Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä
Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys Aaltofunktio on yleisesti kompleksinen paikan funktio ψ ( x). Yksinkertaisin aaltofunktioon liittyvä mitattavissa oleva ominaisuus on todennäköisyystiheys = ψ ( x).
d ψ + E ( ), p x ψ = Eψ m dx Schrödingerin yhtälö Aineaaltokenttä toteuttaa Scrödingerin yhtälön ( x) missä E hiukkasen näkemä p potentiaalienergia. Hiukkasen esiintymistodennäköisyys tilavuudessa V on: ( ) P = ψ x, y, z dv. V V Jos hiukkanen on lokalisoitunut aaltofunktio voidaan normittaa: Koko Avaruus ψ ( x y z),, dv = 1.
Aaltoyhtälön muodostaminen Schrödinger päätyi tutkimaan aineaaltoyhtälöitä de Broglien inspiroimana. Hän yhdisti stationäärisiin tiloihin seisovan aaltokuvan ja esitti 196 aaltoyhtälön, joka kuvasi aineaaltojen etenemistä. Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaniikan perusoletus eli postulaatti. Sitä voidaan perustella analogioilla klassisiin aaltoyhtälöihin muttei johtaa niistä. Erwin Schrödinger (1887 1961) Itävaltalainen teoreettinen fyysikko Fysiikan Nobel 1933: uuden atomiteorian kehittämisestä.
Vapaan hiukkasen aaltofunktio Vapaalle hiukkaselle potentiaalienergia ja Scrödingerin yhtälö siis muotoa E p ψ ψ Eψ k ψ 0 missä k = 0, d d me = + = = m dx dx Tämän yhtälön yleinen ratkaisu on ikx ( x) = Ae + Be ( ) = sin + ( x) = C cos( kx + δ ) ikx ψ tai ψ x A kx Bsin kx tai ψ missä A, B, C, δ ovat integrointivakioita Tasoaallon reaaliosa
ψ 1 me ψ 1 d + = 0 dx ikx ψ x = Ae + Be 1 ( ) ( ) Potentiaaliaskel E<E 0 Schrödingerin yhtälö alueessa I ikx Schrödingerin yhtälö alueessa II d ψ m( E E0 ) + ψ = 0 dx α x α x ψ x = Ce + De Jatkuvuusehto aaltofunktiolle ja derivaatalle dψ 1( x = 0) dψ ( x = 0) ψ 1( x = 0) = ψ ( x = 0); = dx dx ( ik + α ) A ika B = ja C = ik α ik α
Aaltofunktio E<E 0 Aaltofunktio alueessa I ikx ik + α ikx ψ1 ( x) = Ae + e ik α Aaltofunktio alueessa II ik α x ψ ( x) = Ae ik α Alueessa I vaihtoehtoinen esitysmuoto ik α 4k α ψ1 ( x) = Acos kx sin kx A cos kx sin kx ik k α k + α k sillä aaltofunktio voidaan aina kertoa kompleksisella vaihetekijällä e i δ : ik 4k ik α k + α e iδ Huom. vaikka E<E 0 aaltofunktio tunkeutuu kynnyksen sisään!!
Potentiaalikynnyksen rajatapaus on potentiaaliseinä. Aaltofunktio on = 0 alueessa (II), sillä hiukkanen ei tunneloidu äärettömän kovan seinän sisään. Potentiaaliseinä
Hiukkasvirran tiheys Hiukkasen todennäköisyysvirran tiheys * * Ψ ( x, t) Ψ ( x, t) j( x, t) = Ψ ( x, t) Ψ ( x, t) im x x ( x, t) ± ikx ωt Vapaalle hiukkaselle Ψ = Ae + ikx ωt k Ψ ( x, t) = Ae j = A virta x-akselin posit. suuntaan m ikx ωt k Ψ ( x, t) = Ae j = A virta x-akselin negat. suuntaan m Virran lauseke johdetaan Luvussa 3: Aineaaltodynamiikka
Heijastumis- ja läpäisykerroin Aaltofunktio alueessa I ikx ik + α ikx ψ1 ( x) = Ae + e ik α Ajasta riippuva stationäärinen tila i( kx ωt) ik + α i( kx ωt Ψ ) 1 ( x, t) = Ae + e ik α Virta vasemmalta oikealle (inc) k jinc = A m Heijastuskerroin: jref R = = 1 Kokonaisheijastus j inc Virta oikealta vasemmalle (ref) ik + α k k jref = A = A ik α m m
d ψ me me 1 ( ) Potentiaaliaskel E>E 0 Schrödingerin yhtälö alueessa I 1 + ψ 1 = 0 k = dx ψ x ikx = Ae + Be ikx Schrödingerin yhtälö alueessa II d ψ m E E m E E dx ψ ( ) ( ) 0 0 + ψ = 0 k = ik x ik x ( x) = Ce + Be [ B = 0, alueessa II ei vasem. eten. aaltoa] Jatkuvuusehdoista: k k k B = A; C = A k + k k + k
Heijastumis- ja läpäisykertoimet ikx k k ikx ψ1 ( x) = Ae + e k + k ik x k ik x ψ ( x) = Ce = Ae k + k k Tuleva jinc = A m k k k Heijastunut jref = A k + k m k k Läpäissyt jtran = A k + k m jref k k j ; tran k R = = T = = j k + k j k + k inc inc Huom! R + T = 1
Schrödingerin yhtälö : d ψ + k ψ = 0; k = me dx ψ x = Acoskx + Bsin kx ( ) Potentiaalilaatikko 1/3 ψ ( x) ( ) Reunaehto : = 0 pisteessä x = 0 A = 0 ψ x = Bsin kx Reunaehto : pistessä x = a Bsin ka = 0 ka = ± nπ ; n = 1,,3,.. nπ x Ominaisfunktiot : ψ ( x) = Bsin a k π Ominaisarvot : E = = n ; n = 1,,3,.. m ma Huom! n = 1,, 3,.. ei tuota uusia omiaistiloja (eroavat vain vaihetekijällä)
a a ψ n ( ) 0 0 B = ψ a 0 n Potentiaalilaatikko /3 Ominaisfunktioiden normitus : nπ x x dx = B sin dx = 1 a π ; a B voidaan valita reaaliseksi! ( x) = a sin( nπ x a) Ortonormitettu funktiojoukko : * 1 jos n = m ψ n ( x) ψ m ( x) dx = δ nm δ nm = jos n m Ominaisarvot : π E = n ; n = 1,,3,.. ma
Potentiaalilaatikko 3/3 Aaltofunktioiden pariteetti: Jos hiukkasen potentiaalienergia on symmetrinen pisteen O suhteen myös todennäköisyystiheyden on oltava symmetrinen tämän pisteen suhteen. Piste x = a / on symmetriakeskus ψ ψ n n ( a / x) ψ n ( x a / ) ( a / x) = ± ψ ( x a / ) = n Aaltofunktiot ja todennäköisyystiheydet + parillinen funktio pariton funktio a / :n suhteen
Tilatiheys 3D potentiaalikuutiossa Yksiulotteisen laatikon tapaan π π π k = n ; k = n ; k = n a a a missä n, n, n = 1,,3,.. x 1 y z 3 1 3 π E = n + n + n ma ( ) 1 3 Jokaiseen postiivisten kokonaislukujen kolmikkoon liittyy yksi ominaistila. Niiden kolmikkojen lukumäärä Ema 1 3 joille n + n + n on niiden tilojen lukumäärä joille E. π
Tilatiheys 3D potentiaalilaatikossa Integroidaan: ( π ) 1 + + 3 n n n E ma Ema π dn dn dn 1 1 8 -osa säteisen pallon tilavuudesta. = E 3/ 1 4 Ema g ( E ) de = π 8 3 0 π missä tilojen tiheys energianyksikköä π m kohden on g ( E ) = 4 π Huomaa tilavuus 3/ VE 1/ V = a 3 Tämä on kerrottava kahdella, koska elektronilla on kaksi spin-tilaa.
Tilatiheys suuressa 3D laatikossa Tilatiheysjatkumo on raja-arvo, jota lähestytään kuution sivun pituuden kasvaessa.
Harmoninen oskillaattori Harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälö Ensimmäiset ominaisfunktiot n E ψ ( x) 0 d ψ 1 + kx ψ = Eψ m dx Ominaisarvot: 1 3 5 7 ( 1 ) E = n + ω; n = 0,1,,3,.. n n 3 1 0 ( ) = ( ) ( ) = ( ) 1 ω ψ x a π axe 1 1 ω ψ x a π e 1 ( ) = ( ) ( ) ω ψ x a 8 π 4a x e 1 ( ) = ( ) ( ) a x 3 ω ψ x a 48 π 8a x 1ax e n a x a x 3 3 a x
Aaltofunktiot ja todennäköisyystiheydet Potentiaalienergia on symmetrinen pisteen x = 0 suhteen, joten aaltofunktiot ovat tämän pisten suhteen parillisia tai parittomia.
Vastaavuusperiaate Bohrin vastaavuusperiaate: Suurilla kvanttiluvuilla hiukkasen todennäköisyystiheys lähestyy klassiseen rataan liittyvää sijaintitodennäköisyyttä. Harmonisen oskillaattorin korkeisiin viritettyihin tiloihin liittyvä todennäköisyystiheys on suuri hiukkasen klassisten käännepisteiden läheisyydessä, jossa hiukkanen on enimmän aikaa.
Äärellinen potentiaalikuoppa d ψ Alue I ja III: α ψ = dx m( E0 E) α = ψ ( x) = C e + D e α x I, III I, III d ψ Alue II: + k ψ = 0 dx me k = ψ ( x) = Acos kx + Bsin kx α x 0 Fysikaaliset reunaehdot: D I = C = III 0
Parilliset tilat B = 0 Graafinen ratkaisu Jatkuvuusehdot x = a / ka αa / Acos = DIIIe ka kasin = α DIIIe αa / ma π E = ma 3π E = k ka ma tan = α tan E = E 0 E E Energiat saadaan kuvaajien leikkauspisteistä m = m e E0 = 7 mev ja 70 mev a = 5,3 nm
Parilliset tilat rajalla E<<E 0 E0 E Kun E0 kasvaa leikkaa tangentin E epäjatkuvuuskohtien läheisyydessä: ma nπ E = n = 1,3,5,7,.. π E = n n = 1,3,5,7,.. ma Nämä ovat äärettämän potentiaalilaatikon parilliset ominaistilat.
Parittomat tilat Parittomat tilat A = 0 Jatkuvuusehdot x = a / ka αa / Bsin = DIII e ka kb cos α DIII e = αa / ma E = π ka ma k cot = α cot E = E 0 E Mallin parametrit: m = me, E0 = 7 mev ja 70 mev a = 5,3 nm E ma E = π
Parittomat tilat rajalla E<<E 0 E0 E Kun E0 kasvaa leikkaa kotangentin E epäjatkuvuuskohtien läheisyydessä: ma nπ E = n =,4,6,.. π E = n n = ma,4,6,.. Nämä ovat äärettämän potentiaalilaatikon parittomat ominaistilat.
Sironta potentiaalivallista Hiukkaset saapuvat vasemmalta, heijastuvat takaisin, tai läpäisevät vallin. Ratkaistaan Schrödingerin yhtälö erikseen alueissa (I- III) ja liitetään funktiot ja niiden derivaatat rajapinnoilla x=0 ja x=a. Huom! Alueessa III vain läpäissyt oikealle etenevä aalto
Läpäisykertoimen johtaminen: E>E 0 x Alueessa I Alueessa II Alueessa III ikx ikx ik x ik x ikx I = Ae + Be II = Ce + De III = Ee k = me k = m( E E0 ) k = me ψ ψ ψ Jatkuvuusehdot ik a ik a ika Ce De Ee A B C D + = + = + x = a = 0 ik a ik a ika ik( A B) = ik ( C D) ik ( Ce De ) = ikee. Neljä yhtälöä viisi tuntematonta esitetään B,C,D,E A :n avulla s 4kk ika ik a E = A missä r = e, s = e r ( k + k ) ( k k ) s B,C,D saadaan vastaavasti.
Läpäisykerroin Läpäisykerroin saadaan laskemalla todennäköisyys virran tiheydet : Tuleva virta Läpäissyt virta hk hk hks 4kk jinc = A jtrans = E = A m m m r ( k + k ) ( k k ) s T = 1 0 0 E 0 1 E m( E E ) 1+ sin a 4 E( E ) T = E0 m( E E) 0 a 0 1 1 1+ sinh 4 E( E E) E E 0 > E < E0
Läpäisykerroin Hiukkanen voi läpäistä vallin vaikka E<E 0. Klassisen fysiikan mukaan tämä on kiellettyä! Läpäisykerroin voi olla energioilla E>E 0 hyvinkin suuri, jos valli on kapea.
Tunnelointimikroskooppi Elektronit voivat tunneloitua neulan kärjen ja johtavan pinnan välillä. Tunnelointivirta antaa yhden atomin tarkkuudella tietoa pinnan rakenteesta. STM = scanning tunneling microscope Heinrich Rohrer and Gerd Binnig Fysiikan Nobel 1986 tunnelointimikroskoopin kehittämisestä
Schrödingerin yhtälö d ψ + E ( ) p x ψ = Eψ m dx Todennäköisyystiheys ( ) = ψ ( x) P x koko avaruus ψ ( x y z) Yhteenveto 1/3 Normitus (diskreetissä tilassa olevalle hiukkaselle),, dxdydz = 1 Jatkuvuusehto rajapinnoilla ψ1( x = 0) = ψ ( x = 0) dψ 1( x = 0) dψ = ( x = 0) dx dx
Yhteenveto /3 Hiukkasvirrantiheys = vuo (johdetaan luvussa III) * * ψ ( x) ψ ( x) j( x) = ψ ( x) ψ ( x) im x x Läpäisykerroin ja heijastuskerroin potentiaaliaskeleelle T k ' C 4 kk ' k B k k ' = = ; R = = k A k A k + k ' ( k + k ') Potentiaaliboksin ominaisenergiat ja ominaisfunktiot p n π E = = ; ψ n x = C sin n x a m ma ( ) ( π )
g( E) = 5/ 3/ π m h Yhteenveto 3/3 Tilojen tiheys 3D potentiaalilaatikossa 3 V E 1/ Harmoninen oskillaattori d ψ 1 + kx ψ = Eψ m dx y E = n + ω; ψ x = H y e, y = α x, α ( 1 ) ( ) ( ) n n n = mk ; H n ( y) on Hermiten polynomi Pariteetti symmetriapisteen O suhteen ψ = ± ψ A A'