Kierrosluku ja yhdesti yhtenäiset alueet

Kierrosluku ja yhdesti yhtenäiset alueet Kimmo Luhtavaara Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2011

Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Cauchyn lauseen yleinen muoto 3 1. Logaritmin haara 3 2. Kierrosluvut 4 3. Nollahomologisuus ja yhdesti yhtenäisyys 7 4. Cauchyn lauseen yleinen muoto 8 Luku 2. Jordanin käyrälause 11 1. Jordanin käyrälause 11 2. Jordanin käyrälause ja kierrosluvut 15 Luku 3. Homotopia 21 1. Homotopia ja kierrosluvut 21 Luku 4. Riemannin kuvauslause 25 Lähdeluettelo 33 i

Johdanto Tässä tutkielmassa käsitellään kierroslukuja ja yhdesti yhtenäitä alueita. Aihe liittyy kompleksianalyysiin. Esitietoina vaaditaan matematiikan aineopinnot. Kompleksianalyysistä on tiedettävä perusteet kompleksiluvuista, Möbiuskuvaukset, analyyttiset funktiot ja kompleksinen integrointi. Lisäksi topologian perusteet on hallittava. Merkittävimmät lähteet tutkielmalle ovat B.P. Palkan An Introduction to Complex Function Theory ja L.V. Ahlforsin Complex analysis. Jordanin käyrälauseen todistuksessa on käytetty lähteenä R. Maeharan artikkelia The American Mathematical Monthlyssa. Yksittäisten tulosten kohdalla olen puolestaan käyttänyt apuna seuraavia teoksia: J.A. Bondyn ja U.S.R. Murtyn Graph Theory with Applications, J. Dugundjin Topology, C.R.F. Maunderin Algebraic Topology ja J. Väisälän Topologia I ja II. Tutkielmassa esiintyvät kuvat on piirretty Incscape-ohjelmalla. Tässä tutkielmassa osoitetaan, että seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä alueessa D. Lauseessa 1.22 osoitetaan, että alue D on yhdesti yhtenäinen täsmälleen silloin, kun se on nollahomologinen. Nollahomologisuudella tarkoitetaan, että syklin kierrosluku on nolla, minkä tahansa pisteen a C \ D suhteen. Sykli on äärellinen kokoelma suljettuja teitä ja kierrosluvulla tarkoitetaan geometrisesti vastapäivään pisteen a C ympäri kierrettyjen kierrosten lukumäärää. Tämän jälkeen osoitetaan, että alueessa D pätee Cauchyn lauseen yleinen muoto, joka on lause 1.24. Lisäksi luvussa 3 osoitamme seurauksessa 3.5, että jos yhdesti yhtenäinen alue D on nollahomotooppinen, se on nollahomologinen. Kahden polun sanotaan olevan homotooppisia, jos ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen. Suljettu polku on nollahomotooppinen, jos se on homotooppinen vakiopolun kanssa. Tutkielmassa osoitetaan lisäksi, että nollahomologisuudesta seuraa nollahomotooppisuus. Lause 1.22 kertoo, että nollahomologisuudesta seuraa yhdesti yhtenäisyys. Riemannin kuvauslauseen 4.15 nojalla tästä seuraa, että alue D on myös nollahomotooppinen. Ensimmäisessä luvussa todistetaan Cauchyn lauseen yleinen muoto. Lause kertoo, että jos funktio f on analyyttinen joukossa Ω ja σ on nollahomologinen sykli joukossa Ω, niin f(z)dz = 0. Tulos pätee myös toiseen suuntaan. Molemmat suunnat on todistettu tässä työssä. Luvun aluksi käsitellään logaritmin haaroja. Logarit- σ min haaroista tarvitaan tietoa myös Riemannin kuvauslausetta käsittelevässä luvussa. Tämän jälkeen käsitellään kierroslukuja, nollahomologisuutta ja yhdesti yhtenäisyyttä. Ensimmäisessä luvussa formuloidaan Cauchyn lause kiekossa, jota ei kuitenkaan todisteta. Näiden pohjatietojen jälkeen on todistettu Cauchyn lauseen yleinen muoto. Toisessa luvussa todistetaan Jordanin käyrälause. Kyseinen lause sanoo, että joukolla R 2 \J on kaksi komponenttia, joista toinen on rajoitettu ja toinen rajoittamaton. Lisäksi lause kertoo, että Jordan käyrä J on molempien komponenttien reuna. Tämä todistus on tehty Brouwerin kiintopistelauseen avulla. Tässä työssä ei kuitenkaan ole todistettu Brouwerin kiintopistelausetta, koska se ei kuulu tutkielman aihepiiriin. 1

JOHDANTO 2 Samasta syystä on myös jätetty todistamatta Tietzen jatkolause. Lausetta käytetään lemman 2.8 todistuksessa, jota käytetään Jordanin käyrälauseen todistuksessa. Jordanin käyrälauseen jälkeen tarkastellaan, mitä vaikutuksia tuloksella on kierroslukuihin. Lauseessa 2.13 on näytetty, että Jordan-käyrän sisäpuolella polun kierrosluku on aina joko 1 tai 1. Kolmannen luvun aiheena on homotopia. Aluksi määritellään, mitä homotopialla tarkoitetaan. Tämän jälkeen tarkastellaan, miten homotopia vaikuttaa kierroslukuihin. Luvun lopuksi osoitetaan tulos, jonka mukaan homotooppisuudesta seuraa homologisuus. Viimeisessä luvussa todistetaan Riemannin kuvauslause 4.15. Luvussa esitellään todistuksen pohjatietona tarvittavat Montelin ja Hurwitzin lauseet. Montelin lause on todistettu, mutta Hurwitzin lause on jätetty todistamatta. Lisäksi Montelin lauseen todistuksessa käytetty Arzela Ascolin lause on todistettu tässä luvussa. Hurwitzin lauseen todistus vaatii paljon sellaista tietoa, joka ei kuulu tämän tutkielman aihepiiriin. Luvun lopuksi todistetaan Riemannin kuvauslauseen avulla, että yhdesti yhtenäisessa alueessa jokainen suljettu polku on nollahomotooppinen.

LUKU 1 Cauchyn lauseen yleinen muoto Aluksi käsitellään logaritmin haaroja. 1. Logaritmin haara Määritelmä 1.1. Kompleksiluvun z 0 argumentti arg(z) on mikä tahansa reaaliluku γ, jolle cos(γ) = R(z) ja sin(γ) = I(z) z z. Määritelmä 1.2. Argumentin päähaara on Arg(z) ( π, π], joka on yksikäsitteinen. Määritelmä 1.3. Luvun z C \ {0} logaritmiksi kutsutaan mitä tahansa lukua w C, jolle e w = z. Määritelmä 1.4. Logaritmin päähaara Log(z) on Log(z) = ln z + i Arg(z). Määritelmä 1.5. Olkoon f : U C analyyttinen funktio. Jos alue D sisältyy joukkoon f(u), niin käänteisfunktion haaralla f 1 alueessa D tarkoitetaan jatkuvaa funktiota g : D U, jolle pätee kaikilla pisteillä z D. f[g(z)] = z Lause 1.6. Oletetaan, että funktio f : U C on analyyttinen ja että funktio g on käänteisfunktion f 1 haara alueessa D. Olkoon piste z 0 D ja piste w 0 = g(z 0 ). Jos f (w 0 ) 0, niin funktio g on differentioituva pisteessä z 0 ja g (z 0 ) = 1 f (w 0 ). Jos lisäksi f (z) 0 kaikilla pisteillä z g(d), niin funktio g on analyyttinen alueessa D ja sen derivaatta on g 1 (z) = f [g(z)]. Todistus. Funktio g on injektio alueessa D, koska jos g(z 1 ) = g(z 2 ), niin siitä seuraa z 1 = f[g(z 1 )] = f[g(z 2 )] = z 2. Valitaan piste z z 0 alueesta D ja asetetaan, että w = g(z). Nyt pätee, kun z z 0. g(z) g(z 0 ) z z 0 = g(z) g(z 0 ) f [g(z)] f [g(z 0 )] = w w 0 f(w) f(w 0 ) 1 f (w 0 ) 3

2. KIERROSLUVUT 4 Määritelmä 1.7. Logaritmifunktion haara alueessa D on analyyttinen funktio L : D C, jolle pätee, että e L(z) = z kaikilla pisteillä z D. Lisäksi koska lauseesta 1.6 seuraa, että L (z) = L (z) = 1 z, 1 f [L(z)] = 1 e = 1 L(z) z. Jos logaritmifunktion haara L on alueessa D, niin origo ei tällöin kuulu alueeseen D. Tämä johtuu siitä, että määritelmästä seuraa z = e L(z) 0 kaikilla pisteillä z D. Esitetään logaritmifunktio L muodossa L(z) = Log z + i arg(z), missä arg(z) on jatkuva reaaliarvoinen funktio alueessa D. Tällaista funktiota sanotaan argumentin haaraksi alueessa D. 2. Kierrosluvut Tässä kappaleessa käsitellään kierroslukuja sekä todistetaan niihin liittyviä lauseita. Lisäksi muotoillaan Cauchyn lauseen lokaali versio. Cauchyn lauseen yleisen muodon todistuksessa tarvitaan tietoja kierrosluvuista. Määritelmä 1.8. Polku γ on jatkuva kuvaus γ : [a, b] C. Polun γ kuvajoukkoa γ([a, b]) = γ C sanotaan käyräksi. Polku γ : [a, b] C on tie, jos se on jatkuva ja paloittain jatkuvasti differentioituva. Määritelmä 1.9. Polku γ : [a, b] C on suljettu, jos γ(a) = γ(b). Huomautus 1.10. Olkoon γ : [a, b] C suljettu tie. Aluksi halutaan määritellä suljetun tien γ kierrosluku n(γ, z) pisteen z C suhteen. Geometrisesti kierrosluku tarkoittaa pisteen z ympäri vastapäivään kierrettyjen kierrosten lukumäärää. Määritelmä 1.11. Olkoon γ : [a, b] C tie ja funktio f : γ C jatkuva. Tällöin funktion f kompleksinen integraali yli tien γ on b f(z) = f(γ(t))γ (t)dt γ a Määritelmä 1.12. Suljetun tien γ : [a, b] C kierrosluku pisteen z C \ γ suhteen on n(γ, z) = 1 2πi γ ζ z. Lause 1.13. Jokaiselle suljetulle tielle γ : [a, b] C on n(γ, z) Z kaikilla z C \ γ.

2. KIERROSLUVUT 5 Todistus. Merkitään γ t : [a, t] C, missä γ t = γ [a,t] kaikilla a t b. Määritellään jatkuva ja paloittain derivoituva funktio g : [a, b] C asettamalla 1 t g(t) = γ t ζ z = γ (s) a γ(s) z ds. Tällöin analyysin peruslauseen nojalla g (t) = γ (t) γ(t) z paitsi ehkä äärellisen monella t [a, b]. Määritellään lisäksi jatkuva ja paloittain derivoituva funktio h : [a, b] C asettamalla h(t) = e g(t) (γ(t) z). Nyt h (t) = g (t)e g(t) (γ(t) z) + e g(t) γ (t) = e g(t) [ γ (t) γ(t) z (γ(t) z) + γ (t)] = 0 kaikissa paitsi mahdollisesti äärellisen monessa pisteessä t [a, b]. Siispä h on vakio ja h(a) = h(b). Tällöin h(a) = e g(a) (γ(a) z) = γ(a) z h(b) = e g(b) (γ(b) z) = e g(b) (γ(a) z) koska γ(a) = γ(b). Tästä seuraa, että e g(t) = 1 ja siten jollakin k Z. Siis n(γ, z) = k. k2πi = g(b) = γ 1 ζ z Määritelmä 1.14. Joukko G C on alue, jos se on avoin ja yhtenäinen. Lause 1.15. Olkoon γ suljettu tie. Tällöin n(γ, z) on vakio jokaisessa alueessa G C \ γ. Todistus. Olkoon p, q G. Osoitetaan, että n(γ, p) = n(γ, q). Koska G on alue, p ja q voidaan yhdistää joukkoon G sisältyvällä murtoviivalla ([7, s.120]). Murtoviiva koostuu äärellisen monesta janasta, joten voidaan olettaa, että jana [p, q] G. Huomataan, että z [p, q] täsmälleen silloin kun z = λp + (1 λ)q jollakin λ [0, 1]. Edelleen on yhtäpitävää z = [1/(1 t)]p + (1 1/(1 t))q missä t = 1 1/λ (, 0]. Lisäksi pätee jollakin t (, 0]. z tz = p tq

2. KIERROSLUVUT 6 Erityisesti z p z p C \ (, 0] kaikilla z / [p, q]. Siispä Log on analyyttinen z q z q joukossa C \ [p, q]. Lasketaan kuvauksen Log z p derivaatta. Logaritmin päähaaran z q määritelmän nojalla on Log z p z q = ln z p z q + i Arg(z p z q ). Siispä pätee d dz Log z p z q = d dz ln z p z q, koska d dz i Arg(z p z q ) = 0. Nyt voidaan myös laskea pelkästään derivaatta d dz ln z p z q, koska z p C \ (, 0]. Siis z q Näin ollen on d dz ln z p z q = 1 (z q) (z p) = 1 (z p)/(z q) (z q) 2 z p 1 z q. n(γ, p) n(γ, q) = 1 2πi γ 1 z p 1 dz = 0. z q Seuraavaksi muotoillaan Cauchyn lause kiekossa, mitä tarvitaan lauseen 1.18 todistuksessa. Lisäksi muotoillaan Cauchyn integraalikaava derivaatoille, mitä puolestaan tarvitaan Riemannin kuvauslauseen 4.15 todistuksessa. Lause 1.16. (Cauchyn lause kiekossa) Olkoon D avoin kiekko ja funktio f : D C analyyttinen. Tällöin f(z)dz = 0 jokaiselle suljetulle tielle γ : [a, b] D. Todistus. Todistuksen voi katsoa lähdekirjallisuudesta [2, s.148] γ Lause 1.17. (Cauchyn integraalikaava derivaatoille)oletetaan, että funktio f on analyyttinen avoimessa kiekossa B. Olkoon luku k ei-negatiivinen kokonaisluku ja polku γ suljettu ja paloittain sileä polku avoimessa kiekossa B. Tällöin kaikilla pisteillä z B \ γ. n(γ, z)f (k) (z) = k! 2πi γ f(ζ) (ζ z) k+1 Todistus. Todistuksen voi katsoa lähdekirjallisuudesta [2, s.166] Lause 1.18. Olkoon γ suljettu tie. Tällöin n(γ, z) = 0 jokaisessa alueessa G C \ γ, joka ei ole rajoitettu.

3. NOLLAHOMOLOGISUUS JA YHDESTI YHTENÄISYYS 7 Todistus. Valitaan r > 0 siten, että γ B(0, r). Koska joukko G on rajoittamaton, on olemassa z 0 G \ B(0, r). Tällöin 1/(z z 0 ) on analyyttinen kiekossa B(0, r) ja lauseen 1.16 mukaan n(γ, z 0 ) = 1 2πi γ 1 z z 0 dz = 0. Lauseen 1.15 nojalla n(γ, z) = n(γ, z 0 ) = 0 kaikilla pisteillä z G. 3. Nollahomologisuus ja yhdesti yhtenäisyys Ennen ensimmäisen luvun päätodistusta on määriteltävä käsitteet nollahomologisuus ja yhdesti yhtenäisyys. Määritelmä 1.19. Sykli σ = (γ 1, γ 2,..., γ p ) on äärellinen joukko suljettuja teitä γ 1, γ 2,..., γ p joukossa C. Jos σ on sykli, niin merkitään σ = γ 1 γ 2... γ p. Oletetaan edelleen, että σ = (γ 1, γ 2,..., γ p ) on sykli joukossa A ja f : A C jatkuva. Määritellään f(z)dz seuraavasti: σ f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz +... + f(z)dz. γ 1 γ 2 γ p σ Syklin σ kierrosluku pisteen z suhteen on n(σ, z) = 1 2πi σ (ζ z). Määritelmä 1.20. Alue Ω C on yhdesti yhtenäinen, jos C \ Ω on yhtenäinen topologisessa avaruudessa C { }. Määritelmä 1.21. Sykli σ Ω on nollahomologinen joukossa Ω täsmälleen silloin kun n(σ, a) = 0 kaikilla pisteillä a / Ω. Tällöin merkitään σ 0. Kaksi sykliä σ 0 = (γ 1, γ 2,..., γ p ) Ω ja σ 1 = (β 1, β 2,..., β q ) Ω ovat keskenään homologiset, jos sykli σ = (γ 1, γ 2,..., γ p, β 1, β 2,..., β q ) on nollahomologinen. Tämä tarkoittaa, että n(σ 0, z) = n(σ 1, z) kaikilla z C \ Ω. Tällöin puolestaan merkitään σ 0 σ 1. Lause 1.22. Alue Ω on yhdesti yhtenäinen täsmälleen silloin kun σ 0 kaikilla sykleillä σ Ω. Todistus. Olkoon σ sykli joukossa Ω. Jos joukko C \ Ω on yhtenäinen, niin sen täytyy sisältyä yhteen syklin σ määräämään alueeseen. Mikäli piste kuuluu joukkoon C\Ω, niin joukon C\Ω täytyy olla rajoittamaton alue. Tämän seurauksena n(σ, a) = 0 kaikilla pisteillä a, jotka kuuluvat joukkoon C \ Ω ja eivät ole piste. Oletetaan, että alueen Ω komplementti voidaan esittää kahden erillisen suljetun joukon yhdisteenä A B. Toinen näistä joukoista sisältää pisteen, joten toinen joukoista on rajoitettu. Oletetaan tässä todistuksessa, että A on rajoitettu, jolloin se on Heine Borel-lauseen nojalla myös kompakti. Tällöin joukkojen A ja B välinen lyhin etäisyys δ > 0.

4. CAUCHYN LAUSEEN YLEINEN MUOTO 8 a A σ B Peitetään koko taso nelikulmioilla Q, joiden sivun pituus on pienempi kuin δ/ 2. Voimme valita tietyn pisteen a A, joka sijaitsee nelikulmion keskipisteessä. Oletetaan, että nelikulmiot Q ovat suljettuja ja että Q:n sisäpisteet ovat sellaisten janojen vasemmalla puolella, jotka muodostavat Q:n reunan. Käytetään Q:n reunalle merkintää Q. Määritetään sykli σ = ( Q 1, Q 2,..., Q j ) missä summataan yli kaikkien nelikulmioiden Q j, joilla on yhteinen piste joukon A kanssa. Koska a sisältyy vain yhteen nelikulmioon, niin n(σ, a) = 1. Voidaan päätellä, että sykli σ ja joukko B eivät leikkaa toisiaan. Sykli σ ei myöskään leikkaa joukkoa A, koska jokainen sivu joukossa A kuuluu kahteen nelikulmioon jotka esiintyvät summassa σ = ( Q 1, Q 2,..., Q j ). Tällöin sivu kuljetaan vastakkaisiin suuntiin, joten se ei esiinny syklin σ lausekkeessa. Siispä sykli σ kuuluu joukkoon Ω. Huomautus 1.23. Lause 1.22 sanoo, että yhdesti yhtenäisessä joukossa ei ole reikiä. 4. Cauchyn lauseen yleinen muoto Nyt voidaan todistaa Cauchyn lauseen yleinen muoto. Lause 1.24. Olkoon σ sykli avoimessa joukossa Ω C. Tällöin sykli σ on nollahomologinen täsmälleen silloin kun σ f(z)dz = 0 jokaiselle analyyttiselle funktiolle f : Ω C. Todistus. Osoitetaan ensin, että jos f(z)dz = 0 jokaiselle analyyttiselle funktiolle f : Ω C, niin tällöin sykli σ on nollahomologinen. Olkoon piste a C \ Ω σ ja funktio f : Ω C siten, että f(z) = 1. Oletuksen nojalla funktio f on z a analyyttinen, joten 1 0 = f(z)dz = = 2πin(σ, a). z a σ Siis n(σ, a) = 0 kaikilla pisteillä a C \ Ω, eli sykli σ on nollahomologinen. σ

4. CAUCHYN LAUSEEN YLEINEN MUOTO 9 Seuraavaksi osoitetaan todeksi lauseen toinen suunta. Oletetaan, että sykli σ on nollahomologinen ja funktio f : Ω C on analyyttinen. Merkitään K = {z C : z σ tai n(σ, z) = 0}. Koska σ Ω ja n(σ, z) = 0 kaikilla pisteillä z C \ Ω, niin K Ω. Osoitetaan, että joukko K on kompakti. Jos piste z C \ K, niin on olemassa säde r > 0 siten, että B(z, r) C \ γ. Koska B(z, r) on yhtenäinen, on lauseen 1.15 nojalla n(σ, w) = 0 kaikilla pisteillä w B(z, r). Siis B(z, r) C \ K ja K on suljettu. Toisaalta koska σ on kompakti, on olemassa säde R > 0 siten, että σ B(0, R). Tällöin myös K B(0, R), koska lauseen 1.18 nojalla n(σ, z) = 0 kaikilla pisteillä z C \ B(0, R). Joukko K on siis rajoitettu. Koska joukko K Ω on kompakti, ja Ω on avoin joukko, on olemassa δ > 0 siten, että B(z, r) Ω kaikilla pisteillä z K. Kompaktiuden nojalla joukko K voidaan peittää äärellisellä määrällä muotoa [ p δ 2, (p + 1)δ 2 ] [ q δ 2, (q + 1)δ 2 olevilla neliöillä, missä p, q Z. Käytetään niille merkintöjä Q 1,..., Q m. Oletetaan, että K Q j kaikilla indekseillä j {1,..., m}. Olkoon q j neliön Q j keskipiste. Tällöin Q j B(q j, δ/2) Ω. Olkoon nyt piste z joukon Q k keskipiste, missä k {1,..., m}. Tällöin pätee, että n( Q k, z) = 1 ja Cauchyn kaavan lokaalin muodon 1.16 mukaan f(z) = 1 2πi Q k Cauchyn lauseen lokaalin muodon nojalla 1 2πi kaikilla pisteillä k j. Siis (1.1) f(z) = 1 2πi m j=1 Q j Q j f(ζ) ζ z. f(ζ) ζ z = 0 f(ζ) ζ z = 1 2πi ] n j=1 J j f(ζ) ζ z kaikilla pisteillä z m j=1 Q j \ m j=1 Q j, missä J 1,..., J n ovat kaikki ne neliöiden Q j suunnistetut reunajanat, jotka eivät leikkaa joukkoa K. Muut reunajanat kumoutuvat kaavassa (1.1). Koska joukot K ja n j=1 J j ovat kompakteja ja K n j=1 J j =, on kaavassa (1.1) kaikki joukossa K oleva jatkuvaa pisteen z suhteen. Siten kaava (1.1) on voimassa kaikilla pisteillä z K. Koska σ K, on 1 n f(z)dz = [ σ σ 2πi j=1 n = 1 2πi = 1 2πi j=1 j=1 koska n(σ, ζ) = 0 kaikilla pisteillä ζ J j. σ J j J j n f(ζ) J j f(ζ) ζ z ]dz f(ζ) ζ z dz σ 1 dz = 0, ζ z

4. CAUCHYN LAUSEEN YLEINEN MUOTO 10 Näin ollen on todistettu Cauchyn lauseen yleinen muoto. Lause 1.25. Olkoon funktio f analyyttinen ja f(z) 0 kaikilla pisteillä z D alueessa D. Tällöin logaritmin haara log f(z) on olemassa alueessa D täsmälleen silloin, kun f (z) γ f(z) dz = 0 jokaiselle suljetulle, paloittain sileälle polulle γ alueessa D. Jos funktio g on logaritmifunktion log f(z) haara alueessa D, niin kokoelma tällaisista haaroista koostuu muotoa g + 2kπi, missä k Z, olevista funktioista. Todistus. Todistuksessa tarvitaan tietoja primitiivistä, joita ei käsitellä tässä työssä. Todistuksen voi katsoa lähdekirjallisuudesta [2, s.176-177] Lause 1.26. Alue D C on yhdesti yhtenäinen täsmälleen silloin, kun jokaiselle funktiolle f, jolle pätee (1) f on analyyttinen (2) f(z) 0 kaikilla pisteillä z D, logaritmin haara log f(z) on olemassa alueessa D. Todistus. Oletetaan, että alue D on yhdesti yhtenäinen ja funktio f on analyyttinen ja f(z) 0 kaikilla pisteillä z D. Lauseen 1.24 nojalla f (z) f(z) dz = 0 γ jokaiselle suljetulle, paloittain sileälle polulle γ alueessa D. Lauseen 1.25 nojalla alueessa D on logaritmin haara log f(z). Osoitetaan väitteen toinen suunta. Olkoon funktio f : D C määritelty siten, että f(ζ) = ζ z mielivaltaiselle pisteelle z C \ D. Funktio f on analyyttinen alueessa D ja f(z) 0 kaikilla pisteillä z D. Oletuksena on, että funktiolla f on logaritmin haaroja alueessa D. Valitaan niistä yksi ja merkitään sitä g. Nyt logaritmin haaralle g pätee, että alueessa D. Tästä seuraa, että n(γ, z) = 1 2πi g (ζ) = 1 ζ z γ ζ z = 1 g (ζ) = 0 2πi γ aina kun polku γ on suljettu ja paloittain sileä alueessa D. Koska tämä pätee jokaiselle pisteelle z C \ D, niin jokainen polku γ on nollahomologinen alueessa D. Siis alue D on lauseen 1.22 nojalla yhdesti yhtenäinen.

LUKU 2 Jordanin käyrälause Tämän luvun tarkoituksena on todistaa Jordanin käyrälause 2.10. Sen jälkeen tutkitaan, mikä vaikutus Jordanin käyrälauseella on kierroslukuihin. 1. Jordanin käyrälause Määritelmä 2.1. Käyrä, joka on homeomorfinen ympyrän S 1 kanssa, on Jordankäyrä. Määritelmä 2.2. Olkoon X epätyhjä joukko ja olkoon A X. Piste a A on kuvauksen f : A A kiintopiste, jos f(a) = a. Seuraava lause on nimeltään Brouwerin kiintopistelause. Sen avulla todistetaan Jordanin käyrälause. Lause 2.3. (Brouwerin kiintopistelause) Jokaisella jatkuvalla kuvauksella on kiintopiste. f : B 2 B 2 Todistus. Todistuksen voi katsoa lähdekirjallisuudesta [2, s.21-23]. Huomautus 2.4. Olkoon J Jordan-käyrä. Nyt joukon R 2 \J komponenteille pätee kaksi asiaa: (1) Joukossa R 2 \ J on täsmälleen yksi rajoittamaton komponentti (2) Jokainen komponentti joukossa R 2 \ J on polkuyhtenäinen ja avoin. Ensimmäinen väite seuraa siitä, että Jordan-käyrä J on rajoitettu. Toinen väite perustellaan sillä, että joukko R 2 on polkuyhtenäinen, ja että Jordan-käyrä J on suljettu. Huomautus 2.5. Lemman 2.8 todistuksessa tarvitaan Tietzen jatkolausetta. Määritelmä 2.6. Olkoon A R 2 suljettu ja funktio f : A R 2 jatkuva. Jatkuva funktio F : R 2 R 2 on funktion f jatke, jos F A = f. Lause 2.7. (Tietzen jatkolause) Olkoon A R 2 suljettu ja funktio f : A [a, b] jatkuva. Tällöin funktiolla f on jatkuva jatke F : R 2 [a, b]. Todistus. Tietzen jatkolauseen todistuksen voi katsoa lähdekirjallisuudesta [3, s.149-151] tai [8, s.146-147]. Lemma 2.8. Olkoon J R 2 Jordan-käyrä. Jos joukko R 2 \ J ei ole yhtenäinen, niin jokaisen komponentin reuna on Jordan-käyrä J. 11

1. JORDANIN KÄYRÄLAUSE 12 Todistus. Olkoon U mielivaltainen komponentti. Nyt mikä tahansa muu komponentti W on erillään joukosta U ja avoin. Siten joukko W ei sisällä joukon U sulkeuman U pisteitä eikä näin myöskään joukon U reunapisteitä. Siispä U U C J. Oletetaan, että U U C J. Tällöin on olemassa polku A J siten, että (2.1) U U C A. Osoitetaan, että tämä johtaa ristiriitaan. Huomautuksen 2.4 ensimmäisen kohdan nojalla tiedetään, että joukolla R 2 \ J on ainakin yksi rajoitettu komponentti. Olkoon piste o rajoitetun joukon sisällä. Jos U on rajoitettu, niin valitaan o U. Olkoon D suuri kiekko, jonka keskipiste on o ja jolle J D. Silloin joukon D reuna S sisältyy joukon R 2 \ J rajoittamattomaan komponenttiin. Koska polku A on homeomorfinen välin [0, 1] kanssa, niin identtisellä kuvauksella A A on jatkuva jatke r : D A Tietzen jatkolauseen nojalla. Olkoon r identtinen kuvaus. Määritellään kuvaus q : D D seuraavasti: { r(z), kun z U, q(z) = z, kun z U C, jos joukko U on rajoitettu ja q(z) = { z, kun z U, r(z), kun z U C, jos joukko U on rajoittamaton. Kohdasta (2.1) seuraa, että kahden suljetun joukon U ja U C leikkaus on joukon A sisäpuolella. Nyt kuvaus q on hyvin määritelty ja jatkuva. Huomataan, että q(z) = z jos z S. Olkoon p : D \ {o} S sellainen lineaarinen surjektio jolle R(z o) p(x) = o + z o, missä D = B(o, R). Olkoon t : S S sellainen kuvaus, että t(z) = (z o) + o = 2o z kaikilla pisteillä x S. Niinpä yhdistetyllä kuvauksella t p q : D S D ei ole kiintopistettä. Perustellaan asia geometrisesti. Oletetaan yksinkertaisuuden p(z) p z o t(p(z)) vuoksi, että kuvaus q on identtinen kuvaus. Valitaan kiekosta B(o, R) piste z. Nyt kuvaus p kuvaa pisteen z kiekon B(o, R) reunalle. Kuvaus t puolestaan kuvaa tämän reunalla olevan pisteen täsmälleen kiekon vastakkaiselle reunalle. Tällaisella kuvauksella ei voi olla kiintopistettä. Tämä on vastoin Brouwerin kiintopistelauseen 2.3 tulosta.

1. JORDANIN KÄYRÄLAUSE 13 Lemma 2.9. Oletetaan, että joukko E(a, b; c, d) = {(x, y) a x b, c y d} missä a < b ja c < d määrää suorakulmion joukossa R 2. Olkoot h(t) = (h 1 (t), h 2 (t)) ja v(t) = (v 1 (t), v 2 (t)) ( 1 t 1)jatkuvia polkuja joukossa E(a, b; c, d), joille pätee: (2.2) h 1 ( 1) = a, h 1 (1) = b, v 1 ( 1) = c, v 1 (1) = d. Tällöin h(s) = v(t) joillakin s, t [0, 1]. Todistus. Oletetaan, että h(s) v(t) kaikilla pisteillä s, t [0, 1]. Määritellään N(s, t) = Max { h 1 (s) v 1 (t), h 2 (s) v 2 (t) }. Tällöin N(s, t) 0. Määritellään jatkuva kuvaus F : E(a, b; c, d) E(a, b; c, d) siten, että F (s, t) = ( v 1(t) h 1 (s), h 2(s) v 2 (t) ). N(s, t) N(s, t) Huomataan, että kuvauksen F kuva kuuluu joukkoon E( 1, 1; 1, 1). Näytetään, että kuvauksella F ei ole kiintopistettä. Oletetaan siis, että F (s 0, t 0 ) = (s 0, t 0 ). Nyt huomataan, että joko s 0 = 1 tai t 0 = 1. Oletetaan esimerkin vuoksi, että s 0 = 1. Tällöin kaavasta (2.2) seuraa, että kuvauksen F ensimmäinen koordinaatti F ( 1, t 0 ) on ei-negatiivinen eli ei yhtä suuri kuin s 0. Vastaavasti voidaan näyttää, että tapaukset s 0 = 1 tai t 0 = 1 eivät voi toteutua. Tämä taas on vastoin Brouwerin kiintopistelausetta 2.3, koska joukko E(a, b; c, d) on homeomorfinen kiekon kanssa. Nyt todistetaan Jordanin käyrälause. Lause 2.10. Olkoon J R 2 Jordan-käyrä. Joukolla R 2 \ J on täsmälleen kaksi komponenttia, joista toinen on rajoitettu ja toinen rajoittamaton. Käyrä J on molempien komponenttien reuna. Todistus. Lemman 2.8 nojalla riittää osoittaa, että joukolla R 2 \ J on täsmälleen yksi rajoitettu komponentti. Koska Jordan-käyrä J on kompakti, on olemassa pisteet a, b J siten, että niiden etäisyys toisistaan a b on suurimmillaan. Voidaan olettaa, että a = ( 1, 0) ja b = (1, 0). Tällöin joukko E( 1, 1; 2, 2) sisältää Jordan-käyrän J ja joukon E( 1, 1; 2, 2) reuna Γ kohtaa Jordan-käyrän J täsmälleen kahdessa pisteessä, jotka ovat a ja b. Olkoon koordinaatti n joukon E( 1, 1; 2, 2) ylemmän vaakasivun keskipiste, koordinaatein ilmaistuna n = (0, 2). Olkoon koordinaatti s puolestaan joukon E( 1, 1; 2, 2) alemman vaakasivun keskipiste, koordinaatein ilmaistuna s = (0, 2). Lemman 2.9 nojalla jana, jonka alkupiste on n, loppupiste s, ja jota merkitään ns, kohtaa Jordan-käyrän J. Olkoon l y-maksimipiste joukossa J ns. Tällä tarkoitetaan pistettä (0, y), missä piste y on mahdollisimman suuri. Pisteet a ja b jakavat Jordan-käyrän J kahteen polkuun. Merkitään polkua, joka sisältää y-maksimipisteen l, merkinnällä J n, ja toista polkua merkinnällä J s. Olkoon piste m y-minimipiste joukossa J n ns (voi olla l = m). Tällöin jana ms, kohtaa polun J n, koska muutoin yhdistetty polku nl lm ms ei voi kohdata polkua J s lemman 2.9 nojalla. Tässä lm on polun J n sellainen osa, joka kulkee pisteestä l pisteeseen m. Olkoon nyt piste p y-maksimipiste ja piste q y- minimipiste joukossa J s ms. Olkoon z 0 R 2 \ J mielivaltainen janan mp keskipiste.

1. JORDANIN KÄYRÄLAUSE 14 n l Jn Γ a m b Js z0 p w q s Seuraavaksi osoitetaan, että joukon R 2 \J komponentti U, joka sisältää pisteen z 0, on rajoitettu. Tehdään vastaoletus, että komponentti U olisi rajoittamaton. Komponentti U on polkuyhtenäinen, joten on olemassa polku α A pisteestä z 0 pisteeseen joka on joukon E( 1, 1; 2, 2) ulkopuolella. Olkoon nyt piste w sellainen, jossa polku α ja reuna Γ ensimmäisen kerran kohtaavat. Olkoon α w on sellainen polun α osa, joka kulkee pisteestä z 0 pisteeseen w. Jos piste w Γ on janan ns oikealla puolella, voidaan määritellä polku ŵs reunalla Γ pisteestä w pisteeseen s. Polku ŵs ei siis sisällä pistettä a tai b. Tarkastellaan yhdistettyä polkua nl lm mz 0 α w ŵs, joka ei kohtaa polkua J s lemman 2.9 nojalla. Vastaavasti jos piste w Γ on janan ns vasemmalla puolella, niin yhdistetty polku sz 0 α w ŵn ei kohtaa polkua J n, missä ŵn on lyhin polku pisteestä w pisteeseen n reunalla Γ. Tämä on ristiriidassa lemman 2.9 kanssa, joten komponentti U on rajoitettu. Oletetaan kuitenkin vielä, että on olemassa toinen rajoitettu komponentti W ( U) joukossa R 2 \ J. Nyt W E( 1, 1; 2, 2). Määritellään β yhdistetyksi poluksi nl lm mp pq qs, missä pq on polun J s osa pisteestä p pisteeseen q. Nyt polku β ei sisällä komponentin W pisteitä. Koska pisteet a ja b eivät kuulu polkuun β, niillä on palloympäristöt V a ja V b, joista kumpikaan ei sisällä polun β pisteitä. Lemman 2.8 nojalla pisteet a ja b

2. JORDANIN KÄYRÄLAUSE JA KIERROSLUVUT 15 kuuluvat komponentin W sulkeumaan W. Tällöin on olemassa pisteet a 1 W V a ja b 1 W V b. Olkoon â1b 1 polku komponentissa W pisteestä a 1 pisteeseen b 1. Tällöin yhdistetyt polut aa 1 â1b 1 b 1 b ja β eivät kohtaa. Lemman 2.9 nojalla tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa. 2. Jordanin käyrälause ja kierrosluvut Seuraavaksi esitellään kaksi tulosta kierrosluvuille. Lauseessa 2.11 katsotaan millä ehdoilla kierrosluku origon suhteen on yksi. Jordanin käyrälause sanoo, että joukolla R 2 \ J on täsmälleen kaksi komponenttia, joista toinen on rajoitettu ja toinen rajoittamaton. Lause 2.13 kertoo, että rajoitetussa joukossa kierrosluku pisteen z suhteen on joko 1 tai 1. Lause 2.11. Olkoon γ sellainen suljettu tie, joka ei kohtaa origoa ja pisteet z 1, z 2 γ. Olkoon γ 1 tie, joka kulkee pisteestä z 1 pisteeseen z 2, ja γ 2 tie, joka kulkee pisteestä z 2 pisteeseen z 1. Oletetaan lisäksi, että piste z 1 on puolitason alapuolella ja piste z 2 on puolitason yläpuolella. Jos tie γ 1 ei kohtaa negatiivista reaaliakselia, ja γ 2 ei kohtaa positiivista reaaliakselia, niin n(γ, 0) = 1. Todistus. Olkoon L 1 suora, joka lähtee origosta ja kulkee pisteen z 1 kautta. Vastaavasti L 2 on suora, joka lähtee origosta ja kulkee pisteen z 2 kautta. Olkoon C ympyrä, jonka keskipiste on origo. L 2 z 2 δ 2 ζ 2 γ 2 C 2 C 1 δ ζ 1 1 O γ 1 z 1 L 1 Olkoot ζ 1, ζ 2 sellaisia pisteitä, joissa suorat L 1 ja L 2 leikkaavat ympyrän C. Merkitään sen ympyrän kaarta pisteestä ζ 1 pisteeseen ζ 2, joka ei leikkaa negatiivista reaaliakselia, merkinnällä C 1. Vastaavasti merkitään sen ympyrän kaarta pisteestä ζ 2 pisteeseen ζ 1, joka ei leikkaa positiivista reaaliakselia, merkinnällä C 2. Olkoon lopuksi δ 1 on sellainen jana, joka kulkee pisteestä z 1 pisteeseen ζ 1, ja δ 2 sellainen jana, joka kulkee pisteestä z 2 pisteeseen ζ 2. Määritellään tämän jälkeen suljetut tiet σ 1 ja σ 2 siten, että ja σ 1 = (γ 1, δ 2, C 1, δ 1 ) σ 2 = (γ 2, δ 1, C 2, δ 2 ).

2. JORDANIN KÄYRÄLAUSE JA KIERROSLUVUT 16 Nyt on voimassa n(γ, 0) = n(c, 0) + n(σ 1, 0) + n(σ 2, 0). Tie σ 1 ei kuitenkaan kohtaa negatiivista reaaliakselia. Siispä origo kuuluu tien σ 1 määräämään rajoittamattomaan alueeseen. Lauseen 1.18 nojalla n(σ 1, 0) = 0, samoin myös n(σ 2, 0) = 0. Tällöin n(γ, 0) = n(c, 0) = 1. Lemma 2.12. Olkoon γ : [a, b] C polku ja J = γ Jordan-käyrä. Olkoon piste c (a, b) sellainen, että γ(c) on differentioituva ja γ (c) 0. Tällöin on olemassa ɛ > 0 siten, että joukot ovat joukon C \ γ eri komponenteissa. I + ɛ = {γ(c) + siγ (c) : 0 < s ɛ} I ɛ = {γ(c) + siγ (c) : ɛ s < 0} γ(a)=γ(b) I + ε γ(c) γ'(c) I - ε Todistus. Voidaan olettaa, että γ(c) = 0 ja γ (c) on positiivinen ja reaalinen. Nyt siis tarkastellaan joukkoja ja I + ɛ = {siγ (c) : 0 < s ɛ} I ɛ = {siγ (c) : ɛ s < 0}. Tällöin joukko I ɛ + = {siγ (c) : 0 < s ɛ} saa positiivisia arvoja ja joukko Iɛ = {siγ (c) : ɛ s < 0} negatiivisia arvoja. Huomataan, että on olemassa sellainen ɛ > 0, että joukko I ɛ = {siγ (c) : ɛ s ɛ} kohtaa Jordan-käyrän J = γ ainoastaan origossa. Muuten olisi jono nollasta eroavia reaalilukuja (s n ) n N siten, että s n 0, mutta kuitenkin siten, että jono s n iγ (c) sisältyisi Jordan-käyrään J. Täten s n iγ (c) = γ(t n ) jollakin pisteellä t n [a, b]. Tarvittaessa voidaan olettaa, että t n t 0 jollakin pisteellä väliltä [a, b]. Nyt konstruktiosta seuraa, että γ(t n ) = s n iγ (c) 0,

2. JORDANIN KÄYRÄLAUSE JA KIERROSLUVUT 17 ja polun γ jatkuvuudesta seuraa, että γ(t n ) = γ(t 0 ). Siispä γ(t 0 ) = 0 = γ(c). Koska γ on Jordan-käyrä, voidaan päätellä, että t 0 = c. Vastaavasti pätee t n c, kun n = 1, 2, 3,.... Voidaan siis kirjoittaa seurava lauseke: γ(t n ) γ(c) γ(t n ) γ(c) = lim = lim n t n c n t n c = lim [s niγ (c) n t n c ]. I + B - B + 0 J I - Oletuksesta γ(c) 0 seuraisi, että s n /(t n c) i. Tämä on mahdotonta, koska s n /(t n c) on reaalinen kaikilla pisteillä n. Voimme valita sellaisen ɛ > 0 jolle pätee, että I ɛ J = {0}. Lopun todistuksen ajan käytetään seuraavia merkintöjä: I + = I + ɛ, I = I ɛ ja I = I ɛ. Väitetään, että joukot I + ja I sisältyvät joukon C \ γ eri komponentteihin. Joukot I + ja I ovat yhtenäisiä, eikä kumpikaan kohtaa Jordan-käyrää J, joten molemmat joukot I + ja I sisältyvät komponenttiin C \ J. Oletetaan, että joukot I + ja I sijaitsevat joukon C \ J samassa komponentissa, ja tuotetaan toisenlainen ristiriita. Olkoon B = B(0, r) kiekko, missä 0 < r < ɛγ (c). Jos oletetaan, että B + = {z B : Rz > 0} ja B = {z B : Rz < 0}, huomataan, että Jordan-käyrän J pisteitä on molemmissa joukoissa B + ja B. Polku γ on oletuksen mukaan differentioituva pisteessä c ja γ(c) = 0, joten voidaan kirjoittaa missä funktiolle E : [a, b] C pätee γ(t) = γ (c)(t c) + E(t), lim E(t) / t c = 0. t c Jos piste t c on tarpeeksi lähellä pistettä c, jolle E(t) < γ (t) t c, niin lausekkeella γ (t) t c ja polun γ(t) reaaliosalla on sama merkki. Nyt R[γ(t)] > 0 kaikilla pistettä c lähellä olevilla pisteillä t, joille t > c, koska γ (c) > 0. Vastaavasti voidaan päätellä, että R[γ(t)] < 0 kaikilla pistettä c lähellä olevilla pisteillä t, joille t < c. Tästä ja polun γ jatkuvuudesta seuraa, että Jordan-käyrä J kohtaa molemmat joukot B + ja B. Oletetaan, että komponentti D C \ J on sellainen, että molemmat joukot I + ja I sisältyvät siihen. Nyt on olemassa polku β komponentissa D siten, että β on

2. JORDANIN KÄYRÄLAUSE JA KIERROSLUVUT 18 Jordan-käyrä. Lisäksi polun β alkupiste on ɛiγ (c) ja loppupiste ɛiγ (c). Merkitään tätä polkua merkinnällä [ ɛiγ (c), ɛiγ (c)]. Nyt β ei leikkaa joukkoa I. Tästä seuraa, että yhdistetty polku α = β [ ɛiγ (c), ɛiγ (c)] on suljettu ja että Jordan-käyrä J 1 = α = β I kohtaa Jordan-käyrän J origossa. Seuraavaksi valitaan sellainen luku 0 < r < ɛγ (c), jolle pätee, että kiekko B(0, r) ei leikkaa polun β jälkeä β. Edellä mainituin merkinnöin pätee, että B \J 1 = B \I = B + B. Sovelletaan Jordanin käyrälausetta 2.10 joukkoon J 1. Tällöin joukot B + ja B ovat joukon C \ J 1 eri komponenttien osajoukot. Jos näin ei olisi, kiekko B leikkaisi vain yhtä joukon C \ J 1 komponenttia. Tämä estäisi origoa olemasta toisen komponentin reunapiste, mikä taas on vastoin Jordanin käyrälausetta. Joukko J \ {0} on yhtenäinen, eikä se kohtaa Jordan-käyrää J 1. Tämä puolestaan tarkoittaa sitä, että joukon J\{0} täytyy sisältyä yhteen joukon C\J 1 komponenteista. Tämän seurauksena Jordan-käyrä J ei leikkaa joukkoa B + tai B. On siis päästy ristiriitaan. Joukot I + ja I sisältyvät joukon C \ J eri komponentteihin. Lause 2.13. Olkoon γ : [a, b] C paloittain sileä polku, joka on injektiivinen päätepisteitä lukuunottamatta. Olkoon γ Jordan-käyrä. Olkoon D joukon C \ γ rajoitettu komponentti. Tällöin joko n(γ, z) = 1 tai n(γ, z) = 1 joukossa D. Todistus. Lauseen 1.15 nojalla riittää tutkia yhtä pistettä z 0 D, jolle pätee n(γ, z 0 ) = 1 tai n(γ, z 0 ) = 1. Valitaan piste c (a, b) siten, että γ (c) 0 on määritelty. Tälläinen piste c on olemassa, koska γ on paloittain sileä polku, joka ei ole vakiopolku. Lemman 2.12 nojalla voidaan valita luku ɛ > 0 siten, että joukot ja I + ɛ = {siγ(c) : 0 < s ɛ} I ɛ = {siγ(c) : ɛ s < 0} ovat joukon C\ γ eri komponenteissa. Voidaan olettaa että γ(c) = 0, Arg[γ (c)] = π/2 ja ɛ = 1. Todistuksen tilanne voidaan aina palauttaa tähän polun γ siirrolla, kierrolla tai dilaatiolla. Nyt siis I + ɛ = [ 1, 0) ja I ɛ = (0, 1]. Oletamme tästä eteenpäin, että väli [ 1, 0) kuuluu joukkoon D ja väli (0, 1] joukkoon D, joka on joukon C \ γ rajoittamaton komponentti. Oletetaan, että n(γ, z 0 ) = 1 pisteelle z 0 D. Vastakkaisessa tilanteessa (väli [ 1, 0) kuuluu joukkoon D ja väli (0, 1] joukkoon D) pisteelle z 0 D pätisi n(γ, z 0 ) = 1. Todistuksen helpottamiseksi valitaan avoin kiekko B = B(0, R), jonka säde on R ja joka sisältää polun γ jäljen. Valitaan myös polku A joukossa D, jonka alkupiste on 1 ja loppupiste on R. Viimeisenä valitaan piste r (0, 1), siten että suljettu kiekko B( r, r), joka sisältyy kiekkoon B, on erillinen polusta A. Konstruktiosta seuraa, että piste z 0 = r kuuluu joukkoon D. Väitämme, että n(γ, z 0 ) = 1. Olkoon γ 1 sellainen polku, joka on polku γ, kun γ on rajoitettu välille [a, b]. Olkoon vastaavasti γ 3 sellainen polku, joka on polku γ, kun γ on rajoitettu välille [c, d]. Olkoon polku γ 2 = r + re it, kun 0 t 2π. Tällöin yhdistetty polku on suljettu ja paloittain sileä. β = γ 1 γ 2 γ 3

A 2. JORDANIN KÄYRÄLAUSE JA KIERROSLUVUT 19 Huomataan, että n(β, z 0 ) = 1 2πi = 1 2πi γ 1 γ 1 ζ z 0 2πi 1 ζ z 0 2πi γ 2 γ 2 + 1 ζ z 0 2πi γ 3 ζ z 0 = n(γ, z 0 ) n(γ 2, z 0 ) ζ z 0 ja n(γ 2, z 0 ) = 1. Polku β on parametrisoitu välille [a, b+2π] ja β(t) = 0 vain kun t = c ja t = c+2π. Nyt pätee, että I[γ(t)] < 0 kaikilla pisteillä t, jotka ovat lähellä pistettä c siten, että t < c, koska γ(c) = 0 ja Arg[γ (c)] = π/2. Samasta syystä I[γ(t)] > 0 kaikilla pisteillä t, jotka ovat lähellä pistettä c siten, että t > c. Tällöin on myös voimassa, että I[γ 2 (t)] > 0, kun 0 < t < π, ja I[γ 2 (t)] < 0, kun π < t < 2π. Näin ollen voidaan valita välit [t 1, s 1 ] ja [t 2, s 2 ] siten, että t 1 < c < s 1 < t 2 < c+2π < s 2 ja että seuraavat väitteet pitävät paikkansa: (1) I[β(t 1 )] < 0 (2) I[β(s 1 )] < 0 (3) I[β(t 2 )] > 0 (4) I[β(s 2 )] > 0 (5) β([t 1, s 1 ]) ja β([t 2, s 2 ]) ovat pienen kiekon B 0 = B(0, r 0 ) osajoukkoja, jotka on valittu siten, että B 0 ei sisällä pistettä z 0, ei leikkaa polkua A, ja jolle pätee B 0 B. Valitaan sellainen polku α, joka on konstruoitu muuntelemalla polkua β jokaisella välillä [t 1, s 1 ] ja [t 2, s 2 ]. Polun α rajoittaminen välille [t k, s k ] (k = 1, 2) on ainoastaan parametrisointi tälle välille janalta, jonka alkupiste on β(t k ) ja loppupiste on β(s k ). Muuten polku α yhtyy polkuun β. Jos polut α k ja β k ovat polkujen α ja β rajoittumat välille [t k, s k ], niin β ζ z 0 α = ζ z 0 β 1 α 1 + ζ z 0 β 2 α 2 ζ z 0 = 0. Viimeinen väite seuraa polun α määritelmästä, Cauchyn lauseen soveltamisesta funktioon f(ζ) = (ζ z 0 ) 1 ja poluista β k α k (k = 1, 2) kiekossa B 0. Nyt pätee, että n(β, z 0 ) = n(α, z 0 ). Koska polku α on kuitenkin konstruoitu siten, että piste z 0 sisältyy joukon C \ α rajoittamattomaan komponenttiin, on lauseen

2. JORDANIN KÄYRÄLAUSE JA KIERROSLUVUT 20 -γ 2 γ 3 z 0 = -r 0 = γ(c) A -γ 2 γ 1 β(s 2) β(t 2 ) z 0 0 B 0 β(s 1 ) β(t 1 ) A 1.18 nojalla n(α, z 0 ) = 0. Siispä saadaan haluttu lopputulos: n(γ, z 0 ) = n(γ 2, z 0 ) + n(β, z 0 ) = 1 + n(α, z 0 ) = 1

LUKU 3 Homotopia 1. Homotopia ja kierrosluvut Tässä luvussa käsitellään homotopiaa. Luvun aluksi on esitetty täsmällinen määritelmä homotopialle. Määritelmä 3.1. Olkoon A C. Olkoon α : [a, b] A ja β : [a, b] A suljettuja polkuja. Polut α ja β ovat homotooppisia joukossa A, jos on jatkuva funktio H : R = {(t, s) : a t b, 0 s 1} A, joka toteuttaa seuraavat kaksi ehtoa: (1) H(t, 0) = α(t), H(t, 1) = β(t), kun a t b (2) H(a, s) = H(b, s), kun 0 s 1. Tällöin kuvaus H on homotopia joukossa A. Määritelmä 3.2. Olkoon A C avoin joukko. Suljettu polku γ A on nollahomotooppinen joukossa A, jos polku γ on homotooppinen vakiopolun kanssa joukossa A. Esimerkki 3.3. Olkoon A = C\{0}, α(t) = e it ja β(t) = 3 2 +3eit, missä t [0, 2π]. Näytetään, että α ja β ovat homotooppiset joukossa A. Nyt funktio H H(t, s) = (1 s)e it + s( 3 2 + 3eit ) = 3s 2 + (1 + 2s)eit, β(t) γ s (t) = (3s/2) + (1+2s)e it α(t) 0 α(0) γ (0) s β(0) 21

1. HOMOTOPIA JA KIERROSLUVUT 22 missä 0 t 2π ja 0 s 1, toteuttaa määritelmän 3.1 ehdot. Tarkastellaan seuraavassa lauseessa, mitä vaikutusta homotopialla on kierroslukuihin. Lause 3.4. Olkoon z C ja α ja β suljettuja, paloittain sileitä polkuja, jotka ovat homotooppiset joukossa C \ {z}. Tällöin pätee, että n(α, z) = n(β, z). Todistus. Oletetaan, että α, β : [a, b] C\{z}. Valitaan homotopiaksi kuvaus H : R = {(t, s) : a t b, 0 s 1} C \ {z}. Nyt K = H(R) on kompakti, koska H on jatkuva kuvaus homotopian nojalla ja R kompakti Heine Borel-lauseen nojalla, sillä se on suljettu ja rajoitettu. Lisäksi tiedetään, että kompaktin joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on kompakti. Koska K C \ {z}, voidaan valita sellainen ɛ > 0 että jokaisella pisteellä w K on voimassa B(w, ɛ) C\{z}. Funktio H on tasaisesti jatkuva kompaktissa joukossa, joten voidaan valita luvun δ > 0, jotta varmistetaan, että H(t, s) H(t, s ) < ɛ, aina kun pisteet (t, s), (t, s ) R toteuttavat epäyhtälöt t t < δ ja s s < δ. Lopuksi valitaan positiivinen kokonaisluku p 2, jolle pätee että max {1/p, (b a)/p} < δ. Jaetaan joukko R yhteneviin suorakulmioihin R jk (1 j, k p), joita on p 2 kappaletta. Valinnan tarkoitus on seuraava: jokaista indeksiä j ja k kohti voidaan valita kiekko B jk siten, että H(R jk ) B jk C \ {z}. Esimerkiksi voimme valita, että B jk on kiekko, jonka säde on ɛ ja keskipiste on suorakulmion R jk keskipiste kuvauksella H. R R R 13 23 33 R R R 12 22 32 R R R 11 21 31 (a,0) (b,0) Olkoon pisteen z k j R lauseke ja pisteen w k j lauseke z k j = (a + j(b a), k p p ) w k j = H(z k j ),

1. HOMOTOPIA JA KIERROSLUVUT 23 missä (0 j, k p). Koska pisteet z k 1 j 1, zk 1 j, zj k ja zj 1 k ovat suorakulmion R jk kärkipisteitä, pisteet w k 1 j 1, wk 1 j, wj k ja wj 1 k sisältyvät kiekkoon B jk. Määritellään suljettu polku kiekossa B jk : missä (1 j, k p) ja γ jk = γ 1 jk + γ 2 jk + γ 3 jk + γ 4 jk, γ 1 jk = [w k 1 j 1, wk 1 j ], γjk 2 = [w k 1 j, wj k ] γ 3 jk = [w k j, w k j 1], γ 4 jk = [w k j 1, w k 1 j 1 ]. z k j-1 z k j w k j-1 γ 3 jk w k j R jk H γ 4 jk H(R ) jk γ 2 jk z k-1 j-1 z k-1 j B jk w k-1 j-1 γ 1 jk w k-1 j Cauchyn lauseen nojalla on voimassa 0 = ζ z = γjk 4 l=1 γ l jk ζ z, missä f(ζ) = (ζ z) 1 määrittää funktion, joka on analyyttinen kiekossa B jk. Kun summataan yli indeksien j ja k, saadaan p p 4 (3.1) ζ z = 0. j=1 j=1 k=1 l=1 γ 1 j1 γ l jk Tämä johtuu polkujen γjk l määritelmästä. Monissa tapauksissa polkua mennään tietyssä kohdassa molempiin suuntiin, jolloin integraalit kumoavat toisensa. Tarkemmin sanottuna: kun lasketaan integraali polkua γjk 2 myötäpäivään, se kumoaa integraalin, joka lasketaan polkua γ(j+1)k 4 myötäpäivään. Eli pätee γ4 (j+1)k = γ2 jk, kun 1 j p 2 ja 1 k p 1. Vastaavasti polku γjk 3 kumoaa integraalin, joka lasketaan kun mennään polkua γj(k+1) 1 myötäpäivään. Siis γ1 j(k+1) = γ3 jk, kun 1 j p 1 ja 1 k p 2. Homotopiasta seuraa, että kaikilla pisteillä 0 k p suljetulle poluille pätee w0 k = wp. k Tästä taas seuraa, että γ1k 4 = γ2 pk. Täten vastaavanlaiset polut summassa (3.1) voidaan jättää huomioimatta. Polut γ11, 1 γ21, 1..., γp1 1 ja γ1p, 3 γ2p, 3..., γpp 3 ovat ainoat, jotka on otettava huomioon integroitaessa. Kaavasta (3.1) saadaan johdetuksi seuraavanlainen kaava: p p (3.2) ζ z + ζ z = 0. j=1 γ 3 jp

1. HOMOTOPIA JA KIERROSLUVUT 24 Olkoon α j, missä 1 j p, polku, joka on rajoitettu välille, jonka päätepisteet ovat a+[(j 1)(b a)/p] ja a+[j(b a)/p]. Homotopiasta seuraa, että H(t, 0) = α(t), joten huomataan, että γj1 α 1 j on suljettu, paloittain sileä polku kiekossa B j1. Cauchyn lauseesta seuraa γ 1 j1 ζ z α j ζ z = γj1 1 α j ζ z = 0 H(R ) j1 H w 0 j-1 α j R j1 γ 1 j1 z 0 j-1 z 0 j w 0 j B j1 Päädytään siis seuraavaan tilanteeseen: p ζ z = ζ z = Samanlainen päättely antaa α β j=1 α j p ζ z = j=1 γ 3 jp p j=1 γ 1 j1 ζ z. ζ z. Kaavan (3.2) nojalla voidaan päätellä haluttu tulos: n(α, z) = 1 2πi ζ z = 1 = n(β, z). 2πi ζ z α Seuraus 3.5 osoittaa, että homotooppisuudesta seuraa homologisuus. Seuraus 3.5. Olkoon U C avoin joukko sekä α ja β suljettuja, paloittain sileitä polkuja joukossa U. Jos α ja β ovat homotooppisia joukossa U, ne ovat homologisia joukossa U. Todistus. Olkoon piste z C \ U. Jos polut α ja β ovat homotooppisia joukossa U, ne ovat myös homotooppisia joukossa C\{z}. Lauseen 3.4 nojalla jokaiselle pisteelle z pätee n(α, z) = n(β, z). Siispä α ja β ovat homologisia joukossa U. β

LUKU 4 Riemannin kuvauslause Seuraavaksi todistetaan Riemannin kuvauslause. Riemannin kuvauslauseen mukaan yhdesti yhtenäinen joukko D C voidaan kuvata yksikkökiekolle B(0, 1) analyyttisellä bijektiolla. On tärkeää huomata, että D C. Mikäli f : C B(0, 1) olisi analyyttinen, se olisi rajoitettu funktio ja siten Liouvillen lauseen nojalla vakio. Liouvillen lausetta ei todisteta. Todistuksen voi katsoa lähdekirjallisuudesta [6, s.167-168] Lemma 4.1. Olkoon joukko D C yhdesti yhtenäinen alue ja funktio f : D C analyyttinen injektio. Tällöin joukko D = f(d) on yhdesti yhtenäinen alue. Todistus. Oletetaan, että joukko D ei ole koko kompleksitaso. Joukko D on alue, koska se on yhdesti yhtenäisen alueen D homeomorfinen kuva. Osoitamme, että n(β, w) = 0, missä w C \ D ja polku β : [a, b] C on suljettu, paloittain sileä polku joukossa D. Määritellään polku γ = f 1 β : [a, b] C siten, että β(t) = f[γ(t)]. Tällöin polku γ on paloittain sileä polku joukossa D. Polku γ on nollahomologinen joukossa D, koska joukko D on yhdesti yhtenäinen. Funktio f /(f w) on analyyttinen joukossa D, koska w / D. Tällöin Cauchyn lauseen nojalla pätee: 0 = Siis lauseen 1.22 nojalla n(β, w) = 0. γ f (z)dz b f(z) w = f [γ(t)]γ (t)dt a f[γ(t)] w = = β = 2πin(β, w). ζ w b a β (t)dt β(t) w Lemma 4.2. Olkoon joukko D C yhdesti yhtenäinen alue kompleksitasossa ja z 0 D. Tällöin on analyyttinen injektio f : D C, jolla on seuraavat ominaisuudet: (1) Alue f(d) sisältyy yksikkökiekkoon B = B(0, 1) (2) f(z 0 ) = 0 ja f (z 0 ) > 0 Todistus. Konstruoidaan yhdistetty funktio f = f 5 f 4 f 3 f 2 f 1, joka koostuu viidestä analyyttisestä injektiosta. Aluksi valitaan piste b C \ D ja määritellään f 1 (z) = z b. Näin voidaan tehdä, koska D C. Funktio f 1 vain siirtää joukon D yhdesti yhtenäiselle alueelle D 1 = f 1 (D), joka ei sisällä origoa. 25

4. RIEMANNIN KUVAUSLAUSE 26 Funktiolle f 2 voidaan lauseen 1.26 nojalla valitaan mikä tahansa logaritmin log(z) haara joukossa D 1. Tiedetään, että funktio f 2 on analyyttinen injektio. Valitaan piste w 0 joukosta D 2 = f 2 (D) ja säde r > 0 siten, että suljettu kiekko B(w 0, r) sisältyy joukkoon D 2. Asettamalla w 0 = w 0 + 2πi huomataan, että kiekko B( w 0, r) ja joukko D 2 ovat erillisiä. Jos olisi piste w B( w 0, r) D 2, se voitaisiin toisaalta ilmaista muodossa w = f 2 ( z) jollakin pisteellä z D 1. Toisaalta se voitaisiin ilmaista muodossa w = w + 2πi jollakin pisteellä w B(w 0, r). Nyt on myös w = f 2 (z) jollakin pisteellä z D 1, mistä seuraa Tästä seuraisi, että z = e f 2( z) = e w = e w+2πi = e w = e f 2(z) = z. w = f 2 (z) = f 2 ( z) = w = w + 2πi, mikä on ristiriita. Joukko B( w 0, r) D 2 on siis tyhjä joukko. Nyt jokaisella pisteellä z D 2 pätee, että z w 0 > r. Tästä seuraa, että joukon D 2 kuva D 3 = f 3 (D 2 ) Möbiuskuvauksessa r f 3 (z) = z w 0 on kiekon B osajoukko. Tällöin yhdistetty funktio f 3 f 2 f 1 on analyyttinen injektio joukossa D ja sen arvojoukko sisältyy kiekkoon B. Seuraavaksi asetetaan c = f 3 f 2 f 1 (z 0 ). Tällöin funktio f 4 : B B, f 4 (z) = z c 1 cz, on analyyttinen injektio. Funktio f 4 siirtää pisteen c origoon. Nyt yhdistetty funktio f 4 f 3 f 2 f 1 on analyyttinen injektio, joka kuvaa joukon D kiekon B sisään ja siirtää pisteen z 0 origoon. Olkoon lopuksi piste Määritellään funktio d = (f 4 f 3 f 2 f 1 ) (z 0 ) 0. f 5 (z) = uz, missä u = e iarg(d). Tällöin yhdistetty funktio f 5 f 4 f 3 f 2 f 1 on analyyttinen injektio, joka kuvaa joukon D kiekon B sisälle. Lisäksi sille pätee, että f(z 0 ) = 0 ja joka on haluttu tulos. f (z 0 ) = f 5(0)(f 4 f 3 f 2 f 1 ) (z 0 ) = ud = d > 0,

4. RIEMANNIN KUVAUSLAUSE 27 Lemma 4.3. Oletetaan, että joukko D C on yhdesti yhtenäinen alue kompleksitasossa ja piste z 0 D. Oletetaan lisäksi, että funktio f : D C on analyyttinen injektio, jolla on lemmassa 4.2 mainitut ominaisuudet. Jos f(d) B, niin on olemassa analyyttinen injektio g : D C, jolla on samat ominaisuudet kuin funktiolla f ja lisäksi g (z 0 ) > f (z 0 ). D 0 = f(d) b g o g o g 3 2 1 -uc D 3 0 g 1 g 3 0 g 2 0 -b D 1 D 2 c Todistus. Merkitään D 0 = f(d). Konstruoidaan yhdistetty funktio g = g 3 g 2 g 1 f. Aluksi valitaan piste b B \ D 0. Nyt b 0, koska 0 = f(z 0 ) D 0. Möbiuskuvaus g 1 = z b 1 bz on analyyttinen injektio g : B B. Möbiuskuvaus g 1 kuvaa yhdesti yhtenäisen alueen D 0 B toiselle alueelle D 1 = g 1 (D 0 ). Alue D 1 ei sisällä origoa (= g 1 (b)), mutta sisältää pisteen b = g 1 (0). Lasku antaa g 1(0) = 1 b 2. Lauseen 1.26 nojalla on olemassa kuvauksen log(z) haara alueessa D 1. Valitaan yksi näistä haaroista ja käytetään sille merkintää L. Nyt on haaraan L liittyvä kuvaus g 2, joka on neliöjuurifunktio alueessa D 1. Merkitään g 2 (z) = e L(z)/2. Siten pätee, että g 2 (z) = z < 1 kaikilla pisteillä z D 1 ja funktio g 2 analyyttinen injektio. Jos g 2 (z) = g 2 ( z), niin [g 2 (z)] 2 = [g 2 ( z)] 2 = z. Funktio g 2 on siis analyyttinen injektio joukolta D 1 yhdesti yhtenäiselle alueelle D 2 = g 2 (D 1 ) B. Asetetaan c = g 2 ( b) D 2 ja havaitaan, että g 2( b) = 1 2g 2 ( b) = 1 2c. Viimeiseksi määritellään funktio g 3 : B B siten, että g 3 (z) = z c 1 cz

4. RIEMANNIN KUVAUSLAUSE 28 missä u = e [iarg(c)]. Alue D 3 = g 3 (D 2 ) sisältyy kiekkoon B ja origo (= g 3 (c)) kuuluu alueeseen D 3. Laskusta seuraa, että g 3(c) = u 1 c 2. Yhdistetty funktio g muuttaa joukon D injektiivisesti joukoksi D 3 ja kuvaa pisteen z 0 origoksi. Tällöin g (z 0 ) = g 3(c)g 2( b)g 1(0)f u (z 0 ) = ( 1 1 c 2)( 2c )(1 b 2 )f (z 0 ) = ( 1 + c 2 )f (z 0 ) > f (z 0 ), 2 c joten u/c = 1/ c, c 2 = g 2 ( b) 2 = b ja 1 + c 2 > 2 c. Huomautus 4.4. Seuraavassa määritelmässä ja tulevissa lauseissa käytetään merkintää C(U). Sillä tarkoitetaan kompleksiarvoisten funktioiden kokoelmaa, jotka ovat jatkuvia avoimessa joukossa U. Määritelmä 4.5. Perheen F sanotaan olevan yhtäjatkuva pisteessä z 0 U, jos jokaista lukua ɛ > 0 kohti on olemassa luku δ > 0, jolle pätee f(z) f(z 0 ) < ɛ jokaisella funktiolla f F, kun z z 0 < δ. Perhe F on yhtäjatkuva joukossa U, kun perhe F on yhtäjatkuva jokaisessa joukon U pisteessä. Lemma 4.6. Olkoon (f n ) n N jono joukon C(U) yhtäjatkuvasta osaperheestä F. Oletetaan, että jono (f n (ζ)) n N on suppeneva jokaisella pisteellä ζ, joka kuuluu tiheään osajoukkoon S U. Tällöin jono (f n ) n N suppenee tasaisesti joukon U kompakteissa osissa. Todistus. Todistuksen voi katsoa lähdekirjallisuudesta [2, s.281-282]. Määritelmä 4.7. Perhe F on pisteittäin rajoitettu joukossa U, jos jokaisella pisteellä z U joukko {f(z) : f F} on rajoitettu joukossa C. Määritellään lisäksi Arzela Ascoli-lauseen todistuksessa tarvittava käsite normaali suppeneminen. Sitä ennen on kuitenkin tiedettävä, mitä pisteittäisellä suppenemisella tarkoitetaan. Määritelmä 4.8. Olkoon A C ja z A. Jos funktiolle f : A C pätee f(z) = lim n f n (z), niin sanotaan, että jono (f n ) n N suppenee pisteittäin kohti funktiota f joukossa A. Määritelmä 4.9. Olkoon U C avoin joukko. Sanotaan, että jono (f n ) n N suppenee normaalisti kohti funktiota f joukossa U, jos jono (f n ) n N suppenee pisteittäin kohti funktiota f joukossa U. Lisäksi vaaditaan, että suppeneminen on tasaista joukon U kompaktissa osissa. Määritelmä 4.10. Sanotaan, että joukon C(U) osaperhe F on normaaliperhe joukossa U, jos jokaisella jonolla (f n ) F on ainakin yksi normaalisti suppeneva osajono (f nk ) F.

4. RIEMANNIN KUVAUSLAUSE 29 Lause 4.11. (Arzela Ascoli) Joukon C(U) osaperhe F on normaaliperhe joukossa U täsmälleen silloin, kun osaperhe F on yhtäjatkuva ja pisteittäin rajoitettu avoimessa joukossa U. Todistus. Oletetaan aluksi, että perhe F on sekä yhtäjatkuva että pisteittäin rajoitettu joukossa U. Olkoon (f n ) n N jono perheestä F. Tehtävänä on osoittaa, että on olemassa suppeneva jonon (f n ) n N osajono. Olkoon joukko S 0 sellainen, että jokaisella pisteellä z U sekä Rz että Iz ovat rationaalilukuja. Tällöin tiedetään, että joukko S 0 on tiheä joukossa U, ja että voidaan muodostaa jono joukon S 0 alkioista. Olkoon (z n ) n N sellainen jono. Aloitetaan konstruktio muodostamalla jono (f n (z 1 )) n N C. Perhe F on rajoitettu, joten jono (f n (z 1 )) n N on myös rajoitettu. Bolzano Weierstrassin lauseen nojalla sillä on ainakin yksi kasautumispiste joukossa C. Valitaan sellainen piste ja merkitään sitä merkinnällä w 1. Tällöin jonolla (f n (z 1 )) n N on osajono, joka suppenee kohti pistettä w 1. Eli on mahdollista valita jono indeksejä m (1) 1 < m (1) 2 < m (1) 3 <... siten, että lim (z 1 ) = w 1. f k m (1) k Yläindeksillä jonossa m (1) k viitataan siihen, että se liittyy pisteeseen z 1 joukossa S 0. Lopun todistuksen ajan käytetään jonolle f (1) m merkintää f 1,k. Jono (f 1,k (z 2 )) k=1 k on rajoitettu joukossa C. Voidaan taas valita yksi kasautumispiste w 2 ja erottaa sellainen osajono m (2) 1 < m (2) 2 < m (2) 3 <... jonosta (m (1) k ) k N, jolle pätee lim f 2,k(z 2 ) = w 2. k Jatkamalla näin induktiivisesti saadaan jokaista kokonaislukua l vastaava kompleksiluku w l ja kasvava jono positiivisia kokonaislukuja (m (l) k ) k N siten, että lim f l,k(z l ) = w l. k Tällöin voidaan myös muodostaa jonon (m (l) k ) k N osajono (m (l+1) k ) k N. Luvulle k 1 asetetaan n k = m k k. Konstruktiosta seuraa, että n 1 < n 2 < n 3,.... Seurauksena pätee, että jono (f nk ) n N,k N on jonon (f n ) n N osajono. Tämän lisäksi asetetulla luvulla l 1 jono (f nk ) n N,k N on myös jonon (f l,k ) l N,k N osajono lukuunottamatta mahdollisia poikkeuksia l 1 ensimmäisessä termissä. Tämän huomion seurauksena nähdään, että lim f n k (z l ) = lim f l,k (z l ) = w l. k k Tämä tarkoittaa sitä, että jonolla (f nk (ζ)) n N,k N on raja-arvo jokaisella pisteellä ζ S 0. Lemmasta 4.6 seuraa, että jonon (f n ) n N osajono (f nk ) n N,k N suppenee normaalisti joukossa U. Ollaan siis näytetty, että perhe F on normaaliperhe joukossa U. Toisen puolen todistuksessa oletetaan, että perhe F on normaaliperhe joukossa U. Olkoon z 0 piste joukossa U. Jos perhe F ei ole yhtäjatkuva pisteessä z 0, niin täytyy olla ɛ > 0 ja δ > 0, jotka toteuttavat yhtäjatkuvuuden ehdot. Valitaan jokaisella luvulla n funktio f n perheestä F ja piste z n joukosta U siten, että z n z 0 < n 1, mutta myös siten, että f n (z n ) f n (z 0 ) ɛ. Oletuksesta seuraa, että jonolla (f n ) n N on osajono (f nk ) n N,k N, joka suppenee normaalisti joukossa U kohti raja-arvofunktiota f. Tällöin funktio f kuuluu joukkoon C(U).