TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013

Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset........................ 4 2 Avoimet joukot.......................... 6 3 Avoimien joukkojen leikkaukset ja yhdisteet.......... 7 2 Topologiset avaruudet 10 1 Topologian peruskäsitteitä.................... 10 2 Jatkuvat kuvaukset topologiassa................. 12 3 Suljetut joukot ja sulkeumat 16 1 Suljetut joukot.......................... 16 2 Sisäpisteet, ulkopisteet ja reuna................. 17 3 Sulkeuma............................. 20 4 Kasaantumispisteet ja erakkopisteet............... 23 4 Hausdorffin avaruudet 25 1 Suppenevat jonot......................... 25 2 Hausdorffin avaruudet...................... 25 5 Topologian kanta 28 1 Kannan määritelmä........................ 28 2 Kantakriteeri........................... 30 6 Aliavaruudet 32 1 Indusoidut topologiat ja aliavaruudet.............. 32 2 Aliavaruuden ominaisuuksia................... 33 7 Tuloavaruudet 36 1 Tuloavaruuden määritelmä.................... 36 2 Jatkuvat kuvaukset tuloavaruuksissa.............. 38 8 Homeomorfismit 42 1 Homeomorfismin määritelmä................... 42 2 Homeomorfismien ominaisuuksia................. 46 1

9 Metriset Avaruudet 49 1 Metriikat............................. 49 2 Metriikan indusoima topologia.................. 51 10 Yhtenäisyys 57 1 Yhtenäisyyden määritelmä.................... 57 2 Polkuyhtenäisyys......................... 60 3 Yhtenäiset komponentit..................... 63 11 Kompaktisuus 66 1 Kompaktit topologiset avaruudet................ 66 2 Jonokompaktisuus........................ 76 12 Tekijäavaruudet 79 1 Kertausta............................. 79 2 Tekijätopologiat.......................... 81 3 Samaistuskuvaukset........................ 88 13 Äärettömät tuloavaruudet 91 1 Johdanto.............................. 91 2 Äärettömän tulotopologian kanta................ 92 3 Tulotopologian ominaisuuksia.................. 95 4 Filtterit.............................. 99 2

Esipuhe Topologia on modernissa muodossaan 1900-luvulla syntynyt matematiikan osa-alue (pohjana Henri Poincarén (1854 1912) paperi Analysis Situs vuodelta 1895). Se on algebran ja analyysin ohella yksi modernin matematiikan pääosa-alueista. Sana topologia on johdettu kreikan kielestä, ja tarkoittaa jotaikuinkin samaa kuin paikan tieto tai paikan tutkimus. Jo tämän perusteella voidaan helposti arvata, mitä ovat ne elementit, joiden tutkimukseen topologia keskittyy. Tutkimuskohteena ovat siis muodot ja kuviot, aivan kuten geometriassakin. Mutta toisin kuin kvantitatiiviseen käsittelyyn keskittyvässä geometriassa, topologiassa ollaan kiinnostuneita muotojen ja kuvioiden kvalitatiivisista ominaisuuksista, ja etenkin sellaisista ominaisuuksista, jotka säilyvät jatkuvissa muutoksissa. On siis mahdollista muokata venyttämällä kuvioita miten paljon vain, kuitenkin ilman repimistä. Topologiaa onkin luonnehdittu plastiseksi geometriaksi ja jopa muovailuvahageometriaksi. Onkin huomionarvoista, että sellaiset geometriset kuviot kuten neliö, suorakaide, ympyrä ja ellipsi ovat kaikki keskenään topologisesti ekvivalentteja. Kuitenkin ympyrä, jossa on reikä keskellä, ei ole näiden kanssa topologisesti ekvivalentti. Yksi yleisesti kuultava anekdootti sanookin topologin olevan sellainen matemaatikko, joka ei erota toisistaan kahvikuppia ja munkkirinkilää. Tämä oppimateriaali on tarkoitettu käytettäväksi yliopistotason topologian kurssilla (tai vastaavalla). Se on laadittu alunperin Tampereen yliopiston Informaatiotieteiden yksikön tarjoaman topologian kurssin opiskelijoille. Materiaali pohjautuu professori Eero Hyryn ko. kurssilla vuonna 2013 pitämiin luentoihin. 3

Luku 1 Johdanto Aivan kuten abstraktissa algebrassa, myös abstraktissa topologiassa ei periaatteessa ole väliä sillä, mitä ovat perimmiltään ne joukot, joista konstruktioita muodostetaan. Ei kuitenkaan ole tarkoituksenmukaista ruveta suoraa päätä käsittelemään topologian abstraktioita. Tässä luvussa pyritäänkin esittämään reaalianalyysistä tuttujen käsitteiden yhteys topologiaan. Tällä tavalla opitaan käyttämään joitakin topologian keskeisiä sääntöjä hieman konkreettisempien esimerkkien kautta. 1 Jatkuvat kuvaukset Palautetaan mieleen reaalianalyysistä tuttu jatkuvien kuvausten määritelmä. On siis muisteltava vastausta seuraavaan kysymykseen: Milloin kuvaus f : R R on jatkuva? Idea: Kyseinen kuvaus on jatkuva täsmälleen silloin, kun f(x) voidaan saada mielivaltaisen lähelle f(x 0 ):aa, kun x valitaan tarpeeksi läheltä x 0 :aa. Reaalianalyysissä tärkein työkalu annetun kuvauksen jatkuvuuden todistamiseksi onkin tunnetusti epsilon delta-menetelmä. ε δ-määritelmä: Kuvaus f : R R on jatkuva, mikäli kaikilla x 0 R pätee seuraava ehto: Kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. Esimerkki. Kuvaus f : R R, x x 2 on jatkuva. Todistus. Olkoon x 0 R ja olkoon ε > 0. Nyt f(x) f(x 0 ) = x 2 x 2 0 = (x + x 0 )(x x 0 ) = x + x 0 x x 0 Havainto: Jos x x 0 < 1, niin x + x 0 = x x 0 + 2x 0, 4

jolloin kolmioepäyhtälön nojalla x + x 0 = x x 0 + 2x 0 x x 0 + 2x 0. Edelleen oletuksen x x 0 < 1 nojalla Täten x + x 0 = x x 0 + 2x 0 x x 0 + 2x 0 < 1 + 2x 0. f(x) f(x 0 ) = x + x 0 x x 0 < (1 + 2x 0 ) x x 0. Valitaan siis δ = min(1, ε ). Tällöin kun x x 1+2 x 0 0 < δ, niin x x 0 < 1 ja f(x) f(x 0 ) < (1 + 2 x 0 ) x x 0 ε < (1 + 2 x 0 ) 1 + 2 x 0 < ε Ajatus on siis, että valitaan mikä tahansa nollaa suurempi ε, niin on aina löydettävissä sitä vastaava nollaa suurempi δ siten, että aina kun tarkastellaan x:n arvoja alle δ:n etäisyydellä x 0 :sta, niin vastaavat funktion arvot ovat alle ε:n etäisyydellä f(x 0 ):sta. Havainto: x x 0 < δ δ < x x 0 < δ x 0 δ < x < x 0 + δ. Nyt siis voidaan määritellä tähän liittyvä avoin reaalilukuväli: { x R x x 0 < δ } = ]x 0 δ, x 0 + δ[. Jatkuvuuden määritelmä voidaan siis kirjoittaa muotoon: Kaikilla ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että eli x ]x 0 δ, x 0 + δ[ f(x) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[, f(]x 0 δ, x 0 + δ[) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[. Toisin sanoen, jokaiselle nollaa suuremmalle ε:lle on olemassa sellainen nollaa suurempi δ, että avoin väli x 0 δ:sta x 0 + δ:aan kuvautuu avoimen välin f(x 0 ) ε:sta f(x 0 ) + ε:aan sisälle. 5

2 Avoimet joukot Tämän lyhyen kertauksen jälkeen voidaan siirtyä tarkastelemaan topologisia käsitteitä sovellettuna reaalisiin joukkoihin. Topologian peruskäsitteistä olennaisin on avoimen joukon käsite, ja näin ollen aloitamme tämän tarkastelun juuri tästä käsitteestä. Määritelmä 1.1. Olkoon U R. Sanotaan, että U on avoin, mikäli kaikilla x 0 U on olemassa δ (= δ(x)) > 0 siten, että ]x 0 δ, x 0 + δ[ U. Toisin sanoen, jokainen avoimen joukon U alkio on keskikohta jollekin U:hun sisältyvälle avoimelle välille. Kun puhutaan avoimista joukoista, herää tietysti kysymys, tarkoittaako tämä reaalisten joukkojen tapauksessa samaa kuin avoimet välit. On helppo huomata, että selvä yhteys näiden käsitteiden välillä onkin olemassa. Esimerkki. Jokainen avoin väli ]a, b[, missä a < b, on avoin. Todistus. Olkoon x 0 ]a, b[. Jos 0 < δ < min(x 0 a, b x 0 ), niin { x0 + δ < x 0 + b x 0 = b x 0 δ > x 0 (x 0 a) = a, joten ]x 0 δ, x 0 + δ[ ]a, b[. Jos siis avoimet välit ovat topologisessa mielessä avoimia, tuntuu järkevältä olettaa, että vastaavasti suljetut välit eivät ole avoimia. Onkin yksinkertaista todistaa tämä intuitiivinen olettamus. Esimerkki. Jos a < b, niin suljettu väli [a, b] ei ole avoin. Todistus. Selvästi kaikilla δ > 0 pätee: ]b δ, b + δ[ [a, b]. Esimerkki. Tyhjä joukko ja koko reaalilukujen joukko R ovat avoimia. Todistus. Reaalilukujen joukko R on avoin, koska kaikille x R ja kaikille δ > 0 pätee ]x δ, x + δ[ R. Tyhjä joukko taas on avoin, koska ei tietenkään ole olemassa sellaista alkiota x, jolle avoimen joukon ehto ei päde. Myöhemmin todetaan, että nämä joukot ovat erikoistapauksia, joilla on joitakin mielenkiintoisia ominaisuuksia. 6

Topologisessa jatkuvien kuvausten määritelmässä jatkuvuus yhdistetään avoimiin joukkoihin. Tämä yhteys osoitetaan seuraavaksi reaalisille joukoille, käyttäen edellä todistettua avoimen välin avoimuutta, sekä aikaisemmin esitettyä vaihtoehtoista jatkuvuuden määritelmää. Lause 1.2. Kuvaus f : R R on jatkuva jos ja vain jos alkukuva f 1 (U) = { x R f(x) U } on avoin kaikilla avoimilla joukoilla U R. Todistus. Olkoon x 0 f 1 (U). Silloin f(x 0 ) U. Koska U on avoin, on olemassa sellainen ε > 0, että ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[ U Tällöin kappaleessa 1 esitetystä jatkuvuuden määritelmän muotoilusta seuraa, että on olemasse δ > 0 siten, että Siis f(]x 0 δ, x 0 + δ[) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[ joten f(]x 0 δ, x 0 + δ[) U, ]x 0 δ, x 0 + δ[ f 1 (U). Täten f 1 (U) on avoin. Olkoon x 0 R ja olkoon ε > 0. Tällöin aiemmin todistetun esimerkin nojalla avoin väli ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[ on avoin. Edelleen oletuksen nojalla alkukuva f 1 (]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[) on avoin. Nyt f(x 0 ) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[, joten x 0 f 1 (]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[). Täten on olemassa δ > 0 siten, että Tällöin ]x 0 δ, x 0 + δ[ f 1 (]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[). f(]x 0 δ, x 0 + δ[) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[, joten kappaleessa 1 esitetystä jatkuvuuden määritelmän muotoilusta seuraa, että f on jatkuva. 3 Avoimien joukkojen leikkaukset ja yhdisteet Olemme todenneet, että avoimet reaalilukuvälit ovat topologisessa mielessä avoimia. Seuraavaksi osoitetaan, että voidaan muodostaa uusia avoimia joukkoja käyttämällä avoimien joukkojen yhdisteitä ja leikkauksia. 7

Lause 1.3. Jos (U i ) i I on perhe avoimia joukkoja, niin yhdiste R on avoin. Todistus. Olkoon x 0 i I U i. U i i I Nyt on olemassa i I siten, että x 0 U i. Koska U i on avoin kaikilla i I, niin on olemassa sellainen δ > 0, että avoin väli ]x 0 δ, x 0 + δ[ U i. Tällöin, koska U i U i, niin edelleen ]x 0 δ, x 0 + δ[ U i. i I i I Lause 1.4. Jos U 1,..., U n R (n N) ovat avoimia, niin myös leikkaus U 1 U 2... U n R on avoin. Todistus. Olkoon x 0 U 1... U n. Silloin x 0 U i kaikilla i {1,..., n}. Koska U i on avoin kaikilla i, niin kaikille U i on olemassa sellainen δ i > 0, että ]x 0 δ i, x 0 + δ i [ U i. Merkitään δ = min{ δ i i = 1,..., n }. Tällöin kaikilla i {1,..., n}. Siis ]x 0 δ, x 0 + δ[ ]x 0 δ i, x 0 + δ i [ ]x 0 δ, x 0 + δ[ U 1... U n, joten U 1... U n on avoin. Huomataan, että myös ääretön yhdiste toteuttaa lauseen 1.3, mutta leikkauksen ollessa kyseessä lause 1.4 pätee yleispätevästi vain äärellisille tapauksille. Seuraavaksi esitetään yksi esimerkki äärettömästä avoimien joukkojen leikkauksesta, joka ei itse ole avoin. Esimerkki. Ääretön leikkaus ei ole avoin. i=1 ] 1, 1 [ = ] 1, 0] i Edellä on todettu, että suljetut välit eivät selvästikään ole avoimia. Seuraavaksi esitellään suljetun joukon käsite, joka on topologisessa mielessä eräänlainen vastakohta avoimille joukoille. Yhteys suljettuihin reaalilukuväleihin on intuitiivinen, ja myös helppo todistaa. 8

Määritelmä 1.5. Sanotaan, että joukko F R on suljettu, mikäli sen komplementti R \ F on avoin. Esimerkki. Suljettu väli [a, b] R, missä a, b R, a < b, on suljettu. Todistus. Suljetun välin komplementti R \ [a, b] = ], a[ ]b, [. Koska avoimet välit ovat avoimia, ja avoimien joukkojen yhdisteet ovat avoimia (Lause 1.3), niin ], a[ ]b, [ on avoin, joten [a, b] on suljettu. Huomautus. Tyhjä joukko sekä koko reaalilukujen joukko R ovat molemmat sekä avoimia että suljettuja! Edellä on todistettu, että ne ovat molemmat avoimia. Ne ovat kuitenkin toistensa komplementteja, joten niillä molemmilla on avoin komplementti. Näin ollen ne ovat myös suljettuja. 9

Luku 2 Topologiset avaruudet Edellisessä luvussa tarkasteltiin, miten tiettyjä topologisia konsepteja voidaan soveltaa reaalilukujen osajoukoille. Tämän konkretisoinnin jälkeen on luontevaa siirtyä näiden peruskäsitteiden yleistyksiin. Aloitamme määrittelemällä yleistykset edellä mainituille peruskäsitteille. 1 Topologian peruskäsitteitä Topologiassa olennaisimpia konstruktioita ovat niinsanotut topologiset avaruudet, joiden kvalitatiivisten ominaisuuksien tutkimiseen koko topologia nojaa. Topologisen avaruuden määritelmä perustuu puhtaasti joukko-oppiin, ja on laajin sellainen avaruuden konstruktio, joka tarjoaa mahdollisuuden mm. jatkuvuuden määrittelyyn. Määritelmä 2.1. Olkoon X joukko ja olkoon T P(X) kokoelma sen osajoukkoja. Sanotaan, että pari (X, T ) on topologinen avaruus, mikäli seuraavat kolme aksioomaa ovat voimassa: T1:, X T T2: U i T, i I i I U i T T3: U 1,..., U n T U 1... U n T Tällöin joukon X alkioita sanotaan pisteiksi. Kokoelman T jäsenet ovat X:n avoimia osajoukkoja. Topologinen avaruus koostuu siis joukosta pisteitä, sekä kokoelmasta avoimia pistejoukkoja. Huomautus. Usein puhutaan vain topologisesta avaruudesta X ja sen avoimista joukoista. 10

Tässä vaiheessa on tärkeää todeta, että edellisessä luvussa esitelty reaalilukujen avoimien osajoukkojen määritelmä toteuttaa topologisen avaruuden aksioomat, koska muuten olisimme tehneet turhaa työtä. Tämän todistaminen on onneksi helppoa. Esimerkki. Merkitään T := { U R U avoin }. On todettu, että ja R ovat avoimia, joten aksiooma T1 toteutuu. Myöskin edellisessä luvussa todistettiin avoimien joukkojen yhdisteiden ja äärellisten leikkausten avoimuus reaalisille joukoille, joten myös aksioomat T2 ja T3 toteutuvat, siis (R, T ) on topologinen avaruus. Eräs käytännöllinen topologinen avaruus voidaan määritellä myös reaalianalyysistä tutuilla menetelmillä. Palautetaan mieleen euklidinen etäisyys ja r-säteinen kuula, ja voimme muotoilla seuraavan topologian: Esimerkki. Jos x R n ja r > 0, niin x-keskinen ja r-säteinen kuula on B(x, r) := { y R n y x < r }, missä y x = (y 1 x 1 ) 2 +... + (y n x n ) 2. Sovitaan, että U R n on avoin, mikäli kaikilla x U on olemassa r > 0 siten, että B(x, r) U. Merkitään T := { U R n U avoin }. Nyt (R n, T ) on topologinen avaruus. T on R n :n standarditopologia. Todistus. HT. Käydään vielä läpi joitakin erityisiä topologisia avaruuksia. Esimerkki. Olkoon X joukko. Tällöin T = {, X} on X:n triviaali topologia. T = P(X) (= X:n kaikki osajoukot) on X:n diskreetti topologia. Esimerkki. Olkoon X = {0, 1}. Tällöin T = {, {0, 1}, {0}} on X:n topologia (Sierpińskin topologia). Joukko {0, 1} varustettuna Sierpińskin topologialla on pienin sellainen topologinen avaruus, joka ei ole triviaali tai diskreetti. Sen yhteys esimerkiksi laskettavuuden teoriaan on merkittävä. 11

Esimerkki. Olkoon X joukko. Merkitään T := { U X X \ U äärellinen } { }. Saadaan topologia (kofiniittinen topologia). Todistus. HT. Olemme esittääneet kolmeen aksioomaan perustuvan määritelmän topologiselle avaruudelle, sekä käyneet esitelmänomaisesti läpi erilaisia topologioita. Seuraavaksi on tarpeen esitellä ensimmäinen käsite, joka liittyy eri topologioiden välisiin suhteisiin. Määritelmä 2.2. Olkoon X joukko ja olkoot T 1 ja T 2 sen topologioita. Jos T 1 T 2, niin sanotaan, että T 1 on karkeampi kuin T 2, tai että T 2 on hienompi kuin T 1. Esimerkki. Jos X on joukko, niin sen triviaali topologia T = {, X} on sen kaikkein karkein topologia. Toisaalta diskreetti topologia T = P(X) on sen kaikkein hienoin topologia. Esimerkki. Tarkastellaan R:n kofiniittista topologiaa Olkoon U T. T := { U R U äärellinen } { }. Jos U = tai U = R, niin U on avoin R:n standarditopologiassa. Oletetaan, että U R. Nyt U T R \ U äärellinen ja R \ U R \ U = {a 1,..., a n }, missä a 1 <... < a n U = R \ R \ U = R \ {a 1,..., a n } = ], a 1 [ ]a 1, a 2 [... ]a n 1, a n [ ]a n, [ U avoin R:n standarditopologiassa Siis kofiniittinen topologia sisältyy standarditopologiaan, joten kofiniittinen topologia on standarditopologiaa karkeampi. 2 Jatkuvat kuvaukset topologiassa Topologisiin avaruuksiin tutustumisen jälkeen on luontevaa jatkaa suoraan jatkuvien kuvausten topologiseen määritelmään. Nyt siis yleistetään edellisessä luvussa reaalilukujoukoille määritelty jatkuvuuden käsite koskemaan mielivaltaisia topologisia avaruuksia. 12

Määritelmä 2.3. Olkoot (X, T ) ja (Y, S) topologisia avaruuksia. Sanotaan, että kuvaus f : X Y on jatkuva, mikäli V S f 1 (V ) T. Toisin sanoen, jokaisen avoimen joukon alkukuva kuvauksessa f on avoin joukko. Topologisten avaruuksien avulla on siis mahdollista määritellä jatkuvuuden käsite, ilman että tarvitsisi määritellä kyseisille joukoille etäisyyden käsitettä. Tämän kaltainen yleispätevyys onkin yksi topologian erityispiirteistä. Seuraavaksi tutkitaan joidenkin tuttujen kuvausten jatkuvuutta topologisessa mielessä. Esimerkki. Jos X = Y = R ja T = S := R:n standarditopologia, niin kuvauksen f : R R jatkuvuus tarkoittaa juuri samaa kuin ennestään tutuissa määritelmissä. Esimerkki. Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Tällöin identtinen kuvaus id: X X, x x on jatkuva, sillä U T U = id 1 (U) T. Esimerkki. Olkoot (X, T ) ja (Y, S) topologisia avaruuksia. Tällöin jokainen vakiokuvaus f : X Y on jatkuva. Toisin sanoen on olemassa y 0 Y siten, että f(x) = y 0 kaikilla x X. Nimittäin {, kun V S f 1 y0 V (V ) = X, kun y 0 V (Koska f 1 (V ) = { x X f(x) V } = { x X y 0 V }.) Täten aksioomasta T1 seuraa, että f 1 (V ) T, joten f on jatkuva. Esimerkki. Jos X on diskreetti (T = P(X)) tai Y on triviaali (S = {, Y }), niin jokainen kuvaus f : X Y on jatkuva. Olkoon X diskreetti. Tällöin jos V S, niin f 1 (V ) X. Näin ollen f 1 (V ) P(X) = T. Olkoon Y triviaali. Silloin pätee: { f 1 ( ) = T f 1 (Y ) = X T. Esimerkki. Tarkastellaan joukkojen R ja R 2 standarditopologioita. Tällöin kuvaus f : R 2 R, (x, y) x + y on jatkuva. 13

Todistus. Olkoon V R avoin. Pitää osoittaa, että alkukuva f e (V ) R 2 on avoin. Olkoon (x 0, y 0 ) f 1 (V ). Tarvitaan r > 0 siten, että avoin kuula B((x 0, y 0 ), r) f 1 (V ) f(b((x 0, y 0 ), r)) V. eli Nyt koska (x 0, y 0 ) f 1 (V ), niin f(x 0, y 0 ) V. Tällöin koska V R on avoin, niin on olemassa ε > 0 siten, että On vielä ratkaistava, milloin pätee jolloin tietysti myös ]f(x 0, y 0 ) ε, f(x 0, y 0 ) + ε[ V. f(b((x 0, y 0 ), r)) ]f(x 0, y 0 ) ε, f(x 0, y 0 ) + ε[, f(b((x 0, y 0 ), r)) V. Todetaan, että f(x, y) ]f(x 0, y 0 ) ε, f(x 0, y 0 ) + ε[, jos ja vain jos etäisyys f(x, y) f(x 0, y 0 ) < ε. Lisäksi f(x, y) f(x 0, y 0 ) = x + y x 0 + y 0 = x x 0 + y y 0. Nyt kolmioepäyhtälön nojalla pätee x x 0 + y y 0 x x 0 + y y 0 < ε, mikäli Nyt x x 0 < ε 2 ja y y 0 < ε 2. (x, y) B((x 0, y 0 ), r) (x, y) (x 0, y 0 ) < r (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < r, mutta edellä todettiin jo, että x x 0, y y 0 Siis valinta r = ε kelpaa. 2 Täten jos (x, y) B((x 0, y 0 ), ε ), niin 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2. f(x, y) f(x 0, y 0 ) < ε, eli f(x, y) ]f(x 0, y 0 ) ε, f(x 0, y 0 ) + ε[. Kun yhdistetään kaksi jatkuvaa kuvausta, saadaan jatkuva kuvaus. Tämän sisältöinen lause todistettiin analyysin peruskurssilla heti jatkuvuuden määrittelemisen jälkeen. Sama pätee myös topologisessa mielessä. Tämän todistaminen ei kuitenkaan vaadi läheskään niin paljon työtä kuin analyysissa. 14

Lause 2.4. Olkoot X, Y, Z topologisia avaruuksia. Jos kuvaukset f : X Y ja g : Y Z ovat jatkuvia, niin samoin on yhdistetty kuvaus g f : X Z. Todistus. Olkooon W Z avoin. Yhdistetty kuvaus on jatkuva, mikäli alkukuva (g f) 1 (W ) X on avoin. Merkitään (g f) 1 (W ) = f 1 (g 1 (W )). Havaitaan, että koska g on jatkuva ja lisäksi W Z on avoin, niin myös alkukuvan g 1 (W ) Y on oltava avoin. Edelleen, koska f on jatkuva ja g 1 (W ) Y on avoin, nin alkukuvan f 1 (g 1 (W )) on oltava avoin. 15

Luku 3 Suljetut joukot ja sulkeumat Kun nyt olemme tutustuneet topologian peruskäsitteisiin, on seuraavaksi siirryttävä tarkastelemaan joitakin näistä peruskäsitteistä johdettuja määritelmiä. Tässä luvussa perehdytään sellaisiin käsitteisiin, joiden tunteminen on välttämätöntä, kun halutaan analysoida joukkoja topologisessa mielessä. 1 Suljetut joukot Edellisessä luvussa määriteltiin avoimet joukot, joista topologiset avaruudet muodostuvat. Me olemme kuitenkin kiinnostuneita myös muista avaruuden pistejoukoista. Seuraavaksi määritelläänkin suljetut joukot, jotka ovat eräänlaisia erikoistapauksia topologisten avaruuksien pistejoukkojen joukossa. Määritelmä 3.1. Olkoon X topologinen avaruus. Joukko F X on suljettu, mikäli sen komplementti X \ F X on avoin. Suljetut joukot ovat siis täsmälleen ne topologisen avaruuden pistejoukot, joiden komplementti kuuluu kyseisen avaruuden topologiaan. Joitakin esimerkkejä jo tuntemiemme topologisten avaruuksien suljetuista joukoista on esitetty seuraavassa. Esimerkki. Kuten aiemmin on jo tietyille tapauksille osoitettu, sekä tyhjä joukko että kaikkien pisteiden joukko ovat suljettuja: X = X \, joten on suljettu. = X \ X, joten X on suljettu. Esimerkki. Olkoon X joukko varustettuna kofiniittisella topologialla. Tällöin F X on suljettu jos ja vain jos sen komplementti X \ F on avoin, eli X \ F = tai X \ (X \ F ) on äärellinen. F = X tai F on äärellinen. 16

Edellisestä luvusta muistamme, että avoimien joukkojen yhdisteet sekä äärelliset leikkaukset ovat avoimia. Myös suljetuille joukoille on olemassa vastaavat säännöt, jotka todistamme seuraavaksi. Lause 3.2. Olkoon X topologinen avaruus. Tällöin a) Jos joukot F i X ovat suljettuja (i I), niin leikkaus i I F i on suljettu. b) Jos joukot F 1,..., F n X ovat suljettuja, niin yhdiste F 1... F n on suljettu. Todistus. Käytetään De Morganin kaavoja: a) X \ F i = X \ F i. i I i I Nyt koska F i on suljettu kaikilla i I, niin X \ F i on avoin kaikilla i I. Tällöin aksiooman T2 perusteella yhdiste on avoin. Siis i I F i on suljettu. i I X \ F i = X \ i I F i b) X \ (F 1 F n ) = (X \ F 1 )... (X \ F n ). Nyt koska F i on suljettu kun i {1,..., n}, niin X \ F i on avoin kun i {1,..., n}. Tällöin aksiooman T3 perusteella leikkaus (X \ F 1 )... (X \ F n ) = X \ (F 1 F n ) on avoin. Siis F 1... F n on suljettu. Nyt voidaan määritellä jatkuvat kuvaukset suljettujen joukkojen avulla aivan yhtä hyvin kuin avoimien joukkojenkin avulla. Esimerkki. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia. Kuvaus f : X Y on jatkuva jos ja vain jos alkukuva f 1 (F ) on suljettu kaikilla suljetuilla joukoilla F Y. Todistus. HT. 2 Sisäpisteet, ulkopisteet ja reuna Tässä kappaleessa tutustutaan eräisiin topologiassa varsin keskeisiin termeihin. Monet topologiset ominaisuudet perustuvat siihen, mitkä pisteet muodostavat tarkasteltavan joukon ulkopisteet, sisäpisteet ja reunan. Ennen näiden käsitteiden formalisointia on kuitenkin tarpeen esitellä määritelmä tietyn pisteen ympäristölle. Tätä määritelmää tullaan käyttämään tästä eteenpäin varsin ahkerasti. 17

Määritelmä 3.3. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon x X. Jos U X on avoin siten, että x U, niin sanotaan, että U on pisteen x ympäristö. Määritelmä 3.4. Olkoon X topologinen avaruus, A X ja x X. Sanotaan, että x on A:n sisäpiste, mikäli on olemassa x:n ympäristö U siten, että U A. A:n ulkopiste, mikäli on olemassa x:n ympäristö U siten, että U X \A. A:n reunapiste, mikäli kaikilla x:n ympäristöillä U pätee, että U A ja U (X \ A). Merkitään: Nyt siis X = int(a) ext(a) (A) int(a) := { A:n sisäpisteet } ext(a) := { A:n ulkopisteet } (A) := { A:n reunapisteet } ( := erillinen yhdiste). Jokainen joukko koostuu siis sisäpisteistä, ulkopisteistä ja reunapisteistä, ja niiden joukot ovat toisistaan erillisiä (tämä seuraa suoraan määritelmästä). Sovelletaan tätä määritelmää seuraavaksi tutulle topologialle. Esimerkki. Tarkastellaan euklidisen avaruuden R n standarditopologiaa. Olkoon x R n ja r > 0. Tällöin avoimille kuulille pätee: a) Sisäpisteiden joukko int(b(x, r)) = B(x, r). b) Reunapisteiden joukko (B(x, r)) = { y R n x y = r } =: S(x, r). Todistus. a) Riittää osoittaa, että B(x, r) on avoin, koska tästä seuraa että kaikilla y B(x, r) on olemassa sellainen δ > 0, että B(y, δ) B(x, r), kun valitaan δ = r y x. Olkoon y B(x, r). Osoitetaan, että B(y, r y x ) B(x, r). Olkoon z B(y, r y x ). Nyt z y < r y x. Tällöin Edelleen kolmioepäyhtälön nojalla z x = z y + y x. z y + y x z y + y x < r y x + y x = r. b) Osoitetaan osajoukkous molempiin suuntiin. 18

S(x, r) (B(x, r)): Pitää osoittaa, että y S(x, r) { U B(x, r) U (R n \ B(x, r)) kaikilla y:n ympäristöillä U. Koska U on avoin ja y U, niin on olemassa δ > 0 siten, että B(y, δ) U. Nyt riittää todistaa, että B(y, δ) B(x, r) ja B(y, δ) (R n \ B(x, r)) kaikilla δ > 0. Merkitään z(t) := x + t(y x) Todetaan, että (t R). z(t) y x y + t(y x) = t 1 y x = t 1 r, Ja edelleen z(t) y = t 1 r < δ, jos t 1 < δ r Näin ollen z(t) B(y, δ), jos t 1 < δ. r Edelleen, { > r, jos t > 1, z(t) x = t y x = t r = < r, jos 0 t < 1. Siis t 1 < δ r t > 1 } z(t) B(y, δ) (R n \ B(x, r)). (B(x, r)) S(x, r): a)-kohdan perusteella pätee: Jos y x < r, niin y on B(x, r):n sisäpiste. Täten riittää todistaa, että jos y x > r, niin y on B(x, r):n ulkopiste. Olkoon y R n siten, että y x > r. On osoitettava, että tällöin B(y, y x r) R n \ B(x, r). Olkoon z B(y, y x r). Tällöin z y < y x r. Nyt kolmioepäyhtälön nojalla Näin ollen x y = x z + z y z + x + z y. z x x y z y > x y ( y x r) < r, joten z R n \ B(x, r). 19

Jotta edellä esitetyissä määritelmissä olisi topologisessa mielessä järkeä, täytyy sisä-, ulko- ja reunapisteiden joukkojen tietenkin olla avoimia ja/tai suljettuja. Tämä todistetaan seuraavaksi. Lause 3.5. Olkoon X topologinen avaruus. Jos A X, niin int(a) ja ext(a) ovat avoimia, mutta (A) on suljettu. Todistus. 1) int(a) on avoin: Jos x int(a), niin on olemassa sellainen x:n ympäristö U x, että pätee U x A. Havaitaan, että U x sisältyy int(a):han, nimittäin mielivaltaiselle pisteelle y U x pätee, että U x on y:n ympäristö (koska U x on avoin ja y U x ), joten tällöin y int(a). Siis Kun x int(a), niin x U x. Joten int(a) U x. x int(a) Kun x int(a), niin U x int(a) Siis U x = int(a). Koska siis int(a) on avoimien joukkojen yhdiste, x int(a) se on avoin. 2) ext(a) on avoin, sillä ext(a) = int(x \ A). Tämä seuraa suoraan määritelmästä. 3) (A) on suljettu: Koska niin X = int(a) ext(a) (A), X \ (A) = int(a) ext(a). Näin ollen X \ (A) on avoimien joukkojen yhdiste (kohtien 1 ja 2 nojalla), eli se on avoin. Siis (A) on suljettu. 3 Sulkeuma Tässä kappaleessa käsitellään erästä tärkeää konstruktiota, joka muodostetaan joukon sisä- ja reunapisteistä. Sulkeuma on intuitiivisella tavalla tiettyyn joukkoon yhteydessä olevien pisteiden joukko. Tämän käsityksen formalisoimme seuraavaksi. Määritelmä 3.6. Olkoon X topologinen avaruus. Jos A X, niin A:n sulkeuma on: A := int(a) (A). 20

Esimerkki. Tarkastellaan topologista avaruutta R (standarditopologia). Tällöin [0, 1[ = [0, 1]. Nimittäin int([0, 1[) = ]0.1[ ja ([0, 1[) = {0, 1}. Ainakin reaalisissa joukoissa sulkeuma siis noudatta sitä intuitiota, jonka siitä saatoimme aluksi muodostaa. Abstraktimpien joukkojen tapauksessa määritelmä toimii aivan yhtä hyvin, joskin sen konkreettinen käsitteellistäminen on vaikeampaa. Seuraavaksi todistetaan joitakin sulkeuman ominaisuuksia, jotka ovat erilaisten sovellusten kannalta äärimmäisen hyödyllisiä. Lause 3.7. Olkoon X topologinen avaruus. Jos A X, niin A := F suljettu, F A Tällöin A on suppein suljettu joukko F X siten, että A F. Todistus. 1) A on suljettu: Koska X = int(a) ext(a) (A), niin Siis A on suljettu. 2) A A: F. X \ A = X \ (int(a) (A)) Koska A ext(a) =, niin on oltava 3) Kohdista 1 ja 2 seuraa, että Osoitetaan sitten, että A = ext(a), mikä on avoin. A int(a) (A) = A. F suljettu, F A F suljettu, F A F A. Olkoon x A. Tehdään vastaoletus, että on olemassa suljettu F X siten, että F A, mutta x F. Nyt koska x F, niin x X \ F. Tällöin, koska F on suljettu, niin X \ F on avoin. Mutta toisaalta koska A F, niin X \ F X \ A. Täten X \ F on x:n ympäristö siten, että F. X \ F X \ A, 21

joten määritelmän mukaan x ext(a). Tämä on ristiriita. Voidaan siis todeta, että A F, joten A = F suljettu, F A F suljettu, F A F. 4) A suppein tällainen joukko: Olkoon F X suljettu siten, että F A. Todistettava, että A F. Koska A = F, niin A F. F suljettu, F A Lause 3.8. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X. Tällöin A on suljettu jos ja vain jos A = A. Todistus. Lauseen 3.7 nojalla A on suljettu, joten jos A = A, niin tietenkin A on suljettu. Jos A on suljettu, niin tällöin X \ A on avoin. Nyt X \ A = ext(a), koska X \ A on jokaisen pisteen x X \ A ympäristö. Edelleen A = X \ (X \ A) = X \ ext(a) = int(a) (A) = A Esittelemme vielä yhden mielenkiintoisen käsitteen ennen siirtymistä seuraavaan aiheeseen. Määritelmä 3.9. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X. Sanotaan, että A on tiheä, mikäli A = X Huomautus. x A x ext(a) Ei ole olemassa x:n ympäristöä U siten, että U X \ A Kaikilla x:n ympäristöillä U pätee: U A Nyt eräs esimerkki tiheästä joukosta, joka saattaa nousta mieleen, on tietenkin rationaalilukujen joukko tarkasteltaessa reaalilukujen joukkoa. Tämä ominaisuus onkin varsin helppo todistaa käyttämällä analyysistä tuttuja työkaluja. 22

Esimerkki. Q = R, eli Q on tiheä R:ssä. Todistus. Olkoon x R ja olkoon U Rx:n ympäristö. Nyt koska U on avoin, niin on olemassa ε > 0 siten, että ]x ε, x + ε[ U. Analyysin peruskursseilla on todistettu, että jokaisella tällaisella välillä on olemassa q Q siten, että x ε < q < x + ε. Näin ollen U Q, joten x Q. Esimerkki. Jos R on varustettu kofiniittisella topologialla, niin jokainen joukko V R on tiheä. Todistus. Pitää osoittaa, että V = R. Olkoon x R. Jos U R on x:n ympäristö, on todistettava että leikkaus U V. Tehdään siis vastaoletus, että U V =. Tällöin U R \ V. Nyt koska V on avoin, niin R \ V on äärellinen, joten myös U on äärellinen. Toisaalta U }{{} x U on avoin, joten R \ U on äärellinen. Siis R = U (R\U) on äärellinen. Tämä on tietenkin ristiriitaista. Koska vastaoletus johtaa ristiriitaan, voidaan todeta että U V. 4 Kasaantumispisteet ja erakkopisteet Tähän asti olemme huomanneet, että topologisilla määritelmillä on olemassa selvät vastaavuudet analyysissa ja reaalilukujen maailmassa. Myöskään seuraavat määritelmät eivät tee poikkeusta tässä suhteessa. Me olemme kiinnostuneita tekemään eron joukkojen ja pisteiden välillä sen mukaan, onko niiden ympärillä tilaa vai ei. Määritelmä 3.10. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X joukko. Jos x X, niin sanotaan, että x on A:n kasaantumispiste, mikäli U (A \ {x}) kaikilla x:n ympäristöillä U. x on A:n erakkopiste, mikäli on olemassa x:n ympäristö U siten, että U (A \ {x}) =. Jos A:n jokainen piste on erakkopiste, niin sanotaan että A on diskreetti. Voidaan siis sanoa, että erakkopisteiden ympärillä on tilaa, mutta kasaantumispisteiden ympärillä ei ole (tarkasteltaessa tietyn joukon pisteitä). 23

Esimerkki. Piste 0 R on joukon A := { 1 n 0 n N } kasaantumispiste. Todistus. Olkoon U R 0:n ympäristö. Nyt on olemassa sellainen ε > 0, että ] ε, ε[ U. Tällöin n > 1 ε 1 n < ε 1 n ] ε, ε[ U U (A \ {0}). }{{} =A Esimerkki. Z R on diskreetti (eli jokainen piste n Z on erakkopiste). Todistus. Olkoon n Z. Nyt ]n 1, n + 1[ Z = {n}, joten ]n 1, n + 1[ Z \ {n} =. Huomautus. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X joukko. Tällöin Jos x A, niin x on joko A:n kasaantumispiste tai A:n erakkopiste. Jos x A ja lisäksi x on A:n kasaantumispiste, niin x (A). Nimittäin: Olkoon U x:n ympäristö. Tällöin jos x on A:n kasaantumispiste, niin U (A \ {x}) = U A ja toisaalta Siis x (A). x A, x U U (X \ A). 24

Luku 4 Hausdorffin avaruudet Tässä luvussa esitellään topologisten avaruuksien luokka, jossa eri pisteille pätee hieman vahvempi erottelu kuin yleisesti topologisissa avaruuksissa. Tällaiset Hausdorffin avaruudet ovat eräitä kiinnostavimmista topologisista avaruuksista. 1 Suppenevat jonot Yleistetään ensin ennestään tuttu raja-arvon käsite toimimaan topologisessa mielessä. Tämä on varsin helppoa tehdä, sillä olemme jo edellisissä luvuissa määritelleet tarvitsemamme käsitteet. Määritelmä 4.1. Olkoon X topologinen avaruus. Sanotaan, että jono (x n ) n 1 X:n alkioita suppenee kohti pistettä x X, mikäli jokaisella X:n ympäristöllä U on olemassa N 1 siten, että Tällöin merkitään lim n x n = x. n N x n U. Esimerkki. Varustetaan joukko X = {0, 1} topologialla T = {, {0}, {0, 1}}. Jos x n = 0 kaikilla n 1, niin n lim x n = 0, mutta toisaalta n lim x n = 1. Todistus. Olkoon U 1:n ympäristö. Tällöin on oltava U = {0, 1}. Edelleen x n U kaikilla n 1, joten n lim x n = 1, mutta samoin n lim x n = 0. 2 Hausdorffin avaruudet Määritelmä 4.2. Olkoon X topologinen avaruus. Sanotaan että X on Hausdorffin avaruus (tai X on Hausdorff ), mikäli kaikilla pisteillä x, y X, x y on olemassa avoimet joukot U, V X siten, että x U, y V ja U V =. Toisin sanoen, X on Hausdorff, mikäli sen kaikilla eri pisteillä on olemassa erilliset ympäristöt. 25

Määritelmästä nähdään, että ei taaskaan ole kovin vaikea keksiä tällaiselle avaruudelle konkreettista esimerkkiä reaalianalyysin puolelta. Esimerkki. R n on Hausdorff. Todistus. Olkoon x, y R n ja olkoon x y. Osoitetaan, että tällöin leikkaus B(x, x y ) B(y, x y ) =. 2 2 Jos olisi olemassa z B(x, x y ) B(y, x y ), niin tällöin pitäisi olla 2 2 x z < x y ja y z < x y. Tällöin 2 2 Edelleen kolmioepäyhtälön nojalla x y = x z + z y. x z + z y x z + y z < x y 2 + x y 2 = x y, mikä on ristiriitaista. On siis todettu, että ei ole olemassa pistettä z B(x, x y ) B(y, x y ), 2 2 joten R n on Hausdorff. Kuten edellisessä kappaleessa todettiin, että raja-arvot eivät välttämättä ole yksikäsitteisiä kaikissa topologioissa. Eräs hausdorffin avaruuksien ominaisuuksista on se, että raja-arvot ovat niissä yksikäsitteisiä. Tämä todistetaan seuraavaksi. Lause 4.3. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon (x n ) n 1 jono X:n pisteitä. Oletetaan, että x, y X siten, että n lim x n = x ja n lim x n = y. Tällöin, jos X on Hausdorff, niin y = x. Todistus. Oletetaan, että X on Hausdorff ja että n lim x n = x ja n lim x n = y. Tehdään vastaoletus, että x = y. Nyt, koska X on Hausdorff, niin on olemassa x:n ympäristö U ja y:n ympäristö V siten, että U V =. Koska n lim x n = x, niin on olemassa N 1 1 siten, että x n U kaikilla n N 1. Toisaalta, koska n lim x n = y, niin on olemassa N 2 1 siten, että x n V kaikilla n N 2. Mutta kun n max(n 1, N 2 ), niin x n U V =, mikä on ristiriitaista. On siis oltava x = y. Todistetaan vielä yksi, joskin ehkä vähemmän mielenkiintoinen ominaisuus Hausdorffin avaruuksille. Lause 4.4. Jos X on Hausdorffin avaruus, niin yksikkö {x} on suljettu kaikilla x X. Todistus. On osoitettava, että X \ {x} on avoin kaikilla x X. Olkoon y X \ {x}. Nyt tietenkin y = x. Tällöin koska X on Hausdorff, niin on olemassa x:n ympäristö U x,y ja y:n ympäristö V x,y siten, että leikkaus U x,y V x,y =. 26

Koska U x,y V x,y =, niin V x,y X \ {x}. Havaitaan, että X \ {x} = V x,y, y X\{x} nimittäin: Koska y X \ {x}, niin y V x,y. Koska V x,y X \ {x} kaikilla y X \ {x}, niin V x,y X \ {x}. y X\{x} Täten X \ {x} on avoin avoimien joukkojen yhdiste. 27

Luku 5 Topologian kanta Edellisissä kappaleissa olemme tarkastelleet topologian peruskäsitteitä ja tietynlaisia topologisia avaruuksia. Seuraavaksi esittelemme topologioiden konstruoimisen kannalta tärkeän käsitteen, topologian kannan. Tämä auttaa jatkossa siten, että eräiden topologioiden avoimia joukkoja koskevat ominaisuudet voidaan pelkistää kannan alkioiden ominaisuuksia koskeviksi väitteiksi. Aloitamme määritelmällä. 1 Kannan määritelmä Määritelmä 5.1. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon B P(X) kokoelma sen avoimia osajoukkoja. Sanotaan, että B on X:n topologian kanta, mikäli kaikilla avoimilla joukoilla U ja pisteillä x U on olemassa joukko B x B siten, että x B x U. Siis jokaisen tietyn topologian avoimen joukon jokainen alkio on myös jonkin kyseisen topologian kannan alkio. Tarkastelemme nyt tuttuja topologioita tältä kannalta. Esimerkki. Avoimet kuulat B(x, r) := { y R n y x < r }, missä x R n ja r > 0, muodostavat R n :n standarditopologian kannan. Esimerkki. Avoimet kuutiot K(x, r) := { y R n y i x i < r } = ]x 1 r, x 1 + r[... ]x n r, x n + r[, missä x R n ja r > 0, muodostavat niin ikään R n :n standarditopologian kannan. Todistus. Pitää osoittaa, että 28

K(x, r) on avoin (HT). Jos U R n on avoin ja x U, niin on olemassa r > 0 siten, että kuutio K(x, r) U. Oletetaan, että U R n on avoin ja x U. Nyt koska U on avoin, niin on olemassa δ > 0 siten, että avoin kuula B(x, δ) U. δ Todetaan, että K(x, δ n ) B(x, δ): Olkoon y K(x, n ). Tällöin avoimen kuution määritelmän nojalla y i x i < δ n kaikilla i {1,..., n}. Näin ollen Siis K(x, r) U, kun r = δ n. y x = (y 1 x 1 ) 2 +... + (y n x n ) 2 ( ) δ 2 ( ) δ 2 < +... + n n }{{} n kpl. = n δ2 n = δ 2 = δ. Joskus saattaa olla tarpeen todistaa, että jokin tietty kokoelma topologisen avaruuden osajoukkoja on todellakin kyseisen topologian kanta. Seuraavaksi esitellään tälle välttämätön ja riittävä ehto. Lause 5.2. Olkoon X topologinen avaruus ja B P(X) kokoelma sen avoimia osajoukkoja. Tällöin B on X:n topologian kanta jos ja vain jos kaikilla avoimilla U X on olemassa joukot B i B (i I) siten, että U = i I B i. Todistus. Olkoon U X avoin. Jos x U, niin on olemassa joukko B x B siten, että x B x U. Silloin B x U. x U Toisaalta kun x U, niin x B x, joten U x U B x. Olkoon U X ja x U. Oletuksen nojalla U = i I B i, missä B i B (i I). Nyt on siis olemassa i I siten, että x B i, ja tietenkin B i U. 29

2 Kantakriteeri Edellä esitelty välttämätön ja riittävä ehto on käyttökelpoinen silloin, kun topologinen avaruus on tunnettu. Jos emme kuitenkaan tiedä perusjoukon topologioista mitään, on hieman konstikkaampaa osoittaa, että jokin kokoelma on todella jonkin topologian kanta. Tähän on kuitenkin olemassa kantakriteerinä tunnettu työkalu, jonka pätevyyden todistamme seuraavaksi. Lause 5.3 (Kantakriteeri). Olkoon X joukko ja B kokoelma sen osajoukkoja. Tällöin B on jonkin X:n topologian kanta jos ja vain jos seuraavat ehdot ovat voimassa: B1: Jos x X, niin on olemassa B B siten, että x B. B2: Jos x B 1 B 2, missä B 1, B 2 B, niin on olemassa B B siten, että x B B 1 B 2. Todistus. Oletetaan, että on olemassa X:n topologia T siten, että B on T :n kanta. B1: Topologian määritelmän kohdasta T1 seuraa, että X T. Tällöin kannan määritelmän nojalla jokaisella x X on olemassa B B siten, että x B X. Näin ollen ensimmäinen ehto pätee. B2: Topologian määritelmän kohdasta T3 seuraa, että B 1 B 2 T. Tällöin kannan määritelmän nojalla jokaisella x B 1 B 2 on olemassa B B siten, että x B B 1 B 2. Näin ollen myös toinen ehto pätee. Oletetaan, että ehdot B1 ja B2 ovat voimassa. Merkitään T := { U X Jos x U, niin on olemassa B x B siten, että x B x U }. Osoitetaan sitten, että T on X:n topologia. T1: Tyhjän joukon tapaus T on triviaali. Toisaalta ehdon B1 suora seuraus on, että X T. Näin ollen ensimmäinen ehto pätee. T2: Oletetaan, että U i T, kun i I. Olkoon sitten x i I U i. On siis olemassa sellainen i I, että x U i. Edelleen, koska U i T, niin on olemassa B x B siten, että x B x U i i I U i. Näin ollen yhdiste i I U i T, joten toinen ehto pätee. 30

T3: Oletetaan, että U 1,..., U n T. Olkoon sitten x U 1... U n. Tällöin, koska U i T, niin on olemassa B i B siten, että x B i U i (i {1,..., n}), joten x B 1... B n U 1... U n. Nyt huomataan että ehdon B2 ja induktioperiaatteen nojalla on olemassa sellainen B B että x B B 1... B n U 1... U n. Näin ollen U 1... U n T, eli kolmaskin ehto pätee. On vielä todettava, että kaikki B B ovat avoimia, eli että B T. Tämä on tietenkin totta, sillä kun x B, niin triviaalisti x B B (eli B x = B ). Täten B on T :n kanta. Kantakriteerillä pystymme siis osoittamaan, jos tietty kokoelma on tunnetun perusjoukon jonkin topologian kanta. Tässä piilee kuitenkin sellainen ongelma, että kantakriteerin toimivuus vaarantuu, jos tietty kanta voi määritellä useamman eri topologian. Onneksi näin ei kuitenkaan ole, vaan kannan määrittelemä topologia on yksikäsitteinen. Huomautus. On olemassa yksikäsitteinen X:n topologia T siten, että B on T :n kanta. Nimittäin lauseesta 5.2 seuraa, että U T U = i I B i, missä B i B (i I). Siis välttämättä T := { U X Jos x U, niin on olemassa B x B siten, että x B x U }. 31

Luku 6 Aliavaruudet Meille on ennestään tuttua, että useimmilla matemaattisilla struktuureilla on olemassa tietynlaisia alistruktuureja: Malleilla on olemassa alimalleja ja ryhmillä aliryhmiä. Tuntuu luonnolliselta olettaa, että myös topologisille avaruuksille voidaan konstruoida tämän kaltaisia alistruktuureja. Tämä oletus onkin täysin aiheellinen, kuten seuraavaksi todetaan. 1 Indusoidut topologiat ja aliavaruudet Aloitetaan osoittamalla, että minkä tahansa topologisen avaruuden mielivaltaiselle osajoukolle saadaan konstruoitua oma topologiansa varsin helposti, käyttämällä pohjana jo tunnettua perusjoukon topologiaa. Lause 6.1. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X joukko. Jos T on X:n topologia, niin on A:n topologia. T A := { U A U T } Todistus. T1: Koska, X T ja lisäksi = A ja A = X A, niin tietenkin myös, X T A. T2: Oletetaan, että V i T A, kun i I. Nyt V i = U i A, missä U i T. Näin ollen V i = (U i A) = ( ) U i A. i I i I i I Koska T on topologia, niin ehdosta T2 seuraa, että i I U i T, joten V i T A. i I T3: Oletetaan, että V 1,..., V n T A. Nyt V i = U i A, missä määritelmän mukaisesti U i T (i {1,..., n}). Näin ollen V i... V n = (U 1... U n ) A. 32

Nyt koska T on topologia, niin ehdon T3 perusteella U 1... U n T, joten V i... V n T A. Juuri tämä leikkauksien kautta konstruoitu topologia määrittelee sen käsitteen, josta olemme kiinnostuneita, eli aliavaruuden. Määritelmä 6.2. Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Jos A X, niin (A, T A ) on tämän aliavaruus. Topologia T A on T :n indusoima topologia. Esimerkki. Tarkastellaan R:n aliavaruutta [0, 1]. Tällöin mm. väli on avoin aliavaruudessa [0, 1]. [0, 1/2[ = ] 1, 1/2[ [0, 1] 2 Aliavaruuden ominaisuuksia Seuraavaksi tarkastellaan joitakin jatkossa hyödyllisiä ominaisuuksia aliavaruuksille. Näistä kaksi ensimmäistä liittyvät joukkojen avoimuuteen aliavaruuksissa. Avointen joukkojen yhteys alkuperäisessä topologiassa ja indusoidussa topologiassa on nimittäin ilmiselvä. Lause 6.3. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X avoin. Tällöin V A on avoin A:ssa jos ja vain jos V on avoin X:ssä. Todistus. Oletetaan, että V on avoin A:ssa. Nyt siis on olemassa sellainen avoin U X, että V = U A. Täten V on avoin X:ssä avoimien joukkojen leikkauksena. Oletetaan, että V on avoin A:ssa. Nyt koska alkuoletuksen mukaan V A, niin pätee V = V A. Tällöin, koska V on avoin X:ssä, niin se on avoin A:ssa. Sama logiikka pätee tietenkin myös suljetuille joukoille, joskin tämän todistaminen on hieman monimutkaisempaa. Lause 6.4. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X. Tällöin G A on suljettu, jos ja vain jos G = F A, missä F X on suljettu. Todistus. Oletetaan, että G on suljettu A:ssa. Tällöin A\G täytyy olla avoin A:ssa. On siis olemassa sellainen avoin U X, että A \ G = U A. Nyt G = A \ (A \ G) = A \ (U A) = (X \ U) A. Tässä U on avoin X:ssä, joten X \ U on suljettu X:ssä. Voidaan siis valita F = X \ U, jolloin ekvivalenssin toinen puoli pätee. 33

Oletetaan, että on olemassa sellainen suljettu F X, että pätee G = F A. Nyt A \ G = A \ (F A) = (X \ F ) A. Tässä F on suljettu X:ssä, joten X \ F on avoin X:ssä. Näin ollen A \ G on avoin A:ssa, joten G on suljettu A:ssa. Esimerkki. Puoliavoin väli ]0, 1/2[ on suljettu aliavaruudessa ]0, 1[ R, sillä ]0, 1/2[ = [0, 1/2] ]0, 1[. Tarkastellaan seuraavaksi sulkeuman käsitettä, ja sen käyttäytymistä aliavaruuksissa. On selvää, että tätä käsitettä on hieman muokattava, jotta siitä saadaan käyttökelpoinen aliavaruuksien tapauksessa. Tämä ei onneksi kuitenkaan ole vaikeaa, ja hoituu jo ennestään tutulla logiikalla. Lause 6.5. Olkoon X topologinen avaruus ja A X. Jos B A, niin B:n sulkeuma A:ssa =: cl A B = B A (closure). Erityisesti B on suljettu A:ssa, jos ja vain jos B = B A. Todistus. Käytetään lausetta 3.7, eli osoitetaan, että B A on suppein A:ssa suljettu joukko G siten, että G B. Tiedetään, että B on suljettu X:ssä. Nyt lauseen 6.4 nojalla B A on suljettu A:ssa. Oletetaan, että G A on suljettu A:ssa siten, että G B. Tällöin lauseen 6.4 perusteella on olemassa X:ssä suljettu joukko F siten, että G = F A. Tällöin, koska B G = F A, niin B F. Siis lauseen 3.7 peusteella B F, joten edelleen B A F A = G. Siis B A on suppein A:ssa suljettu joukko, joka sisältää B:n. Näin ollen lauseen 3.7 perusteella pätee Lauseen 3.8 nojalla B A = cl A B. B suljettu A:ssa cl A B = B B A = B. Todistetaan vielä muutama ominaisuus jatkuvista kuvauksista aliavaruuksiin liittyen. On tarpeen todistaa, että myös ennestään tutut jatkuvien kuvausten ominaisuudet pätevät, kun kuvausten lähtöjoukkoa muutetaan tarkasteltavan aliavaruuden mukaiseksi. 34

Lause 6.6. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X. Tällöin a) Inkluusio eli kuvaus i : A X on jatkuva. b) Jos kuvaus f : X Y on jatkuva, niin samoin on sen rajoittuma f A : A Y. Todistus. a) Olkoon U X avoin. Nyt i 1 (U) = { x A i(x) U } = U A. }{{} =x Aliavaruuden määritelmän perusteella U A on avoin A:ssa, joten i on jatkuva. b) Huomataan, että f A = f i : A i X f Y, missä x x f(x). Täten lauseen 2.4 perusteella kuvaus f i on jatkuva (koska f ja i ovat jatkuvia), joten f A on jatkuva. Lause 6.7. Olkoon f : X Y jatkuva kuvaus. Oletetaan, että B Y siten, että f(x) B. Jos g : X B on kuvaus jolla x f(x), niin f on jatkuva jos ja vain jos g on jatkuva. Todistus. Oletetaan g jatkuvaksi. Olkoon j : B Y inkluusio. Tällöin f = j g : X g B j Y, missä x f(x) f(x). Nyt lauseen 6.6 perusteella j on jatkuva. Siis lauseen 2.4 nojalla f on jatkuva. Oletetaan f jatkuvaksi. Olkoon W B avoin B:ssä. Tällöin on olemassa avoin V Y siten, että W = V B. Nyt g 1 (W ) = { x X g(x) W } = { x X f(x) W } = { x X f(x) V B } = { x X f(x) V } = f 1 (V ). Mutta koska V on avoin Y :ssä ja f on jatkuva, niin f 1 (V ) = g 1 (W ) on X:ssä avoin. Siis g on jatkuva. 35

Luku 7 Tuloavaruudet Seuraavaksi siirrytään käsittelemään tuloavaruuksia, jotka saadaan aikaiseksi yhdistämällä tunnettuja topologisia avaruuksia. Yhteydet muihin matematiikan osa-alueisiin ja samantyyppisiin käsitteisiin on jälleen helppo havaita. 1 Tuloavaruuden määritelmä Palautetaan ensiksi mieleen muutama aiemmilta kursseilta tuttu määritelmä. Olkoot X ja Y joukkoja. Näiden karteesinen tulo on X Y := { (x, y) x X, y Y }. Tämän avulla voimme määritellä myös projektiot: p :X Y X, q :X Y Y, (x, y) x (x, y) y Näiden käsitteiden yhdistämiseen topologiaan onkin seuraava tehtävä, mutta ensin on ratkaistava eräs ongelma. Ongelma: Jos X ja Y ovat topologisia avaruuksia, niin onko karteesisella tulolla X Y topologiaa siten, että projektiot p ja q ovat jatkuvia? Jos näin olisi, niin U X avoin V Y avoin p 1 (U) X Y avoin ja q 1 (V ) X Y avoin. Huomataan, että nyt p 1 (U) = { (x, y) X Y p(x, y) U } = { (x, y) X Y x U } = U Y. Samoin g 1 = X V. 36

Jos ajatellaan esimerkiksi reaalilukuakseleita, niin nämä tulojoukoto olisivat jonkinlaisia yhdessä suunnassa rajoittamattomia suorakulmioita. Tässä ei vielä välttämättä olisi ylitsepääsemätöntä ongelmaa, mutta toisaalta topologian ehdot eivät tässä kuvitteellisessa topologiassa toimisi aivan samoin kun niiden pitäisi toimia reaalilukutason normaalissa topologsiassa. Edellisestä kohdasta seuraa nimittäin, että koska U Y ja X V ovat avoimia, niin myös leikkauksen (U Y ) (X V ) = U V on oltava avoin. Emme siis saa aikaiseksi topologiaa näin helposti, mutta sen sijaan huomataan, että itse asiassa olemme tulleet määritelleeksi erään topologian kannan. Lause 7.1. Jos T on X:n topologia ja S on Y :n topologia, niin kokoelma on erään X Y :n topologian kanta. B := { U V U T, V S } Todistus. Todistetaan erikseen kantakriteerin (Lause 5.3) molemmat kohdat. B1: Tämä kohta on selvä, sillä tietenkin X Y B (koska X T ja Y S). B2: Olkoon U V, U V B. Nyt (U V ) (U V ) = (U U ) (V V ). Edelleen, koska U, U T, niin U U T. Toisaalta, koska V, V S, niin V V S. Näin ollen (U U ) (V V ) B, joten tämäkin ehto pätee. Muistetaan, että kannan määrittelemä topologia on itse asiassa yksikäsitteinen. Voimme siis päättää määritellä tulotopologian tämän kannan kautta. Määritelmä 7.2. Edellämainittua joukon X Y topologiaa sanotaan T :n ja S:n tulotopologiaksi. Tällä topologialla varustettuna X Y on X:n ja Y :n tuloavaruus. Huomautus. Siis W X Y on avoin täsmälleen silloin, kun kaikilla (x, y) W on olemassa avoimet U X ja V Y siten, että x U ja y V. Toisin sanoen (x, y) U V W. Käytetään nyt esimerkkinä reaalitasoa, jonka tapauksen tarkastelu aiheutti aiemmin ongelmia. Huomataan, että tämä tuloavaruus käyttäätykin varsin mallikkaasti. Esimerkki. Varustetaan R standarditopologialla. Nyt joukon R R = R 2 tulotopologia on sama kuin R 2 :n standarditopologia. 37

Todistus. Tiedetään, että neliöt K(x, r) := { y R 2 y i x i < r, i {1, 2} }, missä x R 2 ja r > 0 muodostavat standarditopologian kannan. Nyt K(x, r) = ]x 1 r, x 1 + r[ ]x 2 r, x 2 + r[. Olkoon W R 2 avoin standarditopologiassa ja olkoon x W. Yllä sanotun nojalla on olemassa sellainen r > 0, että K(x, r) W. Tällöin välit ]x 1 r, x 1 + r[ ja ]x 2 r, x 2 + r[ ovat avoimia, joten K(x, r) on avoin tulotopologiassa. Olkoon W R 2 avoin tulotopologiassa ja olkoon x W. Tällöin on olemassa avoimet U, V R siten, että x U V W. Merkitään x = (x 1, x 2 ). Nyt pätee x 1 U ja x 2 V, joten on olemassa sellaiset δ 1, δ 2 > 0, että ]x 1 δ 1, x 1 + δ 1 [ U ja ]x 2 δ 2, x 2 + δ 2 [ V. Jos δ = min{δ 1, δ 2 }, niin Näin ollen ]x 1 δ, x 1 + δ[ ]x 1 δ 1, x 1 + δ 1 [ ja ]x 2 δ, x 2 + δ[ ]x 2 δ 2, x 2 + δ 2 [. K(x, δ) ]x 1 δ 1, x 1 + δ 1 [ ]x 2 δ 2, x 2 + δ 2 [ = U V W. Joten W on avoin standarditopologiassa. 2 Jatkuvat kuvaukset tuloavaruuksissa Lähdimme liikkeelle tässä luvussa siitä ajatuksesta, että tulojoukkojen topologioissa jatkuvien kuvausten projektioiden tulisi olla jatkuvia. Seuraavaksi todistamme, että tämä ominaisuus on todellakin voimassa tuloavaruuksille. Lause 7.3. Jos X ja Y ovat topologisia avaruuksia ja X Y näiden tuloavaruus, niin projektiot p : X Y X ja q : X Y Y ovat jatkuvia. Todistus. Olkoot U X ja V Y avoimia. Tällöin alkukuvat p 1 (U) = U Y ja q 1 (V ) = X V ovat avoimia X Y :ssa. Siis p ja q ovat jatkuvia. 38

Projektiot eivät itsessään ole kovin mielenkiintoisia kuvauksia. Niitä käytetään kuitenkin apuna seuraavassa todistuksessa, jossa esitetään välttämätön ja riittävä ehto sille, että kuvaus joltain topologiselta avaruudelta jollekin tuloavaruudelle on jatkuva. Lause 7.4. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia. Jos Z on topologinen avaruus ja f : Z X Y kuvaus, niin f on jatkuva jos ja vain jos kuvaukset p f ja q f ovat jatkuvia. Todistus. Oletetaan, että f on jatkuva. Edelleen lauseen 7.3 nojalla tiedetään, että projektiot p ja q ovat jatkuvia. Siispä lauseen 2.4 nojalla voidaan todeta, että kuvaukset p f ja q f ovat jatkuvia. Oletetaan, että p f ja q f ovat jatkuvia. Nyt riittää osoittaa, että f 1 (U V ) Z on avoin kaikilla avoimilla U X, V Y. Huomataan, että Näin ollen U V = (U Y ) (X V ) = p 1 (U) q 1 (V ). f 1 (U V ) = f 1 (p 1 (U) q 1 (V )) = f 1 (p 1 (U)) f 1 (q 1 (V )) = (p f) 1 (U) (q f) 1 (V ). Koska p f ja q f ovat jatkuvia ja U ja V avoimia, niin alkukuvat (p f) 1 (U) ja (q f) 1 (V ) ovat avoimia. Tällöin f 1 (U V ) on kahden avoimen joukon leikkaus, joten se on avoin. Siis f on jatkuva. Huomautus. Jos f : Z X Y on kuvaus, niin merkitään f 1 = p f ja f 2 = q f. Nämä ovat f:n komponentit. Jos nyt z Z, niin Merkitään siis f := (f 1, f 2 ). f(z) = (p(f(z)), q(f(z))) = ((p f)(z), (q f)(z)) = (f 1 (z), f 2 (z)). Esimerkki. Kuvaus f : R R 2, t (cos t, sin t) on jatkuva, sillä analyysin peruskursseilta muistetaan, että kuvaukset f 1 : R R, t cos t f 2 : R R, t sin t ja ovat jatkuvia. 39