8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen potenssisarja suppenee (vakioiden a 0, a, a 2,... arvoista riippumatta) pisteessä x c. On myös mahdollista, että piste x c on ainoa piste, jossa potenssisarja suppenee (ks. esimerkki 8.). Toisaalta potenssisarja voi supeta koko reaalilukujoukossa (ks. esimerkki 8.2) tai sitten jollakin äärellisellä välillä (ks. muut esimerkit ja luku 8.2). Esimerkki 8.. Osamäärätarkastimen nojalla potenssisarja (x c) k suppenee vain, kun x c. Jos nimittäin x c, niin (k + )! (x c) k+ (x c) k (k + ) x c, kun k. Esimerkki 8.2. Potenssisarja xk x k suppenee kaikilla x R (esimerkki 7.2, s. 55). Esimerkki 8.3. Esimerkin 7.3 (s. 56) perusteella potenssisarja (x c) n n n suppenee täsmälleen silloin, kun x [c, c + [. 75
Esimerkki 8.4. Olkoon A 0. Geometrisen sarjan (esimerkki 7., s. 55) suppenemisesta seuraa, että potenssisarja A(x c) k A (x c) k suppenee täsmälleen silloin, kun x c < eli kun x ]c, c + [. Jos erityisesti A ja c 0, on kyseessä potenssisarja x k eli tavallinen geometrinen sarja. Tämä suppenee, kun x ], [. Esimerkki 8.5. Käyttämällä osamäärätarkastinta ja Leibnizin lausetta voidaan osoittaa, että potenssisarja ( ) k 2k + x2k+ suppenee täsmälleen silloin, kun x [, ] (harjoitustehtävä). Lause 8.. Jos potenssisarja suppenee pisteessä x c ja r x c, niin sarja suppenee (vieläpä itseisesti) myös välillä { x R x c < r } ]c r, c + r[. Todistus. Oletetaan, että sarja a k (x c) k suppenee ja x c. Koska suppenevan sarjan termit ovat rajoitettuja, on olemassa sellainen M > 0, että a k r k a k (x c) k M k N eli Siis a k M r k k N. M r k x c k M ( ) k x c x R k N. r Täten sarja ak (x c) k M k N suppenee itseisesti majoranttiperiaatteen nojalla, kun x c < r (majoranttina suppeneva geometrinen sarja). 76
Seuraus 8.2. Jos sarja a k (x c) k hajaantuu ja x c > x c ( r), myös sarja hajaantuu. 77
8.2 Potenssisarjan suppenemissäde ja -väli Luvun 8. esimerkeistä ja tuloksista havaitaan, että yleisesti potenssisarja näyttäisi suppenevan jollakin välillä (tai vain pisteessä x c). Tarkastellaan nyt asiaa täsmällisemmin. Määritelmä 8.2. Jos joukko S { x c suppenee } on ylhäältä rajoitettu, niin potenssisarjan suppenemissäde R sup S. Jos joukko S ei ole ylhäältä rajoitettu, niin R. Lauseen 8. nojalla saadaan välittömästi seuraavat tulokset (harjoitustehtävä). Lause 8.3. Potenssisarjan suppenemissäteellä R on seuraavat ominaisuudet. (i) Jos R 0, niin sarja suppenee vain, kun x c. (ii) Jos R, niin sarja suppenee kaikilla x R. (iii) Jos 0 < R <, niin sarja suppenee, kun x c < R, ja sarja hajaantuu, kun x c > R. Huomautus 8.4. Jos 0 < R <, niin lauseen 8.3 kohdan (iii) perusteella potenssisarja suppenee välillä ]c R, c + R[. Kyseistä väliä kutsutaan potenssisarjan suppenemisväliksi. Jos R 0, niin potenssisarjan suppenemisväli surkastuu pisteeksi c, ja jos R, niin suppenemisväli on koko reaalilukujoukko. Huomautus 8.5. Suppenemisvälin päätepisteissä c R ja c + R potenssisarja voi supeta tai hajaantua (ks. esimerkki 8.7, s. 79). Huomautus 8.6. Potenssisarjan suppeneminen ja itseinen suppeneminen ovat yhtäpitäviä muualla paitsi mahdollisesti pisteissä c R ja c + R. Joskus potenssisarjan suppenemisvälillä tarkoitetaan väliä, joka sisältää nyt määritellyn suppenemisvälin (eli avoimen välin) lisäksi myös välin päätepisteet tai päätepisteen, jos potenssisarja suppenee kyseisissä pisteissä. 78
Esimerkki 8.6. Esimerkin 8. (s. 75) potenssisarjan suppenemissäde on 0 ja esimerkin 8.2 (s. 75) potenssisarjan suppenemissäde on. Esimerkki 8.7. Esimerkkien 8.3 (s. 75), 8.4 (s. 76) ja 8.5 (s. 76) jokaisen potenssisarjan suppenemissäde on. Suppenemisvälin päätepisteissä esimerkkien 8.3-8.5 sarjat kuitenkin käyttäytyvät eri tavalla. Esimerkin 8.4 potenssisarja hajaantuu suppenemisvälin molemmissa päätepisteissä, esimerkin 8.5 sarja suppenee suppenemisvälin molemmissa päätepisteissä ja esimerkin 8.3 sarja suppenee toisessa päätepisteessä ja hajaantuu toisessa päätepisteessä. Jos potenssisarjan kertoimet ovat itseisarvoltaan pienempiä tai yhtäsuuria kuin jonkin toisen potenssisarjan kertoimet, niin potenssisarjojen suppenemissäteet ovat käänteisessä järjestyksessä. Tämä nähdään seuraavasta lauseesta. Lause 8.7. Olkoot R ja R 2 (järjestyksessä) potenssisarjojen ja b k (x c) k suppenemissäteet. Jos on olemassa sellainen k 0 N, että (8.) a k b k k > k 0, niin R R 2. Todistus. Olkoon x jokin välin ]c R 2, c + R 2 [ piste. Tällöin sarja b k (x c) k suppenee itseisesti. Ehdosta (8.) seuraa täten majoranttiperiaatteen nojalla, että myös sarja a k (x c) k suppenee itseisesti. Siis sarja n0 n0 suppenee kaikissa välin ]c R 2, c + R 2 [ pisteissä. Täten R R 2. 79
Esimerkki 8.8. Olkoon M > 0 ja m > 0. Tutkitaan potenssisarjan suppenemissädettä R. Esimerkin 8.4 (s. 76) perusteella potenssisarjat m(x c) k ja M(x c) k molemmat suppenevat täsmälleen silloin, kun x c <, joten kummankin sarjan suppenemissäde on yksi. Olkoon k 0 N. Lauseen 8.7 perusteella saadaan nyt seuraavat tulokset. (i) Jos a k M kaikilla k > k 0, niin R. (ii) Jos a k m kaikilla k > k 0, niin R. (iii) Jos m a k M kaikilla k > k 0, niin R. Seuraava lause antaa käyttökelpoisen ja usein helpon tavan määrittää potenssisarjan suppenemissäde. Lause 8.8. Jos a k lim k a k+ A (0 A < tai A ), niin potenssisarjan suppenemissäde R A. Todistus. Jos x c, niin tarkasteltava potenssisarja suppenee. Jos taas x c, niin a k+ (x c) k+ a (8.2) lim k lim k+ k a x c x c, k A joten sarjan suppenemista voidaan tutkia osamäärätarkastinta käyttäen. : Jos A 0 ja x c, niin raja-arvo (8.2) on ääretön. Täten sarja hajaantuu, kun x c. Siis R A ( 0). 2 : Jos A, niin raja-arvo (8.2) on nolla. Täten sarja suppenee kaikilla x R. Siis R A ( ). 80
3 : Jos 0 < A <, niin sarja suppenee, kun ja hajaantuu, kun Siis R A. x c < eli x c < A, A x c > eli x c > A. A Esimerkki 8.9. Määritetään potenssisarjan suppenemissäde R. Koska k + lim k (k + ) + (k + ) x k lim k k + k + 2, niin lauseen 8.8 nojalla R. Suppenemisvälin päätepisteissä x ± sarja hajaantuu hajaantumistarkastimen nojalla, joten sarja suppenee täsmälleen silloin, kun x <. Esimerkki 8.0. Määritetään potenssisarjan n suppenemissäde R. Kun n, niin n n / n! (n + ) n+ / (n + )! n n n! xn nn n! (n + )! (n + ) n+ nn (n + ) (n + ) n+ e. ( n ) n n + ( + n Täten R lauseen 8.8 nojalla. Sarja siis suppenee, kun x <, ja hajaantuu, e e kun x >. Suppenemissäde ei kuitenkaan kerro mitään sarjan suppenemisesta e pisteissä x ±, joten näissä pisteissä suppeneminen on tutkittava erikseen. e 8 ) n
Esimerkki 8.. Oletetaan, että n 2 a n n 4 kaikilla n Z +. Määritetään potenssisarjan a n x n suppenemissäde R. n Olkoot R 2 ja R 4 (järjestyksessä) potenssisarjojen n 2 x n n ja n 4 x n n suppenemissäteet. Koska n 2 a n n 4 kaikilla n Z +, niin lauseen 8.7 nojalla R 2 R R 4. Toisaalta lim n n 2 ja lim (n + ) 2 n n 4 (n + ) 4, joten lauseen 8.8 nojalla R 2 R 4. Siis R. 82
8.3 Potenssisarjan määrittelemä funktio Tutkitaan seuraavaksi potenssisarjan summafunktiota. Potenssisarjan suppenemisominaisuuksista seuraa, että potenssisarjan summafunktio on määritelty jollakin välillä (tai mahdollisesti vain yhdessä pisteessä). Luvussa 7 osoitettiin, että jos funktiosarja suppenee tasaisesti jollakin välillä, sarjan termien jatkuvuus ja integroituvuus periytyvät sarjan summafunktiolle. Siksi aloitetaan osoittamalla, että potenssisarja suppenee aina tasaisesti jokaisella suppenemisvälin suljetulla osavälillä. Seurauksena saadaan sitten välittömästi summafunktion jatkuvuutta ja integroituvuutta koskevat tulokset. Lause 8.9. Olkoon n0 potenssisarja, jonka suppenemissäde R > 0. Tällöin sarja suppenee tasaisesti jokaisella välillä I r [c r, c + r], missä 0 < r < R. Todistus. Koska ja sarja ak x c k a k r k x I r ja k N a k r k a k ((c + r) c) k suppenee (huomautus 8.6, s. 78), niin Weierstrassin M-testin (lause 7.4, s. 64) nojalla sarja suppenee tasaisesti välillä I r. Lause 8.0. Olkoon f(x) potenssisarja, jonka suppenemissäde R > 0. Tällöin sarja määrittelee koko suppenemisvälillä ]c R, c + R[ jatkuvan funktion f. Todistus. Sarjan termit ovat jatkuvia kaikilla x R ja kaikilla k N, joten lauseen 7.2 (s. 62) nojalla myös sarjan summafunktio f on jatkuva jokaisella lauseen 8.9 välillä I r. Koska r voi olla mielivaltaisen lähellä lukua R, summafunktio on jatkuva koko välillä ]c R, c + R[. 83
Lause 8.. Potenssisarja f(x) voidaan integroida termeittäin jokaisella sarjan suppenemisvälin ]c R, c + R[ (R > 0) suljetulla osavälillä [a, b] eli b a f(x) dx b dx. n0 a Todistus. Lauseen 8.9 nojalla sarja suppenee tasaisesti välillä [a, b]. Koska sarjan termit ovat lisäksi jatkuvia välillä [a, b], väite seuraa lauseesta 7.6 (s. 67). Koska potenssisarjan termit voidaan helposti integroida, lauseen 8. tulos saadaan muotoon b a f(x) dx n0 b a dx a k k + / b a (x c) k+ a ( k (b c) k+ (a c) k+). k + Valitsemalla yllä a c ja b x saadaan termeittäin integrointia koskevalle tulokselle seuraava muoto. Seuraus 8.2. Olkoon f(x) potenssisarja, jonka suppenemissäde R > 0. Jos x ]c R, c + R[, niin x c f(t) dt a k k + (x c)k+. 84
Esimerkki 8.2. Osoitetaan, että arc tan x Otetaan lähtökohdaksi potenssisarja ( ) k t 2k ( ) k 2k + x2k+ x [, ]. ( t 2 ) k + t 2, jonka suppenemisväli on geometrisena sarjana ], [. Täten lauseen 8. perusteella x 0 + t 2 dt x ( 0 ) ( ) k t 2k dt x 0 ( ) k 0 ( ) k t 2k dt / x t 2k+ 2k + kaikilla x ], [. Toisaalta ( ) k 2k + x2k+ kaikilla x R, joten x 0 arc tan x + t 2 dt / x 0 arc tan t arc tan x ( ) k 2k + x2k+ x ], [. Tutkimalla tasaista suppenemista (Leibnizin lause) hyödyntäen sarjan summafunktion jatkuvuutta voidaan osoittaa, että saatu tulos on voimassa myös pisteissä x ± (harjoitustehtävä). Täten arc tan x ( ) k 2k + x2k+ x [, ]. Tarkastellaan sitten potenssisarjojen derivointia termeittäin. Aluksi osoitetaan, että jos muodostetaan uusi sarja derivoimalla jonkin potenssisarjan termit, tuloksena on potenssisarja, jolla on sama suppenemissäde kuin alkuperäisellä potenssisarjalla. 85
Lause 8.3. Potenssisarjoilla on sama suppenemissäde. ja k k Todistus. Olkoot R ja R 2 (järjestyksessä) sarjojen suppenemissäteet. Koska ja k k a k ka k k Z +, niin lauseen 8.7 (s. 79) nojalla R R 2. Osoitetaan sitten, että R R 2. Olkoon 0 < r < R. Tällöin sarja suppenee pisteessä x c + r. Koska suppenevan sarjan termit ovat rajoitettuja, on olemassa sellainen M > 0, että a k r k ak ((c + r) c) k M k Z+ eli a k M r k k Z +. Siis k M k x c k rk kaikilla x R ja kaikilla k Z +. Edelleen sarja M k r x c r M k x c k M x c k k k r r r k r suppenee (esimerkki 8.9, s. 8) aina, kun x c < eli x c < r. r Täten sarja k k k suppenee majoranttiperiaatteen nojalla aina, kun x c < r. Siis sarja suppenee kaikilla x ]c r, c + r[, joten R 2 r. Koska r voidaan valita mielivaltaisen läheltä lukua R, niin R 2 R ja edelleen R R 2. 86
Seuraus 8.4. Jos sarja integroidaan termeittäin (yli välin [c, x]), niin saadulla sarjalla on sama suppenemissäde kuin alkuperäisellä sarjalla. Huomautus. Termeittäin derivoimalla tai integroimalla saadun sarjan suppenemisesta suppenemisvälin päätepisteissä c R ja c + R edellä olevat tulokset eivät kerro mitään. Lause 8.5. Potenssisarja voidaan derivoida termeittäin jokaisessa suppenemisvälinsä ]c R, c + R[ (R > 0) pisteessä eli (8.3) d dx k x ]c R, c + R[. k Todistus. Jokaisella välillä I r [c r, c + r], missä 0 < r < R, on voimassa : 2 : suppenee (sillä r < R), k suppenee tasaisesti (lause 8.3 ja lause 8.9), k 3 : termit (k N) ja k (k Z + ) ovat jatkuvia. Täten sarja voidaan lauseen 7.8 (s. 7) nojalla derivoida termeittäin ja yhtälö (8.3) on voimassa jokaisella välillä I r. Koska r voidaan valita mielivaltaisen läheltä lukua R, niin voidaan derivoida termeittäin koko välillä ]c R, c + R[ ja d dx k k kaikilla x ]c R, c + R[. 87
Esimerkki 8.3. Määritetään sarjan f(x) k x k k summa välillä ], [. Esimerkin 8.3 (s. 75) nojalla sarjan suppenemissäde R. Täten f (x) d dx k x k k k k x k k x k k x k x kaikilla x ], [. Koska myös D( log( x)) x, niin integraalilaskennan peruslauseen nojalla on olemassa sellainen C R, että f(x) log( x) + C kaikilla x ], [. Koska f(0) 0, niin C 0 ja kaikilla x ], [. f(x) log( x) Seuraus 8.6. Potenssisarjan summafunktiolla S(x) on sarjan suppenemisvälillä ]c R, c + R[ (R > 0) kaikkien kertalukujen derivaatat ja (8.4) S (n) (x) k (k ) (k (n )) a k (x c) k n kn kaikilla x ]c R, c + R[. Huomautus 8.7. Potenssisarjan S(x) summafunktion derivaatat S (n) (x) ovat sarjan suppenemisvälillä tietenkin myös jatkuvia. 88
Jos yhtälössä (8.4) erityisesti x c, niin summalausekkeen muut termit kuin k n ovat nollia. Täten S (n) (c) n (n ) (n (n )) a n n! a n eli a n n! S(n) (c) kaikilla n N. Siis S(x) S (k) (c) (x c) k x ]c R, c + R[. Näin on tullut todistetuksi seuraus 8.8. Seuraus 8.8. Jos funktio f voidaan esittää välillä ]c h, c + h[ (h > 0) potenssisarjana f(x), niin tämä esitys on yksikäsitteinen ja kaikilla k N. a k f (k) (c) Lause 8.9 (Yksikäsitteisyyslause). Jos jollakin välillä ]c h, c + h[ (h > 0) on voimassa b k (x c) k, niin a k b k kaikilla k N. Todistus. Jos potenssisarjojen yhteinen summafunktio välillä ]c h, c + h[ on S(x), niin seurauksen 8.8 nojalla kaikilla k N. a k S(k) (c) b k 89
8.4 Taylorin sarja Tähän asti funktiosarjoja tutkittaessa pääasiallisena tavoitteena on ollut määrittää sarjojen summafunktioita. Seuraavaksi tarkastellaan käänteistä tehtävää eli etsitään potenssisarjaa, jonka summafunktio on jokin haluttu funktio. 8.4. Taylorin polynomi Ennen varsinaista tarkastelua esitetään yksi käyttökelpoinen aputulos, jonka avulla pystytään mahdollisesti arvioimaan löydetyn potenssisarjan virhetermiä. Lause 8.20 (Taylorin lause). Jos funktio f ja sen derivaatat f, f,..., f (n) ovat jatkuvia välillä [a, b] ja derivaatta f (n+) on olemassa välillä ]a, b[, niin on olemassa sellainen ξ ]a, b[, että f(b) n f (k) (a) (b a) k + f (n+) (ξ) (n + )! (b a)n+. Todistus. Merkitään ja jolloin F (x) F (x) d ( f(x) + dx f (x) + n f (k) (x) g(x) (b x) n+, n k f (k) (x) ( n f (k+) (x) k (b x) k (b x) k ) (b x) k f (k) ) (x) (b x)k (k )! ja f (n+) (x) n! (b x) n g (x) (n + )(b x) n. Lauseen oletusten nojalla funktiot g(x) ja F (x) ovat jatkuvia välillä [a, b] ja derivoituvia välillä ]a, b[. Täten (differentiaalilaskennan) yleistetyn väliarvolauseen nojalla on olemassa sellainen ξ ]a, b[, että (8.5) F (ξ)[g(b) g(a)] g (ξ)[f (b) F (a)] 90
eli Siis f (n+) (ξ) n! sekä edelleen ja Koska F (b) f(b), ja niin (b ξ) n [g(b) g(a)] (n + )(b ξ) n [F (b) F (a)]. f (n+) (ξ) n! f (n+) (ξ) (n + )! [g(b) g(a)] (n + ) [F (b) F (a)] [g(b) g(a)] [F (b) F (a)] F (b) F (a) + f (n+) (ξ) (n + )! F (a) n f (k) (a) [g(a) g(b)]. (b a) k g(a) g(b) (b a) n+ 0 (b a) n+, f(b) n f (k) (a) (b a) k + f (n+) (ξ) (n + )! (b a)n+. Jos b < a ja Taylorin lauseen oletukset ovat voimassa väleillä [b, a] ja ]b, a[, niin Taylorin lauseen todistuksessa ξ ]b, a[ ja yhtälö (8.5) korvautuu yhtälöllä F (ξ)[g(a) g(b)] g (ξ)[f (a) F (b)], joka on yhtäpitävä yhtälön (8.5) kanssa. Täten voidaan esittää seuraava huomautus. Huomautus 8.2. Taylorin lause on voimassa myös, kun b < a. Tällöin tietysti ξ ]b, a[ ja lauseen oletuksia on tarkasteltava väleillä [b, a] ja ]b, a[. Taylorin lauseen oletuksia tarkasteltaessa havaitaan, että jos derivaatta f (n) (n Z + ) on jatkuva välillä [a, b], myös derivaatat f, f,..., f (n ) ovat jatkuvia välillä [a, b]. Muutenhan derivaattaa f (n) ei voitaisi muodostaa. Täten olisi riittänyt olettaa pelkästään derivaatan f (n) jatkuvuus. Jos vastaavasti derivaatta f (n+) on olemassa jollakin välillä I, niin derivaattojen f, f,..., f (n) on oltava jatkuvia välillä I. Näin ollen voidaan esittää seuraava Taylorin lauseen seuraus. 9
Seuraus 8.22. Jos funktio f on n+ kertaa derivoituva pisteen c jossakin ympäristössä I ja x I (x c), niin on olemassa sellainen ξ ]c, x[ (tai ξ ]x, c[, jos x < c), että (8.6) f(x) n f (k) (c) (x c) k + f (n+) (ξ) (n + )! (x c)n+. Todistus. Sovelletaan Taylorin lausetta välillä [c, x] (tai [x, c]). Huomautus 8.23. Jos x c, niin yhtälö (8.6) on voimassa kaikilla luvun ξ arvoilla, sillä n f (k) (c) (c c) k + f (n+) (ξ) (n + )! (c c)n+ f (0) (c) 0! + 0 f(c). Määritelmä 8.3. Yhtälössä (8.6) esiintyvää summaa T n (x) n f (k) (c) (x c) k kutsutaan funktion f(x) Taylorin polynomiksi pisteessä c. Jos erityisesti c 0, niin polynomia kutsutaan funktion f(x) Maclaurinin polynomiksi. Taylorin polynomia käyttäen seuraukselle 8.22 saadaan jonkin verran selkeämpi esitysmuoto. Huomautus 8.24. Jos funktio f on n+ kertaa derivoituva pisteen c jossakin ympäristössä I ja x I (x c), niin on olemassa sellainen ξ ]c, x[ (tai ξ ]x, c[, jos x < c), että f(x) T n (x) + R n (x), missä R n (x) f (n+) (ξ) (n + )! (x c)n+. Taylorin lauseessa arvio jäännöstermille saatiin differentiaalilaskennan yleistettyä väliarvolausetta käyttäen. Käyttämällä osittaisintegrointia voidaan helposti todistaa (induktiolla, harjoitustehtävä) Taylorin lauseen jäännöstermille täsmällinen esitys ( huomautus 8.25). Tällöin on oletettava myös derivaatan f (n+) jatkuvuus. 92
Huomautus 8.25. Jos funktio f ja sen derivaatat f, f,...,f (n+) ovat jatkuvia pisteen c jossakin ympäristössä I ja x I, niin f(x) T n (x) + R n (x), missä R n (x) n! x c f (n+) (t) (x t) n dt. Esimerkki 8.4. Muodostetaan funktion f(x) log( + x) Taylorin polynomi pisteessä c 0 (eli funktion Maclaurinin polynomi). Funktiolla f(x) log( + x) on selvästi kaikkien kertalukujen (jatkuvat) derivaatat, kun x >. Olkoon siis x >. Derivoimalla funktio muutamia kertoja havaitaan, että f (x) + x ( + x), f (x) ( ) ( + x) 2, f (x) ( )( 2) ( + x) 3, f (4) (x) ( )( 2)( 3) ( + x) 4, Induktiolla voidaan nyt helposti todistaa, että joten. f (k) (x) ( ) k (k )! ( + x) k ( )k (k )! ( + x) k k, f (k) (0) ( ) k (k )! k. Koska f(0) 0, niin funktion f Maclaurinin polynomi on T n (x) n f (k) (0) x k n k ( ) k (k )! x k n ( ) k x k k k kaikilla n N. Jos n 0, niin yllä T 0 (x) 0. Lisäksi huomautuksien 8.25 ja 8.24 nojalla (x >, n N) log( + x) T n (x) + R n (x), 93
missä R n (x) n! n! x 0 x 0 f (n+) (t) (x t) n dt ( ) n n! ( + t) n+ (x t)n dt x ( ) n (x t) n dt ( + t) n+ 0 tai (jos x 0) R n (x) f (n+) (ξ) (n + )! xn+ ( ) n (n + ) ( + ξ) n+ xn+, missä ξ ]0, x[ (tai ξ ]x, 0[, jos x < 0). 8.4.2 Taylorin sarja Tarkastellaan sitten varsinaista tehtävää eli etsitään potenssisarjaa, jonka summafunktio on haluttu funktio f. Lähtökohdan tarjoaa seuraus 8.8 (s. 89), sillä jos funktiolla f(x) on välillä ]c h, c + h[ (h > 0) potenssisarjakehitelmä niin seurauksen 8.8 nojalla Siis etsitty potenssisarja on f(x) a k, f (k) (c). (8.7) f (k) (c) (x c) k. Määritelmä 8.4. Sarjaa (8.7) kutsutaan funktion f(x) Taylorin sarjaksi (tai sarjakehitelmäksi) pisteessä c. Jos Taylorin sarjassa c 0, niin sarjaa kutsutaan funktion f(x) Maclaurinin sarjaksi. 94
Funktion f(x) Taylorin sarja voidaan muodostaa pisteessä c silloin, kun f (k) (c) on olemassa kaikilla k N eli funktiolla f on pisteessä c kaikkien kertalukujen derivaatat. Tällöin derivaatat f (k) (x) ovat olemassa (ja ne ovat jatkuvia) myös jollakin välillä ]c h, c + h[ (h > 0), sillä f (k+) (c) voidaan muodostaa vain, jos derivaatta f (k) (c) on määritelty pisteen c jossakin ympäristössä. Funktion f(x) pisteessä c muodostetun Taylorin sarjan summa ei välttämättä ole f(x) kaikilla x R. Ensinnäkin sarja voi hajaantua muuttujan x joillakin arvoilla. Toisaalta on mahdollista, että vaikka sarja suppenee jollakin välillä I, niin sarjan summa ei ole f(x) välillä I (ks. esimerkki 8.23, s. 20). Pisteessä x c sarjan summa on aina f(c), sillä f (k) (c) (c c) k f (0) (c) 0! f(c), mutta yleisesti Taylorin sarjan summa on f(x) vain, kun sarjan osasumma eli vastaava Taylorin polynomi T n (x) lähestyy arvoa f(x), kun n. Toisin sanoen jos funktion f Taylorin sarja voidaan muodostaa pisteessä c, niin f(x) f (k) (c) (x c) k täsmälleen silloin, kun lim T n(x) f(x) eli lim R n (x) 0, n n missä R n (x) on huomautuksissa 8.24 ja 8.25 esiintyvä Taylorin polynomia T n (x) vastaava jäännöstermi. Esitetään asia vielä täsmällisesti lauseen muodossa. Lause 8.26. Oletetaan, että funktiolla f on kaikkien kertalukujen derivaatat pisteessä c. Tällöin f (k) (c) f(x) (x c) k täsmälleen silloin, kun lim R n(x) 0, n missä R n (x) on huomautuksissa 8.24 ja 8.25 esiintyvä Taylorin polynomia T n (x) vastaava jäännöstermi. Jos funktion f Taylorin sarjan summa pisteessä x on f(x), sanotaan, että sarja esittää funktiota f pisteessä x. Taylorin sarjan voimassaoloalue on niiden pisteiden joukko, joissa sarja esittää funktiota f. 95
Esimerkki 8.5. Muodostetaan funktion f(x) sin x Maclaurinin sarja, ja osoitetaan, että sarja esittää funktiota sin x kaikilla x R (eli sarjan voimassaoloalue on koko reaalilukujen joukko). Induktiolla voidaan helposti todistaa, että f (2k) (x) ( ) k sin x ja f (2k+) (x) ( ) k cos x kaikilla k N ja kaikilla x R. Täten kaikilla k N. Siis f (2k) (0) 0 ja f (2k+) (0) ( ) k f (k) (0) x k ( ) k (2k + )! x2k+ on funktion f(x) sin x Maclaurinin sarja. Osoitetaan vielä, että tämän sarjan summa on sin x kaikilla x R. Jos x 0, niin sekä sarjan summa että sinin arvo ovat nollia, joten sarja esittää funktiota sin x. Olkoon sitten x 0. Taylorin lauseen (huomautus 8.24) nojalla sin x T n (x) + R n (x), missä T n (x) on funktion sin x Maclaurinin polynomi (n N) ja R n (x) f (n+) (ξ) (n + )! xn+ (ξ ]0, x[ tai ξ ]x, 0[ ). Nyt kaikilla n N ja joten Siis lauseen 8.26 nojalla R n (x) f (n+) (ξ) (n + )! xn+ lim n x n+ (n + )! 0, lim R n(x) 0. n x n+ (n + )! eli sin x ( ) k (2k + )! x2k+ x R sin x x x3 3! + x5 x R. 5! 96
Taylorin lauseen vaatima funktion derivaattojen laskeminen ja jäännöstermitarkastelu on usein työlästä. Seuraava jo aluksi esitetty huomio tarjoaa mahdollisuuden käyttää Taylorin lauseen sijasta jo aiemmin muodostettuja potenssisarjoja. Huomautus 8.27. Jos funktiolla f(x) on välillä ]c h, c + h[ (h > 0) potenssisarjakehitelmä (8.8) f(x), niin seurauksen 8.8 (s. 89) nojalla tämä sarja on funktion f(x) Taylorin sarja pisteessä c. Huomautuksen 8.27 Taylorin sarjan voimassaoloalue on vähintään huomautuksen väli ]c h, c + h[, mutta voimassaoloalue voi olla laajempikin. Voimassaoloalue sisältää esimerkiksi kaikki ne väliin ]c h, c + h[ kuulumattomat pisteet x, joille on jo osoitettu, että ehto (8.8) on voimassa. Tällöinhän muodostettu Taylorin sarja esittää funktiota f(x) myös pisteessä x. Tällainen tilanne voi esiintyä esimerkiksi, jos ]c h, c + h[ on tarkasteltavan Taylorin sarjan suppenemisväli ja väliin kuulumaton piste on suppenemisvälin päätepiste. Aiemmin muodostettuja potenssisarjoja voidaan nyt yrittää hyödyntää joko suoraan tai muokkaamalla niitä sopivasti. Jos on aiemmin osoitettu, että jonkin oikeaa muotoa olevan potenssisarjan summa on jossakin pisteen c ympäristössä funktio, jonka Taylorin sarjaa etsitään, niin tehtävä on sarjan muodostamisen osalta jo suoritettu. Jäljellä on mahdollisesti vielä sarjan voimassaoloalueen määrittäminen, jos voimassaoloalue ei selviä aiemman tarkastelun perusteella. Jos toisaalta edellä mainittua potenssisarjaa ei ole tiedossa, voidaan yrittää muokata tunnettuja potenssisarjoja siten, että uuden sarjan summa on haluttu funktio. Mahdollisia tapoja ovat esimerkiksi sarjojen derivointi ja integrointi, sarjojen kertominen keskenään, funktioiden sijoittaminen sarjoihin muuttujan x tilalle tai sopivien (esimerkiksi trigonometristen) kaavojen käyttö. Lähtökohdan tarjoaa esimerkiksi geometrinen sarja joka potenssisarjana on funktion Maclaurinin sarja välillä ], [. x k x, f(x) x 97
Esimerkki 8.6. Muodostetaan funktion f(x) log( + x) Maclaurinin sarja, ja osoitetaan, että sarja esittää funktiota log( + x) kaikilla x ], ]. Esimerkissä 7.3 (s. 69) osoitettiin geometrista sarjaa integroimalla, että (8.9) log( + x) ( ) k x k x ], [. k k Täten funktiolla f(x) log( + x) on Maclaurinin sarja ainakin välillä ], [. Osoitetaan vielä, että yhtälö (8.9) pätee myös, kun x. Esimerkin 8.4 perusteella kaikilla n N on olemassa sellainen ξ ]0, [, että f() T n () + R n (), missä T n () on funktion log( + x) Maclaurinin polynomi ja Täten kaikilla n N. Koska niin myös Siis lauseen 8.26 nojalla R n () f (n+) (ξ) (n + )! n+ R n () ( ) n (n + ) ( + ξ) n+. (n + )( + ξ) n+ n + lim n n + 0, lim R n() 0. n log( + x) ( ) k x k x ], ]. k k Jos x > tai x, niin sarja ( ) k x k k k hajaantuu (harjoitustehtävä). Täten sarjan summa ei voi olla log(+x) (ja log(+x) ei edes ole määritelty, kun x ). Siis funktio log(+x) voidaan esittää Maclaurin sarjana ainoastaan välillä ], ], jolloin log( + x) k ( ) k k x k x x2 2 + x3 3 x4 4 + 98
Esimerkki 8.7. Määritetään kosinin Maclaurinin sarja ja sarjan voimassaoloalue. Kosinin Maclaurinin sarja voidaan tietysti määrittää vastaavasti kuin sinin Maclaurinin sarja esimerkissä 8.5. Menetellään nyt kuitenkin toisin ja hyödynnetään esimerkissä 8.5 muodostettua sarjaa sin x ( ) k (2k + )! x2k+ x R. Koska tämä sarja voidaan potenssisarjana derivoida termeittäin, niin cos x D(sin x) D ( ( ) k ) (2k + )! x2k+ ( ) k (2k + )! D(x2k+ ) ( ) k (2k + ) x2k (2k + )! ( ) k (2k)! x2k kaikilla x R. Siis funktion cos x Maclaurinin sarja on cos x ( ) k (2k)! x2k x2 2! + x4 4! x6 + x R. 6! Esimerkki 8.8. Esimerkissä 8.2 (s. 85) osoitettiin geometrista sarjaa integroimalla, että arc tan x ( ) k 2k + x2k+ x x3 3 + x5 x [, ]. 5 Huomautuksen 8.27 nojalla kyseinen sarja on funktion arc tan x Maclaurinin sarja välillä [, ]. Jos x >, niin sarja hajaantuu (esimerkki 8.5, s. 76), joten sarjan summa ei tietenkään ole arc tan x (eli sarja ei esitä funktiota arc tan x). Esimerkki 8.9. Esimerkissä 7.5 (s. 73) osoitettiin, että e x x k xk x R. Huomautuksen 8.27 nojalla kyseinen sarja on funktion e x Maclaurinin sarja (kaikilla x R). 99
Esimerkki 8.20. Määritetään funktion a x (a > 0) Maclaurinin sarja ja sarjan voimassaoloalue. Esimerkin 8.9 perusteella a x e x log a (x log a) k (log a) k x k x R, joten huomautuksen 8.27 nojalla a x (log a) k x k x R. Esimerkki 8.2. Määritetään funktion f(x) e 3x+ Maclaurinin sarja ja sarjan voimassaoloalue. Esimerkin 8.9 perusteella e 3x+ e e 3x (3x) k e e3 k x k x R. Esimerkki 8.22. Määritetään funktion e x, kun x 0, f(x) x, kun x 0, Maclaurinin sarja ja sarjan voimassaoloalue. Esimerkin 8.9 perusteella e x x k k x k x R, joten Lisäksi e x x x k 0 k (k + )! x k k x k x k (k + )! + 0 2! + 0 3! + f(0), x 0. joten sarja esittää funktiota f(x) myös pisteessä x 0. Täten huomautuksen 8.27 nojalla f(x) (k + )! xk x R. 200
Esimerkki 8.23. Olkoon e x f(x) 2, kun x 0, 0, kun x 0. Voidaan suhteellisen helposti osoittaa, että f (n) (0) 0 kaikilla n N (harjoitustehtävä). Täten funktion f(x) Maclaurinin sarja on n0 f (n) (0) n! x n n0 0 n! xn 0 0 x R. n0 Sarja tietenkin suppenee kaikilla x R mutta antaa funktion f(x) arvon vain pisteessä x 0. 8.4.3 Sovelluksia Taylorin sarjaa voidaan käyttää esimerkiksi funktion raja-arvon ja ääriarvon määrittämiseen (korvaamalla funktio Taylorin sarjallaan), derivaattojen määrittämiseen pisteessä c sekä yleensäkin erilaisiin likiarvotehtäviin. Esimerkki 8.24. Määritetään derivaatta f (n) (0), kun e x, kun x 0, f(x) x, kun x 0. Esimerkin 8.22 nojalla f(x) n0 (n + )! xn x R. Täten seurauksen 8.8 (s. 89) nojalla f (n) (0) n! (n + )! n N ja edelleen Siis esimerkiksi f (n) (0) n + f (204) (0) 205. n N. 20
Esimerkki 8.25. Määritetään raja-arvo lim x 0 e x x x2 x3 2 6. x 3 arc tan x Tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä neljä kertaa l Hospitalin sääntöä, mutta tällöin joudutaan kohtuullisen mutkikkaisiin derivointeihin. Määritetään raja-arvo nyt l Hospitalin säännnön sijasta käyttämällä funktioiden potenssisarjaesityksiä. Esimerkin 8.9 nojalla joten e x + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + x6 + x R, 6! e x x x2 2 x3 6 x4 4! + x5 5! + x6 6! + ( x 4 4! + x ) 5! + x2 6! + kaikilla x R. Esimerkin 8.8 nojalla taas joten arc tan x x x3 3 + x5 x [, ], 5 ( ) x 3 arc tan x x 3 x x3 3 + x5 5 ( ) x 4 x2 3 + x4 5 kaikilla x [, ]. Jos siis 0 < x, niin e x x x2 x3 2 6 x 3 arc tan x ( x4 + x + x2 + ) 4! 5! 6! ( x 4 x 2 + x4 ) 3 5 + x + x2 + 4! 5! 6! x2 + x4, 3 5 josta nähdään suoraan, että lim x 0 e x x x2 x3 2 6 x 3 arc tan x 4! 24. 202
Esimerkki 8.26. Määritetään integraalille 0 e x2 dx sellainen likiarvo, että virhe on korkeintaan 0 2. Esimerkin 8.9 perusteella ( x 2 ) k e x2 ( ) k x 2k x R. Potenssisarjana sarja voidaan integroida termeittäin, joten 0 e x2 dx ( 0 ( ) k ) x 2k dx ( ) k x 2k dx 0 / 0 ( ) k (2k + ) x2k+ ( ) k (2k + ). Tulokseksi saatu sarja toteuttaa selvästi Leibnizin lauseen ehdot, joten sarja suppenee ja jäännöstermille saadaan arvio R n (2(n + ) + )(n + )! (2n + 3)(n + )! kaikilla n N. Virheelle asettu vaatimus toteutuu nyt, jos eli (2n + 3)(n + )! 0 2 (2n + 3)(n + )! 00. Pienin epäyhtälön toteuttava kokonaisluku on 3, joten esimerkiksi 0 e x2 dx 3 tuottaa halutun tarkkkuuden. ( ) k (2k + ) 3 + 0 42 26 35 203
Esimerkki 8.27. Arvioidaan funktiota f(x) sin x välillä [0, π 4 ] tarkkuudella 0 4. Esimerkissä 8.5 osoitettiin, että sin x T n (x) + R n (x), missä T n (x) on funktion sin x Maclaurinin polynomi (n N) ja R n (x) x n+ (n + )! kaikilla x R ja kaikilla n N. Välillä [0, π ] tarvittavaksi ehdoksi tulee täten 4 joka toteutuu, kun n 6. ( ) π n+ < 0 4, (n + )! 4 Siis riittävän tarkka tulos saadaan, kun valitaan arvioksi esimerkiksi T 6 (x). Täten kaikilla x [0, π ] on voimassa arvio 4 missä δ < 0 4. sin x T 6 (x) + R 6 (x) x x3 3! + x5 5! δ, 204