LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja J,2, J, = [0, 3 ], J,2 = [ 2 3, ]. Seuraavaksi välien J, ja J,2 keskeltä poistetaan avoimet välit, joiden pituus on /9 = /3 2, I 2, = ( 9, 2 9 ), I 2,2 = ( 7 9, 8 9 ). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 2,, J 2,2, J 2,3 ja J 2,4, J 2, = [0, 9 ], J 2,2 = [ 2 9, 3 ], J 2,3 = [ 2 3, 7 9 ], J 2,4 = [ 8 9, ]. Vaiheessa s Z + poistettuna on 2 s avointa väliä I s,j, j 2 s, ja jäljellä on 2 s suljettua väliä J s,k, k 2 s. Jokaisen välin I s,j ja J s,k pituus on /3 s. Seuraavaksi jokaisen välin J s,j keskeltä poistetaan avoin väli, jonka pituus on /3 s+. Näin jäljelle jää 2 s+ suljettua väliä J s+,l. Kun joukot J s+,l indeksoidaan saman periaatteen mukaan kuin edellä, on I s+,k J s,k, J s+,2k J s,k ja J s+,2k J s,k, k 2 s. Vaiheessa s välistä J on siis poistettu kaiken kaikkiaan s 2 r r= j= I r,j. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä ja raja-arvoa C := C s = 2 s k= J s,k ( C s = J \ s= 2 r r= j= I r,j ). Joukko C on Cantorin -joukko, jota jatkossa kutsutaan yksinkertaisesti Cantorin 3 joukoksi. Poistettujen välien I s,j, j 2 s, s Z +, yhteenlaskettu pituus on 2 s m(i s,j ) = s= j= Viimeksi muutettu.007. 2 s /3 s = s= j= 42 2 s /3 s = 3 s= 2/3 =.
Tästä seuraa, että Cantorin joukon mitta on 8.2. CANTORIN FUNKTIO 43 m(c) = = 0. 8.2. Cantorin funktio Käytetään samoja merkintöjä kuin edellä. Konstruoidaan funktio ψ : R [0, ], joka liittyy Cantorin joukkoon hyvin olleellisella tavalla. Asetetaan ψ(x) = 0, kun x 0, ja ψ(x) =, kun x. Välin J keskeltä poistetun avoimen välin pisteille x I, asetetaan ψ(x) = /2. Funktion ψ(x) arvoksi välillä I 2,k, k = tai k = 2, asetetaan keskiarvo niistä arvoista, jotka funktiolle ψ on annettu edellisessä vaiheessa välin I 2,k vasemmalla ja oikealla puolella, t.s. ψ(x) = {, 4 kun x I 2,, ja 3 4 kun x I 2,2, eli ψ(x) = (2k )/2 2, kun x I 2,k, k {, 2}. Vaiheessa s funktion ψ(x) arvoksi välillä I s,k, k 2 s, asetetaan keskiarvo niistä arvoista, jotka funktiolle ψ on annettu edellisessä vaiheessa välin I s,k vasemmalla ja oikealla puolella, t.s. ψ(x) = (2k )/2 s, kun x I s,k. Lopuksi Cantorin joukon pisteissä x C asetetaan ψ(x) = sup{ψ(t) t < x ja t J \ C}. Funktiota ψ kutsutaan Cantorin funktioksi, Lebesguen funktioksi, Lebesguen singulaarifunktioksi tai pirunportaaksi. Cantorin funktiolla on seuraavat ominaisuudet: (i) ψ on kasvava; (ii) ψ on jatkuva; 2 r j= I r,j osaväleillä I r,j ; (iii) funktiolla ψ on vakioarvo joukon J \ C = r= (iv) ψ on derivoituva joukossa J \ C ja ψ (x) = 0 kaikillle x J \ C. Ainoa kohta, joka kaipaa tarkempia perusteluja on jatkuvuus. Mutta kasvavalla funktiolla on jokaisessa pisteessä molemminpuoliset raja-arvot. Jos siis ψ olisi epäjatkuva pisteessä x [0, ], ovat raja-arvot ψ(x ) = lim t x ψ(t) ja ψ(x+) = lim t x+ ψ(t) olemassa ja ψ(x ) < ψ(x+). Mutta tällöin ψ:n kuvajoukosta puuttuvat välit (ψ(x ), ψ(x)) ja (ψ(x), ψ(x+)), joista ainakin toinen on epätyhjä. Funktion ψ konstruktion nojalla kuvajoukkoon kuuluvat kuitenkin kaikki dyadiset luvut (2k )/2 s, k 2 s, s Z +, jotka muodostavat välille [0, ] tiheän osajoukon. Tästä seuraa, että ψ on jatkuva. Funktiosta ψ kannattaa lisäksi huomata, että ψ([0, ]) = [0, ], ja että ψ([0, ] \ C) on numeroituva (tämä joukko koostuu edellä mainituista dyadisista luvuista). Näistä seuraa, että Cantorin joukon kuvajoukko ψ(c) on ylinumeroituva ja edelleen, että Cantorin joukko ylinumeroituva. Erityisesti Cantorin joukko ei koostu pelkästään poistettujen välien I s,j päätepisteistä (koska niitähän on vain numeroituva määrä). Jatkuvina funktioina Cantorin funktion erotusosamäärät x n(ψ(x + n ) ψ(x)) ovat mitallisia. Lauseen 6.9 nojalla Cantorin funktion melkein kaikkialla määritelty
8.2. CANTORIN FUNKTIO 44 Kuva. Cantorin funktion arvot joukoilla I,, I 2,, I 2,2, I 3,, I 3,2, I 3,3, I 3,4, I 4,, I 4,2, I 4,3, I 4,4, I 4,5, I 4,6, I 4,7 ja I 4,8. derivaatta on mitallinen. Koska ψ (x) = 0 kaikille x J \ C, on 0 = ψ (x) dm(x) < ψ() ψ(0) =. [0,] Analyysin peruslause ei siis pidä paikkaansa Cantorin funktiolle. On hyvä huomata, että on olemassa huomattavasti yksinkertaisempia kasvavia funktioita f, joilla derivaatta on olemassa melkein kaikkialla, f (x) = 0 melkein kaikille x, mutta f(0) < f(). Cantorin funktio on näiden lisäksi jatkuva. Se, että analyysin peruslause ei päde Cantorin funktiolle, ei oikeastaan ole erityisen yllättävää. Cantorin funktiohan on vakio jokaisella Cantorin joukon komplementtijoukon osavälillä. Vielä yllättävämpi vastaesimerkki analyysin peruslauseelle on peräisin Rieszin ja Sz.-Nagyn funktionaalianalyysin kirjasta [3, No. 24]. Rieszin ja Sz.-Nagyn
8.2. CANTORIN FUNKTIO 45 funktio F on jatkuva ja aidosti kasvava, mutta F (x) = 0 melkein kaikkialla. Kuvasta 2 selviää funktion konstruktioperiaate: funktio määritellään paloittain lineaarisesti välin [0, ] osaväleillä, jotka saadaan puolitusperiaatteella. Välin [a, b] uudessa jakopisteessä c seuraavan funktion arvo on F n+ (c) = t F 2 n(a) + +t F 2 n(b). Tässä t on kiinteä vakio, jolle 0 < t <. Jono (F n ) n=0 konvergoi sen verran hitaasti, että ominaisuutta F (x) = 0 melkein kaikkialla, ei kuvasta 2 pysty päättelemään. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktiosta hieman yleisempi versio löytyy kirjasta [3,??]. 0.7508 0.7506 0.7504 0.7502 0.5 0.5 0.5 0.5 Kuva 2. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio F : [0, ] R, joka on jatkuva ja aidosti kasvava, mutta F (x) = 0 melkein kaikille x [0, ]. Kahdella ylemmällä rivillä approksimaatiot F 0, F, F 2, F 5, F 0 ja F 5. Alimmassa kuvassa on F 30 välillä [, + 52 ] [0.5, 0.50000048]. 2 2 2 30 Huomaa, että ylemmissä kuvissa x- ja y-akseleilla on sama asteikko, viimeisessä kuvassa x-akselia on venytetty huomattavasti.
8.3. YLEISTETTY CANTORIN JOUKKO 46 8.3. Yleistetty Cantorin joukko Olkoon (a j ) j=0 annettu lukujono, jolle on voimassa a 0 = ja 0 < 2a j < a j kaikille j Z +. Cantorin 3 -joukolle on a j = 3 j. Määritellään jono (d j ) j= asettamalla d j = a j 2a j. Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli, jonka pituus on a, I, = (a, a ). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J, ja J,2, J, = [0, a ], J,2 = [ a, ]. Seuraavaksi poistetaan välien J, ja J,2 keskeltä avoimet välit I 2, ja I 2,2, joiden pituus on a 2. Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 2,, J 2,2, J 2,3 ja J 2,4. Vaiheessa s Z + poistettuna on 2 s avointa väliä I s,j, j 2 s, ja jäljellä on 2 s suljettua väliä J s,k, k 2 s. Jokaisen välin I s,j ja J s,k pituus on d s. Seuraavaksi jokaisen välin J s,j keskeltä poistetaan avoin väli, jonka pituus on a s+. Näin jäljelle jää 2 s+ suljettua väliä J s+,l. Kun joukot J s+,l indeksoidaan saman periaatteen mukaan kuin edellä, on I s+,k J s,k, J s+,2k J s,k ja J s+,2k J s,k, k 2 s. Vaiheessa s välistä J on siis poistettu kaiken kaikkiaan s 2 r r= j= I r,j. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä ja raja-arvoa P := P s = 2 s k= J s,k ( P s = I \ s= 2 r r= j= I r,j ). Joukko P on yleistetty Cantorin joukko. Poistettujen välien I s,j, j 2 s, s Z +, yhteenlaskettu pituus on 2 s m(i s,j ) = s= j= s= 2 s d s = lim k k s= 2 s (a s 2a s ) = lim k ( 2 k a k ). Tästä seuraa, että yleistetyn Cantorin joukon mitta on m(p ) = lim k 2 k a k.
8.4. VITO VOLTERRAN ESIMERKKI 47 8.4. Vito Volterran esimerkki Analyysin peruslause on ollut tärkeä lähtökohta Lebesguen integraalin synnylle. Tässä esitellään Karl Strombergin kirjan [36] harjoitustehtävästä 22/s. 32 lainattu versio Vito Volterran esimerkistä vuodelta 88, joka toimi Lebesguen työn innoittajana. Volterra konstruoi funktion F, jolla on rajoitettu derivaatta koko välillä [0, ], mutta jolle derivaatta F ei ole Riemann-integroituva. Oleellisesti sama esimerkki todistuksineen löytyy Natansonin kirjasta [27, Kap. V, 5], tai Abbottin kirjasta [, 7.6]. Yksinkertaisempi vastaava esimerkki löytyy ysityiskohtaisine ratkaisuvihjeineen Strombergin kirjan harjoitustehtävästä 23/s. 279 (peräisin Casper Goffmanilta 977). Muista, että derivaattojen väliarvolauseesta seuraa, että derivoituvan funktion derivaatalla ei voi olla hyppäysepäjatkuvuuksia. Näin millään paloittain jatkuvalla funktiolla f, jonka epäjatkuvuuskohdat ovat hyppäysepäjatkuvuuksia (ja jolla on ainakin yksi epäjatkuvuuskohta), ei ole integraalifunktiota F, t.s. funktiota F, jolla F (x) = f(x) kaikille x. Tämän ja Volterran esimerkin perusteella integraalifunktiointegraali ja Riemannin integraali eivät ole verrattavissa (t.s. kumpikaan ei ole toisen yleistys). Seuraavassa käytettävät merkinnät ovat kuten kohdassa 8.3. Esitettyjen väitteiden todistukset jätetään lukjijan tehtäväksi. Olkoon P yleistetty Cantorin joukko, jonka mitta on positiivinen. Olkoon ϕ: R R, ϕ(t) = t 2 sin(/t), kun t 0, ja ϕ(0) = 0. Tällöin ϕ on derivoituva, ϕ (t) < 3, kun t, mutta ϕ ei ole jatkuva origossa. Määritellään F : [0, ] R seuraavasti: Kun x P, olkoon F (x) = 0. Olkoon (a, b) jokin komplementin [0, ] \ P komponenttiväli. Asetetaan sekä c = sup{t (0, (b a)/2] ϕ (t) = 0} F (a + t) = F (b t) = ϕ(t), kun 0 < t c, ja F (x) = ϕ(c), kun a + c t b c. Idea: F käyttäytyy välin (a, b) päätepisteiden lähellä kuten ϕ origon lähellä ja välin (a, b) keskellä on vakio; lisäksi F on jatkuvasti derivoituva välillä (a, b). Kuvassa 3 on funktion F kuvaaja tyypillisellä välillä (a, b). Tällöin a) F on derivoituva koko välillä [0, ]; b) F (x) = 0 kaikille x P (vihje: kun c P, on F (x) (x c) 2 kaikille x [0, ]); c) F (x) < 3 kaikille x [0, ]; d) F on epäjatkuva jokaisessa P :n pisteessä (vihje: P ei sisällä yhtään avointa väliä); e) F ei ole Riemann-integroituva millään välillä [0, x], 0 < x. f) Kuitenkin F (x) = [0,x] F dm kaikille x [0, ]. Kuvassa 4 on Volterran funktion konstruktiota sovellettu tavalliseen Cantorin 3 - joukkoon. Tässä tapauksessa F kuitenkin olisi Riemann-integroituva välillä [0, ] (miksi?). Kuvassa 5 on oikea Volterran funktio. Kuvaan on piirretty vain kolme komplementtijoukon osaväliä; muut osavälit olisivat erittäin lyhyitä, eikä funktion F käyttäytyminen tulisi enää näkyviin (vrt. vastaaviin kohtiin kuvassa 4).
8.4. VITO VOLTERRAN ESIMERKKI 48 0.004 0.002 0.9 0.95.05. -0.002-0.004-0.006-0.008 Kuva 3. Volterran derivoituva funktio osavälillä [a, b]. 0.05 0.0 0.005-0.005 Kuva 4. Volterran derivoituva funktio sovitettuna Cantorin joukkoon. 0.002 0.00-0.00 Kuva 5. Volterran derivoituva funktio, kun a k = 3 5 k+2 k+ 2 k.
8.5. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 49 8.5. Harjoitustehtäviä 8.5.. Olkoot ψ : R [0, ] Cantorin funktio ja C Cantorin joukko. Osoita, että kuvajoukon ψ(c) mitta on yksi, m(ψ(c)) =. 8.5.2. Olkoot ψ : R [0, ] Cantorin funktio ja C Cantorin joukko. Asetetaan f : [0, ] [0, ], f(x) = (ψ(x) + x). 2 Osoita, että (i) f on jatkuva ja aidosti kasvava; (ii) f on derivoituva joukossa [0, ] \ C ja f (x) = kaikille x [0, ] \ C; 2 (iii) joukon f([0, ] \ C) mitta on m(f([0, ] \ C)) = ; 2 (iv) joukon f(c) mitta on m(f(c)) = ; 2 (v) joukko f(c) on yleistetty Cantorin joukko.