTTINEN GEOMETRIA Tehtävä 25 Mikä on ympyrän keskipiste ja säde, kun ympyrän yhtälö on 16x² - 64 x + 16 y² + 8y = 335? Vastaus: Keskipiste on (, ), säde on Tehtävä 26 Muodosta yhtälö käyrälle, jonka pisteet ovat yhtä etäällä suorasta DERIVAATTA Tehtävä 27 a) Mikä on paraabelin 3 x2 +12 x huipun x-koordinaatti? y=3 ja pisteestä (0,-3)
b) Määritä kuvaajalle sin x kohtaan π piirretyn tangentin yhtälö c) Milloin funktio 4 2 x 6 x +4 on aidosti kasvava? Vastaus: Kun x tai x NUMEERISET MENETELMÄT Tehtävä 28 Laske Simpsonin säännöllä laskettavan määrätyn integraalin poikkeama tarkasta arvosta virhekaavan avulla, kun funktion lauseke on f ( x)=x 6 x 4 +2 x 2+ 3 ja integraalin alaraja a=2 ja yläraja b=5 ja jakovälien määrä on 6. Vastaus: Poikkeama tarkasta arvosta on enintään (desimaalilukuna) Tehtävä 29 Ratkaise yhtälö: cos 2 x+ 2cos x+1=0 Vastaus: x= + n, n ℤ
LUKUJONOT Tehtävä 30 Lukujonon n. jäsen on n(12200 n3 ). Mikä on jonon suurin jäsen? Vastaus: Suurimman jäsenen järjestysnumero on. Suurin jäsen on b) Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on 2 ja seitsemäs jäsen 54. Määritä jonon peräkkäisten jäsenten suhde q ja jonon 5. jäsen. Suhdeluku q = tai q = Jonon 5. jäsen on LOGIIKKA Tehtävä 31 Todista epäsuoraa todistusta käyttämällä, että jos luku n on parillinen, niin luku n+3 on pariton luku, kun n on luonnollinen luku. LUKUTEORIA Tehtävä 32 Määritä syt ja pyj luvuille 1 486 660 ja 1 319 864. Vastaus: syt(1 486 660,1 319 864) = pyj(1 486 660,1 319 864) =
TODENNÄKÖISYYSLASKENTA Tehtävä 33 Malminäytteistä 18 % sisältää kuparikiisua ja 33 % rikkikiisua. 12 % malminäytteistä sisälsi molempia. a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa rikkiä sisältävässä malminäytteessä on valitussa näytteessä ei ole lainkaan kuparia eikä myös kuparia? rikkiä? % % Tehtävä 34 Pelataan kimbleä. Kun pelaaja heittää nopalla kutosen, hän saa nappulan peliin. Kutosen heitettyään pelaaja ei saa uutta ylimääräistä heittovuoroa. Millä todennäisyydellä kolmen heiton jälkeen pelaajalla on a) ainakin yksi nappula pelissä b) tasan yksi nappula pelissä Vastaus: % Vastaus: % TILASTOT Tehtävä 35 Määritä vakio k siten, että f ( x)=kx, kun 0 x 2, muulloin satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Vastaus: k = f ( x)=0, on erään
TRIGONOMETRIA Tehtävä 36 Ratkaise yhtälö. Kulma ilmoitetaan aina radiaaneina, mikäli toisin ei ilmiselvästi ilmene tehtävästä tai muuta ilmoiteta. 3 sin2 x=3 cos 2 x Vastaus: x= + n, n ℤ VEKTORIT Tehtävä 37 Kahden vektorin välinen kulma on kulma, joka muodostuu kahden vektorin väliin, kun ne laitetaan alkamaan samasta pisteestä. Kaksi vektoria muodostavat kuitenkin tällä tavoin kaksi kulmaa, joiden summa on 360 astetta. Virallisesti vektoreiden välinen kulma on näistä kahdesta kulmasta suurempi pienempi. Jos vektori kerrotaan negatiivisella luvulla a -1 Sen pituus pysyy samana Sen suunta muuttuu Sen suunta muuttuu kohtisuoraan aiempaa suuntaa vastaan Sen pituus muuttuu Se pitenee Sen suunta pysyy samana Sen pituudeksi vaihtuu 1 Sen pituudeksi vaihtuu se luku, jolla kerrotaan Vain i:n kerroin kerrotaan a:lla Kaikkien suuntavektorien kertoimet kerrotaan a:lla. Tehtävä 38 2 1 Tutki, ovatko vektorit a = i j 3 2 3 ja b = i + j yhdensuuntaiset. 4 Tehtävä 39 Onko piste P( 4, 6, 6) pisteiden A(1, 2, 3), B(2, 0, 2) ja C(0, 1, 3) määrällä tasolla?