1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : V V V, (v, w) v + w, missä v + w V, kun v V ja w V sekä laskutoimitus eli kuvaus missä k v V, kun k K ja v V. Määritelmä 1. : K V V, (k, v) k v, Pari (K, V ) on K-kertoiminen lineaariavaruus eli vektoriavaruus, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) u + (v + w) = (u + v) + w kaikilla u, v, w V (liitännäisyys). (b) v + w = w + v kaikilla v, w V (vaihdannaisuus). (c) On olemassa neutraalialkio 0 V, jolle 0 + v = v kaikilla v V. (d) Kaikilla v V on olemassa vasta-alkio v V, jolle v + ( v) = 0. 2. Skalaarilla kertomisen aksiomit: (a) (λµ) v = λ (µ v) kaikilla v V ja λ, µ K. (b) 1 v = v kaikilla v V. 3. Osittelulait: 1

(a) λ (v + w) = λ v + λ w kaikilla v, w V ja λ K. (b) (λ + µ) v = λ v + µ v kaikilla v V ja λ, µ K. Määritelmän 1 mukaista joukkoa V kutsutaan lineaariavaruudeksi eli vektoriavaruudeksi kunnan K yli tai K-lineaariavaruudeksi tai K-vektoriavaruudeksi ja annettuja ehtoja sanotaan lineaariavaruuden V aksiomeiksi ja joukon V alkioita voidaan kutsua vektoreiksi sekä joukon K alkioita skalaareiksi. Edelleen laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi ja laskutoimitusta skalaarilla kertomiseksi. Erikoistapauksia: Esimerkki 1. Reaalinen vektoriavaruus, kun K = R. Tällöin yhteenlasku + on kuvaus + : V V V ja reaaliluvulla kertominen on kuvaus : R V V. Esimerkki 2. Kompleksinen vektoriavaruus, kun K = C. Tällöin yhteenlasku + on kuvaus + : V V V ja kompleksiluvulla kertominen on kuvaus Huomautus 1. Identiteetin : C V V. v = w molemmille puolin saa lisätä saman alkion y, jolloin v + y = w + y. Merkintä 1. Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: λv := λ v. 2

Merkintä 2. λ v := (λ v). Merkintä 3. Asetetaan u v := u + ( v). (1) Esimerkki 3. Joukko R n, n Z + on vektoriavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla λ kertominen määritellään koordinaateittain: x = y x i = y i i = 1,..., n; x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ); λ x = (λx 1,..., λx n ). Erityisesti R 1 on vektoriavaruus, joka voidaan samaistaa R:n kanssa. Lähtökohtana on, että reaaliluvut on kunta, jolloin reaaliluvut toteuttavat kunta-aksiomit eli liitännäisyyden, vaihdannaisuuden, etc. Aluksi nähdään, että reaalilukujen assosiatiivisuus-ominaisuus nousee vektoreiden assosiatiivisuudeksi. Osoitetaan Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 1a (liitännäisyys) eli kaikilla x, y, z R n. Lasketaan ensin vasen puoli x + (y + z) = (x + y) + z x + (y + z) =(x 1,..., x n ) + ((y 1,..., y n ) + (z 1,..., z n )) = (x 1,..., x n ) + (y 1 + z 1,..., y n + z n ) = (x 1 + (y 1 + z 1 ),..., x n + (y n + z n )) = ((x 1 + y 1 ) + z 1,..., (x n + y n ) + z n ), missä koordinaateissa on käytetty reaalilukujen liitännäisyyttä. Ja sitten oikea puoli (x + y) + z =((x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n )) + (z 1,..., z n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) + (z 1,..., z n ) = ((x 1 + y 1 ) + z 1,..., (x n + y n ) + z n ). 3

Havaitaan, että vasen ja oikea puoli ovat samat kaikilla x, y, z R n. Seuraavaksi osoitetaan, että nolla-alkio on (0,..., 0). Lasketaan siis: x + (0,..., 0) = (x 1,..., x n ) + (0,..., 0) = (x 1 + 0,..., x n + 0) = (x 1,..., x n ) = x, joka pätee kaikilla x R n. Siten 0 = (0,..., 0). Osoitetaan vielä Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 2(a) eli (λµ) x = λ (µ x) kaikilla x R n ja λ, µ R. Lasketaan ensin vasen puoli ja sitten oikea puoli (λµ) x = (λµ) (x 1,..., x n ) = (λµx 1,..., λµx n ) (2) λ (µ x) = λ (µx 1,..., µx n ) = (λµx 1,..., λµx n ). (3) R. Havaitaan, että vasen ja oikea puoli ovat samat kaikilla x R n ja λ, µ Esimerkki 4. Olkoon K kunta. Tällöin joukko K n, n Z + on vektoriavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) K n, y = (y 1,..., y n ) K n identtisyys, yhteenlasku ja skalaarilla λ K kertominen määritellään koordinaateittain: x = y x i = y i i = 1,..., n; x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ); λ x = (λx 1,..., λx n ). Erityisesti K 1 on vektoriavaruus, joka voidaan samaistaa K:n kanssa. Esimerkki 5. Joukko M(k, n) = {A A on k n matriisi} on vektoriavaruus, kun se varustetaan tavallisella matriisien yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella. Esimerkki 6. Olkoon F(R, R) = {f f : R R on kuvaus}. 4

Määritellään kaikilla f, g F(R, R) ja λ R identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen seuraavasti: f = g, jos f(x) = g(x) (4) (f + g)(x) = f(x) + g(x) (5) (λ f)(x) = λf(x) (6) kaikilla x R. Tällöin F(R, R) on vektoriavaruus. Osoitetaan Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 1c): Määritellään nollafunktio O asettamalla Tällöin O(x) = 0 x R. (7) (O + f)(x) = O(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x) x R, (8) joten funktioiden identtisyyden nojalla O + f = f. (9) Siten nollafunktio on yhteenlaskun neutraalialkio funktioavaruudessa. Osoitetaan kohta 1d): Määritellään f asettamalla Tällöin (f + ( f))(x) = f(x) + ( f)(x) = joten funktioiden identtisyyden nojalla ( f)(x) = f(x) x R. (10) Siten f on alkion f vasta-alkio funktioavaruudessa. f(x) f(x) = 0 = O(x) x R, (11) f + ( f) = O. (12) 1.2 Laskusääntöjä Lause 1. Olkoon V vektoriavaruus. Tällöin (a) yhteenlaskun neutraalialkio on yksikäsitteinen; 5

(b) vektorin vasta-alkio on yksikäsitteinen; (c) kaikilla v, w V on olemassa täsmälleen yksi x V, jolle v + x = w (toisin sanoen yhtälöllä v + x = w on yksikäsitteinen ratkaisu). Koska (V, +) on Abelin ryhmä, niin todistukset löytyvät kurssilta 802354A Algebran perusteet. Lause 2. Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio ja 0 K. Kaikilla v, w V ja λ, µ K pätee a] 0 v = λ 0 = 0; b] ( 1) v = v; c] ( v) = v; d] (v + w) = v w; e] λ v = ( λ) v = λ ( v); f] ( λ) ( v) = λ v; g] λ (v w) = λ v λ w; h] (λ µ) v = λ v µ v; i] λ v = 0 jos ja vain jos λ = 0 tai v = 0; j] Jos λ v = λ w ja λ 0, niin v = w; k] Jos λ v = µ v ja v 0, niin λ = µ. Todistetaan kohdan a] tapaus: 0 v = 0. Aluksi 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v. (13) 6

Lisätään vasta-alkio 0 v yhtälön molemmille puolille, jolloin 0 = 0 v + ( 0 v) = (0 v + 0 v) + ( 0 v) = b] ( 1) v = v. Lasketaan ( 1) v + v: 0 v + (0 v 0 v) = 0 v + 0 = 0 v. (14) ( 1) v + v = ( 1) v + 1 v = ( 1 + 1) v = 0 v = 0. (15) Täten vasta-alkion määritelmän ja yksikäsitteisyyden nojalla ( 1) v = v. e] Osoitetaan tapaus λ v = ( λ) v käyttämällä b]-kohdan tulosta w = ( 1) w. Lasketaan V.P = λ v = ( 1) (λ v) = (( 1)λ) v = ( λ) v = O.P. (16) i] Esitetään ensin väite muodossa: λ v = 0 λ = 0 tai v = 0. :n todistus: Oletuksena on, että λ = 0 tai v = 0. Nyt on osoitettava, että λ v = 0. Katso a]-kohta. :n todistus: Nyt oletuksena on On siis osoitettava, että λ = 0 tai v = 0. Tehdään vastaoletus: λ 0 ja v 0. λ v = 0. (17) Tällöin λ 1 K, joten yhtälö (17) voidaan kertoa puolittain alkiolla λ 1. Saadaan λ 1 (λ v) = λ 1 0 (λ 1 λ) v = 0 1 v = v = 0. (18) 7

Ristiriita vastaoletuksen kanssa. 1.3 Aliavaruus Määritelmä 2. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko W on vektoriavaruuden V aliavaruus, jos W on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen, toisin sanoen 1. W V ; 2. jos w 1, w 2 W, niin w 1 + w 2 W ; 3. jos w W ja λ K, niin λw W. Seuraava lause antaa hyvän tavan todeta joukko vektoriavaruudeksi: Osoitetaan joukko jonkin tunnetun vektoriavaruuden aliavaruudeksi. Lause 3. Epätyhjä joukko W V on vektoriavaruuden V aliavaruus jos ja vain jos W varustettuna avaruuden V yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella on vektoriavaruus. Esimerkki 7. Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio. Tällöin osajoukot {0} ja V ovat vektoriavaruuden V aliavaruuksia. Todistetaan, että {0} on aliavaruus. Merkitään hetkeksi W 0 = {0}. AA1. Koska 0 W 0, niin W 0. AA2. Olkoot w 1, w 2 W 0. Tällöin w 1 = w 2 = 0 ja siten w 1 + w 2 = 0 W 0. AA3. Olkoot λ K ja w W 0. Tällöin w = 0 ja siten λ w = λ 0 = 0 W 0. Huomautus 2. Sanotaan, että {0} ja V ovat triviaalit aliavaruudet. Esimerkki 8. Joukko C(R, R) = {f f : R R on jatkuva kuvaus} on vektoriavaruuden F(R, R) aliavaruus. 8

AA1. Koska nollakuvaus O : R R on jatkuva, niin O C(R, R) ja siten C(R, R). AA2. Jos f, g C(R, R), niin f + g on jatkuva ja siten f + g C(R, R). AA3. Olkoot λ R ja f C(R, R), tällöin λf on jatkuva, joten λf C(R, R). Esimerkki 9. Olkoon Pol(R, R) = {f F(R, R) f(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n kaikilla x R joillekin n N ja a 0,..., a n R} eli Pol(R, R) on kaikkien polynomien joukko. Tällöin Pol(R, R) on vektoriavaruuksien C(R, R) ja F(R, R) aliavaruus. Esimerkki 10. Olkoot k N ja Pol k (R, R) = {f Pol(R, R) polynomin f aste k}. Saadaan siis ali- Tällöin Pol k (R, R) on avaruuden Pol(R, R) aliavaruus. avaruusketju Pol 0 (R, R) Pol 1 (R, R)... Pol k (R, R) Pol k+1 (R, R)...... Pol(R, R) C(R, R) F(R, R). Huomautus 3. Olkoon K kunta. Yleensä K-kertoimisten polynomien joukolle käytetään merkintää K[x] = {f(x) f(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n joillekin n N ja a 0,..., a n K}. Kun polynomien yhteen- ja kertolasku määritellään tavanomaisesti, niin saadaan polynomirengas (K[x], +, ), missä nolla- ja ykköspolynomit ovat 0(x) = 0 + 0 x + 0 x 2 +..., 1(x) = 1 + 0 x + 0 x 2 +... Edelleen vakiopolynomille a(x) = a + 0 x + 0 x 2 +... voidaan käyttää lyhennysmerkintää a. 9

1.4 Lineaarikombinaatio ja lineaarinen verho Määritelmä 3. Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli. Vektori v V on vektoreiden v 1,..., v n V (äärellinen) lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset luvut λ 1,..., λ n K, että v = n λ i v i. (19) i=1 Esimerkki 11. V = R 3, K = R, v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (1, 0, 1) ja v = (3, 3, 0). Tällöin v = v 1 + 2v 2 + 2v 3 (20) = 2v 1 + v 2 + v 3. (21) Siten (3, 3, 0) on vektoreiden v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio mutta esitys ei ole yksikäsitteinen. Esimerkki 12. V = C 3, K = C. ( i, i, 2 + i) = 1 ( i, i, i) + 1 (0, 0, 2) (22) = i ( 1, 1, 1) + i (0, 0, 2i). (23) Määritelmä 4. K-vektoriavaruuden V epätyhjän osajoukon S lineaarinen verho S koostuu kaikista joukon S äärellisistä K-lineaarikombinaatioista, toisin sanoen S K = S = {u V u = n λ i v i, i=1 joillekin n N, v 1,..., v n S ja λ 1,..., λ n K}. Esimerkki 13. V = R 2, K = R, e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1). Tällöin e 1, e 2 R = {λ 1 e 1 + λ 2 e 2 = (λ 1, λ 2 ) λ 1, λ 2 R} = R 2. (24) Esimerkki 14. Koska f Pol 1 (R, R) täsmälleen silloin, kun on olemassa sellaiset a 0, a 1 R, että f(x) = a 0 + a 1 x, niin Yleisemmin Pol 1 (R, R) = 1, x R. Pol k (R, R) = 1, x,..., x k R. 10

Lause 4. Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Tällöin (a) S K on avaruuden V aliavaruus. (b) Jos S W ja W on avaruuden V aliavaruus, niin S K W. 1.5 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Seuraavassa tarkastellaan vektoreiden s 1,..., s n V muodostamia listoja s 1,..., s n, missä n N on listan pituus. Tapaus n = 0 tarkoittaa, että lista on tyhjä eli listassa ei ole alkioita. Määritelmä 5. Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n N. Tapaus n = 0: Tyhjä lista on lineaarisesti vapaa. Tapaus n 1: Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) jos ehdosta seuraa, että n λ i s i = 0, λ 1,..., λ n K, (25) i=1 λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0. (26) Muutoin lista s 1,..., s n on lineaarisesti sidottu (kunnan K yli). Lineaarisesti vapaa=lineaarisesti riippumaton vektorit ovat lineaarisesti vapaita eli riippumattomia lineaarisesti sidottu=lineaarisesti riippuva vektorit ovat lineaarisesti sidottuja eli riippuvia 11

Lause 5. Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n Z +. Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti riippuva (kunnan K yli) jos ja vain jos on olemassa sellaiset luvut λ 1,..., λ n K, että ja ainakin yksi λ i 0, 1 i n. n λ i s i = 0 (27) i=1 Esimerkki 15. Tutkitaan listaa s 1, s 2, missä vektorit ovat identtiset eli s 1 = s 2 = s. Tällöin 1 s 1 + ( 1) s 2 = s s = 0, joten lista s 1, s 2 = s, s on lineaarisesti sidottu. Edelleen kaikki listat, joissa on toisto eli sama alkio esiintyy vähintään kahdesti, ovat lineaarisesti sidottuja. Olkoon s 1,..., s n, n N, lineaarisesti vapaa lista. Tällöin listassa ei esiinny toistoa, joten listassa ja joukossa S = {s 1,..., s n } on sama määrä alkioita. Siten on luonnollista sanoa, että joukko S = {s 1,..., s n } on lineaarisesti vapaa. Tyhjää listaa vastaa tyhjä joukko, jonka takia sovitaan, että on lineaarisesti vapaa. Edelleen, jos listassa s 1,..., s n, n Z + ei ole toistoa ja lista on lineaarisesti sidottu, niin myös vastaavaa joukkoa S = {s 1,..., s n } sanotaan lineaarisesti sidotuksi. Esimerkki 16. Nolla-alkion muodostama lista 0 on lineaarisesti sidottu, koska 1 0 = 0. Siten joukko {0} on lineaarisesti sidottu. 12

Esimerkki 17. Olkoon 0 v V. Alkion v muodostama lista v on lineaarisesti vapaa, koska ehdosta λ v = 0 seuraa λ = 0. Niinpä yhden vektorin muodostama joukko {v} on lineaarisesti vapaa, jos v 0. Esimerkki 18. V = R 3, K = R, s 1 = (1, 1, 0), s 2 = (0, 1, 1), s 3 = (1, 0, 1) ja s 4 = (3, 3, 0). Koska 1 s 1 + ( 1) s 2 + ( 1) s 3 = 0; (28) 2 s 1 + 1 s 2 + 1 s 3 + ( 1) s 4 = 0, (29) niin s 1, s 2, s 3 on lineaarisesti riippuva ja myös s 1, s 2, s 3, s 4 on lineaarisesti riippuva. Esimerkki 19. Joukko {1, 3} on lineaarisesti vapaa kunnan Q yli. Esimerkki 20. Joukko {1, 3} on lineaarisesti sidottu kunnan R yli. Määritelmä 6. Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Joukko S on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) jos ja vain jos sen jokainen äärellinen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti vapaa, toisin sanoen ehdosta n λ i s i = 0, λ i K, (30) i=1 seuraa, että λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0 (31) kaikilla joukon S äärellisillä osajoukoilla {s 1,..., s n }. Muutoin S on lineaarisesti sidottu. Lause 6. Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Joukko S on lineaarisesti sidottu (kunnan K yli), jos on olemassa äärellisen monta alkiota s 1,..., s n S ja sellaiset luvut λ 1,..., λ n K, että ja ainakin yksi λ i 0, 1 i n. n λ i s i = 0 (32) i=1 13

Lause 7. Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli, S V epätyhjä osajoukko ja x V. Tällöin x S K {x} S K = S K ; (33) Jos S on lineaarisesti vapaa kunnan K yli, niin x V \ S K {x} S on lineaarisesti vapaa/k. (34) Todistetaan (34) tapauksessa S = {s 1,..., s n }. : Oletuksena siis, että x / S K. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi Jos α n+1 0, niin α 1 s 1 +... + α n s n + α n+1 x = 0, α k K. (35) x = β 1 s 1 +... + β n s n, β k K x S K. (36) Ristiriita. Joten α n+1 = 0 ja siten α 1 s 1 +... + α n s n = 0, α k = 0 k. (37) Siten x, s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa. : Oletuksena siis, että x, s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa. Vastaoletus: x S K. Tällöin x = λ 1 s 1 +... + λ n s n, λ k K, (38) Siten x, s 1,..., s n on lineaarisesti sidottu. Ristiriita oletuksen kanssa, joten vastaoletus väärä. Niinpä x / S K. Esimerkki 21. Joukko {1(x), x, x 2 } Pol 2 (R, R) on lineaarisesti riippumaton (kunnan R yli). Todistus: Olkoot λ 0, λ 1, λ 2 R sellaiset, että kaikilla x R. λ 0 1(x) + λ 1 x + λ 2 x 2 = 0(x) Valitaan x = 0, jolloin saadaan λ 0 + 0 + 0 = 0, eli λ 0 = 0. Valitaan x = 1 ja x = 1, jolloin saadaan { { λ 1 + λ 2 = 0 λ 1 = 0 λ 1 + λ 2 = 0 λ 2 = 0. Siis λ 0 = λ 1 = λ 2 = 0. 14

Esimerkki 22. Joukko {1, x,..., x k } Pol k (R, R) on lineaarisesti riippumaton. Esimerkki 23. Joukko {1, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton. Esimerkki 24. Joukko {1, sin 2, cos 2 } C(R, R) on lineaarisesti riippuva (kunnan R yli), sillä kaikilla x R. 1 sin 2 x + 1 cos 2 x 1 1 = 0 = 0(x) 1.6 Kanta ja dimensio Määritelmä 7. K-Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S on avaruuden V kanta (kunnan K yli), jos (a) S on lineaarisesti riippumaton kunnan K yli, ja (b) S K = V. Lause 8 (Hamelin kantalause). Jokaisella vektoriavaruudella V {0} on olemassa kanta. Todistus, joka perustuu valinta-aksiomiin on aika haastava eikä kuulu tämän kurssin vaatimuksiin. Lause 9. Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli, R, T V, r := #R ja t := #T. Jos R T K ja r > t 1, (39) niin R on lineaarisesti sidottu kunnan K yli. Todistus. Induktio lukumäärän t suhteen. Olkoon t = 1, jolloin r 2. Kirjoitetaan Koska R T K, niin R = {x 1,..., x r }, T = {y 1 }. x 1 =a 1 y 1, a 1 K x 2 =a 2 y 1, a 2 K, 15

missä ainakin toinen luvuista a i 0, olkoon a 1 0. Tällöin 1 x 2 a 1 1 a 2 x 1 = 0 (40) joten x 1, x 2 on lineaarisesti sidottu ja siten R on lineaarisesti sidottu. Olkoon s Z +. Induktio-oletus: Kaikilla t s väite pätee. Induktioaskel: Olkoon t = s + 1 = #T, r = #R, r > t ja R = {x 1,..., x r }, T = {y 1,..., y s+1 }. Aluksi huomataan, että r s + 2. Oletuksen R T K nojalla x 1 =a 1,1 y 1 + a 1,2 y 2 +... + a 1,s+1 y s+1, x 2 =a 2,1 y 1 + a 2,2 y 2 +... + a 2,s+1 y s+1,... x r =a r,1 y 1 + a r,2 y 2 +... + a r,s+1 y s+1, missä a i,j K. Jos olisi a 1,1 = a 2,1 =... = a r,1 = 0, niin R y 2,..., y s+1 K, #R = r s + 2 > #{y 2,..., y s+1 } = s, (41) joten induktio-oletuksen nojalla R olisi lineaarisesti sidottu tässä tapauksessa. Tarkastellaan seuraavaksi tapaus, josa ainakin yksi luvuista a 1,1, a 2,1,..., a r,1 on nollasta eroava, olkoon a 1,1 0. Määritellään seuraavaksi uudet vektorit joille pätee: x 1 = 0 ja x k = x k a 1 1,1a k,1 x 1, k = 1,..., r, R := {x 2,..., x r} y 2,..., y s+1 K. (42) Jos joukossa R olisi identtisiä alkioita, niin R olisi sidottu. Muutoin joukkojen lukumäärille pätee #R = r 1 s + 1 > #{y 2,..., y s+1 } = s, (43) joten induktio-oletuksen nojalla R on nytkin lineaarisesti sidottu. Siten b 2 x 2 +... + b r x r = 0, b k K, (44) ja b j 0, jollakin 2 j r. Sijoitetaan x k = x k a 1 1,1a k,1 x 1 takaisin, jolloin saadaan lineaarikombinaatio ( b 2 a 1 1,1a 2,1... b r a 1 1,1a r,1 )x 1 + b 2 x 2 +... + b r x r = 0, (45) missä ainakin yksi kerroin on nollasta eroava, nimittäin b j 0. Niinpä x 1, x 2,..., x r on lineaarisesti sidottu mikä todistaa induktioaskeleen. 16

Lause 10. Olkoon V {0} vektoriavaruus kunnan K yli. Jos avaruudella V on olemassa äärellinen kanta kunnan K yli, niin kaikissa kannoissa kunnan K yli on sama määrä alkioita. Todistus. Olkoot S 1 ja S 2 kantoja, s 1 := #S 1 ja s 2 := #S 2. Tällöin S 1 on lineaarisesti vapaa ja S 2 on lineaarisesti vapaa sekä S 1 K = S 2 K = V. Jos olisi ja koska S 1 Ristiriita. s 1 > s 2, (46) S 2 K, niin Lauseen 9 nojalla S 1 olisi lineaarisesti sidottu. Määritelmä 8. K-vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta (kunnan K yli). Myös {0} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. Jos avaruuden V kannassa on n alkiota (kunnan K yli), missä n N, niin avaruuden V dimensio on n. Tällöin käytetään merkintää dim K V = dim V = n. Jos V = {0}, niin dim K V = 0. Muulloin dim K V =. Huomautus 4. Lauseen 10 nojalla vektoriavaruuden V dimensio on hyvin määritelty. Seuraus 1. Jos dim K V = n, jollain n Z +, niin jokainen lineaarisesti riippumaton avaruuden V osajoukko S, jossa on n alkiota, on avaruuden V kanta. Seuraus 2. Jos dim K V = n jollain n N, niin jokainen sellainen avaruuden V osajoukko, jossa on vähintään n + 1 alkiota, on lineaarisesti riippuva kunnan K yli. 17

Seuraus 3. Jos V on vektoriavaruus kunnan K yli, W on avaruuden V aliavaruus ja S on avaruuden W kanta, niin on olemassa sellainen avaruuden V kanta T, että S T. Erityisesti dim K W dim K V. (47) Lause 11. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus kunnan K yli ja S = {v 1,..., v n } avaruuden V kanta. Tällöin jokaista vektoria v V kohti on olemassa yksikäsitteiset luvut λ 1,..., λ n K siten, että v = n λ i v i. (48) i=1 Määritelmä 9. Lineaarikombinaatiota (48) sanotaan vektorin v kantaesitykseksi kannan S suhteen ja kertoimet λ i ovat vektorin v koordinaatit kannassa S. Tällöin voidaan kirjoittaa v = (λ 1,..., λ n ) S = (λ 1,..., λ n ), jota sanotaan vektorin v koordinaattiesitykseksi kannassa S. Esimerkki 25. Koska {1, x,..., x n } on avaruuden Pol n (R, R) eräs kanta, niin dim Pol n (R, R) = n + 1. Koska {1, x, x 2,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton, niin Tuloksen (47) nojalla saadaan Esimerkki 26. dim Pol(R, R) =. dim Pol(R, R) = dim C(R, R) = dim F(R, R) =. Laske dim S, kun S = {1 + x, 1 + x 2, 1 + 2x 3x 2 } Pol 2 (R, R). Ratkaisu: Tutkitaan, onko joukko S lineaarisesti riippumaton. Nyt a(1 + x) + b(1 + x 2 ) + c( 1 + 2x 3x 2 ) = 0 (a + b c)1 + (a + 2c)x + (b 3c)x 2 = 0 18

Koska 1, x, x 2 on lineaarisesti vapaa, niin saadaan a + b c = 0 a + 2c = 0 a + 2c = 0 a + 2c = 0 b 3c = 0 b 3c = 0 a = 2c b = 3c c R. (Ensimmäisessä kohdassa viimeinen yhtälö on vähennetty ensimmäisestä.) Koska yllä olevalla yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu, esim. a = 2, b = 3, c = 1, niin S on lineaarisesti riippuva. Tästä nähdään, että polynomi 1 + 2x 3x 2 on lineaarikombinaatio polynomeista 1 + x ja 1 + x 2, joten S = 1 + x, 1 + x 2. Joukko {1 + x, 1 + x 2 } on lineaarisesti riippumaton, sillä a(1 + x) + b(1 + x 2 ) = 0 (a + b)1 + ax + bx 2 = 0 a = 0 ja b = 0. Näin ollen dim S = 2. Esimerkki 27. Reaaliluvut muodostavat ääretönulotteisen vektoriavaruuden rationaalilukujen kunnan yli eli dim Q R =. Todistus on aika haastava eikä kuulu tämän kurssin vaatimuksiin. 19