Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa, joka riittää suurelle osalle perusmatematiikkaa. Erityisesti todennäköisyyslaskennassa sovellettavaa joukko-opin osaa käsitellään liitteen kolmessa ensimmäisessä kappaleessa sekä kolmessa viimeisessä kappaleessa Joukko-oppi >> TKK () Ilkka Mellin (2004) 3 TKK () Ilkka Mellin (2004) 4 Mitä opimme? 1/2 vainsanat ksiomaattinen joukko-oppi lkio Joukko Joukkojen samuus Joukkoon kuuluminen Joukko-opin paradoksit Joukko-opin relaatiot Joukko-oppi Joukon määritteleminen Lukujoukot Naiivi joukko-oppi Numeroituva joukko Osajoukko Perusjoukko Tyhjä joukko Venn-diagrammi Ylinumeroituva joukko Äärellinen joukko Ääretön joukko Tarkastelemme tässä kappaleessa joukko-opin peruskäsitteitä ja -relaatioita ns. naiivin joukko-opin muodostamassa kehikossa. ovat joukon ja sen alkioiden käsitteet. Joukko-opissa on kaksi perusrelaatioita: (i) Joukon ja sen alkioiden välinen relaatio on kuulua joukkoon. (ii) Joukkojen välinen relaatio on olla osajoukko. TKK () Ilkka Mellin (2004) 5 TKK () Ilkka Mellin (2004) 6

TKK () Ilkka Mellin (2004) 7 Mitä opimme? 2/2 Joukko ja sen alkiot 1/2 Opimme, että joukkoja ja niiden välisiä operaatioita on aina tarkasteltava jonkin hyvin määritellyn perusjoukon osajoukkoina. Siten perusjoukko muodostaa kehikon, jossa joukko-opin perusrelaatioita ja -operaatioita tarkastellaan. Näemme myös kuinka joukko-opin relaatioita ja operaatioita voidaan havainnollistaa Venn-diagrammien avulla. Joukko on kokoelma olioita, joita kutsutaan joukon alkioiksi. Joukkoja merkitään tavallisesti isoilla kirjaimilla, B,, S,, X, ja joukon alkioita pienillä kirjaimilla a, b,, s,, x, Joukko on hyvin määritelty, jos jokaisesta oliosta s voidaan sanoa onko se joukon alkio vai ei. Joukko on hyvin määritelty, jos sen alkiot tunnetaan. TKK () Ilkka Mellin (2004) 8 Joukko ja sen alkiot 2/2 Joukon määritteleminen Merkitään joukon ja sen alkioiden välistä relaatiota seuraavasti: s ja sanotaan: s on joukon alkio tai s kuuluu joukkoon Vastaavasti merkitään sitä, että s ei ole joukon alkio eli s ei kuulu joukkoon seuraavasti: s Joukko määritellään tavallisesti kuvailemalla sen alkioiden ominaisuudet. Joukon alkioiden ominaisuudet määrittelevä lause kirjoitetaan tavallisesti lainausmerkkien väliin: = Joukon alkioiden ominaisuudet määrittelevä lause TKK () Ilkka Mellin (2004) 9 TKK () Ilkka Mellin (2004) 10 Joukon määritteleminen: Esimerkkejä Määritellään seuraavat joukot: = Kansanedustajien joukko B = Teknilliseen korkeakouluun vuonna 2002 hyväksyttyjen uusien opiskelijoiden joukko C = Rahanheiton tulosvaihtoehtojen joukko D = Lottoarvonnan tulosvaihtoehtojen joukko E = Yhtälön sin(x) = 0 ratkaisujen joukko, kun x on reaaliluku F = Yhtälön x 2 = 1 ratkaisujen joukko, kun x on kompleksiluku Joukon määritteleminen ehtolauseiden avulla Joukon alkioiden ominaisuudet kuvaillaan tavallisesti antamalla ehto, joka alkioiden on toteutettava. Oletetaan, että olio s on joukon alkio eli s, jos oliota s koskeva ehtolause P() s on tosi. Tällöin joukko voidaan määritellä kirjoittamalla = s P() s { } TKK () Ilkka Mellin (2004) 11 TKK () Ilkka Mellin (2004) 12

TKK () Ilkka Mellin (2004) 13 Joukon määritteleminen ehtolauseiden avulla: Esimerkki 1/2 Olkoon niiden reaalilukuparien (x, y) joukko, jotka toteuttavat ehdon 2 2 x + y = 1 Joukko on siis origokeskisen yksikkösäteisen ympyrän kehän pisteiden joukko tasossa. Joukko voidaan määritellä kirjoittamalla 2 2 = { ( x, y ) x, y, x + y = 1 } jossa on reaalilukujen joukko. Joukon määritteleminen ehtolauseiden avulla: Esimerkki 2/2 Esimerkiksi lukupari 3 4, (, ),, 2 2 = x y x y x + y = 1 5 5 koska 2 2 { } 3 4 9 16 + = + = 1 5 5 25 25 Sen sijaan lukupari 1,1 = ( x, y) x, y, x 2 + y 2 = 1 koska 2 2 1 + 1 = 1+ 1= 2 1 ( ) { } TKK () Ilkka Mellin (2004) 14 Äärelliset joukot Jos joukko on äärellinen, se voidaan määritellä luettelemalla sen alkiot. Olkoot joukon alkiot s 1, s 2,, s n, jolloin siis s 1, s 2,, s n Joukko voidaan määritellä kirjoittamalla = {s 1, s 2,, s n } Äärelliset joukot: Esimerkkejä Olkoon rahanheiton tulosvaihtoehtojen joukko. Rahanheiton tuloksena on joko Kruuna tai Klaava. Joukko voidaan määritellä kirjoittamalla = {Kruuna, Klaava} Olkoon B nopanheiton tulosvaihtoehtojen joukko. Nopanheiton tuloksena on jokin silmäluvuista 1, 2, 3, 4, 5 tai 6. Joukko B voidaan määritellä kirjoittamalla B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} TKK () Ilkka Mellin (2004) 15 TKK () Ilkka Mellin (2004) 16 Numeroituvasti äärettömät joukot 1/2 Numeroituvasti äärettömät joukot 2/2 Jos joukon alkiot voidaan järjestää jonoon, joukkoa sanotaan numeroituvaksi. Äärelliset joukot ovat aina numeroituvia. Äärettömiä numeroituvia joukkoja kutsutaan numeroituvasti äärettömiksi. Esimerkkejä: Voidaan osoittaa, että luonnollisten lukujen joukko, kokonaislukujen joukko ja rationaalilukujen joukko ovat kaikki numeroituvasti äärettömiä ja siten yhtä mahtavia. Numeroituvasti äärettömät joukot määritellään usein luettelemalla joukon alkioiden muodostamasta jonosta muutama ensimmäisen alkio. Esimerkkejä: {1, 2, 3, } = positiivisten kokonaislukujen eli luonnollisten lukujen joukko {1, 3, 5, } = parittomien positiivisten kokonaislukujen joukko {2, 4, 6, } = parillisten positiivisten kokonaislukujen joukko TKK () Ilkka Mellin (2004) 17 TKK () Ilkka Mellin (2004) 18

TKK () Ilkka Mellin (2004) 19 Ylinumeroituvat joukot Jos joukko on ääretön ja sen alkioita ei voida järjestää jonoon, joukkoa sanotaan ylinumeroituvaksi. Esimerkki: Voidaan osoittaa, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva ja siten mahtavampi kuin luonnollisten lukujen joukko. Joukon käsite ja sen määritteleminen: Kommentteja Tässä esityksessä joukko on määritelty kokoelmana joukon alkioiksi sanottuja olioita. Tämä naiivin joukko-opin määritelmä joukolle ei ole matemaattisesti täsmällinen, koska se on kehämääritelmä: Kokoelma Joukko Joukon käsitteen epätäsmällisestä määritelmästä seuraa se, että naiivissa joukko-opissa on mahdollista määritellä joukkoja, joilla on ristiriitaisia ominaisuuksia. TKK () Ilkka Mellin (2004) 20 Joukko-opin paradoksit 1/2 Joukko-opin paradoksit 2/2 Joukot eivät ole yleensä itsensä alkioita. Olkoon Z kaikkien niiden joukkojen joukko, jotka eivät ole itsensä alkiota: Z = { X X X} Kysymys: Onko joukko Z itsensä alkio vai ei? Kysymykseen voidaan antaa kaksi vastausta, joihin kumpaankin sisältyy ristiriita: (i) Jos Zonjoukon Z alkio, Z ei kuuluu joukkoon Z joukon Z määritelmän mukaan. (ii) Jos Z ei ole joukon Z alkio, Z kuuluu joukkoon Z joukon Z määritelmän mukaan. Joukon Z määritelmästä johdettua ristiriitaa kutsutaan Russellin paradoksiksi. Naiivissa joukko-opissa voidaan johtaa useita erilaisia paradokseja. Paradoksit perustuvat siihen, että naiivissa joukko-opissa voidaan määritellä joukkoja, joilla on ristiriitaisia ominaisuuksia. Tämä merkitsee sitä, että naiivi joukko-oppi suhtautuu liian vapaamielisesti joukkojen määrittelemiseen. Paradokseja ei synny, jos ristiriitaisilla ominaisuuksilla varustettujen joukkojen määritteleminen estetään. Ristiriitaisilla ominaisuuksilla varustettujen joukkojen määritteleminen saadaan estetyksi kehittämällä joukko-oppi aksiomaattiseksi järjestelmäksi. TKK () Ilkka Mellin (2004) 21 TKK () Ilkka Mellin (2004) 22 Naiivi vs aksiomaattinen joukko-oppi Joukkojen samuus Naiivin joukko-opin ongelmat voidaan välttää kehittämällä joukko-oppi aksiomaattiseksi järjestelmäksi. Naiivi joukko-oppi riittää kuitenkin perustaksi kaikissa joukko-opin tavanomaisissa sovelluksissa ja siksi tässä esityksessä ei käytetä aksiomaattista esitystapaa. Joukot ovat samat, jos niillä on samat alkiot. Siten joukot ja B ovat samat, jos jokaiselle oliolle s pätee: s s B Merkitään sitä, että joukot ja B ovat samat seuraavasti: = B TKK () Ilkka Mellin (2004) 23 TKK () Ilkka Mellin (2004) 24

TKK () Ilkka Mellin (2004) 25 Joukkojen samuus: Esimerkki Olkoon yhtälön x 2 = 4 ratkaisujen joukko reaalilukujen joukossa : 2 = { x x = 4} Olkoon B = { 2, +2} Tällöin = B Osajoukot Joukko B on joukon osajoukko eli joukko B sisältyy joukkoon, jos jokainen joukon B alkio kuuluu joukkoon eli s B s Merkitään sitä, että joukko B on joukon osajoukko seuraavasti: B tai B TKK () Ilkka Mellin (2004) 26 Osajoukko-relaatio idot osajoukot Olla osajoukko on kahden joukon välinen relaatio. Jos joukko B ei olejoukon osajoukko, merkitään B Tällöin joukossa B on ainakin yksi alkio, joka ei kuulu joukkoon. Jos ja B ovat kaksi mielivaltaista joukkoa, kummankaan ei tarvitse olla toisen osajoukko. Joukko B on joukon aito osajoukko, jos B mutta B Tällöin jokainen joukon B alkio kuuluu joukkoon, mutta joukossa on ainakin yksi alkio, joka ei kuulu joukkoon B. TKK () Ilkka Mellin (2004) 27 TKK () Ilkka Mellin (2004) 28 Tyhjä joukko Perusjoukko Joukko on tyhjä, jos siihen ei kuulu yhtään alkiota. Merkitään tyhjää joukkoa symbolilla Jos joukko on tyhjä, ei ole olemassa yhtään oliota s, jolle s Tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko eli mielivaltaiselle joukolle pätee: Sekaannuksien välttämiseksi joukkoja sekä niiden välisiä relaatioita ja operaatioita on aina syytä tarkastella hyvin määritellyssä perusjoukossa. Merkitsemme perusjoukkoa usein kirjaimella S Tällöin kaikille tarkasteltaville joukoille, B, pitää päteä: S, B S, TKK () Ilkka Mellin (2004) 29 TKK () Ilkka Mellin (2004) 30

TKK () Ilkka Mellin (2004) 31 Perusjoukon määrittelemisen merkitys: Esimerkki Venn-diagrammit Perusjoukon eksplisiittinen tai implisiittinen määritteleminen on sekaannuksien välttämiseksi välttämätöntä. Jos kirjoitetaan 2 = { x x = 1} ei voida olla varmoja siitä, mikä joukko on. Jos kirjoitetaan 2 { } 2 { } B= x x = 1, jossa on reaalilukujen joukko C = x x = 1, jossa on kompleksilukujen joukko tiedetään, että B = ja C = { i, + i}, jossa i = 1 Joukko-opin operaatioita ja laskusääntöjä voidaan havainnollistaa ns. Venndiagrammien avulla. Olkoon tarkasteltava joukko perusjoukon S osajoukko. Perusjoukkoa S kuvataan suorakaiteella. Joukkoa S kuvataan suorakaiteen osa-alueella. Tavallisesti tarkasteltava joukko varjostetaan. S TKK () Ilkka Mellin (2004) 32 Venn-diagrammit: Kommentteja Venn-diagrammit: Kuulua joukkoon Joukko-opin laskusäännön havainnollistus Venndiagrammin avulla ei sisällä säännön todistusta. Venn-diagrammien avulla voidaan havainnollistaa kätevästi myös todennäköisyyslaskennan peruslaskusääntöjä. Olkoot x ja y perusjoukon S alkioita ja olkoon perusjoukon S osajoukko: x S, y S, S Viereinen Venn-diagrammi kuvaa tilannetta, jossa alkio x kuuluu joukkoon, mutta alkio y ei kuulu: x, y x y S TKK () Ilkka Mellin (2004) 33 TKK () Ilkka Mellin (2004) 34 Venn-diagrammit: Olla osajoukko Olkoot joukot ja B perusjoukon S osajoukkoja: S ja B S Viereinen Venn-diagrammi kuvaa tilannetta, jossa joukko B on joukon (aito) osajoukko: B Lukujoukot 1/2 Tavalliset lukujoukot: Luonnollisten lukujen joukko: { } = 1, 2,3, Kokonaislukujen joukko: { } =, 3, 2, 1,0, + 1, + 2, + 3, Rationaalilukujen joukko: m = qq=, m, n, n 0 n Reaalilukujen joukko: TKK () Ilkka Mellin (2004) 35 TKK () Ilkka Mellin (2004) 36

TKK () Ilkka Mellin (2004) 37 Lukujoukot 2/2 Lukujoukkojen keskinäiset suhteet Kompleksilukujen joukko: { zz x iy, x, y, i 1} = = + = Huomautus: Joukot, ja ovat numeroituvasti äärettömiä ja yhtä mahtavia, kun taas joukot ja ovat ylinumeroituvia ja siten mahtavampia kuin luonnollisten lukujen joukko. Lukuja tarkasteltaessa perusjoukkona käytetään tavallisesti kompleksilukujen joukkoa, koska lukujoukkojen välillä on seuraavat (aidot) osajoukkorelaatiot: ja lisäksi yksikään seuraavista laskutoimituksista ei vie kompleksilukujen joukon ulkopuolelle: yhteenlasku vähennyslasku kertolasku jakolasku juurenotto TKK () Ilkka Mellin (2004) 38 Joukko-oppi >> vainsanat Erotus Joukko Komplementti Leikkaus Pistevieraat joukot Symmetrinen erotus Yhdiste eli unioni TKK () Ilkka Mellin (2004) 39 TKK () Ilkka Mellin (2004) 40 Mitä opimme? Komplementtijoukko Tarkastelemme tässä kappaleessa seuraavia joukko-opin perusoperaatioita: (i) Joukon komplementtijoukon muodostaminen. (ii) Kahden joukon yhdisteen eli unionin muodostaminen. (iii) Kahden joukon leikkauksen muodostaminen. (iv) Kahden joukon erotuksen muodostaminen. (v) Kahden joukon symmetrisen erotuksen muodostaminen. Olkoon S perusjoukon S osajoukko. Joukon komplementtijoukko eli komplementti on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka eivät kuulu joukkoon : = {s S s } S TKK () Ilkka Mellin (2004) 41 TKK () Ilkka Mellin (2004) 42

TKK () Ilkka Mellin (2004) 43 Yhdiste eli unioni Leikkaus Olkoot S ja B S perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B yhdiste eli unioni B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon tai joukkoon B tai molempiin: B = {s S s tai s B} B B Olkoot S ja B S perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B leikkaus B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon ja joukkoon B: B = {s S s ja s B} TKK () Ilkka Mellin (2004) 44 Yhdiste ja leikkaus Pistevieraat joukot Joukkojen ja B yhdiste B voidaan esittää joukon ja joukon B komplementtien leikkauksen komplementtina: B = ( B ) Joukkojen ja B leikkaus B voidaan esittää joukon ja joukon B komplementtien yhdisteen komplementtina: B = ( B ) B Jos joukoilla ja B ei ole yhteisiä alkioita, sanotaan, että joukot ja B ovat pistevieraita. Joukot ja B ovat pistevieraita, jos ja vain jos B = B S TKK () Ilkka Mellin (2004) 45 TKK () Ilkka Mellin (2004) 46 Pistevieraat joukot: Esimerkki eduskunnasta Kansanedustaja ei voi olla kahden puolueen jäsen. Määritellään perusjoukko: S = Kansanedustajien joukko Määritellään Kokoomuspuolueen ja Vasemmistoliiton kansanedustajien joukot: K = {s S s on Kokoomuspuolueen kansanedustaja} V = {s S s on Vasemmistoliiton kansanedustaja} Tällöin joukot K ja V ovat pistevieraita: K V = Erotus 1/2 Olkoot S ja B S perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B erotus \ B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon, mutta eivät kuulu joukkoon B: \ B = {s S s ja s B} TKK () Ilkka Mellin (2004) 47 TKK () Ilkka Mellin (2004) 48

TKK () Ilkka Mellin (2004) 49 Erotus 2/2 Komplementti ja erotus Joukkojen ja B erotus \ B voidaan esittää joukon ja joukon B komplementin leikkauksena: \ B = B Perustelu: s \ B s ja s B s ja s B s B Joukon komplementti voidaan esittää perusjoukon S ja joukon erotuksena: = S \ Perustelu: s s S ja s s S \ S TKK () Ilkka Mellin (2004) 50 Symmetrinen erotus 1/3 Symmetrinen erotus 2/3 Olkoot S ja B S perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B symmetrinen erotus B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon tai joukkoon B, mutta eivät molempiin: B = { s S s tai s B, mutta s B TKK () Ilkka Mellin (2004) 51 } B B Joukkojen ja B symmetrinen erotus voidaan esittää joukkojen ja B yhdisteen ja leikkauksen erotuksena: B = ( B) \ ( B) Perustelu: s B s tai s B, mutta s B s B, mutta s B s ( B) \ ( B) B B TKK () Ilkka Mellin (2004) 52 Symmetrinen erotus 3/3 Yhdiste vs symmetrinen erotus 1/2 Joukkojen ja B symmetrinen erotus voidaan esittää joukkojen ja B erotuksen ja joukkojen B ja erotuksen yhdisteenä: B = ( \ B) ( B\ ) Perustelu: s B s tai s B, mutta s B s, mutta s B tai s B, mutta s s \ B tai s B\ s ( \ B) ( B\ ) \ B B B B \ Huomaa joukkojen ja B yhdisteen ja symmetrisen erotuksen ero: B = { s S s tai s B} B = { s S s tai s B, mutta s B } B B TKK () Ilkka Mellin (2004) 53 TKK () Ilkka Mellin (2004) 54

TKK () Ilkka Mellin (2004) 55 Yhdiste vs symmetrinen erotus 2/2 Yhdiste pistevieraiden joukkojen yhdisteenä Yhdisteen määritelmän mukaan: s B s tai s B Yhdisteessä perusjoukon S alkio s on joko joukon alkio tai joukon B alkio tai molempien alkio. Symmetrisen erotuksen määritelmän mukaan: s B s tai s B, mutta s B Symmetrisessä erotuksessa perusjoukon S alkio s on joko joukon alkio tai joukon B alkio, mutta ei molempien alkio. B B Joukkojen ja B yhdiste voidaan esittää seuraavilla tavoilla pareittain pistevieraiden joukkojen \ B, B \ ja B yhdisteenä: B = (B \ ) = B ( \ B) = ( \ B) ( B) (B \ ) TKK () Ilkka Mellin (2004) 56 Joukko-oppi >> vainsanat ssosiatiivisuus De Morganin lait Distributiivisuus Idempotenttisuus Identiteetti-lait Joukko Joukkojen algebra Joukko-opin operaatio Kommutatiivisuus Komplementti-lait Osajoukko-relaatio TKK () Ilkka Mellin (2004) 57 TKK () Ilkka Mellin (2004) 58 Mitä opimme? Osajoukko-relaation ominaisuudet Olemme koonneet tähän kappaleeseen tärkeimmät osajoukkorelaation ominaisuudet sekä laskusäännöt joukko-opin perusoperaatioille. Kaikille joukoille, B, C pätee: (1) (2) B ja B = B (3) B ja B C C TKK () Ilkka Mellin (2004) 59 TKK () Ilkka Mellin (2004) 60

TKK () Ilkka Mellin (2004) 61 Joukko-opin operaatiot ja osajoukko-relaatio 1/3 Joukko-opin operaatiot ja osajoukko-relaatio 2/3 Kaikille joukoille, B pätee: (4a) ( B) (4b) B ( B) (5a) ( B) (5b) ( B) B (6) ( B) ( B) Kaikille joukoille, B pätee: (7a) ( \ B) (7b) (B \ ) B (8) ( B) ( B) (9a) ( \ B) ( B) (9b) ( B\ ) ( B) TKK () Ilkka Mellin (2004) 62 Joukko-opin operaatiot ja osajoukko-relaatio 3/3 Joukkojen algebran säännöt 1/3 Kaikille joukoille, B pätee: (10) B B (11) B B = B (12) B B = (13) B \ B = (14) B (B \ ) = B (15) B ( B) = B\ Kaikille joukoille, B, C pätee: Idempotenttisuus (1a) = (1b) = ssosiatiivisuus (2a) ( B) C = (B C) (2b) ( B) C = (B C) Kommutatiivisuus (3a) B = B (3b) B = B TKK () Ilkka Mellin (2004) 63 TKK () Ilkka Mellin (2004) 64 Joukkojen algebran säännöt 2/3 Joukkojen algebran säännöt 3/3 Kaikille joukoille, B, C pätee: Distributiivisuus (4a) (B C) = ( B) ( C) (4b) (B C) = ( B) ( C) Identiteetti-lait (5a) = (5b) S =, jossa on perusjoukon S osajoukko (6a) S = S, jossa on perusjoukon S osajoukko (6b) = Kaikille joukoille, B pätee: Komplementti-lait (7a) = S, jossa on perusjoukon S osajoukko (7b) = (8a) ( ) = (8b) S = ja = S, jossa S on perusjoukko De Morganin lait (9a) ( B) = B (9b) ( B) = B TKK () Ilkka Mellin (2004) 65 TKK () Ilkka Mellin (2004) 66

TKK () Ilkka Mellin (2004) 67 Joukko-oppi >> vainsanat lkukuva rvoalue Bijektio Funktio eli kuvaus Funktioiden samuus Funktioiden yhdistäminen Funktion arvo Identtinen funktio Injektio Kuva Käänteisalkio Käänteisfunktio Määrittelyalue Surjektio Vakiofunktio Yhdistetty funktio TKK () Ilkka Mellin (2004) 68 Mitä opimme? eli kuvaukset Tarkastelemme tässä kappaleessa funktion ja käänteisfunktion määrittelemistä sekä funktioiden yhdistämistä. Olkoon f sääntö, joka liittää jokaiseen joukon alkioon yksikäsitteisen joukon B alkion. Tällöin sanotaan, että f on funktio eli kuvaus joukosta joukkoon B. Jos f on funktio joukosta joukkoon B, merkitään tai f B TKK () Ilkka Mellin (2004) 69 TKK () Ilkka Mellin (2004) 70 Kuva Funktion arvo Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Jos funktio f liittää joukon alkioon a joukon B alkion b, merkitään f(a) = b tai f a f( a) = b ja sanotaan, että funktio f kuvaa joukon alkion a joukon B alkiolle b. lkiota f(a) = b B kutsutaan on alkion a kuvaksi kuvauksessa f. Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Jos siis a, niin f(a) = b B. Erityisesti siinä tapauksessa, että ja B ovat lukujoukkoja, sanotaan, että funktio f saa arvon f(a) = b pisteessä a. TKK () Ilkka Mellin (2004) 71 TKK () Ilkka Mellin (2004) 72

TKK () Ilkka Mellin (2004) 73 Funktion määrittelyalue ja arvoalue Funktioiden samuus Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Tällöin joukkoa sanotaan funktion f määrittelyalueeksi. Niiden joukon B alkioiden joukkoa, jotka ovat jonkin määrittelyalueen alkion kuvia kuvauksessa f, sanotaan funktion f arvoalueeksi. Funktion arvoalue f() voidaan määritellä seuraavalla tavalla: f() = {b B On olemassa a siten, että f(a) = b} Funktion f: B arvoalue f() on joukon B osajoukko: f() B Olkoot f ja g kaksi funktiota, joilla on sama määrittelyalue. f ja g ovat samat, jos ne saavat samat arvot. Olkoon siis funktioiden f ja g määrittelyalue. f ja g ovat samat, jos f(a) = g(a) kaikille a. Jos funktiot f ja g ovat samat, kirjoitetaan f = g TKK () Ilkka Mellin (2004) 74 Surjektiot Injektiot Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktio f on surjektio, jos joukon B jokainen alkio on jonkin joukon alkion kuva eli funktion f arvoalueena on koko joukko B. Siten funktio on surjektio, jos f() = B Tällöin sanotaan, että funktio f kuvaa joukon joukolle B. Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktio f on injektio, jos yksikään joukon B alkio ei ole kahden tai useamman joukon alkion kuva. Siten funktio on injektio, jos f(a) = f(a ) a = a tai yhtäpitävästi a a f(a) f(a ) TKK () Ilkka Mellin (2004) 75 TKK () Ilkka Mellin (2004) 76 Bijektiot Identtiset funktiot Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktio f on bijektio eli kääntäen yksikäsitteinen kuvaus, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (i) f on surjektio: f() = B (ii) f on injektio: f(a) = f(a ) a = a tai yhtäpitävästi: a a f(a) f(a ) Olkoon f funktio joukosta joukkoon : f : Funktio f on identtinen funktio tai kuvaus joukossa, jos se kuvaa joukon jokaisen alkion itselleen. Siten funktio f : on identtinen funktio joukossa, jos f(a) = a kaikille a. Merkitään identtistä funktiota joukossa seuraavasti: 1 TKK () Ilkka Mellin (2004) 77 TKK () Ilkka Mellin (2004) 78

TKK () Ilkka Mellin (2004) 79 Vakiofunktiot Yhdistetyt funktiot 1/3 Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktio f on vakiofunktio tai -kuvaus, jos se kuvaa joukon jokaisen alkion samalle joukon B alkiolle. Siten funktio on vakiofunktio, jos on olemassa b B niin, että f(a) = b kaikille a. Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: ja g funktio joukosta B joukkoon C: g : B C. Kuvaus f liittää jokaiseen joukon alkioon a yksikäsitteisen joukon B alkion b: a f(a) = b B Kuvaus g liittää jokaiseen joukon B alkioon b yksikäsitteisen joukon C alkion : b B g(b) = C TKK () Ilkka Mellin (2004) 80 Yhdistetyt funktiot 2/3 Yhdistetyt funktiot 3/3 Soveltamalla kuvauksia f ja g peräkkäin saadaan sääntö, joka liittää jokaiseen joukon alkioon a yksikäsitteisen joukon C alkion. Jos siis a, niin f(a) = b B. Soveltamalla kuvausta g joukon B alkioon f(a) = b saadaan jokin joukon C alkio : g(f(a)) = g(b) = C Tätä kuvausten yhdistämistä voidaan kuvata seuraavalla kaaviolla: f g a f( a) = b g( f( a)) = g( b) = Olkoot siis ja g : B C funktioita. Oletetaan, että a. Tällöin f(a) = b B ja g(f(a)) = g(b) = C Määritellään funktioiden f ja g yhdistetty funktio ( g f): C kaavalla ( g f)( a) = g( f( a)) TKK () Ilkka Mellin (2004) 81 TKK () Ilkka Mellin (2004) 82 Funktioiden yhdistämissääntöjä 1/2 Funktioiden yhdistämissääntöjä 2/2 Olkoon funktio. Olkoot 1 : identtinen funktio joukossa ja 1 B : B B identtinen funktio joukossa B. Tällöin pätee: f 1 = f 1 f = f B Olkoot f: B, g: B C ja h: C D funktioita. Yhdistetään funktiot f, g ja h seuraavilla tavoilla: (i) Muodostetaan ensin yhdistetty funktio g f ja sitten yhdistetty funktio h ( g f). (ii) Muodostetaan ensin yhdistetty funktio h gja sitten yhdistetty funktio ( h g) f. Näin muodostetut yhdistetyt funktiot ovat samat: ( h g) f = h ( g f) TKK () Ilkka Mellin (2004) 83 TKK () Ilkka Mellin (2004) 84

TKK () Ilkka Mellin (2004) 85 Käänteisalkio lkukuva Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Joukon alkio a on joukon B alkion b käänteisalkio kuvauksessa f, jos f(a) = b. Joukon B alkiolla voi olla useita käänteisalkioita, mutta toisaalta kaikilla joukon B alkiolla ei ole välttämättä yhtään käänteisalkiota. Jos funktio f on surjektio, joukon B jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Jos joukon B alkiolla on käänteisalkio ja funktio f on injektio, käänteisalkio on yksikäsitteinen. Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Joukon B osajoukon D alkukuva kuvauksessa f on niiden joukon alkioiden a joukko, jotka f kuvaa joukolle D. Jos siis ja D B, niin joukon D alkukuva f 1 (D) kuvauksessa f voidaan määritellä seuraavalla tavalla: f 1 ( D) = { a f( a) = b D} Joukon B osajoukon D alkukuva f 1 (D) on joukon osajoukko: f 1 (D) Joukon B osajoukon D alkukuva f 1 (D) voi olla tyhjä. TKK () Ilkka Mellin (2004) 86 Yhden alkion alkukuva Käänteisfunktiot 1/2 Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Joukon B alkion b alkukuva kuvauksessa f on niiden joukon alkioiden a joukko, jotka f kuvaa alkiolle b. Jos siis ja b B, niin alkion b alkukuva f 1 (b) kuvauksessa f voidaan määritellä seuraavalla tavalla: f 1 ( b) = { a f( a) = b} Joukon B alkion b alkukuva f 1 (b) on joukon osajoukko: f 1 (b) Joukon B alkion b alkukuva f 1 (b) voi koostua yhdestä tai useammasta joukon alkiosta tai voi olla tyhjä. Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Tällöin joukon B alkion b alkukuva f 1 ( b) = { a f( a) = b} kuvauksessa f on joukon osajoukko, joka voi koostua yhdestä tai useammasta joukon alkiosta tai voi olla tyhjä. Jos f on bijektio, joukon B jokaisen alkion b alkukuva f 1 (b) koostuu täsmälleen yhdestä pisteestä a. Tällöin jokaiseen joukon B alkioon b voidaan liittää yksikäsitteinen käänteisalkio f 1 (b) = a. TKK () Ilkka Mellin (2004) 87 TKK () Ilkka Mellin (2004) 88 Käänteisfunktiot 2/2 Käänteisfunktioiden ominaisuuksia 1/2 Olkoon siis f bijektio joukosta joukkoon B: Sääntö, joka liittää jokaiseen joukon B alkioon b yksikäsitteisen käänteisalkion f 1 (b) = a määrittelee funktion f käänteisfunktion f 1 joukosta B joukkoon : f 1 : B Oletetaan, että funktio on bijektio, jolloin funktiolla f on käänteisfunktio f 1 : B 1 Tällöin yhdistetty funktio ( f f) on identtinen funktio 1 joukossa ja yhdistetty funktio ( f f ) on identtinen funktio joukossa B: 1 ( f f) = 1 1 ( f f ) = 1 B TKK () Ilkka Mellin (2004) 89 TKK () Ilkka Mellin (2004) 90

TKK () Ilkka Mellin (2004) 91 Käänteisfunktioiden ominaisuuksia 2/2 Joukko-oppi Olkoot ja g : B Oletetaan, että yhdistetty funktio ( g f): on identtinen funktio joukossa ja yhdistetty funktio ( f g): B B on identtinen funktio joukossa B. Tällöin g on funktion f käänteisfunktio: g = f 1. >> TKK () Ilkka Mellin (2004) 92 Mitä opimme? vainsanat Funktio Funktion kuvaaja Järjestetty pari Karteesinen tulo Tulojoukko Yleistetyt karteesiset tulot Tarkastelemme tässä kappaleessa karteesisen tulon määrittelemistä sekä funktion kuvaajan esittämistä karteesisen tulon määrittelemässä tulojoukossa. TKK () Ilkka Mellin (2004) 93 TKK () Ilkka Mellin (2004) 94 Järjestetyt parit Tulojoukot Olioiden a ja b järjestetty pari on (a, b) jossa a = parin 1. alkio b = parin 2. alkio Järjestetyt parit (a, b) ja (, d) ovat samat, jos a = ja b = d Olkoot ja B joukkoja. Joukkojen ja B tulojoukko eli karteesinen tulo B muodostuu kaikista järjestetyistä pareista (a, b), joissa a ja b B: B = {(a, b) a, b B} TKK () Ilkka Mellin (2004) 95 TKK () Ilkka Mellin (2004) 96

TKK () Ilkka Mellin (2004) 97 Funktion kuvaaja Funktioiden kuvaajien ominaisuuksia Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktion f kuvaaja f * on kaikkien niiden järjestettyjen parien (a, b) joukko, joissa a ja b = f(a): f * = {(a, b) a, b = f(a)} Siten funktion f kuvaaja f * on tulojoukon B osajoukko: f * B Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: Funktion f kuvaajalla f * = {(a, b) a, b = f(a)} on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos a ja f(a)=b, niin järjestetty pari (a, b) f *. (ii) Jokainen a voi olla ensimmäisenä alkiona vain yhdessä joukkoon f * kuuluvassa järjestetyssä parissa: Jos (a, b) f * ja (a, ) f *, niin b =. TKK () Ilkka Mellin (2004) 98 järjestettyjen parien joukkoina 1/4 järjestettyjen parien joukkoina 2/4 Olkoon f * joukkojen ja B karteesisen tulon B = {(a, b) a, b B} osajoukko: f * B Oletetaan, että joukolla f * on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos a, niin on olemassa b B siten, että järjestetty pari (a, b) f *. (ii) Jokainen a voi olla ensimmäisenä alkiona vain yhdessä joukkoon f * kuuluvassa järjestetyssä parissa: Jos (a, b) f * ja (a, ) f *, niin b =. Tällöin f * määrittelee säännön, joka liittää jokaiseen joukon alkioon a yksikäsitteisen joukon B alkion b: Ominaisuus (i) takaa sen, että jokaiseen joukon alkioon a liittyy jokin joukon B alkio b. Ominaisuus (ii) takaa sen, että joukon alkioon a liittyvä joukon B alkio b on yksikäsitteinen. Siten f * määrittelee funktion f joukosta joukkoon B. TKK () Ilkka Mellin (2004) 99 TKK () Ilkka Mellin (2004) 100 järjestettyjen parien joukkoina 3/4 järjestettyjen parien joukkoina 4/4 Edellä esitetty merkitsee sitä, että jokaista funktiota vastaa kääntäen yksikäsitteisesti karteesisen tulon B osajoukko f *, joka toteuttaa ehdot (i) Jos a, niin on olemassa b B siten, että järjestetty pari (a, b) f *. (ii) Jos (a, b) f * ja (a, ) f *, niin b =. Siten funktiot ja ehdot (i) ja (ii) toteuttavat karteesisten tulojen osajoukot voidaan samastaa. Tämä merkitsee sitä, että funktiota ja sen kuvaajaa ei normaalisti tarvitse erottaa toisistaan. voidaan siis määritellä myös seuraavalla tavalla: Karteesisen tulon B = {(a, b) a, b B} osajoukko f määrittelee funktion joukosta joukkoon B, jos jokainen a on ensimmäisenä alkiona täsmälleen yhdessä joukkoon f kuuluvassa järjestetyssä parissa. TKK () Ilkka Mellin (2004) 101 TKK () Ilkka Mellin (2004) 102

TKK () Ilkka Mellin (2004) 103 Yleistetyt karteesiset tulot 1/2 Yleistetyt karteesiset tulot 2/2 Olkoot 1, 2,, n joukkoja ja a 1, a 2,, a n niiden alkioita siten, että a 1 1, a 2 2,, a n n Kutsutaan alkioiden a 1, a 2,, a n järjestettyä jonoa (a 1, a 2,, a n ) n-tuppeliksi. Joukkojen 1, 2,, n karteesinen tulo 1 2 n on kaikkien joukkojen 1, 2,, n alkioiden a 1, a 2,, a n n-tuppeleiden eli järjestettyjen jonojen (a 1, a 2,, a n ) muodostama joukko: 1 2 n = {(a 1, a 2,, a n ) a 1 1, a 2 2,, a n n } TKK () Ilkka Mellin (2004) 104 Joukko-oppi >> vainsanat Distribuutio-lait Indeksoitu joukkoperhe Joukkoperhe Leikkaus Ositus Potenssijoukko Yhdiste Yhdistetty joukko-operaatio TKK () Ilkka Mellin (2004) 105 TKK () Ilkka Mellin (2004) 106 Mitä opimme? Joukkoperheet Tarkastelemme tässä kappaleessa joukko-opin perusoperaatioiden laajentamista useamman kuin kahden joukon tapaukseen. Määrittelemme lisäksi seuraavat käsitteet: (i) Joukkoperhe. (ii) Joukon kaikkien osajoukkojen perhe eli potenssijoukko. (iii) Joukon ositus. Joukkojen kokoelmaa eli joukkoa, jonka alkiot ovat joukkoja kutsutaan tavallisesti joukkoperheeksi. Joukkoperhe on siis joukkojen muodostama joukko. TKK () Ilkka Mellin (2004) 107 TKK () Ilkka Mellin (2004) 108

TKK () Ilkka Mellin (2004) 109 Potenssijoukko Potenssijoukko: Esimerkki Olkoon joukko perusjoukon S osajoukko. Joukon kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoperhettä kutsutaan joukon potenssijoukoksi. Joukon potenssijoukkoa merkitään seuraavasti: 2 Joukon potenssijoukko 2 voidaan määritellä seuraavalla tavalla: 2 = { CC } Olkoon = {1, 2, 3} Tällöin joukon potenssijoukko on 2 = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Joukon potenssijoukko 2 on joukkoperhe, jonka alkioina ovat tyhjä joukko kaikki joukon yhden alkion osajoukot kaikki joukon kahden alkion osajoukot joukko itse TKK () Ilkka Mellin (2004) 110 Indeksoidut joukkoperheet Olkoon jokin joukkoperhe eli joukkojen kokoelma. Olkoon I joukko. Indeksoitu joukkoperhe { i } on funktio i I f : I jossa joukkoa I kutsutaan indeksijoukoksi, joukon I alkiota i indeksiksi ja joukkoa i indeksoiduksi joukoksi. Indeksoidut joukkoperheet: Esimerkkejä Jos indeksijoukkona I on luonnollisten lukujen joukko, on indeksoitu joukkoperhe { } = { 1, 2, i 3, } i Jos indeksijoukkona I on joukko {1, 2,, n} (n ensimmäistä positiivista kokonaislukua), on indeksoitu joukkoperhe { } = i { 1, 2,, n} i I TKK () Ilkka Mellin (2004) 111 TKK () Ilkka Mellin (2004) 112 Yleistetyt joukko-operaatiot { } Olkoon i indeksoitu joukkoperhe. i I Joukkojen i, i I yhdiste i I i on niiden alkioiden x joukko, jotka kuuluvat ainakin yhteen joukoista i, i I: i = { x On olemassa i I siten, että x i} i I Joukkojen i, i I leikkaus i I i on niiden alkioiden x joukko, jotka kuuluvat jokaiseen joukoista i, i I: i = { xx i kaikille i I } i I TKK () Ilkka Mellin (2004) 113 Yleistetyt joukko-operaatiot: Erikoistapauksia 1 { } Olkoon i indeksoitu joukkoperhe, jossa indeksijoukko I on luonnollisten lukujen joukko. Joukkojen i, i yhdiste voidaan määritellä i I muodossa i= 1 { i = x On olemassa i, i = 1,2,3, siten, että x Joukkojen i, i leikkaus voidaan määritellä muodossa i i= 1 { i kaikille 1,2,3, } = x x i= TKK () Ilkka Mellin (2004) 114 i }

TKK () Ilkka Mellin (2004) 115 Yleistetyt joukko-operaatiot: Erikoistapauksia 2 { } Olkoon i indeksoitu joukkoperhe, jossa indeksijoukko I on joukko {1, 2,, n}. i I Joukkojen i, i I yhdiste voidaan määritellä muodossa n i= 1 { i = x On olemassa i, i = 1,2,, n siten, että x Joukkojen i, i I leikkaus voidaan määritellä muodossa n i i= 1 { i kaikille 1,2,, } = xx i= n i } Yleistetyt joukko-operaatiot ja distribuutiolait Olkoon i indeksoitu joukkoperhe ja B mielivaltainen i I joukko. Tällöin ja { } ( i) ( i) B = B i I i I ( i) ( i) B = B i I i I TKK () Ilkka Mellin (2004) 116 Ositukset Joukko-oppi Olkoon perusjoukon S osajoukko. Olkoot B i, i I joukon epätyhjiä osajoukkoja: B i, i I. Joukot B i, i I muodostavat joukon osituksen, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (i) B i I i = >> (ii) B i B j =, jos i j TKK () Ilkka Mellin (2004) 117 TKK () Ilkka Mellin (2004) 118 Mitä opimme? vainsanat Boolen algebra Erotusjoukko Joukko-opin operaatio Joukkoperhe Leikkausjoukko Perusjoukko Tarkastelemme tässä kappaleessa Boolen algebroita. Boolen algebran aksioomat muodostavat perustan joukkoopin aksiomaattiselle käsittelylle ja joukko-opin peruslaskusäännöt voidaan todistaa Boolen algebran aksioomien avulla. ovat suljettuja äärellisen monen tavanomaisen joukko-opin operaation suhteen. muodostavat teoreettisen perustan mm. propositiologiikalle ja äärellisten todennäköisyyskenttien tapahtuma-algebralle. TKK () Ilkka Mellin (2004) 119 TKK () Ilkka Mellin (2004) 120

TKK () Ilkka Mellin (2004) 121 Boolen algebra: Määritelmä 1/2 Olkoon S joukko. Olkoon F jokin joukon S osajoukkojen muodostama joukkoperhe. Jos siis joukko on joukkoperheen F alkio, niin on joukon S osajoukko: F S Boolen algebra: Määritelmä 2/2 Joukkoperhe F on Boolen algebra, jos (i) (ii) F F (iii) F, B F B F F TKK () Ilkka Mellin (2004) 122 Boolen algebra ja joukko-opin operaatiot 1/2 Boolen algebra ja joukko-opin operaatiot 2/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Olkoot F ja B F Boolen algebran aksioomien mukaan,, B, B F Lisäksi voidaan osoittaa, että S, B, \ B, B\ F Boolen algebra on suljettu äärellisen monen tavanomaisen joukko-opin operaation suhteen. Tällä tarkoitetaan siitä, että tavanomaiset joukko-opin operaatiot eivät vie Boolen algebran ulkopuolelle: Jos Boolen algebran F joukkoihin sovelletaan korkeintaan äärellinen määrä tavanomaisia joukko-opin operaatioita komplementti, yhdiste, leikkaus ja erotus, niin tuloksena saatavat joukot kuuluvat edelleen Boolen algebraan F. TKK () Ilkka Mellin (2004) 123 TKK () Ilkka Mellin (2004) 124 Joukko-opin operaatiot Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Todistetaan seuraavat joukko-opin tulokset: (i) Joukko S F (ii) Jos F, B F, niin B F (iii) Jos F, B F, niin \ B F Joukko-opin operaatiot: Perusjoukko 1/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Tällöin perusjoukko S kuuluu joukkoperheeseen F : S F TKK () Ilkka Mellin (2004) 125 TKK () Ilkka Mellin (2004) 126

TKK () Ilkka Mellin (2004) 127 Joukko-opin operaatiot: Perusjoukko 2/2 Väite seuraa, siitä että S = Todistetaan siis, että F ksiooman (i) mukaan F ksiooman (ii) mukaan = S F Joukko-opin operaatiot: Leikkausjoukko 1/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Olkoot F, B F Tällöin joukkojen ja B leikkaukselle pätee: B F TKK () Ilkka Mellin (2004) 128 Joukko-opin operaatiot: Leikkausjoukko 2/2 Väite seuraa siitä, että DeMorganin lain mukaan B = ( B ) Todistetaan siis, että F, B F ( B ) F ksiooman (ii) mukaan F, B F F, B F ksiooman (iii) mukaan F, B F B F Vihdoin aksiooman (ii) mukaan B F ( B ) F Joukko-opin operaatiot: Erotusjoukko 1/2 Olkoon F joukossa S määritelty Boolen algebra. Olkoot F, B F Tällöin joukkojen ja B erotukselle pätee: \ B F TKK () Ilkka Mellin (2004) 129 TKK () Ilkka Mellin (2004) 130 Joukko-opin operaatiot: Erotusjoukko 2/2 Väite seuraa siitä, että \ B = B Todistetaan siis, että F, B F B F ksiooman (ii) mukaan B F B F Leikkausjoukkoa koskevan tuloksen mukaan F, B F B F Boolen algebra: Esimerkki Olkoon S mielivaltainen joukko. Olkoon S mielivaltainen joukon S osajoukko. Tällöin joukkoperhe F = {,,, S} muodostaa Boolen algebran joukossa S, koska (i) F (ii) B F B F (iii) B F, C F B C F Kohdissa (ii) ja (iii) joukot B ja C voivat olla mitkä tahansa joukoista,,, S. TKK () Ilkka Mellin (2004) 131 TKK () Ilkka Mellin (2004) 132

TKK () Ilkka Mellin (2004) 133 Joukko-oppi >> vainsanat Boolen algebra Joukko-opin operaatiot Joukkoperhe σ-algebra TKK () Ilkka Mellin (2004) 134 Mitä opimme? σ-algebran määritelmä 1/2 Tarkastelemme tässä kappaleessa σ-algebroita. ovat Boolen algebroiden laajennuksia. ovat suljettuja numeroituvan monen tavanomaisen joukko-opin operaation suhteen. Kaikki joukko-opin laskusäännöt, jotka voidaan johtaa Boolen algebran aksioomista pätevät myös σ- algebroille. muodostavat teoreettisen perustan mm. yleiselle mittateorialle ja siten myös todennäköisyyslaskennalle. Olkoon S joukko. Olkoon F jokin joukon S osajoukkojen muodostama joukkoperhe. Jos siis joukko on joukkoperheen F alkio, niin on joukon S osajoukko: F S TKK () Ilkka Mellin (2004) 135 TKK () Ilkka Mellin (2004) 136 σ-algebran määritelmä 2/2 ja joukko-opin operaatiot 1/2 Joukkoperhe F on σ-algebra, jos (i) (ii) F F (iii),,, F F 1 2 3 F i i= 1 Olkoon F joukossa S määritelty σ-algebra. Olkoot i F, i = 1,2,3, σ-algebran aksioomien mukaan F, i= 1,2,3, ja F i Lisäksi voidaan osoittaa, että i i= 1 F i i= 1 TKK () Ilkka Mellin (2004) 137 TKK () Ilkka Mellin (2004) 138

TKK () Ilkka Mellin (2004) 139 ja joukko-opin operaatiot 2/2 vs σ-algebra on suljettu numeroituvan monen tavanomaisen joukko-opin operaation suhteen. Tällä tarkoitetaan siitä, että numeroituva määrä tavanomaisia joukko-opin operaatioita ei vie σ-algebran ulkopuolelle: Jos σ-algebran F joukkoihin sovelletaan korkeintaan numeroituva määrä tavanomaisia joukko-opin operaatioita komplementti, yhdiste, leikkaus ja erotus, niin tuloksena saatavat joukot kuuluvat edelleen σ-algebraan F. Jos joukon S osajoukkojen perhe F toteuttaa σ-algebran aksioomat, niin se toteuttaa myös Boolen algebran aksioomat. Siten jokainen Boolen algebran aksioomista johdettu joukko-opin sääntö pätee myös σ-algebroille, mutta ei kääntäen. TKK () Ilkka Mellin (2004) 140