Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa

Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa, joka pyörii hiljentyvällä vauhdilla. Mihin suuntaan leppäkertun kulmanopeutta kuvaava vektori osoittaa? z y x 1. +x-suuntaan 2. x-suuntaan 3. +y-suuntaan 4. y-suuntaan 5. +z-suuntaan 6. z-suuntaan

Konseptitesti 2 Kysymys Viereisessä kuvassa istuu kaksi leppäkerttua pyörivässä karusellissa. Karuselli pyörii vakionopeudella. Miten sisäkehällä istuvan leppäkertun kulmanopeus suhteutuu ulkokehällä istuvan leppäkertun kulmanopeuteen, jos se istuu pyörimisakselin ja ulkokehällä istuvan leppäkertun puolivälissä? z y x 1. Se on puolikas ulomman leppäkertun kulmanopeudesta 2. Se on yhtä suuri kuin ulomman leppäkertun kulmanopeus 3. Se on kaksinkertainen ulomman leppäkertun kulmanopeuteen nähden 4. Annetun tiedon perusteella ei voi päätellä

Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa

Konseptitesti 3 Kysymys Kevyen lentokoneen pilotti haluaa lentää länteen. Koneen ilmanopeus (koneen nopeus suhteessa ympäröivään ilmaan) on 200 km h 1. Voimakas 120 km h 1 tuuli puhaltaa pohjoisesta. Lentääkseen maahan nähden länteen, pilotti kääntää koneen nokan pohjoisen ja lännen väliin. Mikä on hänen maanopeutensa, eli lentokoneen nopeus suhteessa maahan? 1. 80 km h 1 2. 120 km h 1 3. 160 km h 1 4. 180 km h 1 5. Tällaisella tuulella länteen lentäminen on mahdotonta

Suhteellinen liike Nopeusmittauksista suhteellinen nopeus (relative speed) = nopeus suhteessa johonkin koordinaatistoon (frame of reference) Tarkastellaan suoraviivaista liikettä Kaksi havaitsijaa A ja B, jotka liikkuvat toistensa suhteen nopeudella ~v AB Havaitsijoiden koordinaatistojen origot pisteissä O ja O 0 Paikkavektori pisteeseen P havaitsijasta A on ~r = OP ja havaitsijasta B on ~r 0 = O 0 P, jolloin ~r = ~r 0 + ~r AB, missä ~r AB on vektori, joka osoittaa A:sta B:hen Oletetaan, että havaitsija B ei ole kiihtyvässä liikkeessä A:han nähden

Galilein koordinaatistomuunnos Derivoidaan ajan suhteen d~r = d ~r 0 + d ~r AB =) ~v = ~v 0 + ~v AB, Derivoimalla uudestaan ajan suhteen saadaan d~v = ~a = ~a 0 Jos valitaan A ja B samaan pisteeseen ajanhetkellä t = 0, saadaan muunnoskaavat ~r 0 = ~r ~v AB t ~v 0 = ~v ~v AB ~a 0 = ~a t B = t A = Galilein koordinaatistomuunnos

Konseptitesti 4 Kysymys Mikä seuraavista koordinaatistoista on inertiaalinen (tai lähes inertiaalinen) koordinaatisto? 1. Jyrkkää mäkeä laskeva autoon sidottu koordinaatisto 2. Laukaisualustalta juuri lähteneeseen rakettiin sidottu koordinaatisto 3. Mäkeä ylittävään vuoristoradan vaunuun sidottu koordinaatisto 4. Rajanopeuden saavuttanut laskuvarjohyppääjä 5. Ei yksikään edellisistä

Inertiaalikoordinaatisto Galilein muunnoksen keskeisin ominaisuus on että molemmat havaitsijat mittaavat saman kiihtyvyyden Seuraus: kiihtyvyys invariantti koordinaatistomuunnoksessa, kunhan molemmat koordinaatistot ovat inertiaalikoordinaatistoja Merkitys: kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat yhdenvertaisia Inertiaalikoordinaatisto (inertial frame of reference) = tasaisella nopeudella liikkuva koordinaatisto Koordinaatisto, joka liikkuu tasaisella nopeudella johonkin inertiaalikoordinaatistoon nähden myös inertiaalikoordinaatisto Ei-inertiaalinen koordinaatisto kiihtyvässä liikkeessä Myös normaalikiihtyyys kiihtyvää liikettä Normaalikiihtyvyys muuttaa koordinaatiston liikesuuntaa

Kulmasuureet Ympyräradalla kulkevaa kappaletta kuvataan kulmasuureilla Hiukkasen paikka ympyräradalla paikkavektorin ja x-akselin välinen kulma Kulmanopeus! ja ratanopeus v y! = d ja v = ds = d(r ) = R! Kulmakiihtyvyys R = d! = d 2 2 x

Kiihtyvyyden komponentit Kiihtyvyyden tangentiaalikomponentti Normaalikomponentti a T = dv = R d! = R a N = v 2 R = (!R)2 R = R!2

Pyörimisliikkeen vektorisuureista tarkemmin Tarkastellaan z-akselin ympäri (vakio)etäisyydellä R, kulmanopeudella! tapahtuvaa ympyräliikettä Säde R voidaan esittää myös paikkavektorin ~r pituuden r ja kulman avulla R = r sin z R r Tällöin ratanopeus v =!r sin

Nopeus- ja kiihtyvyysvektorit v =!r sin vektorimuodossa: ~v = ~! ~r Kulmanopeusvektori ~! pyörimistasoa vastaan kohtisuora vektori Suunta oikean käden säännöllä Tasaisessa ympyräliikkeessä vakio ~! Kiihtyvyydellä vain normaalikomponentti ~a = d ~v = ~! d ~r = ~! ~v Eli ~a = ~! ~v = ~! (~! ~r)! Pätevät tässä muodossa vain kun r ja vakioita

Pyörivät koordinaatistot Kaksi toistensa suhteen pyörivää koordinaatistoa Koordinaatistojen origot O ja O 0 samassa pisteessä O 0 pyörii kulmanopeudella! inertiaalikoordinaatiston O suhteen Mielivaltainen vektori ~ A(t) Koordinaatistossa O Koordinaatistossa O 0 ~A = A x î + A y ĵ + A z ˆk ~ A 0 = A 0 x î 0 + A 0 yĵ0 + A 0 z ˆk 0 Origot samat ~A = A x î + A y ĵ + A z ˆk = A 0 x î 0 + A 0 yĵ0 + A 0 z ˆk 0 = ~ A 0

Aikaderivaatat Inertiaalikoordinaatistossa O d~ A = da x O î + da y ĵ + da z Pyörivässä koordinaatistossa O 0 d~ A 0 O 0 = da0 x î0 + da0 y ĵ0 + da0 z Vain yksikkövektorit î, ĵ ja ˆk vakioita inertiaalikoordinaatistossa, joten ˆk ˆk 0 d~ A 0 O = da0 x î0 + da0 y ĵ0 + da0 z ˆk 0 + A 0 x dî 0 + A 0 y dĵ 0 + A 0 z d ˆk 0

Pyörivän koordinaatiston yksikkövektorit Koordinaatisto O 0 (ja sen yksikkövektorit) pyörii vakiokulmanopeudella! =) dî0 dĵ 0 0 d ˆk = ~! î, = ~! ĵ, = ~! ˆk =) A 0 dî 0 dĵ 0 0 d ˆk x +A0 y +A0 z = A 0 x(~! î)+a 0 y(~! ĵ)+a 0 z(~! ˆk) = ~! A 0 xî + ~! A0 yĵ + ~! A0 ˆk 0 z = ~! A ~ = ~! A ~ Yleinen aikaderivoimisääntö d~ A O = d ~ A O 0 + ~! ~ A

Paikka- ja nopeusvektorit Sovelletaan derivoimissääntöä paikkavektoreihin d~r = d ~r O O 0 + ~! ~r Merkitsemällä saadaan ~v = d ~r O ja ~v 0 = d ~r O 0 ~v = ~v 0 +! ~r

Kiihtyvyysvektori Kiihtyvyysvektoria muunnettaessa huomattava, että molemmat derivoinnit suoritettava samassa koordinaatistossa ~a = d 2 ~r 2 O = d O d~r O ~a 0 = d 2 ~r 2 O 0 = d O 0 d~r O 0 Tästä saadaan tulokseksi ~a = ~a 0 + 2~! ~v {z } 0 + ~! (~! ~r) {z } Coriolis keskipako Esimerkki siitä, miksi Galilein muunnos menee rikki ei-inertiaalisessa koordinaatistossa kiihtyvyys ei enää invariantti

Maapallon pyörimisen aiheuttama kiihtyvyys Maapallo pyörii kulmanopeudella 7.3 10 5 rad s 1, jonka suunta maapallon keskustasta pohjoisnavalle päin Jos maapallo ei pyörisi, vapaasti putoavalle kappaleelle mitattaisiin kiihtyvyys g 0 Pyörimisen takia maan mukana pyörivä havaitsija näkee kappaleella kiihtyvyyden ~a 0 = ~g 0 2~! ~v 0 ~! (~! ~r)

Keskipakokiihtyvyys maan pinnalla Maan pyöriminen muuttaa maan pinnalla olevien kappaleiden kokemaa maan vetovoiman kiihtyvyyttä Jos kappale paikallaan, Coriolis-termi häviää Efektiivinen vetovoiman kiihtyvyys ~g = ~g 0 ~! (~! ~r) Vetovoiman kiihtyvyys riippuu korkeusasteesta (latitude): Korjaustermin suuruus ~! (~! ~r) =! 2 r cos 2 = 3.34 10 2 cos m/s 2 Korjaustermin suuruus pieni verrattuna g 0 :n arvoon 9.81 m s 2 N ~! ~r ~g 0 ~! (~! ~r) Korjaustermin vaikutus painovoiman suuntaan mitätön

Coriolis-kiihtyvyys Vaikuttaa kaikkiin maapallon suhteen putoaviin kappaleisiin Esim. vapaasti putoava kappale kaartuu pohjoisella pallonpuoliskolla itään Coriolis-kiihtyvyyden vaikutuksesta Vastaavasti pohjoisella pallonpuoliskolla maanpinnan suuntaisesti liikkuva kappale kääntyy oikealle Eteläisellä pallonpuoliskolla vasemmalle Fiktiivinen kiihtyvyys! seuraus maapallon pyörimisestä

Coriolis-kiihtyvyys yleisessä tapauksessa Yleisessä tapauksessa Coriolis-kiihtyvyydellä myös pystysuora komponentti Esim. matalapaineen keskuksen ympärillä pyörivät ilmamassat kiertävät pohjoisella pallonpuoliskolla vastapäivään koska matalapainetta kohti tulevat ilmavirtaukset poikkeavat keskilinjasta oikealle Eteläisellä pallonpuoliskolla päinvastoin

Karteesinen koordinaatisto z (x, y, z) r dz dy dx Tilavuuselementti dv = dx dy dz x y

Karteesinen koordinaatisto Karteesisen koordinaatiston paikkavektori ~r = xî + yĵ + z ˆk Nopeusvektori Kiihtyvyys Yleinen vektori ~v = d ~r ~a = d ~v = dx î + dy ĵ + dz ˆk = dv x î + dv y ĵ + dv z ~A = A x î + A y ĵ + A z ˆk ˆk

Napakoordinaatisto Sylinterikoordinaatiston erikoistapaus 2D:ssä Koordinaatit Etäisyys origosta ' Paikkavektorin ja positiivisen x-akselin kulma y ' ~r x Muuntoyhtälöt x(, ') = cos '; (x, y) = p x 2 + y 2 Huomaa, että 0 ja ' 2 [0, 2 ] y(, ') = sin '; '(x, y) =arctan y x

Yksikkövektorit Koordinaattisysteemien koordinaatteja vastaa yksikkövektorit y ~A Yksikkövektori osoittaa kasvavien arvojen suuntaan Tyypillisesti yksikkövektorien suunta riippuu tarkastelupisteestä ê ' ' ~r ê x Napakoordinaatiston paikkavektori ~r(, ') = ê Yleinen vektorisuure napakoordinaatistossa ~A = A ê + A ' ê '

Napakoordinaatiston yksikkövektorit Napakoordinaatiston yksikkövektorit kytketty karteesisen koordinaatiston yksikkövektoreihin appleê ê ' = apple cos ' sin ' sin ' cos ' Napakoordinaatiston yksikkövektorit riippuvat ':stä! Lasketaan niiden derivaatat ajan suhteen: appleî ĵ (Rotaatiomatriisi) dê dê ' = d cos ' = d cos ' d' = d' ê î + d sin ' d' î + d sin ' d' ĵ + dî cos ' + dĵ sin ' d' ĵ = d' ê'

Nopeus ja kiihtyvyys napakoordinaatistossa y Nopeusvektori ~v = d ~r ê 0 ' d' ' ~a = d ~v ~r 0 ê ' ~r = d ê 0 ê x = d ( ê )= d ê + dê Nopeus ~v = d ~r h d ê + d' i ê' =... d 2 h d' i 2 = 2 ê + = d ( ê )= d ê + dê = d ê + d' ê' Kiihtyvyys saadaan nopeuden aikaderivaatasta 2 d d' + d 2 ' 2 ê '

Sylinterikoordinaatisto (x, y, z) =(,, z) z r dz d d Tilavuuselementti dv = d d x y d dz

Sylinterikoordinaatisto Napakoordinaatiston yleistys kolmeen ulottuvuuteen Täydennetty karteesisella z-komponentilla z Muuntoyhtälöt x(, ', z) = cos ' (x, y, z) = p x 2 + y 2 y(, ', z) = sin ' '(x, y, z) =arctan y x z(, ', z) =z z(x, y, z) =z ' z x

Yksikkövektorit sylinterikoordinaatistossa Paikkavektori ~r = ê + z ˆk Nopeus ~v = d ê + d' ê' + dz ˆk Kiihtyvyys ~a = d 2 2 h d' i 2 ê z ˆk 2 d d' + d 2 ' 2 ê ' + d 2 z Yleinen vektori ~A = A ê + A ' ê ' + A z ˆk ˆk ~r ê ê ' y x

Pallokoordinaatisto z (x, y, z) =(r,, ) dr r sin r rd d y d r sin d x Tilavuuselementti dv = r 2 sin dr d d

Pallokoordinaatisto Koordinaatteina etäisyys origosta r ja kulmat, ' Muuntoyhtälöt z x(r, ', ) =r sin cos ' ê r y(r, ', ) =r sin sin ' z(r, ', ) =r cos (x, y, z) = p x 2 + y 2 + z 2 p x 2 + y (x, y, z) 2 =arctan z x ' r ê ê ' y '(x, y, z) =arctan y x