Kuljetusilmiöt Diffuusio Lämmönjohtuminen Viskoosin nesteen virtaus Produktio ja absorptio
Johdanto Kuljetusilmiöt on yhteinen nimitys prosesseille, joissa aineen molekyylien liike aiheuttaa energian, liikemäärän tai itse aineen molekyylien nettosiirtymää paikasta toiseen. Näitä prosesseja kuvaavat toistensa kanssa analogiset toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöt.
Diffuusio Fickin laki Hiukkasvuo ja hiukkasvirran tiheys Diffuusioyhtälö
Diffuusion tausta Tarkastellaan identtisten molekyylien diffuusiota. Aineen molekyyleillä täytyy olla paikan suhteen epähomogeeninen konsentraatio, jotta diffuusiota voisi tapahtua. Tällöin konsentraatio pyrkii tasoittumaan spontaanisti lämpöliikkeen ja molekyylien törmäysten ansiosta. Jos oheisen kaasusäiliön väliseinä poistetaan, niin hiukkasten nettovirta seinän kohdalla on pienemmän konsenraation alueeseen päin
Fickin laki y Oletetaan, että hiukkasten (molekyylien, atomien, jne.) konsentraatio muuttuu x-akselin j A 1 suunnassa, mutta ei muissa suunnissa. Merkitään hiukkasten konsentraatiota (hiukkasta z x tilavuusyksikköä kohden) n x :llä ja yksikköpinta-alan läpi aikayksikössä virtaavaa hiukkasvirran tiheyttä j x :llä. Kokeellisesti on todettu paikkansapitäväksi ns. Fickin laki, jonka mukaan (D on diffuusiovakio) j D n, (6.1) x
Konsentraatio ajan funktiona Sekä Fickin laki että ao. analyysi pätee diffuusioongelmiin, joissa tarkastellaan joko aineen omien molekyylien epähomogeenistä jakaumaa tai aineen molekyylien jakaumaa toisessa, homogeenisessa aineessa. Diffuusio-ongelmissa on yleistä, että tiedetään esimerkiksi konsentraation alkuarvot jossakin tilanteessa. Kuinka voidaan selvittää, miten konsentraatio muuttuu ajan funktiona? Fickin laki pätee, vaikka hiukkasvirran tiheys j ja konsentraatio n riippuisivat ajasta eli j x, t n x t. Seuraavaksi johdetaan diffuusioyhtälö yhdistämällä Fickin lakiin hiukkasten lukumäärän säilymislaki. ja,
Molekyylivuo Tarkastellaan yz-tasossa olevaa y pinta-alaa A. Valitaan tilavuuselementin j paksuudeksi dx, jolloin elementin molekyylien lukumäärä lisääntyy aikayksikössä elementtiin sisääntulevan ja ulosme- z dx nevän molekyylien vuon (flux) erotuksen verran eli J ja ja j x A j x dx A = = Adx j x dx j x j Adx dx x, (6.) missä erotusosamäärää on merkitty osittaisderivaatalla, koska hiukkasvirran tiheys riippuu myös muuttujasta t. A j x
Diffuusioyhtälö Toisaalta molekyylien lukumäärän muutos aikayksikössä on molekyylitiheyden muutos aikayksikössä kertaa tilavuus eli n J Adx. (6.3) t Sijoitetaan J yhtälöstä 6. yhtälöön 6.3, jolloin n j J Adx Adx t x n j. (6.4) t x Sijoitetaan yhtälöön 6.4 Fickin laki 6.1, jolloin saadaan ns. diffuusioyhtälö n n D. (6.5) t x
Diffuusioyhtälö
Kolmiulotteinen diffuusioyhtälö Jos konsentraatio riippuu kaikista koordinaateista x, y ja z eli n n x, y, z, t, voidaan diffuusioyhtälö kirjoittaa kolmiulotteisessa muodossa n n n n D D n t (6.6) x y z 1 n tai n. D t Sylinterikoordinaateissa diffuusioyhtälö on 1 n 1 n n 1 n n r. (6.7) r r r r z D t
Diffuusioyhtälö tasapainotilanteessa Tarkastellaan nyt yksiulotteista diffuusioyhtälöä tasapainotilanteessa. Diffusioyhtälö ja sen integraali ovat tällöin n n j 0 vakio x x D Fickin lain perusteella. Koska j on vakio, saadaan toisesta integroinnista n:lle lineaarinen funktiomuoto n n dn j D x 0 0 dx j n x n. (6.8) D 0 Jos diffuusio tapahtuu esim. L:n pituisen putken läpi, on molekyylivuo poikkipinnan A läpi n n J j A DA 0. (6.9) L
Diffuusioyhtälö tasapainotilanteessa
Lämmönjohtuminen Fourierin laki Energiavuo, lämpövirta Lämmönjohtoyhtälö
Lämmönjohtumisen tausta Tarkastellaan molekyylien lämpöliikkeen kulkeutumista eli lämmönjohtumista. Jos aineen molekyyleillä on paikan suhteen muuttuva lämpötilajakauma, pyrkii lämpöliike tasoittumaan molekyylien törmäysten (tai elektronien kulkeutumisen) kautta tapahtuvan lämmönsiirron ansiosta.
Fourierin laki Oletetaan, että molekyylien lämpötila (verrannollinen lämpöliikkeen suuruuteen) muuttuu x-akselin suunnassa, mutta ei muissa suunnissa. Merkitään yksikköpinta-alan läpi aikayksikössä virtaavaa energiavirran tiheyttä je x :llä. Kokeellisesti on todettu paikkansapitäväksi Fickin lain kaltainen ns. Fourierin laki T je, (6.10) x missä on lämmönjohtavuuskerroin.
Energian säilyminen Yhdistetään Fourierin lakiin y energian säilymislaki. Tarkastellaan poikkipinta-alaa j E A j E A, jolloin tilavuuselementin (paksuus dx) energian lisäys x eli lämpövirta on sisääntule- z dx van energiavuon ja ulosmenevän energiavuon erotus H je x A jex dx A je x je x dx j. (6.11) Adx Adx E dx x Tämä tilavuuselementtiin jäävä nettoenergia nostaa materiaalin lämpötilaa.
Lämpövirta Ominaislämpökapasiteetin määritelmästä 1 dq c m dt (6.1) saadaan tilavuuselementin energian muutokseksi aikayksikköä kohden dq T T H c m c Adx dt t t (6.13) Merkitään yhtälöt 6.11 ja 6.13 yhtä suuriksi, jolloin je T H Adx c Adx x t j E c T x t (6.14)
Lämmönjohtoyhtälö Sijoitetaan yhtälöön 6.14 Fourierin laki 6.10, jolloin saadaan ns. lämmönjohtoyhtälö T x T c t T T. (6.15) t c x Kolmiulotteinen muoto saadaan korvaamalla toinen paikkaderivaatta Laplacen operaattorilla T T. (6.16) t c
Lämmönjohtoyhtälö tasapainotilanteessa Tarkastellaan yksiulotteista lämmönjohtoyhtälöä tasapainotilanteessa ja integroidaan T T 0 T vakio j E t c x x Fourierin lain perusteella. Koska j E on vakio, saadaan toisesta integroinnista T:lle lineaarinen funktiomuoto T T dt je x 1 0 dx 1 j E T x T. Lämmönjohtuminen esim. tankoa pitkin (pituus L) antaa lämpövirran poikkipinnan A läpi T H j A A, T T T. E 1
Viskoosin nesteen virtaus Viskositeetti Liikemäärävuo ja -virran tiheys Viskoosin nesteen virtausyhtälö
Molekyylien liike virtauksessa Tarkastellaan viskoosin nesteen virtausta. Jos liikemäärän jokin komponentti on paikan funktio, pyrkii se tasoittumaan spontaanisti, koska molekyylien törmäykset siirtävät liikemäärää molekyyleiltä toisille. Kuvitellaan oheisen kuvan mukainen tilanne, jossa väliseinän toisella puolella molekyylien y- y v y suuntainen nopeus on suurempi kuin toisella puolella. Kun väliseinä poistetaan, syntyy rajapinnan yli x- suuntaan y-suuntaisen liikemäärän nettovirta. v y x
Liikemäärävirran tiheys Oletetaan, että liikemäärän y- komponentti muuttuu x-akselin suunnassa, mutta ei muissa suunnissa. Merkitään molekyylien nopeuden y-komponenttia vy x :llä ja yksikköpinta-alan läpi aikayksikössä virtaavaa liikemäärävirran tiheyttä jp todettu, että vy jp x missä on nesteen viskositeetti. z y v y j p dx x :llä. Kokeellisesti on, (6.17) A vy jp x
Liikemäärävuo Yhdistetään tähän liikemäärän säilymislaki. Poikkipinta-alan A läpi sisääntulevan ja ulosmenevän liikemäärävuon erotus on j p p jp x A jp x dx A Adx x, (6.18) mikä lisää tilavuuselementin y-suuntaista liikemäärätiheyttä p y (liikemäärä/tilavuusyksikkö). Nettoliikemäärävuo on toisaalta liikemäärätiheyden muutos aikayksikössä kertaa tilavuus eli py p Adx (6.19) t
Konsentraatio ajan funktiona Merkitsemällä liikemäärävuot yhtäsuuriksi saadaan jp py p Adx Adx x t py jp t x. (6.0) Koska nesteen virtaus ei tapahdu ilman ulkoista voimaa (toisin kuin diffuusio ja lämmönjohtuminen, jotka perustuvat molekyylien lämpöliikkeeseen), muuttuu elementin liikemäärätiheys myös ulkoisten voimien f (tilavuusyksikköä kohti) vaikutuksesta, jolloin py jp f. (6.1) t x
Sijoitetaan yhtälö 6.17 yhtälöön 6.1, jolloin saadaan y y p v f t x. Sijoitetaan liikemäärätiheys nopeusjakauman y v funktiona y y p v, niin saadaan viskoosin nesteen virtauksen differentiaaliyhtälö y y v v f t x. (6.) Virtausyhtälö
Esimerkki Johda kahden äärettömän, tasomaisen seinämän välissä virtaavan viskoosin nesteen nopeusjakauma, kun nesteeseen vaikuttaa paikasta riippumaton ulkoinen voima. v y vy f Stationaarinen tilanne 0 t x vy f f dx x C1 x, koska f on vakio f vy x C1x C. Reunaehdot vy 0 0 f C 0 ja vy H 0 H C1H 0 f f C1 H, joten ratkaisu on vy xh x.
Esimerkki
Produktio ja absorptio Produktio ja absorptio Diffuusioyhtälön laajennus Ydinreaktorin neutronijakauma Varaustenkuljettajien diffuusio puolijohteessa
Hiukkasten nettokertymä Tarkastellaan diffuusiota tapauksessa, jossa hiukkasten lukumäärä ei olekaan vakio, vaan hiukkasia voi syntyä tai hävitä paikallisten prosessien ansiosta. Olkoon syntyvien hiukkasten lukumäärä tilavuus- ja aikayksikköä kohden P (ns. produktio) ja tuhoutuvien hiukkasten A (ns. absorptio). Tällöin erotus P A kuvaa hiukkasten nettokertymää. Kun lisätään tämä diffuusioyhtälöön, saadaan n n D P A. (6.3) t x
Sovellutuksia Tämäntyyppisiä ilmiöitä esiintyy esimerkiksi, kun jokin kemiallinen reaktio tuottaa tai poistaa molekyylejä diffuusioalueessa. Samoin puolijohteissa voi vapaita varauksia (elektroneja ja aukkoja) syntyä esimerkiksi valon absorption ansiosta tai hävitä rekombinoitumisen kautta. Muutenkin varausten liikkeeseen voidaan soveltaa suoraan diffuusioyhtälöä (lisäksi täytyy huomioida sähkökentän aiheuttama ajautumisvirta).
Ydinreaktori Tarkastellaan termisten neutronien diffuusiota ydinreaktorissa. Neutronin termisyys tarkoittaa sitä, että neutronin liike-energian määrää ympäristön lämpötila. Uraaniytimet voivat kaapata termisiä neutroneja, jolloin osa uraaniytimistä hajoaa tuottaen lisää neutroneja. Neutronien diffuusiota kuvaa yhtälö 6.3, missä tuottoja absorptiotermit vastaavat ydinreaktioissa syntyviä lisäneutroneja sekä halkeamattomiin ytimiin jääneitä neutroneja. Jos polttoaine ja hidastinaine ovat homogeenisesti jakautuneet koko reaktoriin, on neutronien produktio ja absorptio verrannollinen ainoastaan neutronikonsentraatioon.
Neutronikonsentraatio Olkoon nettoproduktio P A Cn, jolloin diffuusioyhtälö on n n D Cn. (6.4) t x Tasapainotilanteessa n D Cn 0 x n C 0 n. (6.5) x D Tämä differentiaaliyhtälö on samantyyppinen kuin harmonisessa värähtelyssä, joten ratkaisukin on sama eli C C n nasin x nbcos x. (6.6) D D
Ydinreaktori
Esimerkki Puolijohdetangon toista päätä valaistaan jatkuvasti siten, että elektronikonsentraatio pinnassa on tasapainotilanteessa 1 10 18 cm -3. Merkitään elektronien konsentraatiota n(x):llä. Laske n(x) 1 mm:n päässä tangon päästä. Rekombinaationopeus (elektronikonsentraation pieneneminen aikayksikössä) oletetaan verrannolliseksi konsentraatioon R x n x n, missä n on elektronien elinaika. Lisäksi tiedetään, että elektronien diffuusiopituus on Ln ndn = 0,19 mm, missä D n on elektronien diffusiokerroin.
Esimerkki jatkuu Elektronikonsentraatio pinnassa (merkitään x 0 ) 18-3 n0 n0 1 10 cm. Normaalin diffuusion lisäksi varauksia rekombinoituu (eli tuhoutuu) tilavuus- ja n x aikayksikköä kohden R x, joten diffuusioyhtälö on n n n n D n R D n. Tasapainotilanteessa t x x n n 0 t n n Dn 0. x n n
Esimerkki jatkuu Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu on ax ax n ax ax n x Ae Be a Ae Be a n x. n Sijoitus diff. yhtälöön Dna n 0 n 1 1 a Dn n L. n Reunaehdot: 1 kun x, niin n x äärellinen 0 B 0, n0 Ae A n. Differentiaaliyhtälön n x n e xl n. 5,6 15-3 x 1 mm, niin n n0 e 5, 10 cm. ratkaisu on siis 0 Kun 0