Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Luvut 20 ja 21 Marita Laukkanen November 3, 2016 Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 1 / 17

Kustannusten minimointiongelma Tarkastellaan seuraavaksi yrityksen voitonmaksimointiongelmaa epäsuorasti, jakamalla se kahteen osaan: kustannusten minimointi annetulla tuotoksella ja optimaalisen tuotoksen valinnalla. Kustannusten minimointi on voiton maksimointiongelman duaaliongelma. Sen ratkaisu on identtinen edellä lasketulle voitonmaksimointiongelmalle. On käytännön kysymys, kumpi ongelma ratkaistaan. Oletetaan, että yrityksellä on kaksi panosta, joiden hinnat ovat w 1 ja w 2. Yritys pyrkii tuottamaan määrän y pienimmillä mahdollisilla kustannuksilla. Yrityksen optimointiongelma on nyt min fw 1 x 1 + w 2 x 2 g x 1,x 2 s.t. f (x 1, x 2 ) = y Ratkaisu voidaan kirjoittaa funktiona c (w 1, w 2, y), joka on yrityksen kustannusfunktio. Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 2 / 17

Kustannusten minimointiongelma jatk. Ratkaisu voidaan esittää graa sesti kuvaamalla kustannukset ja teknologiset rajoitteet: samatuotoskäyrät ja samakustannuskäyrät. Samakustannuskäyrät: kaikki sellaiset x 1, x 2 yhdistelmät, joilla Saadaan C = w 1 x 1 + w 2 x 2 x 2 = C w 2 w 1 w 2 x 1 Antamalla eri arvoja vakiolle C voidaan piirtää joukko samakustannuskäyriä. Ratkaisu: samatuotoskäyrän ja samakustannuskäyrän sivuamispiste (kuva), jossa TRS (x 1, x 2 ) = MP 1 (x 1, x 2 ) MP 2 (x 1, x 2 ) = w 1 w 2 Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 3 / 17

Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 4 / 17

Kustannusfunktio, skaalatuotot ja keskikustannukset Vakioskaalatuotot: C (w 1, w 2, y) = c (w 1, w 2, 1) y Kasvavien skaalatuottojen tapauksessa kustannukset kasvavat vähemmän kuin lineaarisesti suhteessa tuotokseen; vähenevien skaalatuottojen tapauksessa kustannukset kasvavat enemmän kuin lineaarisesti suhteessa tuotokseen. Keskikustannukset kuvaavat kustannuksia tuotettua yksikköä kohden: AC (y) = c (w 1, w 2, y). y Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 5 / 17

Kustannusfunktio, skaalatuotot ja keskikustannukset Vakioskaalatuotot: C (w 1, w 2, y) = c (w 1, w 2, 1) y Kasvavien skaalatuottojen tapauksessa kustannukset kasvavat vähemmän kuin lineaarisesti suhteessa tuotokseen; vähenevien skaalatuottojen tapauksessa kustannukset kasvavat enemmän kuin lineaarisesti suhteessa tuotokseen. Keskikustannukset kuvaavat kustannuksia tuotettua yksikköä kohden: AC (y) = c (w 1, w 2, y). y Keskikustannukset vakioskaalatuotoilla: AC (y) = c (w 1, w 2, 1) y y = c (w 1, w 2, 1) Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 5 / 17

Pitkän ja lyhyen aikavälin kustannukset Usein on tärkeää erottaa minimikustannukset silloin, kun yritys voi valita kaikkien panosten määrät, ja minimikustannukset silloin, kun yritys voi muuttaa vain joidenkin panosten määriä. Lyhyen aikavälin kustannusfunktio: vain muuttuvien tuotantopanosten määrä voidaan valita vapaasti. Pitkän aikavälin kustannusfunktio: kaikkien tuotantopanosten määrät voidaan valita vapaasti. Jos panos 2 on lyhyellä aikavälillä kiinnitetty tasolle x 2, lyhyen aikavälin kustannusfunktio saadaan ratkaisemalla c s (y, x 2 ) = min fw 1 x 1 + w 2 x 2 g x 1 s.t. f (x 1, x 2 ) = y Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 6 / 17

Panoskysyntäfunktiot Kustannusten minimointiongelmasta saadaan ehdolliset panoskysyntäfunktiot. Pitkällä aikavälillä ne ovat Lyhyellä aikavälillä x 1 = x 1 (w 1, w 2, y), x 2 = x 2 (w 1, w 2, y). x 1 = x s 1 (w 1, w 2, x 2, y), x 2 = x 2. Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 7 / 17

Kustannusfunktio Pitkän aikavälin kustannukset ovat c (y) = min x 1,x 2 fw 1 x 1 + w 2 x 2 g s.t. f (x 1, x 2 ) = y Sijoittamalla panoskysynnät x 1 (w 1, w 2, y) ja x 2 (w 1, w 2, y) takaisin funktioon c(y) saadaan kustannusfunktio c (y) = w 1 x 1 (w 1, w 2, y) + w 2 x 2 (w 1, w 2, y) Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 8 / 17

Komparatiivinen statiikka: ekspansioura ja kustannuskäyrä Kustannusfunktion osittaisderivaatat kertovat, kuinka yrityksen kustannukset muuttuvat panoshintojen ja tuotoksen tason funktiona. Erityisesti jälkimmäinen on kiinnostava: c (w 1, w 2, y) y Graa sesti kustannusten muuttumista tuotoksen kasvaessa voidaan tarkastella panosavaruudessa tai suoraan tuotoksen funktiona. Edellistä kutsutaan ekspansiouraksi, jälkimmäistä kustannuskäyräksi (kuvio alla) Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 9 / 17

Kustannuskäyriä Edellä johdettiin kustannusfunktio c(w 1, w 2, y) yrityksen kustannusten minimoinnista. Nyt keskitytään tarkastelemaan tälläisen kustannuskäyrän ominaisuuksia. Otetaan nyt tuotantopanosten hinnat annettuina ja kirjoitetaan kustannukset ainostaan y:n funktiona, c(y). Jotkut yrityksen kustannuksista eivät riipu tuotoksen määrästä. Nämä ovat kiinteitä kustannuksia. Kokonaiskustannukset ovat c (y) = c v (y) + F Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 11 / 17

Kustannuskäyriä Edellä johdettiin kustannusfunktio c(w 1, w 2, y) yrityksen kustannusten minimoinnista. Nyt keskitytään tarkastelemaan tälläisen kustannuskäyrän ominaisuuksia. Otetaan nyt tuotantopanosten hinnat annettuina ja kirjoitetaan kustannukset ainostaan y:n funktiona, c(y). Jotkut yrityksen kustannuksista eivät riipu tuotoksen määrästä. Nämä ovat kiinteitä kustannuksia. Kokonaiskustannukset ovat Keskikustannukset ovat c (y) = c v (y) + F AC (y) = c (y) y = c v (y) y + F y = AVC (y) + AFC (y) Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 11 / 17

Rajakustannus Rajakustannus MC on kokonaiskustannusten muutos tuotoksen muuttuessa: MC = c 0 (y) = dc dy MC ja AVC ovat yhtä suuret ensimmäisen tuotetun yksikön kohdalla. MC leikkaa AC:n ja AVC:n näiden minimissä. Rajakustannuskäyrän alapuolisen alueen ala puolestaan on muuttuvien kustannusten suuruinen: Z c 0 (y) dy = c v (y) Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 13 / 17

Lyhyen aikavälin kustannuksista pitkän aikavälin kustannuksiin Pitkällä aikavälillä kaikki panokset voidaan sopeuttaa optimaalisiksi. Tehdashalli on tyypillinen kiinteä kustannus. Tietyn tuotosmäärän y* tuottamiseen on olemassa tietty optimaalinen hallikoko k(y*) = y*, joka pitkällä tähtäyksellä valitaan. Jos tuotos lyhyellä tähtäyksellä on pienempi tai suurempi kuin y*, on halli joko liian suuri tai liian pieni, joten lyhyen ajan kustannukset ovat suuremmat kuin tapauksessa, jossa hallikokoa voitaisiin vapaasti sopeuttaa. Lyhyen ajan kustannuskäyrä c(y, k*) ja pitkän ajan kustannuskäyrä c(y,k(y)) ovat samat pisteessä y*, jolloin siis c(y*,k(y*)). Muutoin lyhyen ajan kustannukset ovat suuremmat (kuvio alla). Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 15 / 17