Sovellettu todennäköisyslasku

Sovellettu todennäköisyslasku Työpäiväkirja 16.12.2001 Espoo Teknillinen korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Jussi Matti Aleksi Jokelainen jussi.jokelainen@hut.fi Opiskelijanumero 123456A

Sovellettu todennäköisyslasku Jussi Jokelainen Teknillinen korkeakoulu, systeemianalyysin laboratorio jussi.jokelainen@hut.fi 16. joulukuuta 2001 Motto Huomaamme, että todennäköisyyslaskenta on pohjimmiltaan vain laskemiseksi muunnettua tervettä järkeä. Se saa meidät arvioimaan täsmällisesti sen, minkä järkevät ihmiset tuntevat eräänlaisen vaiston avulla, pystymättä useinkaan selittämään sitä... Huomattavaa on, että [tästä] tieteestä, joka sai alkunsa uhkapelien tutkimisesta, on tullut mitä tärkein inhimillisen tiedonhalun toimintakenttä. P. S. Laplace, 1820. Opiskelijanumero 123456A 1

SISÄLTÖ 2 Sisältö 1 Aluksi 3 2 Palautetut laskuharjoitustehtävät 4 2.1 Laskuharjoitus 1......................... 4 2.2 Laskuharjoitus 2......................... 6 2.3 Laskuharjoitus 3......................... 7 2.4 Laskuharjoitus 4......................... 8 2.5 Laskuharjoitus 5......................... 9 2.6 Mielipiteitäni laskuharjoitustehtävistä.............. 10 3 Harjoitustyö 1 11 4 Harjoitustyö 2 12 5 Harjoitustyö 3 13 6 Harjoitustyö 4 14 7 Verkkomateriaali 15 8 Itsearviointi ja oma oppimisprosessini 16 9 Mielipiteitäni kurssista 17 10 Lähteet 18 10.1 Painettu kirjallisuus....................... 18 10.2 Muu lähdemateriaali....................... 18 10.3 WWW-materiaali......................... 18

1 ALUKSI 3 1 Aluksi Tämä työpäiväkirja on tehty Teknillisen korkeakoulun systeemianalyysin laboratorion verkkokurssille Sovellettu todennäköisyyslasku 2.091, jolle osallistuin syyslukukaudella 2001. Kiinnostuin kurssista, koska...

2 PALAUTETUT LASKUHARJOITUSTEHTÄVÄT 4 2 Palautetut laskuharjoitustehtävät Tässä on laskuharjoitustehtävät ratkaiusuineen. 2.1 Laskuharjoitus 1 Tehtävä 1 Oletetaan, että n:n elektronisen komponentin eliniät Z 1, Z 2,..., Z n ovat riippumattomia ja että ne noudattavat eksponentiaalista jakaumaa parametrilla l. Määrää sellaisen systeemin eliniän jakauma, jossa komponentit on kytketty (a) Rinnan, (b) Sarjaan. Ratkaisu: (a) Olkoon Z (1) sarjaan kytketyn systeemin elinikä. Huomaa, että Z (1) = min{z 1, Z 2,..., Z n }, koska systeemi toimii, kunnes ensimmäinen komponentti vikaantuu. Siten F (1) (z) = Pr(Z (1) z) = 1 Pr(Z (1) > z) = 1 Pr(Z 1 > z ja Z 2 > z ja... ja Z n > z) = 1 Pr(Z 1 > z) Pr(Z 2 > z) Pr(Z n > z) = 1 (1 F (z)) n. Koska F i (z) = 1 e λz, niin F (1) (z) = 1 e λnz. Siten systeemin elinikä noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla nλ ja erityisesti pätee, että E(Z i ) = 1 ja E(Z (1) ) = 1 λ nλ (b) Olkoon Z (n) rinnan kytketyn systeemin elinikä. Huomaa, että Z (n) = max{z 1, Z 2,..., Z n }, koska systeemi toimii, kunnes n:s komponentti vikaantuu. Siten F (n) (z) = Pr(Z (n) z) = Pr(Z 1 z ja Z 2 z ja... ja Z n z) = Pr(Z 1 z) Pr(Z 2 z) Pr(Z n z) = F (z) n.

2 PALAUTETUT LASKUHARJOITUSTEHTÄVÄT 5 Siten F (n) (z) = (1 e λz ) n ja erityisesti E(Z i ) = 1/λ ja E(Z (n) ) = 1 λ (1 + 1 2 + + 1 n ), mikä saadaan rekursiosta jossa E n = E(Z (n) ). E n = 1 nλ + E n 1 Huomautus: Kohdassa (a) on johdettu yleinen lauseke samaa jakaumaa noudattavien riippumattomien satunnaismuuttujien minimin jakaumalle. Kohdassa (b) on johdettu yleinen lauseke samaa jakaumaa noudattavien riippumattomien satunnaismuuttujien maksimin jakaumalle.

2 PALAUTETUT LASKUHARJOITUSTEHTÄVÄT 6 2.2 Laskuharjoitus 2

2 PALAUTETUT LASKUHARJOITUSTEHTÄVÄT 7 2.3 Laskuharjoitus 3

2 PALAUTETUT LASKUHARJOITUSTEHTÄVÄT 8 2.4 Laskuharjoitus 4

2 PALAUTETUT LASKUHARJOITUSTEHTÄVÄT 9 2.5 Laskuharjoitus 5

2 PALAUTETUT LASKUHARJOITUSTEHTÄVÄT 10 2.6 Mielipiteitäni laskuharjoitustehtävistä Osa tehtävistä, kuten tehtävä 2/1 oli aivan liian...

3 HARJOITUSTYÖ 1 11 3 Harjoitustyö 1

4 HARJOITUSTYÖ 2 12 4 Harjoitustyö 2

5 HARJOITUSTYÖ 3 13 5 Harjoitustyö 3

6 HARJOITUSTYÖ 4 14 6 Harjoitustyö 4 Vimeisin harjoitustyöni oli nimeltään Suurten lukujen laki ja aloitin tutustumiseni aiheeseen...

7 VERKKOMATERIAALI 15 7 Verkkomateriaali

8 ITSEARVIOINTI JA OMA OPPIMISPROSESSINI 16 8 Itsearviointi ja oma oppimisprosessini

9 MIELIPITEITÄNI KURSSISTA 17 9 Mielipiteitäni kurssista

10 LÄHTEET 18 10 Lähteet Olen tätä työpäiväkirjaa tehdessäni tutustunut mm. seuraaviin teoksiin ja lähteisiin. 10.1 Painettu kirjallisuus J. Haataja, J. Käpyaho ja J. Rahola: Numeeriset menetelmät, CSC Tieteellinen laskenta Oy. 1993. 10.2 Muu lähdemateriaali Kalevi Suominen: Luentomuistiinpanot Helsingin yliopiston matematiikan laitoksen kursseilta Funktioteoria I ja Funktioteoria II lukuvuosina 1998 2000. 10.3 WWW-materiaali http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/ (Mainio katsaus matematiikan ja matemaatikkojen historiaan.) http://noppa5.pc.helsinki.fi/ (Juha Purasen tilastopaketti.)