Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset) tai sähkökenttää vastaan (negatiiviset varaukset). Jos ulkoinen sähkökenttä on vakio ajan suhteen eikä ole ulkoista jännitelähdettä, tilanne stabiloituu noeasti. Tällöin: ähkökenttä on nolla johteen sisällä. Johteen sisällä ei ole varausta. otentiaali on vakio koko johteen alueella. Johteen innalla on intavarausta, jonka aiheuttama sähkökenttä on joka kohdassa kohtisuorassa johteen intaa vastaan. On helo ymmärtää, että sähkökenttä on nolla johteen sisällä, koska varaukset kulkevat niin kauan, että niiden aiheuttama sähkökenttä kumoaa ulkoisen sähkökentän. Johteen sisällä ei voi olla varausta, koska samanmerkkiset varaukset siirtyvät mahdollisimman kauas toisistaan eli kaaleen (ulommaisille) innoille. Erimerkkiset varaukset löytävät heti toisensa ja neutraloituvat. ähkökentän täytyy olla kohtisuorassa johteen intaa vastaan, koska muuten sähkökentällä olisi innan suuntaisia komonentteja, jotka kuljettaisivat varauksia itkin intaa. Edellä selostettuja ominaisuuksia käytetään hyväksi laskuissa.
Eristeistä Kun eristeaine joutuu ulkoiseen sähkökenttään, siinä olevat (ulosäin) sähköisesti neutraalit atomit olarisoituvat eli niiden elektroniverho siirtyy hiukan sähkökenttää vastaan. Atomeista syntyy ieniä dioleita. Näiden diolien aiheuttama sähkökenttä ienentää ulkoista sähkökenttää aineen sisällä. Ulkoisesti homogeeninen eriste säilyy sähköisesti neutraalina, vaikka siihen syntyy ieniä dioleja, koska kaikkien varauksien summa on nolla. Eristeen innalle syntyy kuitenkin intavaraus. (Katso oheinen kuva.) E - - - E - - - - - - Eristeiden yhteydessä otetaan käyttöön useita uusia suureita: Väliaineen sähköolarisoituma eli diolimomenttitiheys N kuvaa sitä, miten aljon ieniä dioleita eristeessä on tilavuusyksikköä kohden. N on atomien lukumäärä tilavuusyksikössä ja kunkin atomin diolimomentti. Huomaa kuvasta atomien diolimomenttien suunta ulkoiseen sähkökenttään ja atomin omaan sähkökenttään nähden. innalle olarisoitunut varauskate kuvaa innalle syntyneiden varausten lukumäärää intaalayksikköä kohden. en ja olarisoituman välillä on yhtälö n Tässä yhtälössä n on intaa vastaan kohtisuora yksikkövektori, joka osoittaa ulosäin eristeestä.
Eristeen suhteellinen ermittiivisyys ε ja sähköinen susketiivisuus χe kuvaavat eristeen kykyä olarisoitua. Näille suureille ovat seuraavat yhtälöt voimassa: ( 1) E ja E E olarisaatiovaraustiheys ρ kuvaa olarisoituneden varauksien määrää tilavuusyksikköä kohden. olarisaatiovaraustiheyden ja olarisoituman välillä ätee yhtälö. Kuten edellä jo kerrottiin, homogeenisessä eristeessä kokonaisvaraus on nolla, koska yksittäisessä diolissa on samansuuruinen lus- ja miinusvaraus ja siten kokonaisvaraus nolla. Tällaisille aineille ρ on nolla vakiosähkökentässä. Eähomogeenisessä eristeessä tai eähomogeenisessä sähkökentässä voi ρ olla nollasta oikkeava. ähkövuon tiheys: Gaussin lain avulla lasketaan sähkökenttiä: E d Q sis Tässä yhtälössä Qsis tarkoittaa Gaussin innan sisään jääviä varauksia. Miten sitten menetellään eristeessä, jonne voi syntyä olarisaatiovarauksia, joiden suuruutta ei tarkalleen tiedetä? Otamme käyttöön uuden suureen, joka on sähkövuon tiheys D. Gaussin lain integraalimuoto on eristeessä: D d Qsis ( free) V d Tässä yhtälössä Qsis(free) tarkoittaa Gaussin innan sisään jääviä vaaita varauksia, jotka ovat muita kuin olarisaatiovarauksia ja ρf vaaiden varausten tiheyttä. ähkövuon tiheys ottaa automaattisesti huomioon olarisaatiovaraukset eristeessä, joten niitä ei tarvitse erikseen tietää. ähkökentälle ja sähkövuon tiheydelle ätevät seuraavat yhtälöt: D E ja E D Gaussin lain differentiaalimuoto eristeessä on: D f f
ähkökentän ja sähkövuon tiheyden käyttäytyminen kahden aineen rajainnalla: Luentomonisteessa on johdettu sekä E-kentälle että D-kentälle jatkuvuusehdot kahden aineen rajainnalla, jos aineilla on erilaiset eristevakiot. Nämä ehdot voi myös äätellä maalaisjärjellä. D 1 D 2 ja E E 1 2 D-kentällä rajaintaa vastaan kohtisuorassa oleva komonentti säilyy muuttumattomana. E-kentällä säilyy muuttumattomana rajainnan suuntainen komonentti. Näistä ehdoista äästään nelliuksen lakiin, joka on yksi otiikan erusasioita: 1 cot 1 2 cot 2 D1 tarkoittaa intaa vastaan kohtisuoraa komonenttia aineessa 1 ja D2 innan suuntaista komonenttia aineessa 2. Luentomonisteessa voi olla erilaiset merkinnät. Esimerkki 5.1: Tarkastellaan R-säteistä uminaista johdealloa, jossa on vakiovarauskate σ. Mikä on sähkökenttä johdeallon ulkouolella ja sisäuolella? Ratkaisu:
Esimerkki 5.2: Laajan johdekaaleen yksi inta on taso. Tason ja isteen välinen otentiaaliero on V. isteen etäisyys tasosta on y. Määritä tason intavaraus. (Katso kuva alla.) y Ratkaisu: A Johteen inta Gaussin inta Määritetään aluksi sähkökenttä Gaussin lain avulla Valitaan Gaussin innaksi kuvan mukainen sylinteri, jonka ohjan ja kannen inta-ala on A. Gaussin sylinteri menee läi johteen innan, josta se leikkaa A:n suuruisen alueen. Oletetaan, että innan otentiaali on korkeami kuin isteen otentiaali. illoin intavaraus on ositiivinen ja sähkökentän suunta kuvan mukainen. Lasketaan ensin Gaussin lain vasen uoli: E d E d E d E d Ed E KANI OHJA VAIA KANI KANI d EA
erustelut: E d Ed E d EA, koska vektorit E ja d ovat yhdensuuntaisia, E on vakio ja KANI KANI kannen inta-ala on A. KANI OHJA E d, koska ohjan alueella sähkökenttä on nolla. VAIA E d koska vaialla vektorit E ja d ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. itten oikea uoli: Q I A, koska sylinterin sisään jää innasta alue A ja innassa on varaustiheys σ. Kun oikea uoli ja vasen uoli yhdistetään, saadaan: EA A E Määritetään sähkökentän avulla tason ja isteen välisen otentiaalieron lauseke. Tiedämme, että tämä otentiaaliero on V innan (korkeus = ) ja isteen (korkeus = y) välinen otentiaaliero: () ( y) y E dl y y dy V V y
Esimerkki 5.3: Laaja eristelevy, jonka aksuus on d ja suhteellinen ermittiivisyys ε, asetetaan sähkökenttään E, joka muodostaa kulman θ levyn innan normaalin kanssa. Millainen olarisaatiovarauskate syntyy levyn innalle? Ratkaisu:
Esimerkki 5.4: allo (säde a) on täytetty eristeellä, jonka eristevakio on ε. alloon on tuotu vaaita varauksia siten, että niiden varaustiheys ρf on vakio allon sisällä. Laske sähkökenttä E, sähkövuon tiheys D, sähköolarisoituma ja olarisaatiovarauksen tiheys ρ allon sisäuolella ja ulkouolella sekä intavaraus σ. Ratkaisu: allon sisäuolella
allon ulkouolella koska allon ulkouolella on nolla. Esimerkki 5.5: Koaksiaalikaaelissa on sylinterin muotoinen sisäjohto, jonka oikkileikkauksen säde on a, ja onton sylinterikuoren muotoinen ulkojohto, jonka säde on b. Ulko- ja sisäjohdon välissä on eristettä, jonka eristevakio on ε. isäjohdossa vaaa varaustiheys ituusyksikköä kohden on λ. Laske sähkökenttä sylinterikuorien välissä eristeaineessa. Ratkaisu: eristettä d D r D b Gaussin inta D L
Valitaan Gaussin innaksi sylinteri, jonka ituus on L ja ohjan säde r. Gaussin laki eristeelle: D d Qsis ( free) V d f Koska nyt vaaa varaustiheys on ilmoitettu ituusyksikköä kohden eikä tilavuusyksikköä kohden D d L dl dl L L Yhtälön vasemmasta uolesta tulee D d D d D d Dd VAIA ÄÄDYT VAIA koska vaialla D ja d ovat yhdensuuntaisia ja äädyissä kohtisuorassa toisiaan vastaan. Edelleen VAIA Dd D VAIA d, koska D-kenttä on vakio vaialla. D VAIA d D VAIA D( 2rL) Kun vasen uoli ja oikea uoli yhdistetään: D( 2rL) L D 2r ähkökenttä saadaan yhtälöstä D E E 2 r
Esimerkki 5.6: Kahden identtisen ja yhdensuuntaisen tasolevyn inta-ala on A ja varaus Q ja Q. Levyjen välillä on eristeainetta, jonka eristevakio on ε. a) Mikä on sähkökenttä eristeaineessa? b) Mikä on olarisoituma eristeaineessa? c) Mikä on olarisaatiovarauksen tiheys eristeaineessa? d) Mikä on varauskate eristeaineessa? Ratkaisu: a) Laskemme ensimmäiseksi sähkökentän levyjen välissä. Varatun tason aiheuttama sähkökenttä voidaan laskea Gaussin lain avulla samalla tavalla kuin aikaisemmin, mutta nyt täytyy ottaa huomioon myös sähkökentän indusoimat varaukset eristeaineeseen. Käytämme Gaussin laista esitysmuotoa, jossa olarisaatiovaraukset on automaattisesti huomioitu: D d V f d Vektori D kuvaa sähkövuon tiheyttä ja skalaari ρf vaaitten varauksien tiheyttä. (ähkökentän eristeaineeseen indusoimat varaukset eivät ole vaaita varauksia.) Valitaan Gaussin innaksi sylinteri, jonka äät ovat tason suuntaisia. ylinterin vaia on tasoa vastaan kohtisuorassa. Kirjoitetaan Gaussin lain vasen uoli: d D d Dd Dd Dd D d D D 2 vaia yläää alaää D saatiin ottaa ois integraalimerkin sisältä, sillä sähkökentän itseisarvo D on vakio Gaussin sylinterin yläään alueella. Alaään alueella eli levyjen ulkouolella sähkökenttä on nolla, koska negatiivisen levyn ja ositiivisen levyn aiheuttamat erisuuntaiset sähkökentät kumoavat toisensa. Levyjen välissä ne vahvistavat toisiaan. Vaian kohdalla inta-alkiovektori ja sähkökenttä ovat kohtisuorassa, joten siellä integraalista tulee. Integraali d kuvaa elkkää yläään inta-alaa, yläää joka on. yläää yläää yläää
Gaussin lain vasen uoli saatiin kuntoon. Nyt oikea uoli: V f d Tämä tarkoittaa Gaussin innan sisään jääviä vaaita varauksia. Eristeaineessa ei ole vaaita varauksia. iellä ρf on nolla. Vaaita varauksia on ainoastaan tasolla. ylinterin sisään jää tasosta alue, jonka inta-ala on. Jos tasolla on varaustiheys σ = Q/A, Gaussin innan sisään jää varaus Qsis = σ. Gaussin lain oikeaksi uoleksi tulee silloin Yhdistetään Gaussin lain vasen ja oikea uoli, jolloin voidaan ratkaista sähkövuon tiheyden lauseke: D 2 D 2 E-kentän ja D-kentän välillä on yhteys: D E Eristeaineessa siis sähkökenttä: D Q E 2 A 2 b) Kun eristeaine joutuu sähkökenttään, tässä taauksessa varatun kondensaattorin levyjen väliin, siihen indusoituu ieniä dioleja. Näitten diolien määrää kuvaa olarisoituma. Huomaa, että tämä on vektorisuure! Kun sähkökenttä ja eristevakio tiedetään, olarisoituma voidaan laskea: Asetetaan koordinaatisto seuraavan kuvan mukaisesti: _ ( 1) E x olarisoituma on: ( 1) E ( 1) Q i A
c) olarisaatiovarauksen tiheys on x i k z j y i x d) Indusoituneen olarisaatiovarauksen aiheuttama varauskate eristeen ulkoinnalla lasketaan yhtälöllä: n lus-levyn uoleisella eristeen innalla: ) (1 ) ( A Q i i n Miinus-levyn uoleisella innalla: 1) ( A Q i i n x -