Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa

Transkriptio

1 Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä ohjelma Mathematicalla Laajennettu Eukleideen algoritmi - suoraviivainen tapa Etsitään annettujen positiivisten lukujen a ja b suurimman yhteisen tekijän d = syt(a, b) esitys lukujen a ja b lineaarkombinaationa muodossa d = u a + v b; u, v Z; suoraviivaisella tavalla. Tässä tavassa jakoalgoritmin tuottama jakojäännös r i esitetään jokaisella askeleella muodossa u i a + v i b. Viimeisen jakojäännöksen r n ollessa nolla, on viimeinen nollasta eroava jakojäännös r n-1 etsitty lineaarikombinaatio d = syt(a, b) = r n-1 = u a + v b. Aloitetaan laskemalla yksityiskohtaisesti useita ensimmäisiä rivejä: a b > 0 a = q 1 b + r 1 ; r 1 = a q 1 b = u 1 a + v 1 b, missä u 1 = 1, v 1 = q 1 Z b = q 2 r 1 + r 2 ; r 2 = b q 2 r 1 = b q 2 (a q 1 b) = q 2 a + (1 q 2 v 1 )b = u 2 a + v 2 b, missä u 2 = q 2, v 2 = 1 q 2 v 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3 ; r 3 = r 1 q 3 r 2 = (a q 1 b ) q 3 (b q 2 (a q 1 b )) = u 1 a + v 1 b q 3 (q 2 a + (1 q 2 v 1 )b) = u 1 a + v 1 b q 3 ( u 2 a + v 2 b) = (u 1 q 3 u 2 )a + (v 1 q 3 v 2 )b = u 3 a + v 3 b, missä u 3 = u 1 q 3 u 2, v 3 = v 1 q 3 v 2 r 2 = q 4 r 3 + r 4 ; r 4 = r 2 q 4 r 3 = (b q 2 (a q 1 b )) q 4 ((a q 1 b ) q 3 (b q 2 (a q 1 b ))) = u 2 a + v 2 b q 4 (u 3 a + v 3 b) = (u 2 q 4 u 3 )a + (v 2 q 4 v 3 )b = u 4 a + v 4 b, missä u 4 = u 2 q 4 u 3, v 4 = v 2 q 4 v 3 r 3 = q 5 r 4 + r 5 ; r 5 = r 3 q 5 r 4 = u 5 a + v 5 b, missä u 5 = u 3 q 5 u 4, v 5 = v 3 q 5 v 4 ja niin edelleen. Meillä on siis a = q 1 b + r 1, r 1 = a q 1 b b = q 2 r 1 + r 2, r 2 = b q 2 r 1. Tämän lisäksi yleiset jakojäännökset sekä kertoimet u i ja v i ovat ilmeisestikin muotoa r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b,

2 Salakirjoitus 2 missä u i = u i-2 q i u i-1 ja v i = v i-2 q i v i-1, aina kun i 3. (*) Koska u 1 = 1, v 1 = q 1 ja u 2 = q 2, v 2 = 1 q 2 v 1, niin u 2 = u 0 q 2 u 1, v 2 = v 0 q 2 v 1, kun u 0 = 0 ja v 0 = 1. Toisin sanoen, valitsemalla r 0 = b; u 0 = 0 ja v 0 = 1 sekä u 1 = 1, v 1 = q 1, voidaan (*) laajentaa koskemaan myös arvoa i = 2. Saadaan siis r 1 = a q 1 b r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b u i = u i-2 q i u i-1 v i = v i-2 q i v i-1, aina kun i 2. Merkitään vielä r -1 = a, r 0 = b; u -1 = 1 ja v -1 = 0 sekä u 0 = 0 ja v 0 = 1. Tällöin ensimmäinen yhtäsuuruus r 1 = a q 1 b sekä arvot u 1 ja v 1 saadaan yleisistä palautuskaavoista myös tapauksessa i = 1: r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b u i = u i-2 q i u i-1 v i = v i-2 q i v i-1, aina kun i 1. Yllä esitetyistä laskelmista voidaan myös havaita, että luvun a (> 0) kerroin u i on positiivinen aina kun indeksi i on pariton ja negatiivinen aina kun i > 0 on parillinen. Luvun b (> 0) kertoimen v i etumerkki puolestaan vaihtelee päinvastoin: v i on negatiivinen aina kun indeksi i > 0 on pariton ja positiivinen aina kun i on parillinen. Esitetään seuraavaksi tämä laajennettu Eukleideen algoritmi valmiin ohjelman muodossa (kuten jo kappaleessa 2.2), ja todistetaan sen virheetön toiminta matemaattisella induktiolla. Algoritmi 2.2 Laajennettu Eukleideen algoritmi syöte a b > 0 alkuarvot r -1 = a; r 0 = b; u -1 = 1; u 0 = 0; v -1 = 0; v 0 = 1; n = 0; while r n > 0 do begin aseta n = n + 1; tulosta r n-2 = q n r n-1 + r n, r n-1 > r n 0; aseta u n = u n-2 - q n u n-1 ; aseta v n = v n-2 - q n v n-1 ; end aseta u = u n-1 ; v = v n-1 ; (2.2) syt(a, b) = r n-1 = u a + v b Algoritmin 2.2 oikeellisuuden todistus: Aluksi huomataan, että luvut r n, n 1, muodostavat ei-negatiivisten kokonaislukujen aidosti vähenevän jonon. Näin ollen algoritmin toiminta päättyy vähintään a iteraation jälkeen (käytännössä huomattavan paljon nopeammin).

3 Salakirjoitus 3 Algoritmin palauskaavasta r i = r i-2 q i r i-1 seuraa, että jokainen jakojäännöksien r i-2 ja r i-1 yhteinen tekijä on myös jakojäännöksien r i ja r i-1 yhteinen tekijä. Toisaalta jokainen jakojäännöksien r i ja r i-1 tekijä t on myös lukujen r i-2 ja r i-1 tekijä, koska muodoista r i = t r i ' ja r i-1 = t r i-1 ' (t, r i ', r i-1 ' Z + ) seuraa palautuskaavan nojalla, että r i-2 = r i + q i r i-1 = t r i ' + q i t r i-1 ' = t (r i ' + q i r i-1 '), ts. t on luvun r i-2 (ja oletuksen mukaan myös luvun r i-1 ) tekijä. Siis syt(r i-2, r i-1 ) = syt(r i-1, r i ), aina kun 1 i n, ja näin ollen syt(a, b) = syt(r -1, r 0 ) = syt(r 0, r 1 ) = syt(r 1, r 2 ) = = syt(r n-1, r n ) = syt(r n-1, 0) = r n-1. Tämä todistaa ensimmäisen yhtäsuuruuden kohdassa (2.2). Osoitamme nyt, että kaikille k, -1 k n, on voimassa (2.3) u k a + v k b = r k. Huomaa, että tässä sijoitus k = n - 1 tuottaa toisen yhtäsuuruuden kohdassa (2.2). Kun k = -1 ja k = 0 relaatio (2.2) on voimassa alkuarvojen r -1 = a; r 0 = b; u -1 = 1; u 0 = 0; v -1 = 0; v 0 = 1; valinnan perusteella. Jatketaan matemaattisella induktiolla. Tehdään induktio-oletus (i.o.), että (2.2) on voimassa, kun n = k 2 ja kun n = k 1. Algoritmin palautuskaavojen ja induktio-oletuksen nojalla seuraa, että r k = r k-2 - q k r i.o. k-1 = {u k-2 a + v k-2 b} - q k {u k-1 a + v k-1 b} = (u k-2 q k u k-1 ) a + (v k-2 q k v k-1 ) b = u k a + v k b. Induktioperiaatteen nojalla kohta (2.3) on tosi. Näin ollen Algoritmi 2.2 toimii oikein. Tietenkään ei ole välttämätöntä tallettaa kaikkia muuttujien r k, u k ja v k väliarvoja. Vain kaksi viimeistä yhdessä q k :n kanssa riittää. Muut väliarvot olivat mukana algoritmissa vain helpottamassa todistuksen lukemista. Huomautus. Koska kertoimet u i ja v i lasketaan lineaaristen yhtälöiden u i = u i-2 q i u i-1 v i = v i-2 q i v i-1 avulla, voitaisiin ne ja saman tien seuraavalla askeleella tarvittavat u i-1 ja v i-1 tuottaa ja tallentaa matriisimuodossa seuraavasti: u i v i u i-1 v i-1 = -q i u i-1 v i-1 u i-2 v i-2. Koska u -1 = 1; u 0 = 0; v -1 = 0; v 0 = 1; meillä on u 0 v 0 u -1 v -1 = Kun i = 1, saadaan u 1 v 1 u 0 v 0 = -q Seuravassa askeleessa saadaan u 2 v 2 u 1 v 1 = -q u 1 v 1 u 0 v 0 = -q ( -q ). Tässä kahden viimeisen matriisin ympärillä olevat sulkumerkit voidaan jättää merkitsemättä matriisien liitäntä- eli

4 Salakirjoitus 4 assosiatiivisuusominaisuuksien nojalla. Lopullisessa lineaarikombinaatiossa syt(a, b) = r n-1 = u a + v b kertoimet ovat u = u n-1 ; v = v n-1 ja ne löytyvät n 1 matriisikertolaskun jälkeen saatavan tulomatriisin ensimmäiseltä vaakariviltä sen jälkeen, kun tarvittavat kertoimet q i ovat löytyneet: u n-1 v n-1 u n-2 v n-2 = -q n q q Alla olevassa käsinlaskuesimerkissä, jossa lasketaan syt(368, 123), saadaan q 1 = 2 ja q 2 = 1. Tuossa tapauksessa on kolme riviä, joten n = 3. Kertoimiksi saadaan u = u n-1 = -1 ; v = v n-1 = 3. Nämä luvut löytyvät tulomatriisin ensimmäiseltä vaakariviltä: Jätämme lukijalle tämän elegantin laskentatavan ohjelmoinnin harjoitustehtäväksi emmekä enää käsittele sitä tässä yhteydessä. Käsinlaskuesimerkki: a = 368 ja b = 123 Tässä syt = 1, mikä nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti: 368 = 2 * = 1 * = 122 * Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt(368, 123). Esitetään syt = 1 nyt lukujen a = 368 ja b = 123 lineaarikombinaationa. Tässä yksinkertaisessa tilanteessa laskelmat on helppo tehdä käsin. Meillä siis on voimassa r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b, missä u i = u i-2 q i u i-1, v i = v i-2 q i v i-1, u 0 = 0 ja v 0 = 1 sekä u 1 = 1, v 1 = q 1. Niinpä laskemme seuraavasti: r i-2 = q i r i-1 + r i ; r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b ; u i, v i, q i = 2* ; 122 = 368 2*123 ; u 1 = 1, v 1 = q 1 = = 1* ; 1 = 123 1*(368 2*123) = 1* *123 ; u 2 = u 0 q 2 u 1 = 0 1*1 = 1, v 2 = v 0 q 2 v 1 = 1 1*( 2) = 3

5 Salakirjoitus = 122*1 + 0 ; 1 = syt(368, 123) = u a + v b, missä u = u 2 = 1 ja v = v 2 = 3. Siis syt(368, 123) = 1 = 1* *123. Tämä tulos on helppo varmistaa ja todeta oikeaksi. Käsinlaskuesimerkki: a = 1431 ja b = 1368 Tässä syt = 9, mikä nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti: 1431 = 1 * = 21 * = 1 * = 2 * = 2 * Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 9 = syt(1431, 1368). Laketaan vielä lineaarikombinaatio 9 = u i a + v i b. Tässä a = 1431 ja b = 1368 sekä kuten edellä r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b, missä u i = u i-2 q i u i-1, v i = v i-2 q i v i-1, u 0 = 0 ja v 0 = 1 sekä u 1 = 1, v 1 = q 1. Keskitytään nyt vain kaikkein oleellisiimpaan, eli lukujen u i ja v i laskemiseen kullakin askeleella: r i-2 = q i r i-1 + r i ; r i = r i-2 q i r i-1 = u i a + v i b ; u i, v i, q i = 1* = a b = u 1 a + v 1 b; u 1 = 1, v 1 = q 1 = = 21* = u 2 a + v 2 b; u 2 = u 0 q 2 u 1 = 0 21*1 = 21, v 2 = v 0 q 2 v 1 = 1 21*( 1) = = 1* = u 3 a + v 3 b; u 3 = u 1 q 3 u 2 = 1 1*( 21) = 22, v 3 = v 1 q 3 v 2 = 1 1*22 = = 2* = u 4 a + v 4 b; u 4 = u 2 q 4 u 3 = 21 2*22 = 65, v 4 = v 2 q 4 v 3 = 22 2*( 23) = = 2* = syt(1431, 1368) = u a + v b, missä u = u 4 = 65 ja v = v 4 = 68. Siis syt(1431, 1368) = 9 = 65* *1368. Tarkista vielä tämä tulos kertomalla luvut ja laskemalla saadut tulot yhteen. Laajennetun Eukleideen algoritmin ohjelmointi Mathematicalla Esitetään aluksi Eukleideen perusalgoritmi ilman lineaarikombinaatiota. Tällöin laskelmien rakenne on varsin yksinkertainen. Jos käyttäjän antama (positiivinen luku) a on pienempi kuin b, vaihdetaan ensin näiden lukujen a ja b järjestys:

6 Salakirjoitus 6 Clear[f]; f[{a_, b_}] := If[a b, {a, "=", Floor[a / b], "*", b, "+", a - Floor[a / b] * b}, f[{b, a}]]; f[{a_, _, _, _, b_, _, r_}] := Module[{myPr = ""}, If[r 0, Print["\nTässä syt = ", b, ".", "\n\ntulos nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti:\n"]; mypr, {b, "=", Floor[b / r], "*", r, "+", b - Floor[b / r] * r}]]; Esimerkki: Clear[Eukleides]; Eukleides[a_, b_] := ( Print[ (steps = Rest[NestWhileList[f, {a, b}, (# =!= "") &]]) // TableForm]; Print["Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = ", Last[steps[[Length[steps] - 2]]], " = syt(", a, ", ", b, ")."] ) Eukleides[1234, 2345] Tässä syt = 1. Tulos nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti: 2345 = 1 * = 1 * = 9 * = 30 * = 1 * = 3 * Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt(1234, 2345). Palautetaan seuraavaksi mieleen yllä todistetun laajennetun algoritmin pseudokoodi: Algoritmi 2.2 Laajennettu Eukleideen algoritmi syöte a b > 0

7 Salakirjoitus 7 alkuarvot r -1 = a; r 0 = b; u -1 = 1; u 0 = 0; v -1 = 0; v 0 = 1; n = 0; while r n > 0 do begin aseta n = n + 1; tulosta r n-2 = q n r n-1 + r n, r n-1 > r n 0; aseta u n = u n-2 - q n u n-1 ; aseta v n = v n-2 - q n v n-1 ; end aseta u = u n-1 ; v = v n-1 ; Meillä on siis aluksi: r -1 = a; r 0 = b; (a b > 0) u -1 = 1; u 0 = 0; v -1 = 0; v 0 = 1; n = 0; r -1 = a = q 1 b + r 1 ; r 1 = a q 1 b = u 1 a + v 1 b, missä u 1 = u -1 q 1 u 0, v 1 = v -1 q 1 v 0 r 0 = b = q 2 r 1 + r 2 ; r 2 = b q 2 r 1 = u 2 a + v 2 b, missä u 2 = u 0 q 2 u 1, v 2 = v 0 q 2 v 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3 ; r 3 = u 3 a + v 3 b, missä u 3 = u 1 q 3 u 2, v 3 = v 1 q 3 v 2 r 2 = q 4 r 3 + r 4 ; r 4 = u 4 a + v 4 b, missä u 4 = u 2 q 4 u 3, v 4 = v 2 q 4 v 3 Esitetään nyt jakoalgoritmin suorittava funktio jako ja sitä käyttävä funktio laajennettueukleides: Clear[jako]; jako[{a_, b_}] := If[a b, Print[r -1, "=", a, "=", q 1, "*", r 0, "+", r 1, "=", Floor[a / b], "*", b, "+", a - Floor[a / b] * b, "; ", r 1, "=", a - Floor[a / b] * b, "=", u 1, "a +", v 1, "b", " = ", "(", 1-0, ")*", a, " + (", 0 - Floor[a / b], ")*", b]; {1, a, Floor[a / b], b, a - Floor[a / b] * b, {0, 1}, 1-0, a, 0 - Floor[a / b], b} (* = {indeksi=n=1,r -1,q 1, r 0,r 1,{u 0,v 0 },u 1 =u -1 -q 1 *u 0,a,v 1 =v -1 -q 1 *v 0,b} *), jako[{b, a}]]; jako[ {n_, r1_, q3_, r2_, r3_, {u2_, v2_}, u3_, a_, v3_, b_}] := Module[{i, q4, r4, u4, v4, nextstep}, If[r3 0, "", (q4 = Floor[r2 / r3]; r4 = r2 - q4 * r3; u4 = u2 - q4 * u3; v4 = v2 - q4 * v3; nextstep = {i = n + 1, r2, q4, r3, r4, {u3, v3}, u4, a, v4, b}; Print[r i-2, "=", r2, "=", q i, "*", r i-1, "+", r i, "=", q4, "*", r3, "+", r4, "; ", r i, "=", r4, "=", u i, "a +", v i, "b", " = ", "(", u4, ")*", a, " + (", v4, ")*", b]; nextstep)]];

8 Salakirjoitus 8 Clear[laajennettuEukleides]; laajennettueukleides[a_, b_] := (Print["Laajennettu Eukleideen algoritmi toimii seuraavasti:"]; Print["a = ", Max[a, b], ", b = ", Min[a, b]]; lastrelevantstep = NestWhile[jako, {a, b}, (# =!= "") &, 1, Infinity, -2]; Print["Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = ", lastrelevantstep[[5]], " = syt(", a, ", ", b, ")."]; Print["Lineaarikombinaatio: ", lastrelevantstep[[5]], " = u a + v b = ", "(", lastrelevantstep[[7]], ")*", Max[a, b], " + (", lastrelevantstep[[9]], ")*", Min[a, b], "."];); Esimerkki: laajennettueukleides[123,368] laajennettueukleides[123, 368] Laajennettu Eukleideen algoritmi toimii seuraavasti: a = 368, b = 123 r -1 =368=q 1 *r 0 +r 1 =2* ; r 1 =122=u 1 a +v 1 b = (1)*368 + (-2)*123 r 0 =123=q 2 *r 1 +r 2 =1*122+1; r 2 =1=u 2 a +v 2 b = (-1)*368 + (3)*123 r 1 =122=q 3 *r 2 +r 3 =122*1+0; r 3 =0=u 3 a +v 3 b = (123)*368 + (-368)*123 Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt(123, 368). Lineaarikombinaatio: 1 = u a + v b = (-1)*368 + (3)*123. Tarkistuslaskelmia luvuilla a ja b sekä tuloksena saaduilla luvuilla u ja v: lastrelevantstep (* siis {i,r i-2,q i,r i-1,r i,{u i-1,v i-1 },u i,a,v i,b}, kun i = n-1 *) {2, 123, 1, 122, 1, {1, -2}, -1, 368, 3, 123}

9 Salakirjoitus 9 Print["Lineaarikombinaatio u a + v b = ", "(", lastrelevantstep[[-4]], ")*", lastrelevantstep[[-3]], " + (", lastrelevantstep[[-2]], ")*", lastrelevantstep[[- 1]], " tuottaa sievennettynä luvun:"]; lastrelevantstep[[- 4]] * lastrelevantstep[[- 3]] + lastrelevantstep[[-2]] * lastrelevantstep[[-1]] Lineaarikombinaatio u a + v b = (-1)*368 + (3)*123 tuottaa sievennettynä luvun: 1 Tämähän on aivan oikein. Esimerkki: laajennettueukleides[34527, ] laajennettueukleides[34 527, ] Laajennettu Eukleideen algoritmi toimii seuraavasti: a = , b = r -1 = =q 1 *r 0 +r 1 =529* ; r 1 =8862=u 1 a +v 1 b = (1)* (-529)* r 0 =34 527=q 2 *r 1 +r 2 =3* ; r 2 = 7941=u 2 a +v 2 b = (-3)* (1588)* r 1 =8862=q 3 *r 2 +r 3 =1* ; r 3 = 921=u 3 a +v 3 b = (4)* (-2117)* r 2 =7941=q 4 *r 3 +r 4 =8* ; r 4 = 573=u 4 a +v 4 b = (-35)* (18 524)* r 3 =921=q 5 *r 4 +r 5 =1* ; r 5 =348 =u 5 a +v 5 b = (39)* ( )* r 4 =573=q 6 *r 5 +r 6 =1* ; r 6 =225 =u 6 a +v 6 b = (-74)* (39 165)*34 527

10 Salakirjoitus 10 r 5 =348=q 7 *r 6 +r 7 =1* ; r 7 =123 =u 7 a +v 7 b = (113)* ( )* r 6 =225=q 8 *r 7 +r 8 =1* ; r 8 =102 =u 8 a +v 8 b = (-187)* (98 971)* r 7 =123=q 9 *r 8 +r 9 =1*102+21; r 9 =21 =u 9 a +v 9 b = (300)* ( )* r 8 =102=q 10 *r 9 +r 10 =4*21+18; r 10 =18= u 10 a +v 10 b = (-1387)* ( )* r 9 =21=q 11 *r 10 +r 11 =1*18+3; r 11 =3= u 11 a +v 11 b = (1687)* ( )* r 10 =18=q 12 *r 11 +r 12 =6*3+0; r 12 =0=u 12 a +v 12 b = ( )* ( )* Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 3 = syt(34 527, ). Lineaarikombinaatio: 3 = u a + v b = (1687)* ( )* Tarkistuslaskelmia luvuilla a ja b sekä tuloksena saaduilla luvuilla u ja v: lastrelevantstep (* siis {i,r i-2,q i,r i-1,r i,{u i-1,v i-1 },u i,a,v i,b}, kun i = n-1 *) {11, 21, 1, 18, 3, {-1387, }, 1687, , , }

11 Salakirjoitus 11 Print["Lineaarikombinaatio u a + v b = ", "(", lastrelevantstep[[-4]], ")*", lastrelevantstep[[-3]], " + (", lastrelevantstep[[-2]], ")*", lastrelevantstep[[- 1]], " tuottaa sievennettynä luvun:"]; lastrelevantstep[[- 4]] * lastrelevantstep[[- 3]] + lastrelevantstep[[-2]] * lastrelevantstep[[-1]] Lineaarikombinaatio u a + v b = (1687)* ( )* tuottaa sievennettynä luvun: 3 Tämäkin on oikein. Kokeillaan saadun syt(a,b) :n laskemista vielä Eukleideen perusalgoritmilla ilman lineaarikombinaatiota. Tällöin laskelmien rakenne on yksinkertainen. Samat laskelmat ovat toki näkyvissä jo edellisen tulostuksen vasemmanpuoleisessa reunassa. Eukleides[34 527, ] Tässä syt = 3. Tulos nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti: = 529 * = 3 * = 1 * = 8 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 4 * = 1 * = 6 * Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 3 = syt(34 527, ).

12 Salakirjoitus 12 Esimerkki: a = Fibonacci[100]; b = Fibonacci[99]; laajennettueukleides[ , ] a = Fibonacci[100] b = Fibonacci[99] laajennettueukleides[a, b] Laajennettu Eukleideen algoritmi toimii seuraavasti: a = , b = r -1 = =q 1 *r 0 +r 1 =1* ; r 1 = =u 1 a +v 1 b = (1)* (-1)* r 0 = =q 2 *r 1 +r 2 =1* ; r 2 = =u 2 a +v 2 b = (-1)* (2)* r 1 = =q 3 *r 2 +r 3 =1* ; r 3 = =u 3 a +v 3 b = (2)* (-3)* Tähän väliin jäävät ohjelman tulostukset on tarkoituksella poistettu. r 94 =5=q 96 *r 95 +r 96 =1*3+2; r 96 =2=u 96 a +v 96 b = ( )* ( )* r 95 =3=q 97 *r 96 +r 97 =1*2+1; r 97 =1=u 97 a +v 97 b = ( )* ( )* r 96 =2=q 98 *r 97 +r 98 =2*1+0; r 98 =0=u 98 a +v 98 b = ( )* ( )* Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt( , ). Lineaarikombinaatio: 1 = u a + v b = ( )* ( )*

13 Salakirjoitus 13 Tarkistuslaskelmia luvuilla a ja b sekä tuloksena saaduilla luvuilla u ja v: lastrelevantstep (* siis {i,r i-2,q i,r i-1,r i,{u i-1,v i-1 },u i,a,v i,b}, kun i = n-1 *) {97, 3, 1, 2, 1, { , }, , , , } Print["Lineaarikombinaatio u a + v b = ", "(", lastrelevantstep[[-4]], ")*", lastrelevantstep[[-3]], " + (", lastrelevantstep[[-2]], ")*", lastrelevantstep[[- 1]], " tuottaa sievennettynä luvun:"]; lastrelevantstep[[- 4]] * lastrelevantstep[[- 3]] + lastrelevantstep[[-2]] * lastrelevantstep[[-1]] Lineaarikombinaatio u a + v b = ( )* ( )* tuottaa sievennettynä luvun: 1 Tulos on oikein! Näille suurille luvuille Fibonacci[100] ja Fibonacci[99] tarvittiin suurimman yhteisen tekijän laskemiseen vain = 98 askelta, vaikka kyseessä on hankalin mahdollinen tapaus (kun algoritmin toiminnan nopeutta verrataan luvun b arvoon, a > b 1). Todellakin, algoritmin toiminta on hitaimmillaan silloin, kun jakojäännös r k pienenee kussakin askeleessa r k-2 = q k r k-1 + r k mahdollisimman vähän. Tällaiseen tilanteeseen puolestaan joudutaan, jos r k-2 = r k-1 + r k aina kun 2 k n - 1, ts. jos jokaisella askeleella osamäärä q k saa arvon 1 (mahdollisesti ensimmäistä askelta a = q 1 b + r 1 lukuunottamatta). Tarkemmin tätä asiaa käsitellään päätekstin Kappaleessa 2.3. Se että kaikki kertoimet q i ovat ykkösiä tapauksessa a = Fibonacci[100], b = Fibonacci[99] näkyy helpoiten perusalgoritmista: Eukleides[ a = Fibonacci[100], b = Fibonacci[99] ] Tässä syt = 1. Tulos nähdään Eukleideen algoritmilla seuraavasti: = 1 * = 1 *

14 Salakirjoitus = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 *

15 Salakirjoitus = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 1 * = 2 * Viimeinen nollasta eroava jakojäännös = 1 = syt( , ). Huomautus. Koska tässä lineaarikombinaatio u a + v b = 1, saadaan u a 1 = v b, ts. u a 1 (mod b) ja näin ollen u a -1 (mod b). Salakirjoituksissa tällaisilla käänteisalkioilla on hyvin keskeinen merkitys, kuten tullaan näkemään. Tämän viimeisen esimerkin tapauksessa lauseke u a + v b on ( )* ( )* = 1, joten (mod ), ts * (mod ).