Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus

Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Pro gradu -tutkielma Jonna Luokkanen 22452 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 24

Sisältö Johdanto 2 Johdatus ketjumurtolukuihin 2 Ketjumurtoluvun muunnos ja häntä 6 2 Yksinkertainen ketjumurtoluku 2 3 Jaksollinen yksinkertainen ketjumurtoluku 23 2 Algebrallisen luvun yksinkertainen ketjumurtoesitys 23 3 Hypergeometriset sarjat 3 3 Hypergeometrinen sarja F 32 4 Luvun π irrationaalisuustodistuksia 36 Lähdeluettelo 4

Johdanto Tässä pro gradu -tutkielmassa tutkitaan ketjumurtolukuja ja luvun pii irrationaalisuutta Tutkielmassa edetään ketjumurtolukujen ominaisuuksien kautta yksinkertaisen ketjumurtoluvun ja toisen asteen algebrallisen luvun väliseen yhteyteen, sekä piin irrationaalisuuden todistamiseen Aluksi käydään läpi ketjumurtolukujen yleinen määritelmä lineaaristen muunnosten avulla Yleisestä määritelmästä johdetaan yksinkertaisempi ketjumurtoluku, johon tutkielmassa keskitytään Tälle ketjumurtoluvulle määritellään konvergentit ja häntä Tästä jatketaan ketjumurtolukujen erikoistapaukseen, yksinkertaisiin ketjumurtolukuihin Näille ketjumurtoluvuille määritellään kokonaisosamäärä, sekä tutkitaan miten konvergentit arvioivat ja lähestyvät yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvoa Yhtenä esimerkkinä tutkitaan, kuinka kultaisesta leikkauksesta saadaan yksinkertainen ketjumurtoluku ja miten tämän ketjumurtoluvun avulla voidaan määrittää kaava Fibonaccin lukujonon jäsenille Yksinkertaisiin ketjumurtolukuihin liittyen käsitellään toisen asteen algebrallisen luvun yksinkertaisen jaksollisen ketjumurtolukuesityksen määrittäminen Viimeisenä tutkielmassa on piin irrationaalisuuden todistaminen kahdella tavalla Ensimmäisessä tavassa käytetään ketjumurtolukujen lisäksi hypergeometrisia sarjoja ja niiden ominaisuuksia Toinen tapa ei liity ketjumurtolukuihin vaan siinä käytetään hyväksi piitä sisältäviä integraalilausekkeita Positiivisten kokonaislukujen joukolle käytetään tutkielmassa merkintää Z + {, 2, } ja luonnollisten lukujen joukolle merkintää N {,, } Merkintä (a, b tarkoittaa lukujen a ja b suurinta yhteistä tekijää Johdatus ketjumurtolukuihin Aloitetaan ketjumurtolukujen yleisestä määritelmästä ja yksinkertaistetaan se siihen muotoon, jota tutkielmassa myöhemmin käytetään Yleisen ketju- 2

murtoluvun ja sen konvergenttien määritelmä pohjautuvat lähteen [2] sivuihin 3-2 Olkoot r p C ja τ τ p (w r pw + s p t p w + u p, t p, p,, 2, Määritellään muunnoksien tulo seuraavasti τ τ (w τ (τ (w, τ τ τ 2 (w τ τ (τ 2 (w, τ τ τ 2 τ 3 (w τ τ τ 2 (τ 3 (w, Lisätään ja vähennetään lausekkeen τ p (w osoittajaan r p u p /t p, jolloin saadaan τ p (w r pw + s p r pw + s p + r p u p /t p r p u p /t p t p w + u p u p + t p w r p(w + u p /t p (r p u p s p t p /t p t p (u p /t p + w r p(w + u p /t p w + t p (u p /t p (r pu p s p t p /t p t p (u p /t p + w r p (r pu p s p t p /t 2 p t p u p /t p + w r p p/t 2 p t p u p /t p + w, missä p r p u p s p t p Nyt voidaan kirjoittaa τ τ τ 2 τ 3 τ n (w r t /t 2 /t 2 u /t + r /t u /t +r 2 /t 2 n /t 2 n u n /t n +rn/tn n/t2 n un/tn+w 3

Kun asetaan w ja annetaan luvun n lähestyä ääretöntä, niin saatu ääretön esitys on ketjumurtoluku Jos raja-arvo lim τ τ τ 2 τ 3 τ n ( v n on äärellisenä olemassa, niin ketjumurtoluvun sanotaan suppenevan ja sen arvo on luku v Tässä oletetaan, että vain äärellinen määrä tuloista τ τ τ n ( ei ole määritelty äärellisenä Jotta saadaan yksinkertaistettua ketjumurtoluvun esitystä, korvataan muunnokset τ p (w muunnoksilla Huomataan, että t (w b + w, t p (w Tällöin saadaan ketjumurtoluku a p, p, 2, 3, ( b p + w lim t t t n ( lim t t t n+ ( n n b + a b + a 2 b 2 + (2 Lukua a p kutsutaan p:nneksi osaosoittajaksi ja lukua b p p:nneksi osanimittäjäksi, sekä lukua a p /b p p:nneksi osamääräksi Ketjumurtolukua t t t n ( b + a b + a 2 b 2 + + an bn kutsutaan ketjumurtoluvun (2 n:nneksi konvergentiksi tai approksimaatioksi Lause Olkoon t t t n (w b + 4 a b + a 2 b 2 + + an bn+w

ja määritellään nyt Tällöin A, B, A b, B A p+ b p+ A p + a p+ A p, (3 B p+ b p+ B p + a p+ B p, (4 p,, 2, t t t n (w A n w + A n B n w + B n, n,, 2, Todistus Todistetaan lause matemaattisella induktiolla indeksin n suhteen Olkoon ensin n Tällöin t A w + A B w + B w + b, ja väite on tosi Tehdään induktio-oletus, että väite on tosi kun n k Nyt ( t t t k+ (w ( ak+ t t t k b k+ + w ( A ak+ IO k b k+ + A +w k ( B ak+ k b k+ + B +w k A kw + (b k+ A k + a k+ A k B k w + (b k+ B k + a k+ B k (3,(4 A kw + A k+ B k w + B k+, joten väite on tosi kun n k + Siis väite on tosi kaikilla n, 2, Edellä esitetystä seuraa t t t n ( b + a b + a 2 b 2 + + an bn A n B n 5

Tässä tutkielmassa käytetään ketjumurtoluvuille esitystä b + a b + a 2 b 2 + (5 Elementit a p ja b p ovat kompleksilukuja, ellei toisin mainita Määritellään tämän ketjumurtoluvun konvergentit asettamalla b + a b + a 2 b 2 + + an bn A n B n (6 lauseen avulla lähtien alkuarvoista A b, B, A b b + a ja B b seuraavasti A n+2 b n+2 A n+ + a n+2 A n (7 B n+2 b n+2 B n+ + a n+2 B n (8 kaikilla n,, 2, Jos konvergenttien raja-arvo A n lim n B n on äärellisenä olemassa, niin ketjumurtoluku (5 suppenee Jos raja-arvoa ei ole olemassa, niin ketjumurtoluku hajaantuu Raja-arvo on ketjumurtoluvun arvo Ketjumurtoluvulle (5 käytetään myös merkintöjä ja b + a b + a 2 b 2 + b + K p ( ap b p Ketjumurtoluvun muunnos ja häntä Tutkitaan ketjumurtolukujen ekvivalenssimuunnosta ja häntiä Lauseet ja todistukset perustuvat lähteeseen [5] Näitä lauseista on paljon hyötyä kappaleessa 4, kun tutkitaan piin irrationaalisuutta 6

Lause 2 Olkoon t k kaikilla k, 2, Tällöin a b + b + a 2 b 2 + t a b + t b + t t 2 a 2 t 2 b 2 + t 2 t 3 a 3 t 3 b 3 + (9 ( eli K k ( ak b k K k ( ck missä d b, c t a, d t b, c k t k t k a k, ja d k t k b k kaikilla k 2, 3, d k, Seuraava todistus ei perustu mihinkään lähteeseen Todistus Olkoon (A n /B n ja (C n /D n ketjumurtojen (9 ja ( konvergenttijonot Alkuarvoilla C d, D, C d d + c ja D d rekursiokaavoista (7 ja (8 saadaan C n+2 d n+2 C n+ + c n+2 C n D n+2 d n+2 D n+ + c n+2 D n kaikilla k,, Nyt C d b A ja D B Näytetään rekursiokaavojen ja induktion avulla, että C n t t n A n ja D n t t n B n kaikilla n, 2, Koska 7

C d d + c b (t b + t a t (b b + a t A, C 2 d 2 C + c 2 C t 2 b 2 C + t t 2 a 2 C t 2 b 2 (t A + t t 2 a 2 A t t 2 (b 2 A + a 2 A t t 2 A 2, D d t b t B, ja D 2 d 2 D + c 2 D t 2 b 2 t B + t t 2 a 2 B t t 2 (b 2 B + a 2 B t t 2 B 2 niin väite on tosi, kun n ja n 2 Oletetaan, että väite pätee kun n, 2,, m, eli C m t t m A m ja D m t t m B m 8

Nyt C m+ d m+ C m + c m+ C m t m+ b m+ t t m A m + t m t m+ a m+ t t m A m t t m+ (b m+ A m + a m+ A m t t m+ A m+ ja D m+ d m+ D m + c m+ D m t m+ b m+ t t m B m + t m t m+ a m+ t t m B m t t m+ (b m+ B m + a m+ B m t t m+ B m+, joten väite on tosi kun n m + Siis induktioperiaatteen nojalla väite on tosi kaikilla n, 2, ja Saatiin, että kaikilla n, 2,, jolloin C n t t n A n D n t t n B n C n /D n A n /B n Siispä ketjumurrot (9 ja ( ovat samat Äskeisestä ekvivalenssimuunnoksia koskevasta lauseesta saadaan mielenkiintoinen muunnos kerjumurtoluvuille Jos merkitään c n b n, niin saadaan kerjumurtoluku b +, + a 2 + a 3 + missä a a /b ja a j a j /(b j b j kun j 2 Lähde [] 9 a

Määritelmä 3 Ketjumurron τ K n ( an b n a b + a 2 b 2 + häntä on ketjumurto τ k K nk ( an b n a k b k + a k+ b k+ + Hännät toteuttavat palautuskaavan τ k Lause 4 Olkoon a k, b k Z Jos a k b k + τ k+ ( a k < b k kaikilla k Z + niin τ k kaikilla k Z + Todistus Valitaan positiivinen kokonaisluku n Oletuksen nojalla < a n < Määritellään K n a n b n, K k b n a k b k + K k+, kaikilla k, 2,, n, missä K n < alkuoletukssen nojalla Nyt < K n a n b n + K n <, koska kolmioepäyhtälön mukaan b n + K n b n K n b n K n > b n a n

Samalla tavoin < K n 2 < ja kun tätä jatketaan, saadaan < a k b k + K k+ < kaikilla k, 2,, n, eli < a b + K 2 a a 2 b + b 2 + K 3 a a 2 a n a n b + b 2 + b n + A n < Siis τ lim b n A n n B n, joten τ k k Z + B n Lause 5 Olkoon a k, b k Z Jos niin < τ k < kaikilla k Z +, τ K n ( an b n / Q Todistus Tehdään vastaoletus, että τ Q, jolloin myös τ k Q Voidaan siis kirjoittaa Palautuskaavaan ( nojalla τ k r k /s k, k Z, s k Z +, s k r k, ja r k s k k Z + (2 r k /s k a k b k + r, k+ s k+

eli r k r k+ s k+ (s k a k b k r k Nyt siis välttämättä eli (s k + r k, s k+ r k k Z + Yhtälön (2 ja äsken saadun mukaan r k+ s k+ r k k Z + Näin saadaan ääretön aidosti vähenevä jono r > r 2 positiivisia kokonaislukuja, mikä ei ole mahdollista Vastaoletus on siis väärä ja lause tosi 2 Yksinkertainen ketjumurtoluku Ketjumurtolukujen erikoistapaus on yksinkertaiset ketjumurtoluvut, sekä jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Tässä kappaleessa käsitellään näiden ketjumurtolukujen ominaisuuksia Määritelmät ja lauseet perustuvat lähteeseen [3] Määritelmä 6 Olkoon b N ja b k Z + kaikilla k, 2, Tällöin muotoa τ b + b + b 2 + olevaa ketjumurtolukua kutsutaan yksinkertaiseksi ketjumurtoluvuksi Sitä voidaan merkitä lyhyemmin τ [b ; b, b 2, ] 2

Yksinkertaisilla ketjumurtoluvuilla rekursiokaavat (7 ja (8 yksinkertaistuvat alkuarvoilla A b, B, A b b + ja B b muotoon A n+2 b n+2 A n+ + A n (3 B n+2 b n+2 B n+ + B n (4 Lisäksi huomataan, että luonnollisista luvuista koostuva jono (A n n ja positiivisista kokonaisluvuista koostuva jono (B n n ovat aidosti kasvavia Lause 7 Yksinkertaisen ketjumurtoluvun konvergenteille pätee A k B k A k B k ( k k Z + Todistus Merkitään E k A k B k A k B k ja todetaan aluksi, että E A B A B b b b b Kaavojen (3 ja (4 perusteella E k+ A k+ B k A k B k+ (b k+ A k + A k B k A k (b k+ B k + B k b k+ A k B k + A k B k A k b k+ B k A k B k (A k B k A k B k E k Siispä E, E, E 2 ja niin edelleen, joten E k ( k kaikilla k,, Lauseen 7 seurauksena yksinkertaisten ketjumurtolukujen konvergenteille pätee, että (A k, B k Näin on, koska jos olisi (A k, B k, niin tämän ykköstä suuremman luvun ja jonkin kokonaisluvun tulo olisi miinus yksi tai yksi, mikä on mahdotonta Samalla tavoin (A k, A k+ ja (B k, B k+ 3

Lause 8 Yksinkertaisen ketjumurtoluvun konvergenttien raja-arvo on äärellisenä olemassa Todistus Lauseen 7 mukaan A n lim n B n A k B k A k B k ( k Jakamalla tämä luvuilla B k ja B k saadaan Tällöin A B + k A k B k A k B k ( k B k B k (5 ( Ak A k A + B k B k B k ( k B k B k on suppeneva sarja, koska jono (B k k on aidosti kasvava Siis raja-arvo on äärellisenä olemassa A n lim n B n Määritelmä 9 Yksinkertaisen ketjumurtoluvun hännän τ k b k + b k+ + käänteisluvulle käytetään merkintää C k /τ k b k + b k+ + b k+2 + [b k ; b k+, b k+2, ] Kutsutaan ketjumurtolukua C k ketjumurtoluvun τ k:nneksi kokonaisosamääräksi Kokonaisosamäärälle pätee τ C ja C k b k + C k+ (6 4

Lause Yksinkertainen ketjumurtoluku τ voidaan kokonaisosamäärien avulla esittää seuraavasti τ A kc k+ + A k B k C k+ + B k kaikilla k, kun merkitään A ja B Todistus Aluksi τ A C + A B C + B b C + C b + C C Tehdään induktio-oletus, että lause on tosi jollakin k Tällöin yhtälön (6 ja rekursiokaavan (3 perusteella τ A kc k+ + A k B k C k+ + B k (a k+ A k + A k + C k+2 A k ( (a k+ B k + B k + C k+2 B k A k (b k+ + C k+2 + A k B k (b k+ + C k+2 + B k ( (C k+2 A k+c k+2 + A k B k+ C k+2 + B k Väite on siis tosi myös arvolla k + ja induktioperiaatten nojalla lause on tosi kaikilla k,, Ketjumurtoluvun konvergenttijono suppenee kohti ketjumurtoluvun arvoa, jolloin konvergenteilla voidaan arvioida ketjumurtoluvun arvoa Johdetaan arvion virheelle kaava Lause Yksinkertaisen ketjumurtoluvun ja sen konvergentin erotukselle pätee τ A k B k < Bk 2 5

Todistus Lauseiden ja 7 perusteella johdetaan τ A k B k A kc k+ + A k B k C k+ + B k A k B k (A kc k+ + A k B k (B kc k+ + B k A k (B k C k+ + B k B k (B k C k+ + B k B k (A kb k A k B k (B k C k+ + B k B k ( k (B k C k+ + B k B k ( k ( (7 Bk 2 C k+ + B k B k Koska C k+ > ja B k < B k, eli B k /B k >, niin C k+ + B k /B k > Tämän avulla τ A k B k B 2 k ( ( k C k+ + B k B k < Bk 2 Tutkitaan vielä lisää konvergentteja ja käytetään niitä yksinkertaisen äärettömän ketjumurtoluvun irrationaalisuuden todistamiseen Seuraavat kaksi lausetta ja niiden todistukset pohjautuvat lähteen [4] sivuihin 4-48 Lause 2 Merkitään yksinkertaisen ketjumurtoluvun konvergentteja seuraavasti Tällöin K n A n B n K > K 3 > K 5 > ja K < K 2 < K 4 < Lisäksi kaikki parittomat konvergentit K 2j ovat suurempia, kuin mikä tahansa parillinen konvergentti K 2j 6

Todistus Kirjoitetaan aluksi K k K k 2 A k B k A k 2 B k 2 A kb k 2 B k B k 2 A k 2B k B k 2 B k A kb k 2 A k 2 B k B k B k 2 Rekursiokaavaojen (3 ja (4, sekä Lauseen 7 avulla yllä olevan lausekkeen viimeisen osamäärän osoittaja voidaan kirjoittaa muotoon A k B k 2 A k 2 B k (b k A k + A k 2 B k 2 A k 2 (b k B k + B k 2 Nyt siis b k A k B k 2 + A k 2 B k 2 A k 2 b k B k A k 2 B k 2 b k (A k B k 2 A k 2 B k b k ( k 2 K k K k 2 b k( k B k B k 2, joten K k < K k 2, kun k on pariton ja K k > K k 2, kun k on parillinen Siis ja K > K 3 > K 5 > (8 K < K 2 < K 4 < (9 Todistetaan vielä viimeinen yhtälö, jonka mukaan parittomat konvergentit ovat suurempia, kuin parilliset konvergentit Lauseen 7 perusteella joten K 2m K 2m ( 2m B 2m B 2m <, K 2m > K 2m, (2 eli pariton konvergentti on suurempi kuin seuraava parillinen konvergentti Yhtälöiden (8, (9 ja (2 perusteella K 2j > K 2j+2k > K 2j+2k > K 2k, joten jokainen pariton konvergentti on suurempi kuin mikä tahansa parillinen konvergentti 7

Lause 3 Yksinkertainen ketjumurtoluku τ b + b + b 2 + on irrationaaliluku Todistus Kaavan (5 perusteella A 2n+ B 2n+ A 2n B 2n ( 2n B 2n+ B 2n B 2n+ B 2n ja tiedetään, että jono (B k k on aidosti kasvava, joten ( A2n+ lim A 2n n B 2n+ B 2n Siis A 2n+ A 2n A n lim lim lim τ n B 2n+ n B 2n n B n Lauseen 2 perusteella jono ( A 2n B 2n n on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu sekä jono ( A 2n+ B 2n+ n on aidosti vähenevä ja alhaalta rajoitettu Lisäksi saman lauseen perusteella parittoman jonon jäsenet ovat suurempia kuin parillisen jonon jäsenet Tästä saadaan, että parillinen jono lähestyy lukua τ vasemmalta ja pariton jono oikealta Voidaan siis kirjoittaa Kaavan (5 perusteella eli < τ A 2n B 2n < A 2n+ B 2n+ A 2n B 2n A 2n+ B 2n+ A 2n B 2n < τ A 2n B 2n < B 2n+ B 2n, B 2n+ B 2n Kerrotaan saatu yhtälö puolittain luvulla B 2n, jolloin < τb 2n A 2n < B 2n+ 8

Oletetaan, että τ on rationaalinen, eli τ c/d, missä c ja d ovat kokonaislukuja ja d Tällöin < cb 2n d Kerrotaan yhtälö luvulla d, jolloin A 2n < B 2n+ < cb 2n da 2n < d B 2n+ Nyt cb 2n da 2n on kokonaisluku kaikilla positiivisilla indeksin n arvoilla Koska (B n n on aidosti kasvava jono, niin on olemassa sellainen kokonaisluku n, että B 2n + > d, jolloin d/b 2n + < Saatiin < cb 2n da 2n <, mikä on ristiriita, koska cb 2n da 2n rationaaliluku on väärä ja lause tosi on kokonaisluku Oletus, että τ on Määritelmä 4 Määritellään yksinkertaisen ketjumurtoluvun τ k:nnes dierenssi asettamalla D, D τ b τ ja kaikilla k 2, 3, Lause 5 Dierensseille pätee D k B k τ A k D k+ D k C k+2 Todistus Dierenssin määritelmästä saadaan D k /B k τ A k /B k Käytetään tähän Lauseen yhtälöä (7, jolloin ja D k /B k τ A k /B k D k B 2 k ( ( k C k+ + B k B k ( k B k C k+ + B k (2 9

Korvataan äsken saadusta lausekkeesta C k+ kaavan (6 mukaan, sekä käytetään rekursiokaavaa (4, jolloin D k Yhtälön (2 perusteella ( k B k (b k+ + C k+2 + B k ( k (b k+ B k + B k + B k C k+2 ( k C ( k B k+ + B k k+2 (22 B C k+ C k+2 + B k k+2 D k+ Kun tämä sijoitetaan yhtälöön (22, niin ( k B k+ C k+2 + B k D k C k+2 D k+ ja D k+ D k C k+2 Yhtälöstä (2 nähdään, että dierenssien jonon (D k k jäsenten etumerkki vaihtelee positiiviseksi ja negatiiviseksi vuorotellen Indeksin k kasvaessa jono lähestyy nollaa monotonisesti, sillä jono (B k k on aidosti kasvava Esimerkki 6 Tutkitaan ketjumurtolukujen, kultaisen leikkauksen ja Fibonaccin lukujonon yhteyttä Tarkastellaan janaa, jonka pituus on yksi Jaetaan jana kahteen osaan niin, että koko janan suhde pitempään osaan on sama kuin pitemmän osan suhde lyhyempään janaan Jos merkitään, että pitempi osa on x, niin saadaan yhtälö g x x x, (23 2

missä g on kultainen leikkaus Muokataan yhtälöä ja ratkaistaan se Siis x x x x( x x x2 x 2 + x x ± 2 4 ( 2 ± 5 2 Negatiivinen muuttujan x arvo ei käy, joten yhtälön ratkaisuksi saadaan 5 x 2 ja tällöin kultainen leikkaus voidaan laskea seuraavasti g ( x 2 5+ 2( 5 + 5 +, 683 5 4 2 joten Kun g >, saadaan x + ( x + x x g + g + x, x Kun tätä käytetään uudelleen ja uudelleen, saadaan yksinkertainen ketjumurtoluku g + + + Tähän ketjumurtoon liittyvää lukujonoa (F k k, missä F k+ B k ja B kutsutaan Fibonaccin lukujonoksi Kyseisen ketjumurtoluvun osaosoittajat ovat nyt a k ja osanimittäjät b k kaikilla k, 2, joten rekursiokaavoiksi saadaan A k+2 A k+ + A k ja Tällöin B k+2 B k+ + B k F k+ F k + F k, 2

missä k, 2, Kun lasketaan Fibonaccin lukujonon ensimmäiset termit rekursiokaavan (8 avulla, niin F B, F B, F 2 B F + F A, F 3 B 2 F 2 + F + 2 A, F 4 B 3 2 + 3 A 2, F 5 B 4 3 + 2 5 A 3, Siis A k B k+ F k+2 Muodostetaan dierenssin avulla Fibonaccin luvuille lauseke indeksin k avulla lausuttuna Edellisten ja dierenssin määritelmän perusteella D k F k+ g F k+2 Tiedetään, että C k g, joten Lauseesta 5 seuraa F k+ g F k+2 ( /g(f k g F k+ ( /g k (F g F 2 ( /g k+ ( Kun tämä yhtälö jaetaan puolittain luvulla g, saadaan F k+ gf k ( /g k ja F k+ ( /g k + gf k Kirjoitetaan viimeisimpään yhtälöön h /g 5, 2 jolloin F k+ h k + gf k Toistetaan tätä kaavaa yhä uudelleen ja saadaan F k+ h k + gf k h k + gh k + g 2 F k h k + gh k + g 2 h k 2 + + g k h + g k+ F Käyttämällä äsken saatuun yhtälöön yleistä potenssien erotuksen kaavaa C n D n (C D(C n + C n D + + CD n 2 + D n, 22

voidaan kirjoittaa Lasketaan jolloin g h + 5 2 ( F k+ 5 F k+ gk+ h k+ g h 5 2 + k+ ( 5 2 2 5 2 5, k+ 5 2 3 Jaksollinen yksinkertainen ketjumurtoluku Määritelmä 7 Ketjumurtoluku [b ; b, b 2,, b N, b N,, b N+L ] [b ; b, b 2,, b N, b N,, b N+L, b N, b N,, b N+L, ] on yksinkertainen jaksollinen ketjumurtoluku, jonka jakson pituus on L ja alkutermin pituus on N Jos alkutermiä ei ole, eli ketjumurtoluku on muotoa [b ; b, b 2,, b L ], niin sitä sanotaan yksinkertaiseksi puhtaasti jaksolliseksi ketjumurtoluvuksi Tässä jakson pituus määritellään aina lyhimmäksi mahdolliseksi ja alkutermin lopussa ei ole jakson toistuvaa osaa Jaksollisessa ketjumurtoluvussa siis jokin äärellinen osa osaosoittajista toistuu äärettömän monta kertaa 2 Algebrallisen luvun yksinkertainen ketjumurtoesitys Käsitellään lyhyesti toisen asteen algebrallisia lukuja Näitä lauseita ei todisteta, koska todistukset eivät kuulu tutkielman aihepiiriin Algebrallisten lukujen määritelmät ja lauseet perustuvat lähteeseen [5] 23

Määritelmä 2 Kompleksiluku τ on toisen asteen algebrallinen luku, jos on olemassa rationaaliluvut a ja b sekä kokonaisluku D, jotka toteuttavat ehdot τ a + b D ja D on irrationaaliluku Toisen asteen algebralliset luvut τ muodostavat toisen asteen neliökunnan Q( D {a + b D a, b Q} (24 Luku τ a b D on luvun τ liittoluku Luku τ kuuluu myös neliökuntaan (24 Toisen asteen algebrallisten lukujen A ja B liittoluvuille pätee A + B A + B, A/B A/B ja na na, missä n Z Lause 22 Jos kompleksiluku τ on toisen asteen algebrallinen luku, niin on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C ja D, että Aτ 2 + Bτ + C Määritelmä 23 Määritelmän 2 luku τ on irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku, jos d Lause 24 Irrationaaliluku τ on irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku, jos on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B ja C, A, että Aτ 2 + Bτ + C (25 Käydään läpi kaksi yksinkertaisiin jaksollisiin ketjumurtolukuihin ja algebrallisiin lukuihin liittyvää lausetta Toisen lauseen todistuksesta saadaan metodi joidenkin neliöjuurta sisältävien lausekkeiden jaksollisen ketjumurtoesityksen löytämiseen, joten lasketaan tästä pieni esimerkki lopuksi Käsiteltävät lauseet perustuvat lähteeseen [3] 24

Lause 25 Jos τ on yksinkertainen jaksollinen ketjumurtoluku, niin τ on irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku Todistus Koska τ on yksinkertainen päättymätön ketjumurtoluku, niin se on positiivinen ja irrationaalinen Olkoon τ [b ; b, b 2,, b L ] puhtaasti jaksollinen yksinkertainen ketjumurtoluku Tällöin τ C C L C 2L, joten tämän ja Lauseen perusteella τ A L C L + A L 2 B L C L + B L 2 A L τ + A L 2 B L τ + B L 2 Kun tätä yhtälöä kerrotaan puolittan luvulla B L τ + B L 2, niin Tästä saadaan toisen asteen yhtälö B L τ 2 + B L 2 τ A L τ + A L 2 B L τ 2 + (B L 2 A L τ A L 2 Tässä B L on yksinkertaisen ketjumurtoluvun konvergentin osoittajana nollasta eroava kokonaisluku ja B L 2 A L sekä A L 2 ovat samoin kokonaislukuja Siis τ on irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku määritelmän mukaan Olkoon nyt ketjumurtoluvulla τ alkutermi, eli τ [b ; b, b 2,, b N, b N,, b N+L ] Nyt C N C N+L C N+2L Käytetään Lausetta kahdella eri indeksillä ja saadaan kaksi yhtälöä τ A N C N + A N 2 B N C N + B N 2 ja τ A N+L C N+L + A N+L 2 B N+L C N+L + B N+L 2 Koska C N C N+L, niin jälkimmäisestä yhtälöstä tulee τ A N+L C N + A N+L 2 B N+L C N + B N+L 2 25

Muokataan ensimmäistä yhtälöä niin, että τ A N C N + A N 2 B N C N + B N 2 (B N C N + B N 2 B N C N τ + B N 2 τ A N C N + A N 2 B N C N τ A N C N A N 2 B N 2 τ C N (B N τ A N A N 2 B N 2 τ : (B N τ A N C N A N 2 B N 2 τ B N τ A N B N 2τ A N 2 B N τ A N Muokataan samalla tavoin toista yhtälöä, jolloin τ A N+L C N + A N+L 2 B N+L C N + B N+L 2 (B N+L C N + B N+L 2 B N+L C N τ + B N+L 2 τ A N+L C N + A N+L 2 C N (B N+L τ A N+L A N+L 2 B N+L 2 τ : (B N+L τ A N+L C N B N+L 2τ A N+L 2 B N+L τ A N+L Nyt on saatu kaksi muotoa kokonaisosamäärälle C N, joten merkitään ne samaksi Muokataan saatua yhtälöä niin, että B N 2 τ A N 2 B N τ A N B N+L 2τ A N+L 2 B N+L τ A N+L (B N 2 τ A N 2 (B N+L τ A N+L (B N+L 2 τ A N+L 2 (B N τ A N B N 2 B N+L τ 2 B N 2 A N+L τ A N 2 B N+L τ + A N 2 A N+L B N+L 2 B N τ 2 B N+L 2 A N τ A N+L 2 B N τ + A N+L 2 A N (B N 2 B N+L B N+L 2 B N τ 2 + (B N+L 2 A N + A N+L 2 B N B N 2 A N+L A N 2 B N+L τ + A N 2 A N+L A N+L 2 A N Saatu yhtälö ei ole toisen asteen yhtälö, jos toisen asteen termin kerroin on nolla, eli B N 2 B N+L B N+L 2 B N 26

Tässä tapauksessa siis kokonaisluku B N+L jakaisi termin B N+L 2 B N Tiedetään, että (B N+L, B N+L 2, jolloin luvun B N+L täytyisi jakaa luku B N, mutta B N+L > B N Siis B N+L ei jaa tuloa B N+L 2 B N Näin ollen kyseinen yhtälö on toisen asteen yhtälö ja τ on irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku Lause 26 Jos τ on positiivinen irrationaalinen algebrallinen luku, niin τ on jaksollinen yksinkertainen ketjumurtoluku Todistus Olkoon nyt τ positiivinen irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku, jolloin sen on toisen asteen yhtälön (25 ratkaisu Siis Nyt voidaan kirjoittaa τ B ± B 2 4CA 2A τ P + D Q, missä Q ja P ovat kokonaislukuja ja D > ei ole minkään luvun neliö Lisäksi koska Q (D P 2, D P 2 b 2 4CA ( B 2 4CA 2C(2A ja Q 2A Etsitään luvulle τ ketjumurtoesitystä Merkitään luvun τ kokonaisosaa b [τ], jolloin desimaaliosa on τ [τ] P + D b P + D Q b P Q b + D Q Q Q Q D (Q b P D P, Q Q missä P b Q P 27

on kokonaisluku Nyt missä C τ b Q ( D + P D P 2 Q D P P + D Q, Q ( D + P ( D P ( D + P Q D P 2 D (b Q P 2 D (b2 Q 2 2b Q P + P 2 Q Q Q D P 2 + Q (2b P b 2 Q D P 2 + 2b P b 2 Q Q Q Luku Q on kokonaisluku, sillä tiedetään, että Q (D P 2 Koska C on positiivisen luvun τ desimaaliosan käänteisluku, niin C > Seuraavaksi merkitään, että luvun C kokonaisosa on b ja lasketaan samalla tavoin luvun C desimaaliosa ja sen käänteisluku Koska niin joten C 2 P 2 + D C 2 b Q 2 Q D P 2 Q, Q Q D P 2, Q (D P 2 Tästä saadaan, samalla tavoin kuin luvun Q kohdalla, että luku on kokonaisluku Q 2 D P 2 2 Q Kun jatketaan yllä olevaa algoritmia, niin saadaan C k+ P k+ + D Q k+, 28

missä P k+ b k Q k P k, Q k+ (D P 2 k+ /Q k ja C k+ > kun k,, 2, Tässä luvut P k+ ja Q k+ ovat kokonaislukuja Todistetaan seuraavaksi, että algoritmi alkaa jossakin kohti toistamaan itseään Luvun C k konjugaatti on luku Lauseen ( perusteella jolloin Ratkaistaan tästä C k+ kirjoittamalla C k P k D Q k τ C A kc k+ + A k B k C k + B k, C A kc k+ + A k B k C k + B k C A kc k+ + A k B k C k+ + B k (B k C k+ + B k C (B k C k+ + B k A k C k+ + A k C B k C k+ A k C k+ A k C B k C k+ (C B k A k (C B k A k : (C B k A k C k+ C B k A k C B k A k B k C (A k /B k B k C (A k /B k Koska A k /B k τ kun k, niin tiedetään, että C k+ B k B k ( + ɛ k, missä ɛ k, kun k (ei todisteta tätä Tästä seuraa, että < C k+ < Koska kokonaisosamäärä C k+ >, niin suurilla indeksin k arvoilla C k C k P k + D Q k P k D 2 D >, joten Q k >, Q k Q k 29

C k + C k P k + D Q k + P k D Q k 2P k Q k > joten P k >, C k P k D <, joten P k D <, joten P k < D, Q k < C k P k D D Pk <, joten < <, joten D P k < Q k ja Q k Q k C k P k + D Q k > joten Q k < D + P k Näin ollen P k ja Q k ovat positiivisia kokonaislukuja, sekä < P k < D ja < D P k < Q k < D + P k Siis positiivisten kokonaislukujen jonot (P k ja (Q k ovat rajoitettuja, eli luvuille (P k ja (Q k on vain äärellinen määrä vaihtoehtoja Nämä luvut siis alkavat toistua suoritettaessa algoritmia tarpeeksi pitkälle ja ketjumurtoluku τ [b ; b, b 2 ] on jostakin lähtien jaksollinen Yllä olevassa todistuksessa esitetään algoritmi irrationaalisen toisen asteen algebrallisen luvun jaksollisen yksinkertaisen ketjumurtoesityksen löytämiseksi Käytetään tätä metodia seuraavassa esimerkissä, joka ei perustu mihinkään lähteeseen Esimerkki 27 Tutkitaan yhtälöä Yhtälön ratkaisut ovat Ratkaisu x 8 ± 8 2 4 3 3 2 3 3x 2 8x + 3 8 ± 28 6 8 ± 2 7 6 4 ± 7 3 τ 4 + 7 3 on positiivinen irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku Käytetään tähän todistuksen (2 algoritmia, jolloin C 4 + 7, P 4, Q 3, D 7, b 2 ja 3 (7 4 2 9 3 3

Jatketaan laskemista ja P b Q P 2 3 4 2, Q D P 2 7 22 Q 3 C P + 7 2 + 7 2 + 7, b 4, Q, P 2 4 2 2, Q 2 7 22 P 3 3 2, Q 3 7 2 3 P 4 2, Q 4 7 2 2 3, C 2 2 + 7, b 2, 3 2, C 3 + 7, b 3, 2 3, C 4 + 7, b 4, 3 P 5 3 2, Q 5 7 22 3, C 5 2 + 7 2 + 7, b 5 4 Huomataan, että C 5 C ja tästä eteenpäin algoritmi alkaa toistua Saadaan τ [2; 4,,,, 4] 3 Hypergeometriset sarjat Tässä luvussa tutkitaan hypergeometristen sarjojen ja ketjumurtolukujen yhteyttä Todistukseen luvun π irrationaalisuudesta tarvitaan näihin sarjoihin liittyvää yleistä teoriaa ja lauseita, joita tässä luvussa käsitellään Käsitellyt asiat pohjautuvat lähteisiin [] ja [5] Määritellään uusi merkintä (a, (a n a(a + (a + n, n,, 2, Tästä erikoistapauksena saadaan luvun n kertoma ( n 2 n n! 3

Tällaisten tulojen avulla määritellään hybergeometrinen sarja AF B ( a,, a A b,, b B t n (a n (a A n (b n (b B n tn n! Esimerkki 3 Erikoistapauksia hypergeometrisista sarjoista: a geometrinen sarja 2F (, t n n! n! t n n! n! ( t n F n t b eksponenttifunktio F ( t n t n n! et 3 Hypergeometrinen sarja F Tässä kappaleessa c, t, z C, c,, 2, ja f(c F ( c Lemma 32 f(c f(c + + t n t f(c + 2 c(c+ n!(c n t n 32

Todistus Merkinnän (a n ja funktion f(c määritelmien perusteella t f(c + + c(c + f(c + 2 t n t t n + n!(c + n n c(c + n!(c + 2 n n t n t n+ + n!(c + n n n!(c n n+2 t n t n + n!(c + n n (n!(c n n+ ( (c (n + + t n n!(c + n n (n!(c n+ c + n + t n n!(c n + + n f(c n n n c + n n!c(c + (c + n tn n!(c n t n n!(c n t n Lause 33 Funktiolle f(c pätee f(c f(c + + + Todistus Lemmasta 32 saadaan t c(c+ t (c+(c+2 + t/c + c + + t c+2+ t c+3+ joten f(c + k f(c + + k + t f(c + 2 + k, (c + k(c + + k t f(c + k f(c + + k + (c+k(c++k f(c + + k/f(c + 2 + k (26 33

Kun k, saadaan yhtälöstä (26 t f(c f(c + + c(c+ f(c + /f(c + 2 Käytetään yhtälöä (26 vakion k arvolla edellä saadun yhtälön oikean puolen nimittäjän nimittäjään ja saadaan f(c f(c + + + t c(c+ t (c+(c+2 f(c+2/f(c+3 Kun näin jatketaan yhtälön (26 sijoittamista, saadaan f(c f(c + + + t c(c+ t (c+(c+2 + Lemma 34 Trigonometriset funktiot sini ja kosini voidaan esittää seuraavalla tavalla: a sin z n b cos z n ( n (2n+! z2n+ z F ( 3/2 ( (2n! z2n F /2 z2 4 z2 4 Todistus Kehitelmät ( n (2n +! z2n+ ja n n (2n! z2n ovat sinin ja kosinin Taylorin kehitelmät Kirjoitetaan auki sinin ja kosinin hyperbolinen fuktio F : 34

a b F ( 3/2 F ( /2 z2 z 4 n (3/2 n n! ( z 2 n 4 n ( n (3/2 n n 4 n n! z2n+ ( n 3/2 5/2 7/2 (3/2 + n 4 n }{{} n n! z2n+ n kpl ( n 3 5 7 (2n + 2 n n! z2n+ n n z2 4 ( n 3 5 7 (2n + 2 4 6 (2n z2n+ ( n (2n +! z2n+ n n n n (/2 n n! ( z 2 4 ( n (/2 n 4 n n! z2n n ( n ( 3 (2n 2 4 (2n z2n ( n (2n! z2n Äsken todistetusta lemmasta saadaan, että tan z sin z cos z z F ( 3/2 z2 4 F ( /2 z2 4 35

Lause 35 Olkoon z π/2 + kπ, missä k Z Tangenttifunktio voidaan esittää ketjumurtolukuna tan z z z 2 z 2 + 3+ 5 + Todistus Käytetään lausetta 33 sijoituksilla t z 2 /4 ja c /2 ja saadaan tan z z F ( 3/2 F ( /2 z2 4 z2 4 zf(3/2 f(/2 z f(/2/f(3/2 z z + 2 /2 3/2+ z2 /4 5/2+ z2 /4 7/2+ Käytetään vielä Lausetta 2 arvoilla t ja t n 2, kun n 2, 3,, jolloin tan z z + z2 3+ z2 5+ z2 7+ 4 Luvun π irrationaalisuustodistuksia Lause 4 Luku π on irrationaalinen Todistus Todistetaan lause kahdella hyvin erilaisella tavalla Tapa Tämä todistus perustuu lähteeseen [5] Olkoon nyt z π/4, jolloin tan z Käyttämällä tangenttifunktion ketjumurtokehitelmää saadaan z + z2 z 2 z 2 3+ 5+ 7+ 36,

joten z + z2 z 2 z 2 3+ 5+ 7 + Tehdään vastaoletus, että π Q Nyt voidaan merkitä z π/4 r/s, r Z ja s Z +, jolloin r/s + (r/s2 3+ Käytetään Lausetta 2 ja saadaan Ketjumurtoluvussa τ siis (r/s 2 5+ (r/s 2 7 + r/s + r2 r 2 r 2 3s 2 + 5+ 7s 2 + τ b k (2k + s 2, kun 2 k, b k 2k +, kun 2 k, ja Nyt a k r 2 kaikilla k Z + (2k + s 2 2k + 2k + 2 r2 + 2 r 2 + 2 > r 2 + a k +, + eli b k a k +, kun k k r2 + 2 Joten Lauseen 4 perusteella τ k, k k Edelleen < τ k a k b k + τ k+ a k b k τ k+ a k b k a k b k < r2 + 2k k k, r2 + 2 r2 + 2 37

eli < τ k kaikilla k k Näin ollen Lauseen 5 perusteella τ k / Q, jolloin myös τ / Q Tämä on ristiriita vastaoletuksen kanssa, joten vastaoletus on väärä ja lause on tosi Tapa 2 Todistuksen idea on lähteestä [6] Tutkitaan luvun π irrationaalisuutta integraalien avulla Tehdään vastaoletus, että luku π on rationaaliluku, eli on olemassa kokonaisluvut q ja p siten, että π p q Määritellään lauseke C n qn n! π [x(π x] n sin xdx, n,, 2, (27 Käytetään integraaliin jatkuvien ja derivoituvien funktioiden osittaisintegroinnin kaavaa sijoituksilla π f gdx / π fg π f cos x, f sin x, g fdx g (x(π x n (πx x 2 n ja Nyt joten / π g n(x(π x n (π 2x fg cos π n[π(π π] n [ cos n( (π n ] π [x(π x] n sin xdx π n[x(π x] n (π 2x cos xdx 38

Käytetään osittaisintegrointia edellä saatuun lausekkeeseen sijoituksilla ja f sin x, f cos x, g n(x(π x n (π 2x g n(n (x(π x n 2 (π 2x 2 2n(x(π x n Kuten edellä, niin myös tässä tapauksessa π [x(π x] n sin xdx π π Kirjoittamalla saadaan C n qn n! / π fg, joten [n(n (x(π x n 2 (π 2x 2 2n(x(π x n ] sin xdx 2n(x(π x n sin x n(n (x(π x n 2 (π 2x 2 sin xdx π π qn n! + qn n! π (π 2x 2 π 2 4xπ + 4x 2 π 2 4x(π x (28 2n(x(π x n sin x n(n [x(π x] n 2 [π 2 4x(π x] sin xdx 2n(x(π x n sin xdx qn n! π n(n [x(π x] n 4 sin xdx 2qC n (qπ 2 C n 2 + 4(n qc n (4n 2qC n (qπ 2 C n 2 Alussa määritetylle lausekkeelle pätee siis rekursiokaava n(n [x(π x] n 2 π 2 sin xdx C n (4n 2qC n (qπ 2 C n 2, (29 39

kun n 2, 3, Osoitetaan nyt, että C n on kokonaisluku kaikilla n,, Integraalit C ja C ovat kokonaislukuja, sillä yhtälön (27 mukaan C π sin xdx / π ja yhtälön (28 mukaan C q 2q π π cos x cos π ( cos ( ( 2 2(x(π x sin x (x(π x (x 2x 2 sin xdx sin xdx 2q / π cos x 2q[ cos π ( cos ] 4q Oletetaan, että C k ja C k 2 ovat kokonaislukuja jollakin positiivisella kokonaisluvulla k Nyt kaavan (29 mukaan C k (4k 2qC k (qπ 2 C k 2 (4k 2qC k p 2 C k 2, eli myös C k on kokonaisluku Induktioperiaatteen nojalla siis C n on kokonaisluku kaikilla n,, 2 Olkoon nyt x [, π] Tällöin (2x π 2 4x 2 4xπ + π 2 x 2 + xπ π 2 /4 x 2 + xπ π 2 /4 x(π x π 2 /4, joten sin x ja x(π x π 2 /4 Voidaan siis arvioida, että < C n qn n! π Tiedetään, että joten myös [x(π x] n sin xdx gn n! (qπ 2 /4 n lim n n! π lim C n n (π 2 /4 n dx (qπ2 /4 n, Näin ollen suurilla indeksin n arvoilla < C n < Aikaisemmin kuitenkin saatiin, että C n on kokonaisluku, mikä on ristiriita Vastaoletus on siis epätosi ja alkuperäinen väite tosi n! / π x π (qπ2 /4 n n! 4

Lähdeluettelo [] George A Baker (junior: Essentials of Pade approximants Academic Press, New Your, 975 [2] Lester R Ford: Analytic Theory of Continued Fractions D van Nostrand Company Inc, New York, 948 [3] Andrew R Rockett, Peter Szüsz: Continued fractions Word Scientic Publishing Co Pte Ltd, Singapore, 992 [4] Kenneth H Rosen: Elementary Number Theory and Its Applications, Third Edition Addison-Wesley Publishing Company, 993 [5] Tapani Matala-aho: Ketjumurtoluvut-luentomoniste Oulun yliopisto, 5222 http://ccoulu/~tma/ketjuhtml [6] wwwproofwikiorg/wiki/pi_is_irrational (25424 4