1
2 Edellisellä luennolla käsiteltiin vapaan rahavirran (FCF, Free Cash Flow) laskemista ja investointilaskelman rakennetta. Rahavirtojen diskonttaamiseen perustuva nettonykyarvo on yksi investointiprojektin kannattavuuden tunnusluku. Vapaiden rahavirtojen avulla voidaan määritellä myös muita tunnuslukuja, kuten sisäinen korkokanta ja takaisinmaksuaika. Nettonykyarvo (NPV, Net Present Value) on näistä tärkein ja yleiskäyttöisin, mutta muutkin tunnusluvut valottavat investoinnin kannattavuutta. Tunnusluvun avulla päätöksentekijä arvioi investoinnin kannattavuutta. Nettonykyarvoon ja sisäiseen korkokantaan voidaan liittää mekaaninen ja objektiivinen päätössääntö. Päätös investointiprojektin toteuttamisesta ei ole kuitenkaan automatisoitava päätös. Laskelman vapaat rahavirrat ovat arvioita, joten päätöksentekijän on syytä olla tietoinen arviointivirheiden merkityksestä. Tämän vuoksi investointiprojektista tehdään erilaisia jatkoanalyysejä. Suoraviivaisimmillaan kyse on erilaisista mitä-jos-kysymyksistä, esimerkiksi mitä tapahtuu NPV:lle jos myyntituotot ovat 5 % arvioitua pienemmät? Laskutehtävissä rahavirta-arvioiden tekemiseen tarvittavat numeroarvot on muodossa tai toisessa annettu. Todellisessa investointiprojektissa ensimmäinen vaihe on investoinnin vaikutusten laadullinen tunnistaminen: Miten investointiprojektin toteutus vaikuttaa yrityksen toimintaan? Mitä hyötyjä ja kustannuksia syntyy, jos projekti toteutetaan, ja mitkä hyödyt ja kustannukset syntyisivät joka tapauksessa? Tätä tarkoittaa relevanttien erien tunnistaminen.
3 Ensimmäisellä luennolla esiteltiin rahavirtojen diskonttaamisen tekniikka (discounted cash flow), jota voi soveltaa erilaisissa käyttökohteissa. Diskonttauskorko kuvaa pääoman vaihtoehtoiskustannusta sijoittajien kannalta. Pääoman kustannus on edelleen sidoksissa sijoituksen riskiin. Reaali-investoinnit liittyvät jonkin liiketoiminnan kehittämiseen, joten investointiprojektin arvioinnissa käytettävä diskonttauskorko kuvaa kyseisen liiketoiminnan riskiä. Yleisessä kaavassa diskonttauskorkokantaa voi merkitä yksinkertaisesti symbolilla r, mutta kussakin käyttökohteessa r:n merkitys on täsmennettävä. Tämän vuoksi yllä olevassa kaavassa käytetään symbolia r U. Alaindeksi U viittaa yritykseen, jolla ei ole velkaa (unlevered company). Investointiprojektin rahoittamiseen ei siis ajatella käytettävän lainaa. Tämä on yhteensopiva oletus FCF-kaavan kanssa, koska siinäkään ei ole korkoja. Seuraavilla luennoilla täsmennetään, miten kaavan käyttö muuttuu, jos investointiprojektia rahoitetaan myös lainalla. Investointeja arvioitaessa paras tunnusluku on projektin nettonykyarvo (NPV). Positiivinen nettonykyarvo (NPV>0) tarkoittaa, että laaditun arvion perusteella investointi on kannattava eli lisää yrityksen arvoa rahoittajien näkökulmasta. Teoriassa kaikille yrityksen NPV-positiivisille hankkeille pitäisi löytyä rahoitus ja ne kannattaisi toteuttaa. Jos jotkin hankkeet ovat toisensa pois sulkevia, esimerkiksi kolmesta hankevaihtoehdosta vain yksi voidaan valita, niin suurimman nettonykyarvon tuottava projekti kannattaa toteuttaa, sillä se lisää eniten yrityksen arvoa.
4 Sisäinen korkokanta (IRR, Internal Rate of Return) vastaa kysymykseen, millä pääoman kustannuksella (diskonttauskorkokannalla) investointiprojektin nettonykyarvo on nolla. Toisin sanottuna NPV-kaavasta on ratkaistava IRR. Taulukkolaskennan standardifunktio on helpoin tapa IRR:n ratkaisemiseen. NPV:n laskemisessa käytetyn diskonttauskoron r U ja IRR:n ero kertoo, kuinka suuri virhearvio pääoman kustannuksessa muuttaa johtopäätöksen investoinnin kannattavuudesta (NPV-positiivisesta hankkeesta tulee hanke jonka NPV=0.) Pääoman kustannukseen liittyvän kriittisen raja-arvon (IRR) selvittäminen on esimerkki ns. break-even analyysista. Yleisesti break-even analyysi on laskennallinen menetelmä, jossa valitaan yksi investointilaskelman muuttuja ja ratkaistaan muuttujan arvo, jolla NPV=0. Esimerkiksi päätöksentekijä voisi hakea vastausta kysymykseen: millä myyntimäärällä nettonykyarvoksi tulee nolla. NPV-päätössäännöstä voidaan johtaa myös sisäiseen korkokantaan sovellettava päätössääntö: IRR > r U Tyypillinen harhakäsitys on, että IRR:n avulla olisi helppo verrata erikokoisia investointeja, koska tunnusluku antaa tuottoprosentin (NPV antaa absoluuttisen arvon, joka luonnollisesti suurissa hankkeissa on suurempi kuin pienissä.). Vertailun mielekkyyden kannalta on kuitenkin ratkaisevaa, että hankkeiden riski (ja sitä kautta r U ) on sama. Riskiltään erilaisten projektien IRR:t eivät ole suoraan vertailukelpoisia. Rahoituksen oppikirjoissa esitetään muitakin IRR:n käytön haasteita.
5 Takaisinmaksuajalle (Payback Period) ei voi kirjoittaa yhtä kompaktia kaavaa kuin nettonykyarvolle ja sisäiselle korkokannalle. Orientoivassa materiaalissa kuitenkin selitettiin, että takaisinmaksuaika on helposti todettavissa laskemalla milloin kumulatiivinen vapaa rahavirta on nolla (minkä kahden elinkaaren vuoden välissä kumulatiivinen rahavirta muuttuu negatiivisesta positiiviseksi). Takaisinmaksuajalle ei voida muotoilla päätössääntöä, joka olisi suoraan sidoksissa yrityksen kannattavuuteen tai yrityksen arvoon (toisin kuin NPV:lle tai IRR:lle), koska takaisinmaksuaika ei ole sidoksissa pääoman vaihtoehtoiskustannukseen (eli sijoittajien tuotto-odotukseen).tavoitteellinen takaisinmaksuaika on puhtaasti yritysjohdon tekemä valinta. Toisaalta voidaan sanoa, että samankaltaisia hankkeita verrattaessa lyhyempi takaisinmaksu on parempi. Koska lähivuosien rahavirta-arviot ovat luotettavampia kuin myöhempien vuosien, nopea takaisinmaksu nostaa todennäköisyyttä sille, että hanke todella on kannattava (NPV-positiivinen). Jos takaisinmaksuaikaa käytetään pääasiallisena tunnuslukuna investoinneista päätettäessä, on vaara, että yrityksen tulevaisuuden kannalta tärkeitä pitkävaikutteisia projekteja ei toteuteta. Takaisinmaksuajan muunnelma on diskontattu takaisinmaksuaika (discounted payback period), joka luonnollisesti määritetään diskontattujen vapaiden rahavirtojen avulla.
6 Mitä-jos-analyysi (what-if) on samanlainen yksittäisiin kysymyksiin perustuva jatkoanalyysi kuin aiemmin mainittu break-even analyysi. Mitä jos analyysin kysymys on tyypillisesti muotoa: mikä on projektin NPV, jos valittu investointilaskelman muuttuja saa arvon X. (Break-even analyysissa tavoitteena oli ratkaista X siinä tapauksessa, että NPV=0). Molemmat analyysit auttavat päätöksentekijää hahmottamaan, millä reunaehdoilla suunniteltu investointiprojekti on kannattava. Myyntituottojen vaihtelulla on yleensä suurin merkitys projektin NPV:lle, joten tyypilliset mitä-jos-kysymykset liittyvät myyntihintaan tai määrään. Diskonttaamisen (rahan aika-arvon) vuoksi myös positiivisten rahavirtojen ajoittumisella on merkitystä. Investointiprojektin toteutuksen myöhästyminen on tilanne, jota on syytä pohtia. Jos hanke ei valmistu suunnitellussa aikataulussa, myyntituottoja asiakkailta saadaan kaavailtua myöhemmin. Jos kilpailijat tuovat omat tuotteensa markkinoille aikaisemmin, myöhästymisen vaikutukset voivat olla kriittiset koko projektin kannattavuudelle. Investoinnin elinkaaren pituus on yksi epävarmuustekijä. Markkinoille tulee todennäköisesti kilpailevia tai korvaavia tuotteita, minkä vuoksi investoinnin myyntituotot kääntyvät laskuun odotettua aikaisemmin ja investoinnin vuosittainen vapaa rahavirta muuttuu negatiiviseksi. Tällöin investointi on tullut elinkaarensa päähän. Diskontattu takaisinmaksuaika (myös tavallinen takaisinmaksuaika) kertoo oikeastaan elinkaaren minimipituuden.
7 Break-even analyysi on oikeastaan laskuharjoitus, joka liittyy johonkin FCFlaskelman soluun. Kriittisen arvon laskeminen on mekaaninen toimenpide, jossa voi käyttää esim. Excelin Solver-toimintoa. Mitä-jos-kysymyksen muotoilu edellyttää parempaa käsitystä investointiprojektin luonteesta ja mahdollisista vaikutuksista yrityksen kannattavuuteen. Vaikka mitä-jos-analyysin laskutoimitukset tehdään arviointiprosessin loppupuolella, oleellisten eli relevanttien vaikutusten tunnistaminen on edellytys jo ensimmäiselle versiolle investointilaskelmasta. Päätöstä tukevassa laskelmassa otetaan huomioon päätöksen aiheuttamat muutokset yrityksen tulevassa vapaassa rahavirrassa (relevantit tuotot ja kustannukset). Kalvossa ENNEN kuvaa yrityksen tilaa, jos ehdotettua päätöstä ei toimeenpanna (kielteinen päätös). Tavallaan ajatellaan, että toiminta jatkuu kuten ennenkin. JÄLKEEN kuvaa yrityksen tilaa, jos ehdotettu päätös pannaan toimeen (myönteinen päätös). Myönteisellä päätöksellä voi olla monenlaisia vaikutuksia. Tyypillisesti lisää hyötyjä tarkoittaa enemmän myyntituottoja, mutta niiden aikaansaamiseksi syntyy myös lisää kustannuksia. Toiminnan tehostaminen ei välttämättä lisää myyntiä, mutta tuo kustannussäästöjä. Valintatilanteissa voi syntyä myös menetettyjä hyötyjä. Ajatellaan kahta toisensa pois sulkevaa päätösvaihtoehtoa A ja B. Jos A toteutetaan, niin B:n hyödyt jäävät saamatta. Vastaavasti, jos B toteutetaan, niin A:n hyödyt jäävät saamatta.
Relevanttien erien määrittely on yhtä tärkeää lyhytvaikutteisissa päätöksissä kuin pitkävaikutteisissa investointipäätöksissäkin. Esimerkki käsittelee lyhytvaikutteista päätöstä, joten diskonttausta ei tehdä. Pääasian havainnollistamiseksi myöskään veroja ei oteta huomioon. Jos yritys toimii täydellä kapasiteetilla, niin liikevoitto eli EBIT = 10 000 kpl * (18 10) /kpl 50 000 = 30 000. Päätös koskee erillistilauksen toimittamista. Jos päätöstä tarkastellaan irrallaan muusta toiminnasta, niin tilauksen hyväkyminen tuo katetuottoa 3400 3000 = 400 (lisääntynyt hyöty). Jos yritys odottaa jonakin kautena toimivansa täydellä kapasiteetilla, niin erikoistilauksen hyväksyminen tarkoittaa toisaalta, että yrityksen perustuotetta ei voida myydä 10 000 kpl/kausi. Erikoistilaus vaatii 100 kpl:a vastaavan määrän kapasiteettia, eli tästä johtuen yrityksen myyntituotot vähenevät 1800 ja muuttuvat kustannukset vähenevät 1000. Yritys siis menettää katetuottoa 800 (menetetty hyöty). Tässä tilanteessa päätöksen (erikoistilauksen toimittamisen) kokonaisvaikutus on +400-800 = -400. Tilausta ei siis kannata toimittaa. Päätöksen vaikutukset koko yrityksen kannalta on esitetty seuraavan sivun taulukossa. Tämän tyyppisissä laskutehtävissä vaikutukset rajataan vain tarkasteltavaan kauteen, jotta tehtävä olisi helposti ratkaistavissa. Yritys ei siis voi viivästyttää perustuotteiden toimitusta seuraavalle kaudelle hyvittämällä asiakasta myyntihinnassa. Jos tuotteita ei toimiteta tällä kaudella, niin tilaukset on menetetty. 8
9 Tässä tilanteessa menetettyä katetuottoa voidaan kutsua myös kapasiteetin käytön vaihtoehtoiskustannukseksi. Jos erikoistilauksen myyntiuotot olisivat 3800 (ja muuttuvat kustannukset edelleen 3000 ), niin erikoistilaus ja yrityksen perustuote olisivat täyden kapasiteetin tilanteessa samanarvoisia. Jos erikoistilauksen myyntituotot ja muuttuvat kustannukset käyttäytyisivät suorassa suhteessa toisiinsa, pitäisi erikoistilauksen olla 100 % suurempi (6800 6000 = 800), jotta se olisi kilpailukykyinen perustuotteeseen verrattuna. Päätös muuttuu, jos yritys olettaa, että perustuotteen menekki jää tavanomaista alhaisemmaksi eli kapasiteetista vain 80 % olisi käytössä. Käyttämättä jäävä kapasiteetti vastaa 2 000 kpl perustuotetta. Kauden liikevoitto olisi tässä tapauksessa vain 14 000. Yritys voisi toisaalta helposti toimittaa erikoistilauksen ilman, että se häiritsee muuta tuotantoa, koska erikoistilaus tarvitsee kapasiteettia vain 100 kpl:a vastaavan määrän. Tässä päätöstilanteessa kapasiteetin käytön vaihtoehtoiskustannus on nolla. Erikoistilaus lisää aidosti yrityksen liikevoittoa 400 eli se kannattaa toimittaa. Tuloverojen ottaminen huomioon muuttaisi jonkin verran laskettuja lukuarvoja mutta ei kuitenkaan päätöstä eri tilanteissa, koska loppujen lopuksi verokerroin (1-τ) vaikuttaa jokaiseen erään.
10 Arvioitaessa investoinnin aiheuttamia hyötyjä ja kustannuksia on hyvä erotella suorat ja epäsuorat vaikutukset. Investointiprojektin suorat vaikutukset liittyvät vain kyseiseen projektiin eli niillä ei ole heijastusvaikutuksia yrityksen muuhun toimintaan eikä yrityksen muihin vapaisiin rahavirtoihin. Epäsuorat vaikutukset näkyvät taas yrityksen nykyisessä toiminnassa, ja niiden tunnistaminen on hankalampaa. Edellisessä esimerkissä päätöksen vaikutukset rajattiin yhden kauden sisälle. Investointipäätös vaikuttaa useana vuotena eikä ennakolta ole helppo tehdä oletuksia siitä, milloin yrityksen nykyinen kapasiteetti on täydessä tai vajaassa käytössä. Tämän vuoksi, jos investointiprojektin oletetaan hyödyntävän jotain yrityksen käytössä olevaa resurssia, on tämän resurssin käytölle arvioitava vaihtoehtoiskustannus. Resurssin käyttö ei siis ole investointiprojektin näkökulmasta ilmaista. Epäsuorat vaikutukset voivat olla positiivisia tai negatiivisia: Uuden tuotteen tuominen markkinoille voi lisätä yrityksen muiden tuotteiden kysyntää, jos uusi tuote täydentää tuotevalikoimaa sopivalla tavalla (synergiahyödyt) Uuden tuotteen tuominen markkinoille voi vähentää yrityksen muiden tuotteiden kysyntää, jos uusi tuote on korvaava jollekin vanhalle tuotteelle. Jos asiakkaat esimerkiksi tietävät, että tuotteesta on tulossa uusi versio, he lykkäävät ostopäätöstään eivätkä osta yrityksen tällä hetkellä tarjoamaa versiota. (kannibalismi)
11 Vaihtoehtoiskustannus (opportunity cost) on menetys, joka aiheutuu, kun rajallista resurssia ei käytetä parhaaseen vaihtoehtoiseen käyttötarkoitukseen. Vaihtoehtoiskustannuksen käytössä on syytä olla varovainen, koska vaihtoehtoiskustannus muuttuu tilanteen ja tunnettujen vaihtoehtojen mukaan. Kuten aiempi esimerkki havainnollisti, menetetty kate vaihtelee kuormitustilanteen ja tilauskannan mukaan. Koska kahdesta hahmotetusta vaihtoehdosta vain toinen toteutetaan, ei vaihtoehtoiskustannusta voi jälkeenpäin todentaa kirjanpidossa. Ainoastaan toteutetun vaihtoehdon seuraukset havaitaan. Vaihtoehtoiskustannus on määritelmänsä vuoksi vaikeasti arvioitava tekijä. Mutta vaikka vaihtoehtoiskustannusta ei ole aina helppo havaita tai mitata, se vaikuttaa ihmisten päätöksiin. Kun ihminen esimerkiksi valitsee työn ja vapaa-ajan välillä, hän arvioi korvaako työstä saatava palkkio menetetyn vapaa-ajan tuoman nautinnon. Pääoman vaihtoehtoiskustannus on tärkeä käsite. Yritykseen pääomaa sijoittaneet haluavat korvauksen sijoitukselleen. Se ilmaistaan tuottovaatimuksen avulla. Vaikka tuottovaatimus muistuttaa korkoprosenttia, pääoman vaihtoehtoiskustannusta ei saa sekoittaa lainan korkokustannukseen. Sijoittajalla on mahdollisuus sijoittaa yritykseen tai muihin sijoituskohteisiin. Päättäessään sijoittaa yritykseen, hän menettää tuoton, jonka voisi saada vaihtoehtoisesta sijoituskohteesta. Tämän sijoittajan vaihtoehtoiskustannuksen kautta määritellään yritykseen sijoitetun pääoman tuottovaatimus.
12 Edes siinä tapauksessa, että investointiprojekti käyttää yritykselle pysyvästi tarpeetonta resurssia, vaihtoehtoiskustannus ei ole nolla. Jos jokin resurssi on pysyvästi tarpeeton, niin yrityksen pitäisi luopua tuosta resurssista. Mikäli resurssia päätetään käyttää jossain investointiprojektissa, niin siitä ei voi luopua ja vastaavat hyödyt jäävät saamatta. Tarpeettomasta resurssista luopuminen tarkoittaa esimerkiksi henkilöstön vähentämistä irtisanomisten tai luonnollisen poistuman avulla. Tuotantovälineiden (koneiden, laitteiden, rakennusten myyminen) on myös tapa luopua tarpeettomista resursseista. Koska yrityksen päätehtävä ei ole myydä tuotantovälineitään, niin kyseessä ei ole myyntituotto, vaikka omaisuuden myynnistä syntyykin positiivista rahavirtaa. Tämän vuoksi puhutaan omaisuuden luovutuksesta eikä myynnistä. Luovutusarvo (salvage or liquidation value) tarkoittaa hintaa, jolla omaisuus myydään. Luovutusarvo lisää vapaata rahavirtaa, mutta siitä aiheutuu myös veroseurauksia. Omaisuuden luovutusvoitto (Gain on Sale) lisää verotettavaa liikevoittoa, ja se lasketaan vähentämällä omaisuuden luovutusarvosta omaisuuden kirjanpidollinen tasearvo (Book Value) luovutushetkellä. Jos tasearvo on suurempi kuin luovutusarvo, syntyy luovutustappiota, joka vähentää verotettavaa tuloa. Omaisuuden tasearvo saadaan, kun omaisuuden alkuperäisestä hankintahinnasta vähennetään kertyneet poistot (Accumulated Depreciation).
13 Investointilaskelmaa laadittaessa on myös tarkistettava, ettei laskelmaan päädy epärelevantteja eriä. Niitä ovat luonnollisesti tuotot ja kustannukset, joilla ei ole mitään asiayhteyttä päätökseen. Edellä tarkasteluilla epäsuorilla vaikutuksilla oli asiayhteys päätökseen. Uponneet kustannukset (sunk costs) tarkoittavat aikaisempiin jo tehtyihin päätöksiin liittyviä peruuttamattomia kustannuksia. Uponneet kustannukset eivät ole käsillä olevassa päätöksentekotilanteessa relevantteja kustannuksia. Vaiheittaisissa päätöksissä, kuten tuotekehityspäätöksissä, päätöksentekohetken tunnistaminen on tärkeää. Siinä vaiheessa kun tehdään päätöstä tuotteen myynnin ja valmistuksen aloittamisesta, tuotekehityskustannukset voivat olla suurelta osin uponneita kustannuksia. Tuotekehitystyö on jo tehty ja siitä aiheutuneet kustannukset ovat syntyneet, päätettiinpä valmistuksen aloittamisesta mitä tahansa. Jos kyse on taas tuotekehitysprojektin aloittamispäätöksestä, tuotekehityskustannukset eivät ole uponneita kustannuksia. Termillä yhteiskustannukset (joint costs) viitataan toisenlaiseen epärelevanttiin erään. Yrityksellä voi olla tutkimusosasto, jonka tuloksia hyödynnetään tuotekehitysprojekteissa. Osaston kustannukset eivät ole yksittäisten tuotekehitysprojektien relevantteja kustannuksia, koska osaston olemassaolo ei ole kiinni yksittäisestä projektista. Vain jos osastolla tehdään työtä, joka suoraan liittyy yhteen projektiin, on osaston kustannus tältä osin projektin relevantti kustannus. Yritysten kustannuslaskentajärjestelmät yleensä kohdistavat yhteiskustannuksia tuotteille ja projekteille, mutta tämä ei automaattisesti vastaa relevanttia kustannusta.
14 Koska nettonykyarvo (NPV) on absoluuttinen tunnusluku, niin elinkaaren pidentäminen kasvattaa NPV:n arvoa, kunhan lisätyn vuoden FCF on vain positiivinen. Tämän vuoksi on myös tarpeen arvioida laskelmassa käytetyn elinkaaren realistisuutta. Edellä tarkasteltiin tilannetta, jossa yritys voisi luopua tarpeettomasta omaisuudesta, jos investointiprojektia ei toteuteta. Omaisuuden luovutus voi toisaalta liittyä myös investointimenon kuvaamaan omaisuuteen. Elinkaaren alussa hankitaan tuotantovälineitä, joiden hankintameno tarkoittaa investointilaskelman investointimenoa. Ne eivät ole arvottomia tai loppuun käytettyjä investointiprojektin (laskelman) elinkaaren lopussa. Vaikka yritys ei itse enää haluaisi käyttää tuotantovälineitä, ne voivat olla täysin käyttökelpoisia muille yrityksille. Tässäkin tapauksessa on aiemmin esitetyllä tavalla arvioitava omaisuuden luovutuksen vaikutus vapaaseen rahavirtaan. Siitä voidaan käyttää myös nimitystä jäännösarvo. Kun investointimeno yleensä oletetaan poistettavaksi laskelman elinkaaren aikana, on omaisuuden kirjanpitoarvo tässä tilanteessa nolla. Omaisuuden luovutuksen kokonaisvaikutus eli luovutusarvo vähennettynä tuloveroilla on selkeintä käsitellä investointilaskelmassa omalla rivillään tai aputaulukossa. Investoinnin vaikutusajan (N) lopussa tehtävän luovutuksen, rahavirran voi olettaa syntyvän luovutusta seuraavana vuonna (N+1) tai luovutusvuonna (N). Laskutehtävissä on kerrottu miten ajoitus on tehtävä, jotta pääsee numeerisesti oikeaan vastaukseen. Ajoitustapaa ei voi siis itse valita.
15 Rahavirran diskonttaaminen on yleinen tekniikka (Discounted Cash Flow technique), jota voi soveltaa erilaisiin rahavirtoihin. Yleisissä kaavoissa rahavirtaa merkitään symbolilla C, rahavirran ajoittumista alaindeksillä n ja asiaankuuluvaa diskonttauskorkoa symbolilla r. Peruskaavana voi pitää pistemäisen rahavirran C n nykyarvon kaavaa. Laskentataulukkoja voi laatia pelkästään tämän kaavan avulla (käyttämättä standardifunktioita). Investointikohteiden elinkaari eli taloudellinen vaikutusaika (kuinka monena vuotena rahavirtoja syntyy) vaihtelee. Jos hankkeen elinkaari on esimerkiksi 15 vuotta, niin yksityiskohtaiset vuosittaiset rahavirta-arviot tehdään muutamalle ensimmäiselle vuodelle. Elinkaaren loppuosalle käytetään usein kaavamaisempia arvioita: rahavirran oletetaan olevan vakio tai kasvavan/pienenevän vakiokertoimella (1+g). Rahavirran vuosittaista kasvuprosenttia merkitään symbolilla g. Se voi saada myös negatiivisen arvon, mikä tarkoittaa, että rahavirta pienenee vuosittain vakioprosentilla. Tarkastellaan tällaista vakiokertoimella muuttuvaa rahavirtaa, joka alkaa vuodesta 1 ja jatkuu vuoteen N. Rahavirran nykyarvoa merkitään tässä symbolilla A.
16 Taulukkolaskentaa käytettäessä pitkä elinkaari tarkoittaa lähinnä sitä, että laskelmassa on enemmän sarakkeita. Aikanaan on kuitenkin johdettu laskutyötä helpottavia kaavoja. Annuiteetti tarkoittaa joka vuosi vakiona pysyvää summaa. Kasvava annuiteetti tarkoittaa, että C n = C 1 (1+g) n. Kasvavan annuiteetin nykyarvon kaava perustuu lukusarjaan, joka alkaa vuodesta 1. Jos g=0 saadaan kaavasta annuiteetin nykyarvon kaava. Jos kasvun oletetaan jatkuvan loputtomasti (perpetuity) ja r > g, niin saadaan loputtomasti kasvavan annuiteetin nykyarvon kaava C/(r-g). Tämä on hyödyllinen kaava muistaa. Varsinkin ikuisesti jatkuva kasvu on rohkea oletus. Kaavoja voi kuitenkin yhtä hyvin soveltaa silloin, jos g=0 (vakiona pysyvä rahavirta) tai jos g<0 (samalla prosentilla vähenevä rahavirta). on syytä olettaa aina, että r > g, koska muutenhan kokonaan positiiviselle rahavirroille saadaan negatiivinen nykyarvo. Lisäksi on vältettävä oletuksia jossa r g 0, koska laskennallisesti tällöin lähestytään nollalla jakamista. Kaavan soveltamistilanteen kannalta kyse on epärealistisista oletuksista tai vähintään ratkaisun virhemarginaalin huomattavasta kasvamisesta. Lopuksi käydään lyhyesti läpi kaavojen johtaminen. Se ei ole kuitenkaan asia, jota vaaditaan tentissä.
17 Edellä on määritelty vakiokertoimella kasvava äärellinen rahavirta (n = 1, N) ja sen nykyarvo (A). Kerrotaan seuraavaksi A termillä (1+g)/(1+r). Nyt saadaan yhtälöpari, josta N voidaan ratkaista. Ratkaisun ensimmäisessä vaiheessa ylemmästä yhtälöstä vähennetään alempi. Vähennyslasku johtaa siihen, että yhtälöiden oikeanpuoleisen lukusarjan useimmat termit kumoavat toisensa. Esimerkiksi ylemmän yhtälön lukusarjan toinen tekijä (n=2) on C 1 (1+g)/(1+r) 2. Toisaalta myös alemman yhtälön lukusarjan ensimmäinen tekijä (n=1) on C 1 (1+g)/(1+r) 2. Eli kun ylemmästä yhtälöstä vähennetään alempi, niin yhtälön oikealle puolelle jäävät vain ylemmän yhtälön oikean puolen lukusarjan ensimmäinen tekijä ja siitä vähennettävä alemman yhtälön oikean puolen lukusarjan viimeinen tekijä (n=n). Seuraavaksi yhtälöä aletaan muokata havainnollisempaan muotoon
18 Yhtälön vasemmalla puolella A:n kerroin on (r-g)/(1+r). Kun yhtälön molemmat puolet jaetaan tällä kertoimella, niin yhtälöstä saadaan määriteltyä A:n kaava. Kun sulkulauseke lopulta kerrotaan (1+r):llä, saadaan aiemmin esitetty kasvavan annuiteetin nykyarvon kaava. Jos seuraavaksi oletetaan että N= ja r >g, niin sulkulausekkeen jälkimmäinen tekijä on 0. Kun r>g niin (1+g) <<< (1+r). Näin saadaan loputtomasti kasvavan annuiteetin nykyarvon kaava.
19
20