Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua ja joiden solmuina ovat joukon {0,..., n 1} alkiot. Olkoon luku n Z + mielivaltainen ja olkoon G H (n + 1). Verkossa G on vähintään kaksi solmua. Verkon G jonkin solmun a aste on tasan yksi. Nimittäin verkko G on yhtenäinen, joten sen jokaisen solmun aste on vähintään yksi. Jos kaikkien solmujen aste olisi vähintään kaksi, niin verkossa G olisi kurssikirjan lauseen 1.3.1 nojalla sykli vastoin oletusta G H (n + 1). Solmun a ja siihen liittyvän särmän poistaminen verkosta G tuottaa tuloksena aliverkon H, joka on äärellinen ja jonka jokaisen solmun aste on korkeintaan neljä. Verkko H on myös yhtenäinen. Olkoot nimittäin x ja y verkon H solmuja. Tällöin niiden välillä on polku P verkossa G. Kyseessä on polku ja solmun a aste on yksi, joten solmu a voi kuulua polkuun P vain, jos pätee a {x,y} vastoin verkon H muodostamista. Näin ollen pätee H H (n). Olkoon nyt kokoelma D n joukon H (n) isomorfialuokkien jokin edustajisto ja vastaavasti kokoelma D n+1 jokin joukon H (n + 1) isomorfialuokkien edustajisto. Tällöin kahden edellisen kappaleen päättelyn nojalla jokaisesta kokoelman D n+1 jäsenestä voidaan poistaa yksi solmu siten, että tuloksena oleva verkko on itse asiassa isomorfinen jonkin kokoelman D n jäsenen kanssa. Toisin sanoen on olemassa mekaaninen tapa tuottaa kaikki isomorfialuokat. Olkoon kokoelma D n edelleen joukon H (n) jokin isomorfialuokkien edustajisto ja olkoon F joukko, johon kuuluvat kaikki sellaiset verkot G, jotka saadaan jostakin kokoelman D n verkosta liittämällä johonkin sen solmuun, jonka aste on enintään kolme, särmällä uusi solmu n. Valitsemalla seuraavaksi kokoelman F jokaisesta isomorfialuokasta tasan yksi edustaja uuteen kokoelmaan saadaan tuloksena eräs joukon H (n + 1) isomorfialuokkien edustajisto. Isomeerien muodostaminen voidaan siis aloittaa yhdestä hiiliatomista. Kuvien ja edellisen menettelyn perusteella havaitaan, että erilaisia pentaanin isomeerejä on kolme kappaletta, heksaanin isomeerejä viisi kappaletta ja edelleen heptaanin 1
isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: Tehtävä 2 : 2 Todistetaan induktiolla, että jokaisella r Z + joukon {x V (G) : d(x,a) = r} koko on korkeintaan k(k 1) r 1. Induktion alkuaskel arvolla r = 1 onnistuu, sillä joukon {x V(G) : d(x,a) = 1} koko on enintään k. Solmun a aste voi oletuksen 2
nojalla olla nimittäin enimmillään k. Lisäksi pätee k(k 1) 1 1 = k. Oletetaan seuraavaksi induktio-oletuksena, että luku r Z + on sellainen, että joukon {x V (G) : d(x,a) = r} koko on korkeintaan k(k 1) r 1. Jos jokin solmu y V (G) on etäisyydellä r + 1 solmusta a, niin on olemassa pituutta r + 1 oleva polku P solmujen a ja y välillä. Tällöin on olemassa jokin solmu x V (G), jolla on olemassa pituutta r oleva polku solmujen a ja x välillä ja jolla on särmä solmujen x ja y välillä. Tällaiseksi solmuksi x voidaan nimittäin valita se piste, joka edeltää solmua y polulla P solmusta a tarkasteltuna. Toisin sanoen jokaisella y V (G) pätee d(y,a) = r +1 täsmälleen silloin, kun jollakin x V (G) on sekä ehto d(x,a) = r että ehto d(x,y) = 1 voimassa. Edelleen verkon G jokaisen etäisyydellä r + 1 solmusta a olevan solmun x aste on enintään k oletuksen perusteella, ja toisaalta vähintään yksi särmistä on johonkin sellaiseen solmuun, jonka etäisyys solmuun a on r. Nyt etäisyydellä r + 1 pisteestä a olevia solmuja on enintään (k 1) k(k 1) r 1 = k(k 1) (r+1) 1 kappaletta. Näin ollen induktioaskel toteutuu ja siten väite seuraa yleisestä induktioperiaatteesta. Tehtävä 2 : 3 Jokaisella joukolla E [V] 2 verkko (V,E) on halutunlainen täsmälleen silloin, kun ehto E = 14 on voimassa. Joukon [V] 2 koko on ( ) 8 = 8! 2 2!6! = 8 7 2 = 28. Edelleen tästä joukosta voidaan valita neljätoista särmää yhteensä ( ) 28 = 28! 28 15 3 497 296 636 753 920 000 = = = 40 116 600 14 14!14! 14! 87 178 291 200 eri tavalla. Kysytynlaisia verkkoja on siis yhteensä 40 116 600 kappaletta. Tehtävä 2 : 4 Olkoon verkko G sykli C 5 eli verkko ( {0,1,2,3,4 }, { {0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,0} } ). 3
2 1 0 3 Verkon G ainoassa syklissä ovat mukana verkon kaikki solmut, joten verkossa G ei ole yhtään kolmen alkion muodostamaa kolmiota. Kolmen solmun klikkiä ei näin ollen ole. Toisaalta verkossa G ei voi olla myöskään kolmen alkion muodostamaa riippumatonta joukkoa. Jos nimittäin a ja b ovat verkon G kaksi sellaista solmua, joiden välillä ei ole särmää, niin syklissä G jokin solmu on välttämättä näiden molempien solmujen naapurina. Tämän voi perustella myös sillä, että verkko G on isomorfinen oman komplementtiverkkonsa kanssa. 4 Tehtävä 2 : 5 Jokaisella d Z + merkinnällä G(d) tarkoitetaan tehtävässä kuvailtua kyseisellä luvun d arvolla saatua verkkoa G, jonka solmujoukkona on V(d) := {0,1} d. Olkoon nyt luku d Z + mielivaltainen. Määritelmän mukaan verkon G(d) jokaisesta solmusta (x 1,...,x d ) V (d) on särmä täsmälleen jokaiseen sellaiseen solmuun (y 1,...,y k ) V(d), joilla jollakin k {1,...,d} pätee x k y k ja joilla x i = y i jokaisella i {1,...,d} \ {k}. Näin ollen verkon G(d) jokaisesta solmusta lähtee täsmälleen d särmää. Erityisesti verkon G(d) keskimääräinen aste on siis tasan d. Toisaalta tällöin suoraan laskulla V d 2 = 2d d 2 = 2d 1 d. saadaan särmien lukumääräksi 2 d 1 d. Olkoon d Z + kiinnitetty. Verkon G(d) halkaisija on d. Olkoot nimittäin (x 1,...,x d ) ja (y 1,...,y d ) kaksi mielivaltaista verkon G(d) eri solmua. Olkoon K joukko {k {1,...,d} : x k y k }. Jokaisella k K merkitään symbolilla z(k) sellaista verkon G(d) solmua (z 1,...,z d ), että jokaisella i {1,...,k} pätee z i = y i ja että jokaisella i {k + 1,...,d} pätee z i = x i. 4
Joukon K suurimmalla alkiolla k pätee z(k) = (y 1,...,y d ). Toisaalta jokaisella k K on myös z(k) (x 1,...,x d ), sillä solmujen (x 1,...,x d ) sekä (y 1,...,y d ) oletettiin selkeyden vuoksi olevan eri solmuja. Lisäksi joukon K kaikilla alkioilla i ja j ehdosta i j seuraa väitteen z(i) z( j) toteutuminen. Tällöin solmujen (x 1,...,x d ) ja (y 1,...,y d ) välillä on polku, jonka voidaan ajatella alkavan solmusta (x 1,...,x d ) ja kulkevan järjestyksessä jokaisella k K solmun z(k) kautta ja päätyen lopulta solmuun (y 1,...,y d ). Tämä on solmujen (x 1,...,x d ) ja (y 1,...,y d ) välinen lyhyin polku verkossa G(d), sillä solmujen koordinaateista vain yksi kerrallaan voi vaihtua toiseksi. Toisaalta kyseisen polun pituus ei voi olla suurempi kuin d. Esimerkiksi solmujen (0,...,0) ja (1,...,1) tapauksessa polun pituus on tasan d. Näin ollen verkon G(d) halkaisija on d. Suoraan huomataan, että verkossa G(1) on vain yksi särmä ja siis ei yhtään sykliä. Siten verkon G(1) ympärys on ja piiri on 0. Käsitellään seuraavaksi nämä arvot yleisessä tapauksessa. Olkoon nyt luku d 2 mielivaltainen. Tällöin verkon G(d) ympärys on 4. Verkossa G on nimittäin ainakin sellainen sykli, jonka pistejoukko on muotoa { } (0,0,0,...,0),(0,1,0,...,0),(1,1,0,...,0),(1,0,0,...,0). Toisaalta mikään verkon G(d) sykli ei voi olla tätä lyhyempi. Lyhyemmän syklin pituus nimittäin olisi 3. Sykliä pitkin edetessä vaihtuu jokaisella askeleella tasan yksi koordinaatti, jolloin takaisin alkuperäisiin koordinaattien arvoihin ei voida palata parittomalla askelmäärällä. Osoitetaan induktiolla, että jokaisella ehdon d 2 toteuttavalla luvulla d Z + verkon G(d) piiri on 2 d. Väite pätee verkon G(2) tapauksessa, sillä verkon G(2) särmäjoukko on { } {(0,0),(0,1)},{(0,1),(1,1)},{(1,1),(1,0)},{(1,0),(0,0)}. Siten verkon G(2) ainoan syklin pituus on neljä. Lisäksi pätee 2 2 = 4. Oletetaan induktio-oletuksena, että luku d Z + on vähintään kaksi ja että verkon G(d) piiri on 2 d. Määritellään kuvaus f : G(d + 1) G(d) siten, että jokaisella joukon V (d) alkiolla (x 1,...,x n+1 ) asetetaan f (x 1,...,x n+1 ) = (x 1,...,x n ). Edelleen A 5
olkoon verkon G(d + 1) niiden solmujen virittämä aliverkko, joiden viimeinen koordinaatti on 0. Vastaavasti B olkoon verkon G(d +1) aliverkko, jonka virittävät ne pisteet, joiden viimeinen koordinaatti on 1. Tällöin rajoittuma f V(A) on itse asiassa verkkojen A ja G(d) välinen isomorfismi ja vastaavasti kuvaus f V (B) on verkkojen B ja G(d) välinen isomorfismi. Induktio-oletuksen ja isomorfian nojalla verkossa A on sellainen sykli C A, että sen pituus on 2 d. Olkoot verkon A solmut (x 1,...,x d,0) ja (y 1,...,y d,0) sellaisia, että {(x 1,...,x d,0),(y 1,...,y d,0)} on syklin C särmä. Edelleen isomorfian sekä isomorfian transitiivisuuden nojalla verkossa B on sykli C B, jonka pituus on 2 d ja jonka eräs särmä on {(x 1,...,x d,1),(y 1,...,y d,1)}. Huomataan suoraan, että sykleillä C A ja C B ei ole yhteisiä solmuja verkossa G(d + 1). Tällöin verkossa G(d + 1) on sykli, jonka voidaan ajatella alkavan solmusta (x 1,...,x d,0) ja menevän ensimmäisenä solmuun (x 1,...,x d,1), siitä syklin C B pidempää kaarta pitkin solmuun (y 1,...,y d,1) ja edelleen solmuun (y 1,...,y d,0) sekä siitä syklin C A pidempää kaarta pitkin takaisin solmuun (x 1,...,x d,0). Edellä muodostetun syklin pituus on 2(2 d 1)+2 eli 2 d+1. Toisaalta minkään verkon G(d + 1) syklin pituus ei voi olla lukua 2 d+1 suurempi, sillä syklin pituus ei voi ylittää verkon solmujen lukumäärää. Siten verkon G(d + 1) piiri on 2 d+1. Näin ollen yleisen induktioperiaatteen nojalla jokaisella d Z +, jolla on d 2, on verkon G(d) piirinä tasan 2 d. Tehtävä 2 : 6 Olkoot luku k N ja verkon G tasan pituutta k oleva polku P sellaisia, että polku P yhdistää kaksi syklin C solmua. Verkko G on äärellinen, joten myös sykli C on äärellinen. Olkoon luku m sen pituus, jolloin ehto m 3 pätee. Olkoon edelleen luku n polun P ja syklin C yhteisten särmien lukumäärä eli joukon E(C) E(P) koko. Tällöin ehto 0 n min{m,k} totetuu. Voidaan olettaa ehtojen k 1 ja m 2 < k olevan voimassa, sillä muutoin sykli C olisi suoraan sellainen sykli, jonka pituus on vähintään k. Polku P on verkon G aliverkko, joten on myös olemassa sellainen verkon G 6
solmujoukon osajoukko {x 1,...,x k } ilman toistoja lueteltuna, että ehto ( {x1 } { P =,...,x k, {x1,x 2 },...{x k 1,x k } }) toteutuu. Olkoon H kaikkien niiden parien (i, j) {1,...,k} 2 joukko, joilla pätee i + 2 j ja joilla on {x i,x j } V(P) V (C) sekä {x i+1,...,x j 1 } V(P) \V(C). Tehdään seuraavaksi eräitä havaintoja joukosta H ottaen aluksi huomioon, kuinka oletuksen m 2 < k ja tiedon m < m 2 nojalla polulla P on ainakin kaksi eri särmää, jotka eivät ole syklin C särmiä. Olkoon e mielivaltainen joukkoon E(P) \ E(C) kuuluva särmä, jolloin särmä e on {x r,x r+1 } jollakin indeksillä r {1,...,k 1}. Olkoon nyt luku i joukon {l {1,...,r} : x l V(P)} suurin alkio ja j joukon {l {r+1,...,k} : x l V(P)} pienin alkio. Nämä kaksi joukkoa ovat epätyhjiä, sillä väite {x 1,x k } V(P) pätee. Lisäksi pätee {x r,x s } / E(C), joten vähintään toinen väitteistä i < r ja r + 1 < j on voimassa. Näin ollen pari (i, j) kuuluu joukkoon H. Erityisesti joukko H on osoitettu epätyhjäksi. Edelleen joukko H on relaatioksi tulkittuna myös funktio ja vieläpä injektio. Jos nimittäin alkiot (i, j) ja (i,l) kuuluvat joukkoon H ja toteuttavat ehdon l < j, niin on ristiriitaisesti oltava x l V (C) ja x l / V (C). Jos vuorostaan alkiot (i, j) ja (l, j) kuuluvat joukkoon H ja pätee i < l, niin myös tällöin saadaan vastaava ristiriita kuin edellisessä tapauksessa. Nyt voidaan osoittaa, että joukon H koko on enintään m n 1. Nimittäin joukon H kaikilla alkiolla (i, j) pätee väite i + 2 j k ja siis i k sekä se, että särmä {x i,x i+1 } ei kuulu joukkoon E(C). Tällöin kuvauksen H määrittelyjoukon koko korkeintaan m n 1. Injektiivisyyden perusteella myös joukon H koko on siten enintään m n 1. Toisaalta joukko H on epätyhjä, joten myös väite m n 1 > 0 toteutuu. Joukon H jokaisella alkiolla (i, j) on polun P aliverkkona polku P (i, j) solmujen x i ja x j välillä ja tämän polun pituus on luku j i. Merkitään symbolilla u h alkioon h H liittyvän polun P h pituutta. Aikaisemmin on osoitettu, että jokaista joukon E(P) \ E(C) särmää e vastaa jokin yksikäsitteinen alkio h H siten, että e on 7
alkioon h liittyvän polun P h särmä. Tällöin ehto on voimassa. u h = E(P) \ E(C) = k n h H Jokaisella alkiolla h H luku u h on positiivinen kokonaisluku, joten jollakin parilla (a,b) H on välttämättä ehto u (a,b) k n m n 1 voimassa. Muutoin ehdosta k n m n 1 Z nimittäin seuraisi k n = u h (m n 1) h H ja vastaavasti ehdosta k n m n 1 k n = u h (m n 1) h H ( k n ) m n 1 1 / Z saataisiin k n < (m n 1) m n 1 k n < (m n 1) m n 1 = k n k n m n 1 = k n. Toisaalta edellä myös osoitettiin ehdon m n 1 > 0 olevan voimassa. Nyt solmut x a ja x b ovat syklin C kaksi eri solmua, joten on olemassa solmut x a ja x b yhdistävä syklin C kaari C (a,b) siten, että polun C (a,b) pituutena on vähintään luku m 2. Solmuja xa ja x b yhdistävistä syklin C kahdesta eri kaaresta voidaan nimittäin valita pidempi. Joukon H määritelmän perusteella solmuja x a ja x b yhdistävässä polussa P (a,b) ei ole yhtään syklin C särmää. Siten verkot C (a,b) ja P (a,b) yhdistämällä saadaan verkon G kelvollinen ja yksikäsitteisesti määrätty sykli. Merkitään kyseistä sykliä jatkossa kirjaimella Q. Edellä tehdyistä valinnoista seuraa nyt, että syklin Q pituus on vähintään k n m +. m n 1 2 Osoitetaan, että tämä luku on arvoltaan vähintään 2k. Jokaisella reaaliluvulla r ja s pätee ehto (r + s) 2 4rs, sillä on 0 (r s) 2 = r 2 2rs + s 2 = (r 2 + 2rs + s 2 ) 4rs = (r + s) 2 4rs. Siten saadaan tulos ( ) 2 ( k n m k n + m n 1 2 m n 1 + m ) 2 2m(k n) 2 m n 1. 8
Toisaalta ehdot k 1 ja m < k ovat voimassa, joten pätee sekä 0 2k että 2mn 2nk. Siten on myös 2mk 2mn 2mk 2nk 2k. Täten pätee 2m(k n) 2k(m n 1) ja siis saadaan tulos 2m(k n) m n 1 ollen on osoitettu todeksi väite ( ) 2 k n m + 2k m n 1 2 2k. Näin ja siten polun Q pituus on vähintään 2k. Nyt on todistettu, että jos verkossa G on pituutta k oleva polku jonkin syklin kahden pisteen välillä, niin verkossa G on sykli, jonka pituus on vähintään 2k. Erityisesti on myös osoitettu, että tehtävänannossa annettu alaraja k ei ole paras mahdollinen. Tehtävässä ei kuitenkaan pyydetty tuottamaan parasta mahdollista alarajaa, joten alarajan 2k laatua ei tutkita tämän tarkemmin. 9