Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015

Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät....................... 3 1.2 Homomorsmi........................... 5 1.3 Kompleksi ja konjugaatti..................... 6 2 Permutaatioista 11 3 Sylowin lauseet 14 4 Ratkeavat ryhmät 17 4.1 Kommutaattori.......................... 17 4.2 Ratkeavuus............................ 19 4.3 Kertalukutarkasteluja....................... 21 5 Esimerkkejä ratkevuudesta 27 Lähdeluettelo 32 1

Johdanto Tutkielma käsittelee ratkevia ryhmiä sekä kertaluvun vaikutusta ryhmän ratkeavuuteen. Ennen ratkeavuustarkasteluja käydään läpi ryhmäteorian perusteita, permutaatioita sekä ratkeavuuden kannalta tärkeät Sylowin lauseet. Tutkielman lopuksi osoitetaan ratkeaviksi ryhmät, joiden kertaluku on korkeintaan sata, poislukien luku kuusikymmentä. Ensimmäisessä luvussa määritellään ryhmäteorian peruskäsitteitä, kuten ryhmä, aliryhmä ja homomorsmi. Lisäksi todistetaan muutamia myöhemmin hyödynnettäviä lauseita. Toisessa luvussa käydään läpi muutamia permutaatioihin liittyviä määritelmiä sekä todistetaan tärkeä lause, jonka nojalla jokainen äärellinen ryhmä on isomornen jonkin permutaatioryhmän kanssa. Kolmannessa luvussa käydään läpi kolme Sylowin lausetta, joista erityisesti ensimmäistä ja kolmatta hyödynnetään kahden viimeisen luvun todistuksissa. Neljännen luvun alussa määritellään kommutaattori ja karakteristinen aliryhmä. Luvussa todistetaan erilaisia ratkeavuuskriteerejä sekä tarkastellaan kertaluvultaan erilaisten ryhmien ratkeavuutta. Viimeisessä luvussa käydään läpi kertaluvultaan 1 100 olevien ryhmien ratkeavuus. Osoitetaan, että kertalukua 60 lukuunottamatta kaikki ryhmät ovat ratkevia. 2

Luku 1 Perusteita 1.1 Ryhmät ja aliryhmät Määritelmä 1.1. Olkoon G epätyhjä joukko ja ( ) joukon G operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat: 1. Kuvaus ( ) on joukon G binäärinen operaatio, eli a b G aina, kun a, b G 2. Kuvaus ( ) on assosiatiivinen, eli (a b) c = a (b c) aina, kun a, b, c G. 3. On olemassa sellainen e G, että kaikilla a G e a = a e = a 4. Jokaista a G kohti on olemassa yksikäsitteinen a 1 siten, että a a 1 = a 1 a = e. Huomautus 1.2. Ryhmää (G, ) merkitään yleensä vain symbolilla G, jos operaatio oletetaan tunnetuksi. Ryhmän G kertaluku tarkoittaa joukon G alkioiden lukumäärää; merkitään G. Alkiota e kutsutaan ykkösalkioksi ja sitä 3

voidaan merkitä myös e G tai {1}. Alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi. Huomautus 1.3. Ryhmää (G, ) kutsutaan Abelin ryhmäksi, mikäli kaikille a, b G pätee a b = b a. Määritelmä 1.4. Olkoon (G, ) ryhmä ja H G, H. Jos (H, ) on ryhmä, sitä sanotaan ryhmän (G, ) aliryhmäksi ; merkitään (H, ) (G, ). Määritelmä 1.5. Olkoon H ryhmän G aliryhmä ja a G. Joukkoa ah = {ah h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti joukkoa Ha = {ha h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliryhmän H oikeaksi sivuluokaksi. Määritelmä 1.6. Olkoon G ryhmä ja H ryhmän G aliryhmä. Aliryhmää H sanotaan normaaliksi aliryhmäksi, mikäli ah = Ha aina, kun a G. Tällöin merkitään H G. Huomautus 1.7. Olkoon G äärellinen ryhmä ja H G. Nyt [G : H] on H:n indeksi G:ssä ja [G : H] = H:n sivuluokkien lukumäärä G:ssä. Lisäksi [G : H] = G H. Lemma 1.8. Olkoon G ryhmä, H G ja [G : H] = 2. Tällöin H G. Todistus. Jos a H, niin ah = H = Ha. Jos taas a H, niin ah H eli ah = {g G g H}. Samoin kun a H, niin Ha H eli Ha = {k G k H} = ah. Täten ah = Ha aina, kun a G, joten H G. Määritelmä 1.9. Olkoon G ryhmä ja N G. Tällöin paria ({an a G}, ) kutsutaan ryhmän G tekijäryhmäksi normaalin aliryhmän N suhteen. Kyseistä ryhmää merkitään G/N. 4

Huomautus 1.10. mikäli ryhmä G on äärellinen. G/N = G N, Määritelmä 1.11. Olkoon a ryhmän G alkio. Syklinen ryhmä, jonka generoi alkio a, on joukko {a n n Z}. Sitä merkitään < a >. Huomautus 1.12. Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on syklinen. Huomautus 1.13. Syklinen ryhmä on aina Abelin ryhmä. Perustelu: Olkoon G = < a > ja x, y G. Siis x = a m ja y = a n joillakin m, n Z. Tällöin xy = a m a n = a m+n = a n+m = a n a m = yx. 1.2 Homomorsmi Määritelmä 1.14. Olkoot (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Kuvausta f : G H sanotaan ryhmähomomorsmiksi ryhmältä G ryhmälle H, mikäli f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Määritelmä 1.15. Olkoon f : G H homomorsmi. Joukkoa Im(f) = f(g) = {f(x) x G} sanotaan homomorsmin f kuvaksi. Joukkoa Ker(f) = {x G f(x) = e H } sanotaan homomorsmin f ytimeksi. Määritelmä 1.16. Ryhmät (G, ) ja (H, ) ovat isomorset eli rakenneyhtäläiset, mikäli on olemassa bijektiivinen homomorsmi f : G H. Tällöin merkitään G = H ja sanotaan, että f on ryhmäisomorsmi. 5

Huomautus 1.17. Isomorsmia f : G G kutsutaan automorsmiksi. Merkitään Aut(G) = kaikki ryhmän G automorsmit. Lause 1.18 (Homomorsmien peruslause). Olkoon f : (G, ) (H, ) homomorsmi. Tällöin G/Ker(f) = Im(f). Todistus. Merkitään Ker(f) = K ja määritellään F : G/K Im(f) siten, että F (ak) = f(a) kaikilla a G. 1. Jos a K = ak, niin a ak ja a = a k jollakin k K. Siis F (a K) = f(a ) = f(a k) = f(a) f(k) = f(a) e H = f(a) = F (ak), joten F on kuvaus. 2. Olkoon ak, bk G/K. Nyt F (ak bk) = F (abk) = f(a b) = f(a) f(b) = F (ak) F (bk), joten F on homomorsmi. 3. Kuvauksen F määrittelyn perusteella se on surjektio. Olkoon sitten F (ak) = F (bk), jolloin f(a) = f(b). Siis f(b) 1 f(a) = e H, joten f(b 1 a) = e H. Nyt b 1 a K = ek, joten b 1 ak = ek ja b 1 KaK = ek. Tällöin bk b 1 K ak = bk ek, joten ek ak = bk ek eli ak = bk. Siis kuvaus F on myös injektio ja täten bijektio. Edellisten perusteella kuvaus F : G/K Im(f) on isomorsmi. 1.3 Kompleksi ja konjugaatti Määritelmä 1.19. Olkoot A G ja B G. Tällöin joukkoa AB = {ab a A, b B} sanotaan kompleksiksi. Lemma 1.20. Olkoot A G ja B G äärellisiä. Tällöin AB = A B A B. 6

Todistus. Jos x A ja y B, tulo xy voidaan kirjoittaa A B = A B tavalla. Osa tuloista on kuitenkin keskenään identtisiä. Olkoon a A ja b B ja tarkastellaan tuloa ab. Merkitään C = {(c, d) A B cd = ab} ja T = {(ax 1, xb) x A B}. Osoitetaan, että C = T. 1. Nyt ax 1 A, xb B ja ax 1 xb = ab. Siis T C. 2. Jos (c, d) C, niin cd = ab. Siis c 1 a = db 1. Merkitään x = c 1 a = db 1. Nyt x A B, koska c 1 a A ja db 1 B. Täten c = ax 1 ja d = xb. Siis C T. Edellisten nojalla C = T ja siten C = T = A B. Täten AB = A B A B = A B A B. Lemma 1.21. Jos N G ja U G, niin UN/N = U/U N. Todistus. Jos u U N ja x U, niin x 1 ux U N, joten U N U. Täten tekijäryhmä U/U N voidaan muodostaa. Nyt N G, joten jos un UN ja x N, niin xunx 1 = uxnx 1 UN eli UN N. Täten myös tekijäryhmä UN/N voidaan muodostaa. Olkoon sitten f : UN/N U/U N, f(un) = u(u N). Onko f kuvaus? Jos un = vn, niin v 1 un = N. Siis v 1 u U N eli v 1 u(u N) = U N. Täten u(u N) = v(u N) ja f on kuvaus. Se on myös surjektio ja homomorsmi. Lisäksi Ker(f) = {un f(un) = U N} = {un u(u N) = U N} = {un u U N} = {N}, joka on ryhmän UN/N ykkösalkio. Homomorsmien peruslauseen nojalla UN/N = U/U N. Määritelmä 1.22. Olkoot a G ja g G. Alkio g a = a 1 ga on g:n konjugaatti ryhmässä G. 7

Määritelmä 1.23. Olkoon M G. Tällöin joukko N G (M) = {g G M g = M} on M:n normalisoija ryhmässä G. Lemma 1.24. Nyt N G (M) G. Todistus. N G (M) = {g G M g = M} = {g G g 1 Mg = M} = {g G Mg = gm} G. Koska M 1 = M ja 1 G, niin 1 N G (M) eli N G (M). Olkoon a, b N G (M). Koska b N G (M), niin Mb = bm. Siis b 1 M = Mb 1, joten b 1 N G (M). Nyt M b 1a = (b 1 a) 1 Mb 1 a = a 1 ((b 1 ) 1 Mb 1 )a = a 1 (M b )a = a 1 Ma = M a = M. Täten b 1 a N G (M), joten N G (M) G. Määritelmä 1.25. Olkoon M G. Tällöin joukko C G (M) = {g G gm = mg kaikilla m M} on M:n sentralisoija ryhmässä G. Määritelmä 1.26. Aliryhmä Z(G) = C G (G) = {g G xg = gx kaikilla x G} on ryhmän G keskus. Lemma 1.27. Olkoon G ryhmä ja G/Z(G) syklinen. Tällöin G on Abelin ryhmä. Todistus. Koska G/Z(G) on syklinen, on olemassa sellainen gz(g) G/Z(G), että < gz(g) >= G/Z(G). Olkoon a, b G. Nyt az(g) = (gz(g)) i = g i Z(G) ja bz(g) = (gz(g)) j = g j Z(G) joillakin i, j N. Täten a = g i z 1 ja b = g j z 2 joillakin z 1, z 2 Z(G). Nyt ab = (g i z 1 )(g j z 2 ) = g i g j z 1 z 2 = g i+j z 1 z 2 = g j+i z 1 z 2 = g j g i z 1 z 2 = g j g i z 2 z 1 = (g j z 2 )(g i z 1 ) = ba. Siis G on kommutatiivinen ja täten Abelin ryhmä. 8

Lause 1.28. Olkoon G = p l, missä p on alkuluku ja l 1. Jos 1 < N G, niin N Z(G) > 1. Todistus. Olkoon N = p n, missä 1 n l. Jos x N, niin g 1 xg = x g N kaikilla g G. Siis N = s i=1 K i, missä K i :t ovat G:n konjugointiluokkia. Voidaan olettaa, että K 1 = {1}. Jos x i K i, niin K i = [G : C G (x i )]. Siis K 1 = 1 ja K i = Jos n i 1 kaikilla i {2,..., s}, niin p p n i G C G (x i ) = p n i, missä n i 0, ja i {2,..., s}. kaikilla i {2,..., s}. Tällöin N = 1 + kp jollakin k N, joten p 1, mikä on ristiriita. On siis olemassa sellainen j {2,..., s}, että n j = 0 ja täten K j = p n j = p 0 = 1. Merkitään K j = {y}. Nyt y 1 ja y g = y eli g 1 yg = y, joten yg = gy kaikilla g G. Siis 1 y N Z(G), joten N Z(G) > 1. Seuraus 1.29. Jos G = p l, niin Z(G) > 1. Määritelmä 1.30. Olkoot A G ja B G. Ryhmän G kaksoissivuluokka aliryhmien A ja B suhteen on joukko AgB = {agb a A, b B}. Lause 1.31. Olkoon G äärellinen ryhmä ja M G. Tällöin [G : N G (M)] = joukon M konjugaattien lukumäärä. Todistus. Osoitetaan, että σ : {gn G (M) g G} {M y y G}, σ(tn G (M)) = M t 1 on bijektio. 1. Olkoon tn G (M) = sn G (M) joillakin t, s G. Nyt t sn G (M), joten t = sn jollakin n N G (M). Siis M t 1 = M (sn) 1 = M n 1 s 1 = (M n 1 ) s 1 = M s 1. Täten σ on kuvaus. 2. Nyt σ on surjektio, koska σ(g 1 N G (M)) = M g. 3. Olkoon σ(tn G (M)) = σ(sn G (M)) joillakin t, s G. Nyt M t 1 = M s 1, joten (M t 1 ) s = (M s 1 ) s eli M t 1s = M. Siis t 1 s N G (M), eli s tn G (M). Täten sn G (M) = tn G (M), joten σ on injektio. 9

Edellisten nojalla [G : N G (M)] = {M y y G}. Huomautus 1.32. Jos M = {g}, niin N G (M) = N G ({g}) = C G (g). Siis alkion g konjugaattien lukumäärä G:ssä on [G : C G (g)]. Lause 1.33. Jos AgB AhB, niin AgB = AhB. Jos G on äärellinen ryhmä, niin G = r i=1 Ag ib, missä Ag j B Ag k B =, mikäli j k. Lisäksi G = r i=1 A B A g i B. Todistus. Jos AgB AhB, niin a 1 gb 1 = a 2 hb 2 kaikilla a i A, b i B. Siis g = a 1 1 a 2 hb 2 b 1 1, joten AgB = Aa 1 1 a 2 hb 2 b 1 1 B = AhB. Täten G voidaan esittää erillisten kaksoissivuluokkien yhdisteenä. Jos G on äärellinen, niin G = n i=1 Ag ib ja G = n i=1 Ag ib. Nyt Ag i B = g 1 i Ag i B = A g i B = A g i B = A B A g i B A g i B. Siis G = n i=1 A B A g i B. 10

Luku 2 Permutaatioista Määritelmä 2.1. Olkoon A = {1, 2,..., n}. Bijektiivistä kuvausta α : A A sanotaan permutaatioksi joukon A suhteen. Lause 2.2. Joukon A kaikki permutaatiot muodostavat astetta n olevan symmetrisen ryhmän (S n, ). Todistus. Todistetaan, että S n on ryhmä. Olkoon n > 0. Koska kahden bijektion yhdistetty kuvaus on bijektio, S n on suljettu operaation ( ) suhteen. Operaatio on assosiatiivinen, koska yhdistetyn kuvauksen ominaisuuksilla saadaan α (β γ)(x) = α((β(γ(x))) = (α β) γ(x) kaikille permutaatioille α, β ja γ. Lisäksi identtinen kuvaus i, jolle i(x) = x jokaisella x {1, 2,..., n}, on joukon S n ykkösalkio. Koska jokainen permutaatio σ on bijektio, sen käänteisalkio σ 1 on myös permutaatio ja kuuluu täten joukkoon S n. Täten (S n, ) on ryhmä. Huomautus 2.3. Jos G S n, niin G on permutaatioryhmä astetta n. Määritellään seuraava relaatio joukossa A = {1, 2,..., n}: i j, jos ja vain jos 11

on olemassa g G siten, että g(i) = j. Tämä on ekvivalenssirelaatio, joten joukko A voidaan esittää pistevieraiden ekvivalenssiluokkien T i avulla: A = r i=1 T i. Lisäksi A = r i=1 T i = n. Joukot T i ovat permutaatioryhmän G radat joukossa A. Määritelmä 2.4. Alkion k stabiloija ryhmässä G on G k = {g G g(k) = k}. Lemma 2.5. Olkoon T permutaatioryhmän G rata sekä k T. Tällöin T = [G : G k ] = G G k. Todistus. Olkoon G = r i=1 g ig k permutaatioryhmän G esitys G k :n sivuluokkien avulla. Jos g g i G k, niin g = g i x, missä x G k. Nyt g(k) = g i x(k) = g i (k). Jos g(k) = g i (k), niin g 1 i g(k) = k. Siis g 1 i g G k, eli g g i G k. Täten joukoissa T = {g(k) g G} ja {g i G k i {1,..., r}} on sama määrä alkioita, eli T = r = [G : G k ]. Lause 2.6. Olkoon N < G, [G : N] = n ja G = n i=1 g in. Kuvaus f : G S n, f(g) = g 1N g 2 N g n N g(g 1 N) g(g 2 N) g(g n N) on homomorsmi. Lisäksi Ker(f) = g G N g. Todistus. Olkoon x 1, x 2 G. Nyt f(x 1 x 2 ) = g 1N g n N = g 1N g n N (x 1 x 2 )(g 1 N) (x 1 x 2 )(g n N) x 1 (x 2 g 1 N) x 1 (x 2 g n N) = f(x 1 ) f(x 2 ), joten kuvaus f on homomorsmi. Lisäksi Ker(f) = {x G f(x) = e S n } = {x G xg i N = g i N, i {1,..., n}} = 12

{x G g 1 i xg i N = N, i {1,..., n}} = {x G g 1 i xg i N, i {1,..., n}} = {x G x g i Ng 1 i, i {1,..., n}} = {x G x N g 1 i, i {1,..., n}} = n i=1 N g 1 i. Nyt G = n i=1 g in. Jos g G, niin on olemassa sellainen i, että g = g i n jollakin n N. Siis g 1 = n 1 g 1 i, joten N g 1 = N n 1 g 1 i N g 1 i. Täten n i=1 N g 1 i = g G N g 1 = g G N g. = (N n 1 ) g 1 i = 13

Luku 3 Sylowin lauseet Määritelmä 3.1. Olkoon p alkuluku ja G = p n. Tälloin ryhmää G sanotaan p-ryhmäksi. Jos H G ja H = p m, niin H on G:n p-aliryhmä. Jos x G ja x = p l, niin x on p-alkio. Määritelmä 3.2. Olkoon G = p a n, missä p on alkuluku, a N ja p n. Jos ryhmässä G on sellainen aliryhmä P, että P = p a, niin P on G:n Sylowin p-aliryhmä. Huomautus 3.3. Käytetetään jatkossa kertalukua p a olevien aliryhmien lukumäärästä merkintää N(p a ). Huomautus 3.4. Jos P on G:n Sylowin p-aliryhmä, niin myös P g on G:n Sylowin p-aliryhmä. Perustelu: Selvästi P g = P = p a. Koska P G, niin myös P g G. Lause 3.5. Olkoon p alkuluku ja G = p a n. Tällöin N(p a ) 1(p); siis erityisesti N(p a ) 1. Todistus. Jos n = 1, niin väite pätee. Olkoon jatkossa n > 1. Merkitään Ω = {M G M = p a } = kaikki G:n osajoukot, joissa p a alkiota. Nyt kuvaus f : G S Ω, f(g) = ( M gm) on ryhmähomomorsmi G S Ω. 14

Osoitetaan, että Ker(f) = {1}. Nyt Ker(f) = {g G f(g) = 1 S Ω = (1)}. Siis g Ker(f), jos ja vain jos ( ) M f(g) = = M 1 M k = M 1 M k = (1). gm gm 1 gm k M 1 M k Siis gm = M kaikilla M Ω, joten Ker(f) = {g G gm = M kaikilla M Ω}. Olkoon 1 g Ker(f) ja valitaan M Ω siten, että 1 M ja g M. Nyt g gm ja 1 M, mutta g 1 = g / M, joten gm M. Tämä on ristiriita, joten Ker(f) = {1}. Nyt homomorsmien peruslauseen nojalla G = f(g). Jatkossa ryhmää G voidaan siis käsitellä astetta Ω olevana permutaatioryhmänä. Nyt joukko Ω jakautuu ratoihin T i permutaatioryhmän G suhteen. Tällöin Ω = i T i ja T i = [G : U i ], missä U i = {g G gm i = M i }, kun M i T i. Siis U i M i = M i, joten M i = k i j=1 U i g ij. Täten M i = k i U i, eli p a = k i U i. Siis U i = p b i, missä 0 b i a. Jos p b i < p a, niin T i = [G : U i ] 0 (pn). Jos taas p b i = p a, niin T i = [G : U i ] = n. Siis Ω = i T i T i =n T i (pn). Jos T i = n, niin U i = p a ja M i = U i g i. Tällöin g 1 i aliryhmä, g 1 i M i = g 1 i U i g i on G:n U i g i T i ja g 1 U i g i = p a. Jos B G ja B = p a, niin joukko i {gb g G} on eräs rata, ja sen pituus on n. Siis jokainen n:n pituinen rata sisältää täsmälleen yhden aliryhmän kertalukua p a, ja toisaalta jokainen aliryhmä kertalukua p a kuuluu täsmälleen yhteen n:n pituiseen rataan. Täten Ω nn(p a ) (pn). Huomataan, että luku Ω ei ole riippuvainen ryhmän G rakenteesta. Jos G on syklinen ja G = p a n, niin sillä on täsmälleen 15

yksi aliryhmä kertalukua p a. Tällöin N(p a ) = 1 ja kongruenssi saa muodon Ω n (pn). Kahden edellisen kongruenssin perusteella voidaan päätellä, että Ω = nn(p a ) + tpn = n + dpn, joten N(p a ) + tp = 1 + dp. Tällöin N(p a ) = 1 + (d t)p, eli N(p a ) 1 (p) ja saadaan lause. Huomautus 3.6. Jos G:llä on vain yksi Sylowin p-aliryhmä P, niin P G. Perustelu: Edellisen huomautuksen perusteella P g on Sylowin p-aliryhmä. Tällöin P g = P kaikilla g G, joten P G. Huomautus 3.7 (Sylowin 1. lause). Edellisestä lauseesta saadaan niinsanottu Sylowin 1. lause: Jokaisella äärellisellä ryhmällä on Sylowin p-aliryhmä. Lisäksi N(p a ) 1 (p). Lause 3.8 (Sylowin 2. ja 3. lause). Olkoon P ryhmän G Sylowin p-aliryhmä. a) Jos U G ja U = p l (l N), niin on olemassa sellainen g G, että U P g. b) Kaikki Sylowin p-aliryhmät konjugoivat G:ssä ja niiden lukumäärä on [G : N G (P )]. Todistus. a) Lauseen 1.33 nojalla G voidaan esittää erillisten kaksoissivuluokkien unionina. Täten G = r i=1 P g i U ja G = r P U i=1 P g i U. Jos P g i U < U kaikilla i {1,..., r}, niin U P g i U = p a i, missä a i 1 kaikilla i {1,..., r}. Nyt G = r U P i=1 = r P g i U i=1 pa i 0(p). Täten p G P, mikä on ristiriita. Siis on olemassa sellainen j {1,..., r}, että P g i U = U. Tällöin U P g i. b) Jos P ja Q ovat G:n Sylowin p-aliryhmiä, niin a)-kohdan nojalla on olemassa sellainen g G, että Q P g. Koska Q = P = P g, niin Q = P g. Nyt Sylowin p-aliryhmien lukumäärä on [G : N G (P )] lauseen 1.31 nojalla. 16

Luku 4 Ratkeavat ryhmät 4.1 Kommutaattori Määritelmä 4.1. Olkoon G ryhmä ja a, b G. Alkiota [a, b] = a 1 b 1 ab sanotaan alkioiden a ja b muodostamaksi kommutaattoriksi. Aliryhmä G (1) = G = [G, G] =< [a, b] a, b G > on G:n (ensimmäinen) kommutaattorialiryhmä. Huomautus 4.2. Määritellään G (2) = G = (G ) = [G, G ] ja yleisesti G (i+1) = (G (i) ) = [G (i), G (i) ]. Määritelmä 4.3. Olkoon G ryhmä ja U G. Nyt U on karakteristinen aliryhmä, mikäli α(u) = U kaikilla α Aut(G). Merkitään U char G. Huomautus 4.4. Jos U char G, niin U G. Perustelu: α : x x g on G:n automorsmi aina, kun g G. Siis α(u) = U g = U kaikilla g G. Esimerkki 4.5. Esimerkkejä karakteristisista aliryhmistä: 1. Triviaalit tapaukset: {1} char G ja G char G. 17

2. Jos P on ryhmän G ainoa Sylowin p-aliryhmä, niin P char G. Perustelu: Olkoon α Aut(G). Nyt α(p ) G ja α(p ) = P, joten α(p ) on ryhmän G Sylowin p-aliryhmä. Siis α(p ) = P, joten P char G. 3. Nyt Z(G) char G. Perustelu: Olkoon z Z(G), x G ja α Aut(G). Nyt on olemassa sellainen y G, että α(y) = x. Siis α(z)x = α(z)α(y) = α(zy) = α(yz) = α(y)α(z) = xα(z). Täten α(z) Z(G) kaikilla z Z(G), joten α(z(g)) Z(G). Nyt myös α 1 Aut(G), joten α 1 (Z(G)) Z(G) eli Z(G) α(z(g)). Näin ollen α(z(g)) = Z(G). Lemma 4.6. a) Olkoon N G ja M char N. Tällöin M G. b) Olkoon U char B ja B char G. Tällöin U char G. Todistus. a) Koska N G, niin N x = N aina, kun x G. Siis kuvaus α : N N, α(n) = n x Aut(N) kaikilla x G. Koska M char N, niin α(m) = M x = M kaikilla x G. Siis M G. b) Jos α Aut(G), niin α(b) = B. Nyt α : B B on B:n automorsmi. Tällöin α(u) = U ja U char G. Lemma 4.7. Nyt G (i) char G aina, kun i N. Todistus. Olkoon α Aut(G) ja a, b G. Nyt α([a, b]) = α(a 1 b 1 ab) = α(a) 1 α(b) 1 α(a)α(b) = [α(a), α(b)] G. Siis α(g ) G. Lisäksi α 1 Aut(G), joten α 1 (G ) G eli α(α 1 (G )) α(g ). Siis α(g ) = G ja G char G. Väite G (i) char G seuraa induktiolla lemman 4.6 b)-kohdan nojalla. Lemma 4.8. Olkoon U G. Nyt G U jos ja vain jos U G ja G/U on Abelin ryhmä. 18

Todistus. 1. Olkoon G U. Jos u U ja g G, niin u g = g 1 ug = uu 1 g 1 ug = u[u, g] U. Siis U G. Jos a, b G, niin [a, b] G U, eli a 1 b 1 ab U. Siis a 1 b 1 abu = U, joten a 1 U b 1 U au bu = U. Edelleen au bu = bu au, joten G/U on Abelin ryhmä. 2. Olkoot U G ja G/U Abelin ryhmä. Nyt au bu = bu au kaikilla a, b G. Siis (au) 1 (bu) 1 au bu = U eli a 1 U b 1 U au bu = U kaikilla a, b G. Täten a 1 b 1 abu = U eli a 1 b 1 ab = [a, b] U kaikilla a, b G. Näin ollen G U. 4.2 Ratkeavuus Määritelmä 4.9. Ryhmä G on ratkeava, mikäli on olemassa sellainen k N, että G (k) = {1}. Huomautus 4.10. Abelin ryhmät ovat aina ratkeavia, koska niillä G = {1}. Lemma 4.11. Olkoon G ryhmä, p alkuluku ja G = p 2. Tällöin G on Abelin ryhmä. Todistus. Seurauksen 1.29 nojalla Z(G) > {1}. Siis Z(G) = p tai Z(G) = p 2. Jos Z(G) = p, niin G/Z(G) = G Z(G) = p2 p = p. Tällöin G/Z(G) on syklinen ja lemman 1.27 nojalla G on Abelin ryhmä. Jos Z(G) = p 2, niin G = Z(G). Tällöin G on kommutatiivinen ja täten Abelin ryhmä. Esimerkki 4.12. Määrää ryhmän G = S 3 ensimmäinen kommutaattorialiryhmä. 19

Ratkaisu: Nyt A 3 S 3 ja A 3 = 3. Siis S 3 /A 3 = 2, joten S 3 /A 3 on Abelin ryhmä. Lemman 4.8 nojalla G A 3. Siis G = A 3 tai G = {1}. Koska S 3 ei ole Abelin ryhmä, on oltava G = A 3. Lemma 4.13. Olkoon N G. Tällöin (G/N) (i) = G (i) N/N. Todistus. Todistetaan induktiolla luvun i suhteen. 1. Olkoon i = 1. Nyt (G/N) = < [an, bn] a, b G > = < [a, b]n a, b G > = G N/N. 2. Tehdään induktio-oletus: (G/N) (k) = G (k) N/N. 3. Nyt (G/N) (k+1) = [(G/N) (k) ] = [G (k) N/N] = [G (k) N] N/N [G (k) ] N/N = G (k+1) N/N. Toisaalta G (k) N/G (k+1) N = G (k) [G (k+1) N]/G (k+1) N = G (k) /G (k) G (k+1) N lemman 1.21 nojalla. Merkitään L = G (k) G (k+1) N. Koska [G (k) ] = G (k+1) L, on G (k) /L lemman 4.8 nojalla Abelin ryhmä. Täten G (k) N/G (k+1) N on Abelin ryhmä. Lemman 4.8 nojalla [G (k) N] G (k+1) N. Siis G (k+1) N/N [G (k) N] N/N = (G/N) (k+1). Lause 4.14. Olkoot G ratkeava ryhmä sekä U G ja N G. Tällöin U on ratkeava ja G/N on ratkeava. Todistus. Nyt on olemassa sellainen k N, että G (k) = {1}. Siis U (k) G (k) = {1}, joten U (k) = {1}. Täten U on ratkeava. Lemman 4.13 nojalla (G/N) (k) = G (k) N/N = N/N = {1N} = {1 G/N }. Täten G/N on ratkeava. 20

Lause 4.15. Olkoon N G. Jos N ja G/N ovat ratkeavia, niin G on ratkeava. Todistus. Nyt on olemassa sellaiset k, m N, että N (k) = {1} ja (G/N) (m) = {1N} = {1 G/N }. Lemman 4.13 nojalla (G/N) (m) = G (m) N/N = N/N, joten G (m) N. Täten G (m+k) = (G (m) ) (k) N (k) = {1}. Siis G (m+k) = {1}, joten G on ratkeava. Lemma 4.16. Olkoon p alkuluku ja G = p n, missä n 1. Jos H < G, niin H < N G (H). Todistus. Olkoon G = s i=1 Hx ih, missä x i H. Lauseen 1.33 nojalla G = s i=1 H H G, joten = s H G H x i H H i=1. Koska H < G, niin = p H x i H l, missä H 1 l n. Siis p l = H H x i H + s i=2 on olemassa sellainen j 2, että H = 1 + s H x i H i=1 H H x i H. Täten H H xj H = 1. Siis on olemassa j 2, että H x j H = H eli H x j = H. Näinollen x j N G (H) ja x j H, joten H < N G (H). Määritelmä 4.17. Olkoon G ryhmä ja M < G. Aliryhmä M on maksimaalinen, mikäli ehdosta M < H G seuraa, että H = G. Lemma 4.18. Olkoon p alkuluku ja G = p n, missä n 1. Jos M on G:n maksimaalinen aliryhmä, niin M G. Todistus. Nyt M < G, joten M < N G (M). Koska M on maksimaalinen, niin N G (M) = G. Siis M G. 4.3 Kertalukutarkasteluja Seuraavissa lauseissa tarkastellaan kertaluvultaan erilaisten ryhmien ratkeavuutta. Lauseissa oletetaan, että G on ryhmä. 21

Lause 4.19. Olkoon G = p n, missä p on alkuluku ja n 1. Tällöin G on ratkeava. Todistus. Todistetaan induktiolla luvun n suhteen. 1. Jos n = 1, niin G = p, joten G on syklinen. Siis G on Abelin ryhmä, joten G on ratkeava. 2. Tehdään induktio-oletus: Jos G = p k, niin G on ratkeava. 3. Olkoon G = p k+1. Lauseen 3.5 nojalla on olemassa sellainen H < G, että H = p k. Koska [G : H] = p, niin H on G:n maksimaalinen aliryhmä. Lemman 4.18 nojalla H G. Nyt [G : H] = p, joten G/H on ratkeava. Lisäksi H = p k, joten H on induktio-oletuksen nojalla ratkeava. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Lause 4.20. Olkoon G = pq, missä p ja q ovat alkulukuja. Tällöin G on ratkeava. Todistus. Jos p = q, niin G = p 2 ja G on edellisen lauseen perusteella ratkeava. Olkoon sitten p > q. Sylowin lauseiden nojalla N(p) 1(p) ja N(p) q. Siis N(p) = 1, joten G:ssä on normaali Sylowin p-aliryhmä P. Koska P = p, niin P on ratkeava. Koska G/P = q, niin G/P on ratkeava. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Lause 4.21. Olkoon G = p a q, missä p q ovat alkulukuja ja a 1. Tällöin G on ratkeava. Todistus. Todistetaan induktiolla luvun a suhteen. 22

1. Jos a = 1, niin G = pq ja G on edellisen lauseen perusteella ratkeava. 2. Tehdään induktio-oletus: Jos G = p b q, missä b < a, niin G on ratkeava. 3. Olkoon G = p a q. Sylowin lauseiden nojalla N(p a ) 1(p) ja N(p a ) q. Siis N(p a ) = 1 tai N(p a ) = q. Jos N(p a ) = 1, niin Sylowin p-aliryhmä P on normaali G:ssä. Nyt P = p a, joten P on ratkeava. Lisäksi G/P = q, joten G/P on ratkeava. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Voidaan siis jatkossa olettaa, että N(p a ) = q. Valitaan kaksi eri Sylowin p-aliryhmää P 1 ja P 2 siten, että leikkaus D = P 1 P 2 on kertaluvultaan suurin mahdollinen. a) Olkoon D = {1}. Tällöin Sylowin p-aliryhmien kaikki parittaiset leikkaukset sisältävät vain alkion {1}. Nyt q(p a 1) = qp a q = G q, joka on p-alkioiden lukumäärä. Siis ryhmässä G on vain yksi Sylowin q-aliryhmä Q ja Q G. Koska Q = q ja G/Q = p a, niin Q ja G/Q ovat ratkevia. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. b) Olkoon sitten D > {1}. Merkitään B 1 = N P1 (D) ja B 2 = N P2 (D). Lemman 4.16 nojalla D < B 1 P 1 ja D < B 2 P 2. Merkitään L =< B 1, B 2 >. Nyt D B 1 ja D B 2, joten D L. Onko L p-ryhmä? Jos L on p-ryhmä, niin Sylowin lauseiden nojalla on olemassa Sylowin p-aliryhmä P 3 siten, että L P 3. Tällöin P 1 P 3 P 1 L B 1 > D. Nyt D:n valinnasta johtuen P 1 = P 3. Samoin P 2 P 3 P 2 L B 2 > D, joten P 2 = P 3. Siis P 1 = P 2, joka on ristiriita. Täten L ei ole p- ryhmä. Siis L = p t q, missä t 1. Olkoon Q aliryhmän L Sylowin q-aliryhmä. Tällöin QP 1 = Q P 1 P 1 Q = qp a = G, joten G = QP 1. Merkitään K =< D g g G >. Nyt D Q ja K G. Jos g G, niin g = xy, missä x Q ja y P 1. Nyt x Q L N G (D). Täten 23

D g = D xy = (D x ) y = D y P 1, eli K P 1. Nyt {1} < D K ja {1} < K < P 1. Siis G/K = p b q, missä b < a. Induktio-oletuksen nojalla G/K on ratkeava. Koska K < P 1, niin K on p-ryhmä eli K on ratkeva. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Lause 4.22. Olkoon G = pqr, missä p > q > r ovat alkulukuja. Tällöin G on ratkeava. Todistus. 1. Jos N(p) = 1, niin on olemassa G:n Sylowin p-aliryhmä P siten, että P G. Täten P = p ja G/P = pqr p = qr, joten P ja G/P ovat ratkeavia edellisten lauseiden nojalla. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Samoin jos N(q) = 1 tai N(r) = 1, G on tällöin ratkeava. 2. Sylowin lauseiden nojalla N(p) 1(p) ja N(p) pqr p N(p) 1 + p ja N(p) = q, r tai qr. = qr. Siis Nyt N(p) 1 + p > p > q > r, joten N(p) = qr. Samoin N(q) 1(q) ja N(q) pqr q = pr. Siis N(q) 1 + q ja N(q) = p, r tai pr. Nyt N(p) 1 + q > q > r, joten N(q) p. Edelleen N(r) 1(r) ja N(r) pqr r = pq. Siis N(r) 1 + r ja N(r) = p, q tai pq. Täten N(r) q. Nyt kaikki Sylowin p-, q- ja r-aliryhmät ovat kertaluvultaan alkulukuja. Täten kahden eri Sylowin aliryhmän leikkauksen kertaluku on triviaali. Lasketaan alkioita: ˆ neutraalialkio e, ˆ p-alkioita N(p)(p 1) = qr(p 1), ˆ q-alkioita N(q)(q 1) p(q 1), 24

ˆ r-alkioita N(r)(r 1) q(r 1). Nyt G = pqr 1 + qr(p 1) + p(q 1) + q(r 1) = 1 + pqr qr + pq p + qr q = pqr + pq p q + 1. Tästä saadaan p 1 pq p = q(p 1) eli 1 q. Tämä on ristiriita, joten 1)-kohdan nojalla G on ratkeava. Lause 4.23. Olkoon G = p 2 q 2, missä p q ovat alkulukuja. Tällöin G on ratkeava. Todistus. Olkoon p > q. Sylowin lauseiden nojalla N(p 2 ) 1(p) ja N(p 2 ) q 2, joten N(p 2 ) = 1, q tai q 2. 1. Jos N(p 2 ) = 1, niin on olemassa täsmälleen yksi G:n Sylowin p-aliryhmä P, joten P G. Nyt P = p 2, ja G/P = G P = p2 q 2 p 2 = q 2. Täten ryhmät P ja G/P ovat edellisten lauseiden perusteella ratkeavia, joten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. 2. Jos N(p 2 ) = q, niin q 1(p) eli p q 1. Siis p q 1 < q, joka on ristiriita. 3. Jos N(p 2 ) = q 2, niin q 2 1(p) eli p q 2 1. Siis p (q 1)(q +1) eli p q 1 tai p q+1. Edellisen kohdan perusteella tapaus p q 1 johtaa ristiriitaan. Ehdosta p q + 1 saadaan, että q < p q + 1, joten p = q + 1. Näinollen täytyy olla p = 3 ja q = 2. Täten G = 2 2 3 2 = 36 ja N(3 2 ) = 4. Olkoon P i P j G:n Sylowin 3-aliryhmiä. Nyt P i P j = P i P j P i P j = 81 P i P j 36 = G. Vaihtoehdot P i P j = 1 tai P i P j = 9 johtavat ristiriitaan. Siis P i P j = 3, joten P i P j = 27. Nyt P i P j < P i, P j >, joten P i P j = 27 < P i, P j > 36. Siis < P i, P j > = 36 ja G =< P i, P j >. Nyt P i = P j = 3 2, joten P i ja P j ovat lemman 4.11 25

nojalla Abelin ryhmiä. Kaikki Abelin ryhmän aliryhmät ovat normaaleja, joten P i P j P i ja P i P j P j. Siis P i P j < P i, P j >= G. Nyt P i P j = 3, joten P i P j on syklinen ja täten ratkeava. Lisäksi G/P i P j = 36 3 = 22 3, joten G/P i P j on ratkeava. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. 26

Luku 5 Esimerkkejä ratkevuudesta Tässä luvussa tarkastellaan ryhmän ratkeavuutta, kun ryhmän kertaluku on 100 tai sitä pienempi. Osoittautuu, että kertalukua 60 lukuunottamatta tällaiset ryhmät ovat aina ratkeavia. Esimerkkinä kertalukua 60 olevasta ryhmästä, joka ei ole ratkeava, löytyy alternoiva ryhmä A 5, joka on yksinkertainen ryhmä. Lause 5.1. Olkoon G ryhmä, G 100 ja G 60. Tällöin G on ratkeava. Todistus. Edellisessä luvussa todettiin, että kertaluvultaan p, p n, pq, p n q, pqr tai p 2 q 2 olevat ryhmät ovat ratkeavia, kun p, q ja r ovat alkulukuja. Täten voidaan hajoittaa tarkasteltavat kertaluvut alkulukutekijöihinsä ja tehdä taulukko ratkeavista ryhmistä: 27

p p n pq p n q pqr p 2 q 2 1 4 = 2 2 6 = 2 3 12 = 2 2 3 30 = 2 3 5 36 = 2 2 3 2 2 8 = 2 3 10 = 2 5 18 = 3 2 2 42 = 2 3 7 100 = 2 2 5 2 3 9 = 3 2 14 = 2 7 20 = 2 2 5 66 = 2 3 11 5 16 = 2 4 15 = 3 5 24 = 2 3 3 70 = 2 5 7 7 25 = 5 2 21 = 3 7 28 = 2 2 7 78 = 2 3 13 11 27 = 3 3 22 = 2 11 40 = 2 3 5 13 32 = 2 5 26 = 2 13 44 = 2 2 11 17 49 = 7 2 33 = 3 11 45 = 3 2 5 19 64 = 2 6 34 = 2 17 48 = 2 4 3 23 81 = 3 4 35 = 5 7 50 = 5 2 2 29 38 = 2 19 52 = 2 2 13 31 39 = 3 13 54 = 3 3 2 37 46 = 2 23 56 = 2 3 7 41 51 = 3 17 63 = 3 2 7 43 55 = 5 11 68 = 2 2 17 47 57 = 3 19 75 = 5 2 3 53 58 = 2 29 76 = 2 2 19 59 62 = 5 13 80 = 2 4 5 61 69 = 3 23 88 = 2 3 11 67 74 = 2 37 92 = 2 2 23 71 77 = 7 11 96 = 2 5 3 73 82 = 2 41 98 = 7 2 2 79 85 = 5 17 99 = 3 2 11 83 86 = 2 43 89 87 = 3 29 97 91 = 7 13 93 = 3 31 94 = 2 47 95 = 5 19 28

Nähdään, että taulukosta puuttuvat luvut 72 = 2 3 3 2, 84 = 2 2 3 7 ja 90 = 3 2 2 5, joten näiden ratkeavuus täytyy tarkastella erikseen. 1. Olkoon G = 72 = 2 3 3 2. Tällöin Sylowin lauseiden perusteella N(2 3 ) 1(2) ja N(2 3 ) 3 2, joten N(2 3 ) = 1, 3 tai 9. Samoin N(3 2 ) 1(3) ja N(3 2 ) 2 3, joten N(3 2 ) = 1 tai 4. Jos N(3 2 ) = 1, niin on olemassa täsmälleen yksi G:n Sylowin 3-aliryhmä P, joten P G. Nyt P = 3 2, joten P on ratkeava lauseen 4.19 nojalla. Koska G/P = 2 3, niin myös G/P on ratkeva ja täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. Olkoon sitten N(3 2 ) = 4 ja P eräs ryhmän G Sylowin 3-aliryhmä. Nyt lemman 1.24 nojalla N G (P ) G sekä Sylowin 3. lauseen nojalla [G : N G (P )] = 4. Siis G = 4 N G (P ), joten N G (P ) < G. Tällöin lauseen 2.6 mukaan on olemassa homomorsmi f : G S 4, joten homomorsmien peruslauseen mukaan G/Ker(f) = Im(f). Lisäksi Im(f) S 4, joten Im(f) jakaa kertaluvun S 4. Jos ryhmä G on yksinkertainen, niin Ker(f) = {1}, ja G = Im(f) S 4. Tällöin Im(f) = G = 72 24 = S 4, mikä on ristiriita. Siis G ei ole yksinkertainen ryhmä. Täten on olemassa sellainen N G, että 1 < N < G. Tällöin ryhmän N kertaluku voi olla jokin seuraavista: N = 2, 3, 2 3, 2 2, 3 2, 2 2 3, 2 3 2, 2 2 3 2, 2 3, tai 2 3 3. Lisäksi G/N = G, joten tekijäryhmän G/N kertaluku voi olla: N G/N = 2 2 3 2, 2 3 3, 2 2 3, 2 3 2, 2 3, 2 3, 2 2, 2, 3 2, tai 3. Huomataan, että kaikki kertaluvut ovat muotoa p, p n, pq, p n q, tai p 2 q 2, joten N ja G/N ovat ratkevia ryhmiä. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. 29

2. Olkoon G = 84 = 2 2 3 7. Tällöin Sylowin lauseiden perusteella N(2 2 ) 1(2) ja N(2 2 ) 3 7, joten N(2 2 ) = 1, 3, 7 tai 21. Samoin N(3) 1(3) ja N(3) 2 2 7, joten N(3) = 1, 4, 7 tai 28. Edelleen N(7) 1(7) ja N(7) 2 2 3, joten N(7) = 1. Koska N(7) = 1, niin on olemassa täsmälleen yksi G:n Sylowin 7- aliryhmä P, joten P G. Nyt P = 7, joten P on ratkeava lauseen 4.19 nojalla. Samoin G/P = 2 2 3, joten myös G/P on ratkeva lauseen 4.21 nojalla. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. 3. Olkoon G = 90 = 2 3 2 5. Tällöin Sylowin lauseiden perusteella N(2) 1(2) ja N(2) 3 2 5, joten N(2) = 1, 3, 5, 9, 15 tai 45. Samoin N(3 2 ) 1(3) ja N(3 2 ) 2 5, joten N(3 2 ) = 1 tai 10. Edelleen N(5) 1(5) ja N(5) 3 2 2, joten N(5) = 1 tai 6. Jos N(3 2 ) = 1 tai N(5) = 1, niin G on ratkeva, kuten kohdissa 1. ja 2. Olkoon siis N(3 2 ) = 10 ja N(5) = 6. Kahden eri Sylowin 5- aliryhmän leikkaus on triviaali, joten 5-alkioita on yhteensä 6 (5 1) = 24 kappaletta ryhmässä G. Jos kahden eri Sylowin 3-aliryhmän leikkaus olisi aina triviaali, ryhmässä G olisi yhteensä 10 (9 1) = 80 9-alkiota, jolloin alkioita olisi ryhmässä G vähintään 80 + 24 > 90 = G. Siis ryhmässä G on oltava Sylowin 3-aliryhmät P ja Q, joiden leikkaus on ei-triviaali. Nyt 1 < P Q < P = 9 ja P Q jakaa aliryhmänä ryhmän P kertaluvun, joten P Q = 3. Merkitään leikkausta L = P Q ja tutkitaan sen normalisoijaa N G (L). Nyt P ja Q ovat lemman 4.11 nojalla Abelin ryhmiä. Lisäksi leikkaus L on ryhmien P ja Q aliryhmä, joten P, Q N G (L). Nyt N G (L) > 9 + 9 3 = 15 ja koska N G (L) G, niin N G (L) jakaa luvun 90. Lisäksi P jakaa kertaluvun N G (L), joten N G (L) = 18, 45 tai 90. Tarkastellaan jokainen 30

kertaluku erikseen: ˆ Jos N G (L) = 18, niin N G (L) < G ja [G : N G (L)] = 5. Tällöin lauseen 2.6 mukaan on olemassa homomorsmi f : G S 5, joten homomorsmien peruslauseen mukaan G/Ker(f) = Im(f). Lisäksi Im(f) S 5, joten Im(f) jakaa kertaluvun S 5. Jos ryhmä G on yksinkertainen, niin Ker(f) = {1}, ja G = Im(f) S 5. Tällöin Im(f) = G = 2 3 2 5 1 2 3 4 5 = 5! = S 5, mikä on ristiriita. Siis G ei ole yksinkertainen ryhmä. Täten on olemassa sellainen N G, että 1 < N < G. Tällöin ryhmän N kertaluku voi olla jokin seuraavista: N = 2, 3, 5, 2 3, 3 2, 2 5, 3 5, 2 3 2, 2 3 5 tai 3 2 5. Lisäksi G/N = G, joten tekijäryhmän G/N kertaluku voi olla: N G/N = 3 2 5, 2 3 5, 2 3 2, 3 5, 2 5, 3 2, 2 3, 5, 3 tai 2. Huomataan, että kaikki kertaluvut ovat muotoa p, p n, pq, p n q, tai pqr, joten N ja G/N ovat ratkevia ryhmiä. Täten lauseen 4.15 nojalla G on ratkeava. ˆ Jos N G (L) = 45, niin [G : N G (L)] = 2, joten lemman 1.8 nojalla N G (L) G. Nyt N G (L) = 3 2 5 ja G/N G (L) = 2, joten ryhmät N G (L) ja G/N G (L) ovat ratkeavia. Täten G on ratkeva lauseen 4.15 nojalla. ˆ Jos N G (L) = 90, niin N G (L) = G ja siis L G. Nyt L = 3 ja G/L = 30 = 2 3 5, joten ryhmät L ja G/L ovat ratkeavia. Täten G on ratkeva lauseen 4.15 nojalla. Näin ollen ryhmä G on ratkeava, kun G = 90. Taulukon ja kohtien 1.-3. perusteella voidaan todeta, että ryhmä G on ratkeava, kun G 100 ja G 60. 31

Lähdeluettelo [1] I.N. Herstein: Abstract Algebra, New Jersey, 1996. [2] Markku Niemenmaa: Ryhmäteoria luentorunko, muistiinpanot ja harjoitukset, Oulun yliopisto, 2009. [3] Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä: Algebra I luentorunko ja muistiinpanot, Oulun yliopisto, 2010. [4] Markku Niemenmaa: Algebra II luentorunko ja muistiinpanot, Oulun yliopisto, 2008. 32