LIITTORAKENNEKURSSI EC4 LIITTORAKENTEET TAIVUTETUT LIITTORAKENTEET LIITTOPALKIT JA -LAATAT. TkT Matti V. LESKELÄ

LIITTORAKENNEKURSSI EC4 LIITTORAKENTEET 8. - 9.9.016 TAIVUTETUT LIITTORAKENTEET LIITTOPALKIT JA -LAATAT TkT Matti V. LESKELÄ 016 Tämä materiaali on tarkoitettu vain otsikossa mainitulle kurssille osallistujien käyttöön eikä sitä tai osia siitä ole lupa levittää edelleen kopioina tai sähköisessä muodossa ilman tekijän suostumusta.

LIITTORAKENNEKURSSI EC4 LIITTORAKENTEET 8. ja 9.9.016 Matti V. LESKELÄ matti.v.leskela@dnainternet.net TAIVUTETUT LIITTORAKENTEET = LIITTOPALKIT JA -LAATAT Yleistä Tässä esityksessä EN 1994-1-1 tarkoittaa CEN-standardia, jonka suomalainen käännös on SFS-EN 1994-1-1. Viittaukset tehdään CEN-standardiin, jonka kohtien numerointi on sama kuin suomenkielisessä käännöksessä. Eurokoodit-nimitystä käytetään rakenteiden suunnittelun EN-standardeista yleensä, liittorakenteissa tämä tarkoittaa Eurokoodi 4 standardeja. Esistandardi ENV 1994-1- 1 on vastaavan EN-standardin 'esi-isä' ja vaikka se ei enää ole voimassa, se sisältää joitakin asioita, joita voidaan pitää oppikirjamateriaalin kaltaisena ja edelleen suunnitteluun soveltuvana taustamateriaalina. EN-Eurokoodit eivät sisällä mitään oppikirja- tai käsikirjamateriaalia ja yleiset taustatiedot oletetaan suunnittelijan tuntemiksi vaikka onkin niin, että mekaniikan ja lujuusopin käsittely ja käsitteet eivät ole samoja kaikissa maissa. Sen vuoksi tähän kurssimateriaaliin on sisällytetty myös yleistietoa, joka voi toimia Eurokoodi 4 taustadokumenttina. KIMMOTEORIAN MUKAINEN TAIVUTETUN LIITTORAKENTEEN TOIMINTA Kimmoteorian mukaisissa tarkasteluissa oletetaan, että materiaaliosien välillä on täydellinen yhteistoiminta ja materiaalien rajapinnoissa olevien leikkausliitoksien muodonmuutokset (liukumat) ovat hyvin pieniä tai käytännössä nollia, eli liitokset oletetaan jäykiksi. Taivutusjännitykset ja -muodonmuutokset Kun poikkileikkauksessa on useampia kuin yksi materiaaliosaa, ei jännityksiä voida suoraan laskea jäyhyysmomentin tai taivutusvastuksien avulla, vaan ensin on laskettava muodonmuutokset ja sen jälkeen muodonmuutosta vastaavat jännitykset Hooken lain perusteella ( = E), kun oletetaan, ettei plastisoitumisrajaa ole ylitetty missään. Kun poikkileikkaukseen vaikuttaa normaalivoima N ja taivutusmomentti M, muodonmuutostila määräytyy yleisen yhtälön (1) perusteella: N My ( EA ) ( EI ) com com (1) missä (EA) com on poikkileikkauksen aksiaalijäykkyys, (EI) com on poikkileikkauksen taivutusjäykkyys ja y on etäisyys poikkileikkauksen painopisteakselilta, positiivinen painopisteakselin alapuolella. Taivutusjäykkyyden ja aksiaalijäykkyyden laskemista ei käsitellä Eurokoodeissa, mutta siellä oletetaan, että ne osataan laskea tavalla tai toisella. Oikeammin EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 1

ajatellaan, että suunnittelija osaa laskea käytettävän poikkileikkauksen alan ja jäyhyysmomentin, vaikka yleisempiä suureita ovat aksiaalijäykkyys ja taivutusjäykkyys. Käsitellään aluksi yleistä tapausta, josta johdetaan myös EN 1994-1-1 mukainen jäykkyyksien käsittelytapa (= muunnetun poikkileikkausalan ja jäyhyysmomentin periaate). Useampaa ainetta olevan rakenteen taivutusjäykkyyden (EI) com muodostuminen Yksinkertaisimmat lausekkeet taivutusjäykkyyden laskemiseksi saadaan olettamalla osien välille täydellinen yhteistoiminta eli jäykät liitokset. Tämä on perusoletus, joka usein unohdetaan. Silloin teknisen taivutusteorian mukainen tarkastelu voidaan ulottaa koko poikkileikkaukseen: poikkileikkaustaso pysyy deformoituneessa tilassaankin tasona ja muodonmuutostila ja sitä vastaava jännitystila ovat sen mukaiset (kuva 1). Osa 1 top Osa Osa i e top M Osa k e bot y Kuva 1 Taivutusmomentin M rasittaman poikkileikkauksen muodonmuutostila, kun yhteistoiminta oletetaan täydelliseksi bot Kuvassa 1 on erilaisista materiaaliosista 1,,..., k muodostuva poikkileikkaus, johon vaikuttaa taivutusmomentti M. Sen seurauksena täydellisen yhteistoiminnan tapauksessa muodostuu poikkileikkauksen korkeudella lineaarisesti muuttuva muodonmuutostila top, bot, johon liittyvän neutraaliakselin määrittelevät reunaetäisyydet e top, e bot. Neutraaliakselilta mitatun pystykoordinaatin y osoittamassa yleisessä pisteessä muodonmuutos on kaarevuuden lineaarinen funktio: M M M (y) (M)y y; top e top ; bot ebot ( EI ) com ( EI ) com ( EI ) com () Kun jokaisen osan i oletetaan olevan lineaarikimmoista materiaalia, taivutusjännitys kussakin osassa i on i = E i i ja taivutusmomentin M tasapaino jännityksien i kanssa edellyttää, että EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet

k k k EM k i M i i ii i i i i i1a i1a i1a ( EI ) com ( EI ) com i1 A M y da ye da y da E y da i i i i (3) Merkitään, että osan i neliömomentti tai jäyhyysmomentti on I i y da ja vastaavasti kyseisen osan taivutusjäykkyys on ( EI ) i E ii i E i y dai. Kaikkia osia edustava summatermi on silloin koko poikkileikkauksen taivutusjäykkyys: k k com i i i i1 i1 A ( EI ) ( EI ) E y da (4) i Ai Ai Aksiaalijäykkyyden (EA) com muodostuminen Tarkastellaan sitten aksiaalista rasitustilaa, missä normaalivoiman N vaikuttaessa poikkileikkauksen tietyssä kohdassa koko poikkileikkauksessa on vakio N muodonmuutostila. Tällainen muodonmuutostila voi syntyä vain jos (EA) com momentti on nolla, eli normaalivoima sijaitsee poikkileikkauksen painopisteessä. Toisaalta normaalivoiman N pitää jakaantua osien i normaalivoimiksi N i siten, että (EA) k N i i N. Kun N Ni, koko poikkileikkauksen aksiaalijäykkyys on summa (EA) com i1 osien jäykkyyksistä: k EA com EA i. (5) i1 ( ) ( ) Poikkileikkauksen painopisteen paikka Olipa poikkileikkaus yhdestä tai useammasta materiaalista muodostuva, painopisteessä vaikuttava normaalivoima ei aiheuta koskaan taivutusta. Painopisteen paikka voidaan määritellä aina tämän tiedon perusteella. Lausekkeessa (4) edellytetään, että koordinaatti y mitataan poikkileikkauksen painopisteestä. Sen paikka esimerkiksi yläreunan top suhteen löydetään, kun otetaan normaalivoiman N momentti kyseisen reunan suhteen. Koko normaalivoiman momentti on yhtä suuri kuin osien normaalivoimien momenttien summa k Ny i i, missä y i :t ovat osien i painopisteiden etäisyyksiä tarkastelureunasta: i1 k k k ( EA ) iyi N Ne i 1 top Niy i ( ) i yi e EA top (6) i1 ( EA ) com i1 ( EA ) com EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 3

Osa 1 Osa i y i e top CG Kuva Poikkileikkauksen painopisteen CG paikka Osa k Yleinen Steinerin sääntö taivutusjäykkyyden laskemiseksi Tunnettu Steinerin sääntö samaa ainetta olevien poikkileikkauksien jäyhyysmomenttien tai neliömomenttien laskemisessa sanoo, että annetun poikkileikkauksen neliömomentti tietyn akselin suhteen on yhtäsuuri kuin kyseisen poikkileikkauksen neliömomentti oman painopisteakselinsa suhteen lisättynä poikkileikkausalan tulolla painopisteakseleiden etäisyyden neliön kanssa. h c b c Annettu akseli e Osa "c" C c Kuva 3 Materiaalia "c" olevan poikkileikkauksen taivutusjäykkyys tietyn akselin suhteen: c c 3 c c c ( EI ) ( EI ) e ( EA ) c; ( EI ) E b h /1 Liittorakennepoikkileikkauksessa voidaan taivutusjäykkyyden laskemisessa käyttää vastaavaa yleistä Steinerin sääntöä (kuva 3), jolloin pinta-ala A korvataan aksiaalijäykkyydellä (EA), jäyhyysmomentti I korvataan taivutusjäykkyydellä (EI). Kun (EI) o = poikkileikkauksen jäyhyysmomentti oman painopisteensä suhteen, (EI) ref = jäyhyysmomentti annetun referenssiakselin suhteen ja (EA) = poikkileikkauksen aksiaalijäykkyys, yleinen Steinerin sääntö kuuluu: ( ) ref ( ) o e ref ( ) EI EI EA (7) missä e ref = painopisteen etäisyys referenssiakselista. Sääntöä voidaan käyttää laskettaessa minkä tahansa erilaisista materiaaleista koostuvan poikkileikkauksen taivutusjäykkyys, kun koko poikkileikkauksen painopisteen paikka on ratkaistu osien aksiaalijäykkyyksien staattisten momenttien avulla. EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 4

Muunnettu poikkileikkaus ja sen poikkileikkaussuureet Liittopoikkileikkaus voidaan myös muuntaa yhtä materiaalia m olevaksi, jolloin liittopoikkileikkauksen aksiaalijäykkyys ja taivutusjäykkyys lasketaan muodossa: (EA) com = E m A m, (EI) com = E m I m, missä A m ja I m ovat muunnetun, yhtä ainetta m olevan poikkileikkauksen ala ja jäyhyysmomentti. Muunnetun poikkileikkauksen suureet voidaan johtaa lähtemällä edellä esitetyistä yleisistä lausekkeista: Näissä lausekkeissa osien taivutusjäykkyydet E i I i on laskettu koko poikkileikkauksen painopisteen suhteen, samoin jokainen jäyhyysmomentti I i = I io + e io Ai. Tässä e io on osan i painopisteakselin etäisyys koko poikkileikkauksen painopisteakselista ja I io on osan i jäyhyysmomentti oman painopisteakselinsa suhteen. Luvut n i ovat kimmokerroinsuhteita, jotka muuntavat osien poikkileikkausalat ja jäyhyysmomentit siten, että poikkileikkausta voidaan käsitellä yhtä ainetta m olevana. Muuntamissääntö: poikkileikkausosien leveydet jaetaan kimmokerroinsuhteilla, jonka jälkeen poikkileikkaus on muunnettu yhtä ainetta 'm' olevaksi. Kun suorakaideosissa A i = b i h i ja I io = b i h i 3 /1, käytännön sääntö muunnettaessa on, että osien i (i m) leveydet b i jaetaan kimmokerroinsuhteilla n i = E m /E i ja yhtä ainetta olevan muunnetun poikkileikkauksen suureet A m ja I m lasketaan sitten normaaliin tapaan. EN 1994-1-1 käsittelee liittopoikkileikkauksia teräkseksi muunnettuna Tätä periaatetta noudatetaan Eurokoodi 4:ssä (EN 1994-1-1), missä teräksen ja betonin liittopoikkileikkauksissa on vain kaksi eri materiaalia ja vastaavat kimmokertoimet ovat E a ja E c. Tällöin tarvitaan vain yksi kimmokerroinsuhde n = E a /E c, jolla jaetaan betoniosien (yleensä betonilaatan) leveydet muunnettaessa koko poikkileikkaus terästä olevaksi. Huomautus: k k E k k i Ai Ai Em com i i m i m m m m i i1 i1em i1ni i1ni Ei k k I k i Ii com i i m m m m i1 i1ni i1ni ( EA ) E A E A E E A ; A ; n ( EI ) E I E E I ; I Myös erilaisia betonimateriaaleja käsittävä rakenne on liittorakenne, esimerkiksi ontelolaatan ja sen kanssa yhteen valetun pintalaatan muodostama kokonaisuus on yksi liittorakenteen muoto, koska pintalaatta on yleensä ominaisuuksiltaan EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 5

toisenlainen kuin itse laattaelementti (erilaiset kimmokertoimet). Samalla tavoin kuorilaattaelementin ja sen päälle valetun betonin muodostama rakenne on liittorakenne. Poimulevyn (liittolevyn) ja betonilaatan muodostama kokonaisuus, ohutlevyliittolaatta on myös samalla periaatteella tarkasteltava, vaikka myös betonirakenteen tarkastelutavat taivutusjäykkyyttä käsiteltäessä on mahdollinen. Kimmokertoimien arvot: EN 1994-1-1 viittaa rakenneteräksen osalta standardiin EN 1993-1-1 (E a = 10000 MPa, raudoituksen kimmokerroin E s = E a yksinkertaisuuden vuoksi) ja betonin osalta standardiin EN 199-1-1 ( E 000 f / 10 0,3 cm cm, f cm = f ck + 8 MPa). Liittopoikkileikkauksen jännityksien laskeminen Yhtä ainetta olevissa poikkileikkauksissa taivutusmomentin M aiheuttamat M kimmoteorian mukaiset jännitykset tunnetusti lasketaan kaavasta y, mutta I useaa materiaalia sisältävissä poikkileikkauksissa materiaalin i jännitys on EM M y i i i E ii yi ( EI ) com I m ni, (8) eli muunnettua jäyhyysmomenttia käytettäessä vain perusmateriaalin m jännitys on oikea ja kaikkien muiden jännityksien suuruudet pitää jakaa asianomaisella kimmokerroinsuhteella. Siten betonin ja teräksen liittorakenteissa vain teräksen jännitykset saadaan oikean suuruisina, mutta betonin jännitykset tulee jakaa n:llä, kun käytetään muunnettuja poikkileikkausarvoja. Kahdesta materiaaliosasta koostuva poikkileikkaus = liittorakenteen perusmuoto, joka on vallitseva standardissa EN 1994-1-1 Kahdesta materiaalista koostuvat poikkileikkaukset ovat edellä käsitellyn yleisen periaatteen tärkein sovellus ja sen vuoksi käsitellään tarkemmin tähän sovellukseen liittyviä tarkastelutapoja, jotka voidaan johtaa yleisperiaatteesta. Havainnollisuuden vuoksi merkitään, että poikkileikkaus koostuu kuvan 4 mukaisista materiaalia a (teräs) ja c (betoni) olevista osista ja (EA) a, (EI) a (EA) c, (EI) c ovat materiaaliosan a aksiaali- ja taivutusjäykkyydet, ovat materiaaliosan c aksiaali- ja taivutusjäykkyydet, (EA) a+c, (EI) a+c ovat aksiaali- ja taivutusjäykkyyksien summat, e i e aj, e cj on materiaaliosien painopisteakselien välinen etäisyys, ovat materiaaliosien painopisteakselien etäisyydet tietystä kohdasta poikkileikkauksessa, jossa oletetaan olevan osien EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 6

välistä yhteistoimintaa ylläpitävä liitos (kuva 4). Lisäksi aina on voimassa, että e aj + e cj = e i (liittymä jj ) tai e cj - e aj = e i (liittymä j ) sen mukaan, missä tarkasteltava liitoskohta sijaitsee. Kun osien välinen yhteistoiminta on täydellinen, poikkileikkauksen muodonmuutosjakautumassa ei esiinny epäjatkuvuutta missään kohdassa, ei myöskään ero liitoskohdissa j tai jj. Taivutusmomentin M vaikuttaessa jokaisessa osassa on sama kaarevuus kuin koko poikkileikkauksessa, i = M/(EI) com = M c /(EI) c = M a /(EI) a. Tässä M a ja M c ovat materiaaliosissa vaikuttavat taivutusmomentit ja lisäksi ulkoisen tasapainon vuoksi täytyy osien painopisteissä C c ja C a vaikuttaa vastakkaiset normaalivoimat F c = -F a = -F, joiden suhteen on voimassa: M Ma Mc Fei materiaaliosa 'c' liittymä 'jj' top e cj Cc Ca e i M F c e i e aj materiaaliosa 'a' liittymä 'j' bot F a Kuva 4 Kahdesta materiaaliosasta koostuva liittopoikkileikkaus, jossa liitos voi olla joko liittymässä j tai liittymässä jj Tarkastellaan liittymässä j vaikuttavia muodonmuutoksia cj ja aj laskettuna erikseen materiaalien c ja a puolelta: F Me a aj Me materiaalissa a : a F aj ( EA ) ( EI ) ( EA ) ( EI ) F Me c cj Me c cj materiaalissa c : c F cj ( EA ) ( EI ) ( EA ) ( EI ) a aj a a a a c c c c Muodonmuutosero liittymässä j on j = cj - aj. Kun tarkastellaan täydellistä yhteistoimintaa, muodonmuutoseron j täytyy olla nolla, ts. cj = aj. Tämän perusteella F Me a aj F Me c cj 1 1 Me c cj Me a aj ja F ( EA ) a ( EI ) a ( EA ) c ( EI ) c ( EA ) c ( EA ) a ( EI ) c ( EI ) a Kun jokaisessa osassa on sama kaarevuus, täytyy aina olla voimassa, että EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 7

M M M ( EI ) ( EI ) ( EI ) ( EI ) ( EI ) ( EI ) ( EI ) a c ja M a c a M sekä Mc M a c com com com ( EA ) M(ecj e aj ) Tämän perusteella saadaan yhtälö a c Me F i ( EA ) ( EA ) ( EI ) ( EI ) ( EA ) kirjoitetaan edelleen muotoon a( EA ) ( EI ) c com e i ( EI ) ac. ( EA ) a c com com ac, joka Kun tässä yhtälössä oikealla puolella otetaan yhteiseksi tekijäksi (EI) a+c ja merkitään, että ei ( EA ) a( EA ) c i ( EI ) ac ( EA ) ac EA ac EA a EA c ja ( EI ) ac ( EI ) a ( EI ) c ( ) ( ) ( ), (9) saadaan yksinkertainen yhtälö, josta näkyy selkeästi yhteenliittämisestä seuraava taivutusjäykkyyden kasvu: ( EI ) com (1 i )( EI ) ac (10) Parametri i on nimeltään liittojäykkyyskerroin ja summa (1 + i ) osoittaa välittömästi, kuinka paljon liittorakenteen taivutusjäykkyys on suurempi kuin liitoksettoman rakenteen taivutusjäykkyys (EI) a+c, joka on aina vain summa osien jäykkyydestä. Huomautus 1: Osien painopisteiden väli e i osoittaa välillisesti, kuinka paljon hyötyä liittovaikutuksesta on taivutusjäykkyyden kasvamisessa. Poikkileikkauksen muodosta riippumatta kahdesta osasta koostuvan poikkileikkauksen taivutusjäykkyys voidaan laskea samanlaisista lausekkeista (9) ja (10). Jos e i = 0, i = 0 ja taivutusjäykkyys on suoraan summajäykkyys (EI) a+c. Tällainen poikkileikkaus on symmetrinen taivutusakselinsa suhteen (vrt. esim. liittopilarit). Huomautus : Tavallisessa Eurokoodi 4 mukaisessa liittopalkissa taivutusjäykkyyksien summassa (EI) a+c suurin osa muodostuu teräspalkin taivutusjäykkyydestä, mutta aksiaalijäykkyyksien summassa (EA) a+c suurempi osa on yleensä betonin aksiaalijäykkyyttä. Likimain voidaan silloin asettaa, että (EI) a+c (EI) a, jolloin liittojäykkyyskerroin osoittaa, kuinka paljon liittorakenteeksi tekemisellä kasvatetaan teräspalkin taivutusjäykkyyttä. Huomautus 3: Tavallisen kaksiosaisen liittopalkin teräkseksi muunnetun poikkileikkauksen suureet A i ja I i voidaan edellisten kohtien perusteella kirjoittaa jakamalla betoniosan suureet A c ja I c kimmokerroinsuhteella n ja noudattamalla sen jälkeen normaaleja yhtä ainetta olevien poikkileikkauksien laskentasääntöjä (A a ja I a ovat teräspoikkileikkauksen suureet): Ac eca c / n eaa A a i A a ; etop (11) n A i EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 8

c c i a I ec ea a etop i n A I I n A A (1) missä e c, e a ovat betoniosan ja teräspalkin painopisteiden etäisyydet yläreunasta ja e top on koko poikkileikkauksen painopisteakselin etäisyys yläreunasta. Huomautus 4: Muunnetussa poikkileikkauksessa osien painopisteiden paikat ovat samat kuin alkuperäisessä poikkileikkauksessa. Kun käsitellään betonin suorakaideosia, A c /n ja I c /n tarkoittavat leveydeltään b c /n olevan poikkileikkauksen suureita. b c b c /n Liittopalkki muunnetaan yhtä ainetta (terästä) olevaksi jakamalla betonilaatan leveys b c kimmokerroinsuhteella n = E a /E c Liittopalkki Teräkseksi muunnettu poikkileikkaus Eurokoodi 4:n tapa käsitellä liittorakenteen taivutusjäykkyyttä Standardissa EN 1994-1-1 käytetään muunnetun poikkileikkauksen periaatetta tarkasteltaessa taivutusjäykkyyden arvoja. Samaa periaatetta noudatettiin myös esistandardissa ENV 1994-1-1: Muunnetun poikkileikkauksen jäyhyysmomenttia merkitään I 1, kun betoni on halkeilematon. Vastaava taivutusjäykkyys on E a I 1. Kun betoni halkeilee negatiivisen taivutuksen seurauksena, halkeaman kohdalla näkyvä toimiva poikkileikkaus on teräspoikkileikkaus + laatan vetoraudoitus. Halkeaman kohdalla toimiva poikkileikkaus on siis vain teräsosista muodostuva ja kimmokerroinsuhde n = 1. EN 1994-1-1 mukainen merkintä vastaavalle jäyhyysmomentille on I. Halkeaman kohdalla oleva jäykkyys E a I on pienin, mutta halkeilleen alueen todellinen tehollinen jäykkyys on tätä suurempi, koska on otettava huomioon betonin vetojäykistysvaikutus. EN 1994-1-1 muunnetun poikkileikkauksen jäyhyysmomenttien indeksit "1" ja "" viittaavat aina joko halkeilemattomaan tai halkeilleeseen poikkileikkaukseen. Kimmokerroinsuhteen n arvot Betonin viruminen vaikuttaa poikkileikkauksen ominaisuuksiin ja kimmokertoimelle täytyy käyttää erilaisia arvoja kuormituksen keston mukaisesti: Lyhytaikaisvaikutukset: n = n 0, E c = E cm EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 9

Pitkäaikaisvaikutukset: n = n L, E c = E cc, E cc E cm, n L = n 0 (1+ L t ) 1 t = virumaluvun suuruus, L = erilaisten virumavaikutuksien tehokerroin, L = 1,1 pitkäaikaisesta kuormituksesta aiheutuvaa virumaa tarkasteltaessa ja L =0,55 betonin kutistuman vaikutuksia tarkasteltaessa. Tyypillisiä pitkäaikaiskuormia ovat rakenteiden painot, varastokuormat ja myös laatan kutistuminen. Laatan paino vaikuttaa liittorakenteen pitkäaikaiskuormana rakennustavasta riippuen, mutta laatan kutistuman vaikutukset ovat rasituksissa mukana pitkäaikaisvaikutuksina aina rakennustavasta riippumatta: Kun teräsrakenne tuetaan taipumista vastaan betonirakenteen valmistamisen ajaksi, betonirakenteen painosta tulee liittorakenteen pitkäaikaiskuorma. Kun teräsrakenne on vapaasti taipuva betonirakenteen valmistamisen aikana, sen paino on teräsrakenteen kuorma eikä aiheuta virumista. Betonirakenteen kutistuminen aiheuttaa pitkäaikaisen rasitustilan koko liittorakenteeseen rakennustavasta riippumatta. Muistilukuja Vaikka kimmokerroinsuhteen n voi laskea tarkastikin, useissa tapauksissa on riittävää, että kimmokerroinsuhteen arvoina käytetään muistilukuja 7 (lyhytaikaisvaikutukset), 1 (virumisvaikutus pysyvästä tai pitkäaikaisesta kuormasta) tai 14 (kutistumisen virumisvaikutukset): L t Yleisimmin käytettävän betonin C5/30 (f ck = 5 MPa) kimmokerroin on 0,3 f Eurokoodin mukaan laskettuna ck 8 Ecm 000 10 = 31475 MPa, eli alaspäin pyöristettynä betonin keskimääräinen kimmokerroin E cm 30000 MPa. Kun teräksen kimmokerroin E a = 10000 MPa, kimmokerroinsuhteen lyhytaikaisarvo n 0 7. Jos virumaluku t = 1,8, 1 + L t = 3 ja pitkäaikaiskuormien virumavaikutuksien kimmokerroinsuhde n L = 1. Vastaavasti kutistuman virumavaikutukset voidaan käsitellä käyttäen kimmokerroinsuhteen arvona n L = 14, koska 1 + L t. Huomautus: Muunnettu jäyhyysmomentti sisältää aikavaikutuksen, eli sen suuruus lyhytaikais- ja pitkäaikaisvaikutuksien tarkasteluissa on erilainen. Jos halutaan vähentää laskentatyötä, voidaan kaikkia vaikutuksia tarkastella käyttäen tehollisia arvoja, joihin sisältyy tietty viruman oletus. EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 10

Esimerkki: Liittopalkin taivutusjäykkyys eri tavoin laskettuna (MathCad) EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 11

Pitkäaikaisjäykkyys, virumaluku = 1,8: Painopisteväli ei muutu, mutta liittopoikkileikkauksen painopisteakselin paikka muuttuu, kun betonin jäykkyys muuttuu. EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 1

MUUNNETUN POIKKILEIKKAUKSEN KÄYTTÖ = betoniosa muunnetaan terästä olevaksi jakamalla sen leveys kimmokerroinsuhteella. Sen jälkeen lasketaan muunnetun poikkileikkauksen jäyhyysmomentti (Steinerin sääntö), joka kerrotaan teräksen kimmokertoimella. e top e c.a e a b eff /n 0 A c.a IPE 450 100, 150 50 450 Osien painopisteiden paikat eivät muutu, ne on laskettu aikaisemmin (e c.top ja e a.top ). Koko poikkileikkauksen painopisteen paikka yläreunasta ei muutu (e top laskettu aikaisemmin) taivutusjäykkyys on sama molemmilla tavoilla laskettuna Pitkäaikaisjäykkyys pitää laskea käyttäen n 0 :n tilalla n L = (1 + L )n 0. I 1.c muuttuu erilaiseksi kuin lyhytaikaisarvo, koska kimmokerroinsuhde muuttuu: EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 13

taivutusjäykkyys on sama molemmilla tavoilla laskettuna Esimerkki OL: Muunnetun poikkileikkauksen käyttö ontelolaatta + pintabetoni liittorakenteessa Tarkastellaan ontelolaatan ja sen pintabetonin välistä leikkausliitosta, joka tartuntaliitoksena voidaan olettaa jäykäksi. Siten pintabetonin ja ontelolaatan muodostamalla liittorakenteessa on täydellinen yhteistoiminta. Pintavalu E ctop Elementti E ce h top e e t b b E Kuva OL1 - Ontelolaatan ja siihen valetun pintabetonin välinen liittorakenne Ontelolaattapoikkileikkauksen painopisteakselin sijainti ja ominaisuudet kuvan mukaan (e t ja e b osoittavat pelkän ontelolaatan painopisteakselin): e t = etäisyys PP-akselilta ontelolaatan yläpintaan e b = etäisyys PP-akselilta ontelolaatan alapintaan e t + e b = h HC Ontelolaatta-elementin kimmokerroin = E ce, elementin leveys = b E (= 100) Pintabetonin kimmokerroin = E ctop (pienempi kuin E ce ) EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 14

Liittorakenteen poikkileikkaussuureet = OL:n betoniksi muunnetun liittorakenteen poikkileikkauksen suureet e itop.o LR PP A top.r, I top.r b top.r h top e itop A, I E E e t eb LR PP OL PP e ibot b E Kuva OL - Kuvan OL1 liittorakenne muunnettuna ontelolaatan betonia olevaksi Liittorakennetta voidaan käsitellä muunnettujen poikkileikkaussuureiden, A m, S m ja I m avulla. Muunnetulla poikkileikkauksella ja alkuperäisellä poikkileikkauksella on sama painopisteakseli: LR PP = liittorakenteen muunnetun poikkileikkauksen PP-akseli Pintalaattaosan muunnettu leveys b top.r lasketaan jakamalla b E kimmokerroinsuhteella n = E ce /E ctop (n > 1): b b E top.r n Elementin hitausmomentti = I E ja poikkileikkausala = A E Pintalaatan muunnetut suureet 3 htop top.r b top.r ; top.r btop.r htop 1 I A Muunnetun liittopoikkileikkauksen ala Am AE Atop.r Muunnetun poikkileikkauksen painopisteakselin etäisyys yläreunasta = e itop ja etäisyys alareunasta = e ibot 0,5htopA top.r (htop e t )AE ea b E (hhc 0,5h top )Atop.r eitop ; eibot Am A Muunnetun pl:n jäyhyysmomentti I m (Steinerin sääntöä käyttäen) htop m top.r E eitop Atop.r htop et eitop AE I I I Pintalaatan staattinen momentti liittopoikkileikkauksen PP-akselin (= LR PP) suhteen (käytetään yksikköleikkausvuon muodostamiseen) Sm Atop.r eitop.o A top.r (eitop h top / ) m EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 15

BETONILAATAN TOIMIVA TAI TEHOLLINEN LEVEYS Shear Lag vaikutus Betonin normaalijännitykset (sekä plastisessa että kimmoteorian mukaisessa tapauksessa) ovat suurimmat palkin kohdalla (= jännitys cmax kuvassa 6a) ja samoin niistä laskettu jännitysresultantti, mutta edettäessä pois palkin kohdalta normaalijännitykset ja jännitysresultantti pienenevät ( c (x) < cmax, kun x > 0). Tämä johtuu yhteenliitetyissä levyosissa vaikuttavista leikkausjännityksistä ja niiden aiheuttamista leikkausmuodonmuutoksista. leikkausvuo v l Kuva 5: x (x) c 0,5F c F t 0,5F c Laatan leikkausvuo v l ja leikkausjännitykset aiheuttavat shear lag vaikutuksen Jos kuvan 5 mukaisesti irrotetaan betonilaatta palkista, tasapainon ylläpitäminen edellyttää, että leikkauspinnoissa täytyy vaikuttaa jakaantunut leikkausvoima (leikkausvuo v l ) jokaisella pituusyksiköllä. Laatan leikkausmuodonmuutoksien ansiosta koko laatan leveys ei deformoidu yksinkertaisen palkkiteorian mukaisesti tasona, vaan palkista kauempana olevissa laatan osissa taivutusmuodonmuutokset ovat paljon pienempiä palkin kohdalla esiintyviin muodonmuutoksiin verrattuna. Vastaavasti laatan keskimääräiset betonijännitykset c (x) ovat pienempiä kuin palkin kohdalla esiintyvä jännitys cmax. Englannin kielessä on lyhyt ilmaus "shear lag", joka kuvaa leikkausmuodonmuutoksien aiheuttamaa ilmiötä. Koska havainnollista suomalaista lyhyttä vastinetta ei ole, on tarkoituksenmukaisinta käyttää ilmiöstä tätä nimitystä. b c b eff c (x) cmax Kuva 6a: Shear lag vaikutuksen ansiosta taivutustasosta poispäin mentäessä keskimääräiset betonijännitykset pienenevät ja c (x) < cmax. x EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 16

Tehollinen puristuslaatan leveys tai laatan mitoitusleveys Palkin taivutusrasituksia tarkasteltaessa on oleellista, että pystytään arvioimaan keskimääräisen jännityksen cmax suuruus. Tehollinen leveys tai mitoitusleveys kuvaa laatan leveyttä, jonka mukaisesti saadaan riittävän hyvä arvio jännityksille cmax : b eff 1 c(x)dx (13a) cmax b c Tehollinen leveys ei ole vakio, vaan sen suuruus vaihtelee ja riippuu mm. kuormituksen jakaantuneisuudesta ja paikasta jänteessä (vrt. leikkausvuo v l, joka on verrannollinen palkin leikkausvoiman suuruuteen). Laskennan kannalta on tarkoituksenmukaista käyttää vakiota mitoitusleveyttä, joka määritellään Eurokoodeissa. Betonilaatan mitoitusleveys liittopoikkileikkauksen osana Mitoitusleveys b cd = b eff on sovittu betonilaatan leveys, jota käytetään mitoituksessa laskettaessa voimasuureita (rakenneanalyysi) ja poikkileikkauksien suureita (jännitykset ja kestävyydet). Eurokoodissa 4 on yksinkertainen ja karkea periaate, että mitoitusleveytenä b eff voidaan käyttää samanlaista arvoa sekä käyttörajatila- että murtorajatilatarkasteluissa. Yhdellä puolen palkkia mitoitusleveyden oletetaan aina olevan L e /8 tai enintään mitta laatan reunasta palkin keskiviivalle, kun L e on ns. palkin tehollinen tai efektiivinen jännemitta (= viereisten momentin nollakohtien väli). Yksinkertaisesti tuetuissa palkeissa L e on palkin jänneväli. Tehollisen leveyden saa laskea tarkemminkin, mutta se ei sanottavasti vaikuta mitoitusjännitysten suuruuteen. Toimiva tai mitoitusleveys riippuu edellä mainittujen seikkojen lisäksi eniten laatan ja palkin välisen leikkausliitoksen ominaisuuksista ja joustoista. EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 17

Esimerkki tehollisesta leveydestä todellisuudessa Tuki Todellinen tehollinen leveys Tuki Mitoituksessa käytettävä leveys b eff tai b cd Kuva 6b: Tasaisesti kuormitetun palkin todellinen tehollinen leveys on suurimmillaan maksimimomentin kohdalla ja pienimmillään tuen kohdalla. Mitoituslaskelmissa käytettävä b eff tai b cd on enintään (L/8) = L/4, kun L on palkin jännemitta. Huomautus: Eurokoodeissa (EN 199-1-1 ja EN 1994-1-1) on sovittu, että b eff yhdellä puolen palkkia on enintään L e /8, elleivät muut tekijät rajoita sitä enemmän. L e on efektiivinen jännemitta = momentin nollakohtien väli palkin jänteellä ( palkin jänneväli yksinkertaisesti tuetuissa rakenteissa). Eri tapauksiin liittyvä Eurokoodin mukainen mittojen L e = L ei tai L eir määrittely esitetään seuraavassa kuvassa ja tehollinen leveys on: beff be1 be b0, b e1 ja b e = L e /8 (b 1 + b )/ (13b) b e1 b eff b 0 e b1 b b3 Le1r Ler L e4r L L L e1 e e3 L L L L 1 3 4 b Kuva 6c: Teholliset jännemitat L e leveyksien b eff laskemiseksi EN 1994-1-1 mukaisesti: L e1 = 0,85L 1 L e1r = (L 1 + L )/4 L e = 0,7L L er = (L + L 3 )/4 L e3 = 0,7L 3 L e4r = L 4 L 4 + L 3 / EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 18

EN 1994-1-1 mukainen mitoitusleveys L e /8 tarkoittaa täydelliseen yhteistoimintaan liittyviä tapauksia, joissa taivutusjäykkyys ja poikkileikkauksen suurimmat jännitykset voidaan laskea kuten edellä esitetään. Leikkausliitoksen ominaisuudet (liitoksissa tapahtuva huomattava jousto) voivat kuitenkin vaikuttaa tätä leveyttä pienentävästi. Useimmissa tapauksissa tällä ei ole merkitystä, kun todellinen toimiva leveys täydellisen yhteistoiminnan tapauksessa on selvästi suurempi kuin EN 1994-1-1 mukainen käytetty arvo. Leveyden L e /8 käyttäminen ottaa silloin jo huomioon leikkausliitoksen muodonmuutoksista (osien välinen liukuminen) aiheutuvia vaikutuksia. NEGATIIVINEN TAIVUTUS Negatiivinen taivutus (engl. hogging bending) = momentti M < 0 aiheuttaa vetoa yläpintaan ja puristusta alapintaan Todelliset muodonmuutokset betonilaatassa riippuvat yläpinnan venymän top suuruudesta. Jos top > ct1, taivutusjäykkyys täytyy laskea olettaen betoni halkeilleeksi: ct1 = betonin halkeamista vastaava venymä = f ctm /E cm. Halkeilumomentti M cr voidaan laskea käyttäen halkeilemattoman tapauksen taivutusjäykkyyttä (EI) com : f ctm ( ) M com cr EI. Tämä lauseke perustuu oletukseen, että betonin E e cm top kimmokerroin on sekä vedetyssä että puristetussa betonissa sama. Näin ei todellisuudessa ole. M cr näin laskettuna on halkeilumomentin alaraja. Negatiivisen taivutuksen taivutusjäykkyys (EI) com.r ja tehollinen poikkileikkaus: jännityksien laskemisen kannalta vain teräspoikkileikkaus A a ja laatasta raudoitus A s otetaan huomioon Neutraaliakselin paikka on helpointa laskea alapinnan suhteen (ks. kuva 7a): ea a a (ei e)a e a s bot. jos oletetaan, että E s = E a (EN 1994-1-1 mukaan näin Aa As voidaan tehdä) Jäyhyysmomentti on Steinerin säännön avulla laskettuna (merkinnät kuvan 7a mukaisesti): I I a eo.a Aa eo.s As ja taivutusjäykkyys (EI) com.r = E a I Huomautus: (EI) com.r on negatiivisen jäykkyyden pienin arvo (halkeaman kohdalla oleva jäykkyys). Tehollinen jäykkyys laatan venymisen kannalta on tätä suurempi, koska halkeamien välissä betoni vielä jäykistää halkeillutta laattaa. EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 19

A s s.top top s.top Osa "c" C com e o.s e i.r Cs e s.top + + + Osa "a" A a eo.a e a C a e bot. - bot. - a.bot. Kuva 7a: Taivutetun liittopoikkileikkauksen muodonmuutokset ja jännitykset negatiivisesta momentista M halkeaman kohdalla Betonin vetojäykistysvaikutus negatiivisessa taivutuksessa (kuva 7b) Halkeaman kohdalla betonin vetojännitykset ovat nollia ja raudoituksen jännitys M es.top on suurimmillaan: s.top (kuvan 7a osoittama tilanne) I Halkeamien välissä betonin vetojännitys on suurempi kuin nolla ja betoni ottaa osan laatan kokonaisvetovoimasta. Raudoituksen jännitys halkeamien välissä on silloin pienempi kuin halkeaman kohdalla vaikuttava s.top, samoin vastaavat venymät s. Siten halkeamavälillä l s vaikuttava tehollinen laatan aksiaalijäykkyys on suurempi kuin E s A s ja palkin tehollinen taivutusjäykkyys on suurempi kuin E a I. Betonin vetojäykistysvaikutuksella tarkoitetaan vedetyn betonin kykyä pienentää keskimääräinen raudoituksen jännitys halkeamien välillä arvoon, joka on pienempi kuin halkeaman kohdalla vaikuttava suurin jännitys (ks. kuva 7b). Betonieurokoodi EN 199-1-1 sisältää erilaisen tavan arvioida tehollista jäykkyyttä kuin EN 1994-1-1. Lisäksi voidaan käyttää muitakin tapoja kuin Eurokoodistandardeissa esitetyt tavat. Vetojäykistysvaikutusta voidaan tarkastella kahdelta suunnalta. EN 1994-1-1 mukainen ajattelu lähtee siitä, että jatkuvan palkin tukimomentit on rakennetarkastelussa laskettu olettaen rakenne jatkuvilla tuilla halkeilleeksi, jolloin negatiivisen momentin alueilla käytetään jäykkyytenä pienintä arvoa E a I. Silloin tukimomenteille saadaan todellista pienemmät arvot, samoin raudoituksen jännitykset ovat todellista pienemmät. Vetojäykistysvaikutuksen huomioon ottaminen raudoituksen jännityksiä tarkasteltaessa tarkoittaa silloin, että laskettuun tukimomenttiin perustuvaa jännitystä lisätään (EN 1994-1-1 kohta 7.4.3, halkeilutarkastelut ja lausekkeet (7.4) - (7.6)) EN 199-1-1 mukaista halkeamaleveyden laskemista varten (halkeamaleveyden epäsuora rajoittaminen, EN 1994-1-1 taulukko 7.). EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 0

F t ct l s F t Kuva 7b: Betonin vetojäykistysvaikutuksen havainnollistaminen betonilaatan venymien ct (betoni) ja s (raudoitus) avulla. s s.max s.max = raudoituksen venymä halkeaman kohdalla. Jatkuvien palkkien voimasuureet Jatkuvien palkkien voimasuureet voidaan laskea eri tavoin: Jos käytetään tasajäykän tai halkeilemattoman palkkirakenteen momenttikertoimia, saadaan tukimomentit suurempana kuin ne todellisuudessa ovat halkeilun alkamisen jälkeen. Jos tukialueiden taivutusjäykkyyden oletetaan Eurokoodin 4 mukaisesti olevan suuruudeltaan E a I ja kenttien jäykkyydet ovat vastaavasti E a I 1, saadaan tukimomentit pienempänä kuin ne todellisuudessa ovat, koska tukialueen tehollinen jäykkyys on suurempi kuin E a I betonin vetojäykistysvaikutuksen vuoksi. Raudoituksen jännitykset ovat suurimmillaan halkeaman kohdalla ja verrannollisia todelliseen kohdassa esiintyvään momenttiin. Momenttien uudelleen jakaantuminen täytyy ottaa huomioon samalla tavalla kuin jatkuvassa teräsbetonirakenteessa. EN 1994-1-1 sisältää omat sääntönsä tukimomenttien muuttamisesta (erilaiset tukimomentin pienennysosuudet sen mukaan onko perusmomentit laskettu olettaen laatta halkeilleeksi tai halkeilemattomaksi, ks. EN 1994-1-1 taulukko 5.1). EN 1994-1-1 taulukon 5.1 mukaiset negatiivisten momenttien uudelleenjakamisosuuksien (%) enimmäisarvot: Teräspoikkileikkauksen pl.luokka negatiivisen taivutuksen kohdalla Laatan halkeilua ei oteta huomioon jäykkyyksien tarkastelussa Laatan halkeilu otetaan huomioon jäykkyyksien tarkastelussa 1 3 4 40 30 0 10 5 15 10 0 Jos teräspalkin teräslaji on parempi kuin S355, uudelleenjakaantuminen otetaan huomioon vain kun palkin poikkileikkausluokka negatiivisen taivutuksen kohdalla on 1 tai. Silloinkin jakoprosentit voivat olla enintään 30, kun halkeilua ei oteta huomioon ja enintään 15, kun halkeilu otetaan huomioon jäykkyyksien tarkastelussa (EN 1994-1-1, kohta 5.4.4(6)). EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 1

Kun palkin poikkileikkausluokka negatiivisen taivutuksen kohdalla on 3 tai 4, Eurokoodi 4 taulukon 5.1 uudelleenjakoprosentit koskevat vain liittorakenteeseen vaikuttavia momentteja - teräsrakenteeseen vaikuttaviin momentteihin ei tehdä muutoksia. Rakennustapa täytyy siten ottaa huomioon (EN 1994-1-1, kohta 5.4.4(7)). Huomautus: Murtorajatilan mitoitusvoimasuureet muissa kuin väsymismitoitusta koskevissa tapauksissa voidaan aina laskea kimmoteoriaa käyttäen, ottaen huomioon betonin halkeilu jatkuvilla tuilla (EN 1994-1-1, kohta 5.4.4). Periaate on käyttökelpoisin, kun otetaan huomioon momenttien uudelleenjakaantuminen EN 1994-1-1 taulukon 5.1 mukaisesti ja sopii kaikkiin teräspoikkileikkauksen luokkiin. Silti näin saatuja mitoitusvoimasuureita voidaan verrata myös jäykkäplastisen jännitysmallin mukaisesti laskettuihin kestävyyksiin M pl.rd (täydellinen leikkausliitos) tai M Rd (osittainen leikkausliitos), kun teräspoikkileikkauksen luokka sen sallii (EN 1994-1-1, kohta 5.4.1.1(1)). Plastisuusteorian alarajalauseen mukaan tällaisen mitoituksen mukainen rajakuorma on aina varmalla puolella plastisuusteorian mukaiseen rajakuormaan verrattuna. Plastisuusteorian alarajalause: Rajakuorma, joka perustuu rakenteen oletettuun voimasuureiden jakaantumiseen, jossa koko rakenteessa on voimassa ehdot, että voimasuureet eivät ylitä arvioituja kestävyyksiä ja voimasuureet ovat tasapainossa ulkoisen kuorman kanssa on pienempi tai enintään yhtä suuri kuin rakenteen todellinen murtokuorma. Liittorakenteen tehollinen jäykkyys halkeilleena: (EI) com.eff.r EN 199-1-1 kohdan 7.4.3 lausekkeiden (7.18) ja (7.19) mukaisesti liittorakenteen tehollista jäykkyyttä halkeilleena, (EI) com.eff.r, voidaan arvioida halkeamattoman poikkileikkauksen jäykkyyden (EI) com = E a I 1 ja haljenneen poikkileikkauksen jäykkyyden (EI) com.r = E a I avulla. Lausekkeessa (7.18), joka on muotoa: (1 ) II I ja voi olla suhteellinen muodonmuutos, käyristymä tai kiertymä halkeilleella alueella. Jos asetetaan, että = käyristymä = M/(EI), interpolointi halkeilemattoman arvon I ja halkeaman kohdalla olevan arvon II välillä voi tapahtua taivutusjäykkyyden käänteisarvoja käyttäen: 1 (1 ) M, 1 cr ( EI ) ( EI ) ( EI ) M com.eff.r com.r com M cr = poikkileikkauksen halkeilumomentti, M = momentti halkeilleessa tilassa (> M cr ), = 0,5 pitkäaikaiskuormien tai toistuvien kuormien tapauksessa, = 1 lyhytaikaisten kuormien tapauksessa. EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet

Esimerkki: Halkeilumomentti ja halkeilleen poikkileikkauksen jännitykset A /A = 0,01 s c b = m ef C5/30 IPE 450 150 50 450 Lasketaan kuvan poikkileikkauksen halkeilumomentti ja taivutusjäykkyys, kun laatta on halkeillut (EI) a = 70,854 MNm (EA) a = 074,8 MN (EI) c = 17,705 MNm (EA) c = 944,5 MN e i = 0,5 + 0,05 + 0,075 = 0,35 m Taivutusjäykkyys halkeilumomentin laskemista varten arvioidaan lyhytaikaisvaikutuksena. Osoitetut betonilaatan arvot ovat lyhytaikaisjäykkyyksiä, joihin ei sisälly raudoituksen osuutta (myös e i on laskettu ilman raudoituksen vaikutusta). Sen vaikutus halkeilemattomassa betonissa on häviävän pieni ja raudoitus toimii vasta halkeilun alkamisen jälkeen kun rasitukset siirtyvät betonilta raudoitukselle. Liittojäykkyyskerroin: (EI) c+a = 88,559 MNm, (EA) c+a = 11517,3 MN 0,35 944,5 074,8 i,35 ja (EI) com = 3,3588,559 = 96,67 MNm 88,559 11517,3 0,075 944,5 0,45 074,8 Painopisteakselin paikka: etop 0,138 m 11517,3 Betonin keskivetolujuus: ctm /3 ck f 0,3f,57 MPa f Halkeilumomentti: ctm ( ) com,57 96,67 Mcr EI 0,1755 MNm E e 31475 0,138 cm top Halkeilleen poikkileikkauksen taivutusjäykkyys (EI) com.r = taivutusjäykkyys halkeaman kohdalla. Betonilaatasta poikkileikkauksesta otetaan huomioon vain raudoitus A s = 0,01A c = 0,010,15 = 0,003 m, oletetaan, että raudoitus on tankoina T16 ja betonipeitteen minimiarvo on c min = 35 mm. Betonipeitteen nimellisarvona käytetään c nom = c min + 10 mm. Raudoituksen keskiöetäisyys yläreunasta = c nom + 16/ = 35 + 10 + 8 = 53 mm (EI) com.r voidaan laskea samalla periaatteella kuin halkeilematon jäykkyys: raudoituksella ei ole taivutusjäykkyyttä, mutta kuitenkin aksiaalijäykkyys (EA) s = 000000,003 = 600 MN EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 3

Painopisteväli e i.r = 5 + 150 + 50-53 = 37 mm, (EA) s+a = 600 + 074,8 = 674,8 MN, i.r i.r EA s EA a e ( ) ( ) 0,37 600 074,8 0,91 ( EI ) ( EA ) 70,854 674,8 a sa (EI) com.r = 1,9170,854 = 135,6 MNm Halkeilleena poikkileikkauksen taivutusjäykkyys on alle puolet ehyen poikkileikkauksen taivutusjäykkyydestä. Halkeaman kohdalla olevan poikkileikkauksen painopisteen paikka (kuvan 7a symbolien mukaisesti): ( ) a 074,8 eo.s EA ei.r 37 89 mm ( EA ) 674,8 sa Momentti, joka aiheuttaisi jännityksen s = 400 MPa raudoitukseen ( s = 0,00): ( EI ) com.r 135,6 M s400s 0,00 0,936 MNm = 936 knm e 0,89 o.s Momentti, joka aiheuttaisi jännityksen f yd = 355 MPa ( a = 0,00169) teräspoikkileikkauksen alareunaan: e bot. = e o.a + h a /, eo.a ei.r eo.s = 37-89 = 83 mm, e bot. = 308 mm ( EI ) com.r 135,6 Mfyd a 0,00169 0,74 MNm e 0,308 bot. = 74 knm negatiivisessa taivutuksessa poikkileikkaus myötää ensimmäisenä teräsosasta ja raudoituksen jännitys on alle 400 MPa (317 MPa) Tehollinen taivutusjäykkyys, kun teräspalkki saavuttaa myötörajan: Oletetaan = 0,5 ( toistuvat tai pitkäaikaiset kuormat) Mcr 175,5 Mcr 0,37 ja 1 0,97 Mfyd 74 M fyd 1 1 ( EI ) ( EI ) ( EI ) com.eff.r com.r com ja ( EI ) com.eff.r sekä 1 0,08 ( EI ) com.r ( EI ) com ( EI ) 1 ( EI ) com com.r 96,67 135,6 ( EI ) com.eff.r 137,35 MNm eli lähes sama kuin 0,97 96,67 0,08 135,6 taivutusjäykkyys halkeaman kohdalla. EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 4

Huomautus 1: Kun = 0,5, heti halkeamisen alkamisen jälkeen ( M cr /M = 1) 0,5 ja tehollinen taivutusjäykkyys on (EI) com.eff.r = 185,8 MNm. Sen sijaan kun = 1 ( lyhytaikainen kuorma), heti halkeamisen jälkeen (EI) com.eff.r = (EI) com = 96,67 MNm. Tämä vastaa sitä, että lyhytaikaisessa kuormituksessa yhden tai muutaman harvan halkeaman syntyminen ei vähennä taivutusjäykkyyttä, jos kuormataso ei jää pysyvästi lisähalkeilua aiheuttavaksi (eli M cr /M 1, vaikka hetkellisesti halkeiluraja on ylitetty). Huomautus : Raudoituksen kimmokerroin ja rakenneteräksen kimmokerroin eivät ole aivan samansuuruisia, E s = 00000 MPa ja E a = 10000 MPa. EN 1994-1-1:ssä on tehty yksinkertaistus, että tarkasteluissa voidaan asettaa E s = E a. Tässä esimerkissä ero otettiin huomioon, mutta käytännössä vaikutukset lopputulokseen eivät ole merkittäviä. EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 5

LIITTORAKENTEEN OSIEN VÄLINEN LEIKKAUSLIITOS Leikkausliitoksen määritelmä Leikkausliitos on kahden päällekkäisen tai rinnakkaisen rakenneosan välinen rajapinta, jossa kehittyy poikkileikkauksen osien välisen yhteistoiminnan ja voimatasapainon kannalta tarvittavat liitoksen leikkausvoimat. Leikkausliitos Eurokoodissa Leikkausliitokset ovat rakenteen pituusakselin suuntaisia liittymiä, joissa on joko mekaaninen (= erillisillä liittimillä toteutettu) tai tartuntaan perustuva liitos. EN 1994-1-1 käsittelee vain mekaanista leikkausliitosta, joka on useimmiten sitkeäksi oletettu. Leikkausliitos voi olla jatkuva tai paikallinen, EN 1994-1-1 käsittelee vain jatkuvia leikkausliitoksia. Leikkausliitos toimii käyttörajatilassa liittorakenteen tyypillisen taivutusjäykkyyden takaajana. Leikkausliitos varmistaa murtorajatilassa, että aiottu taivutuskestävyys voi kehittyä. Heikko leikkausliitos pienentää taivutuskestävyyttä. EN 1994-1-1 lähtee olettamuksesta, että jos leikkausliitos on riittävä murtorajatilan kannalta, käyttörajatilassa leikkausliitos toimii joka tapauksessa eikä sitä tarvitse erikseen tarkastella. Tämä periaate koskee kuitenkin vain sitkeitä leikkausliitoksia, jotka toteutetaan mekaanisilla liittimillä. Liitoksen leikkausvuo Liitoksen leikkausvuo v on liitoksen leikkausvoima rakenteen pituusyksikölle. Kun F = betoni- tai teräspoikkileikkauksen jännitysresultantti, leikkausvuo pitää tasapainossa jännitysresultantin muutosta rakenteen kussakin pituusalkiossa dx, vdx df (kuva 8). Tämä yleinen ehto on voimassa riippumatta siitä, toimiiko rakenne kimmoteorian mukaan tai plastisoituvana. Erot tulevat näkyviin siinä, miten jännitysresultantti F muuttuu. Kimmoteorian mukaisessa tarkastelussa ja jäykkien liitoksien tapauksessa jännitysresultantti F on lausekkeen (14) mukainen ja suoraan verrannollinen rakenteen taivutusmomentin M = M a + M c + Fe i kanssa. Liitoksen leikkausvuo lasketaan silloin lausekkeesta: Mei ( EA ) c( EA ) F ( EI ) ( EA ) com ca a df ( EA ) ( EA ) e ( EA ) e vdx df v V V dx ( EA ) ( EI ) ( EI ) c a i c o.c ca com com (14) EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 6

F dx F + df (EA) c Kuva 8: Liitoksen leikkaus- v dx NA Taivutusjäykkyys = (EI) com e o.a (EA) a e o.c e i voima v tarvitaan pitämään tasapainossa palkin osassa tapahtuva jännitysresultantin F muutos df. Huomautus: Lauseke (14) on yleinen muoto missä tahansa leikkausliitoksessa vaikuttavan leikkausvuon laskemiseksi, kun liitos oletetaan jäykäksi. Liitoksen leikkausvuon jakautuma noudattaa rakenteen leikkausvoiman jakautumaa vain jos liitos rakenteen osien välillä on jäykkä. Muissa tapauksissa vastaavuus on vain likimääräinen. Yksikköleikkausvuo ( EA ) Lausekkeessa (14) oleva vakio-osa ceo.c, joka on vain poikkileikkauksen ( EI ) com 1 geometriasta riippuva, on nimeltään yksikköleikkausvuo v (dimensio 1/m tai 1/mm): e o.c( EA ) c 1 1 e o.c( EA ) v V V v ; v c ( EI ) com ( EI ) (15) com Huomautus 1: Yksikköleikkausvuon lausekkeessa tulo e o.c (EA) c voidaan korvata tulolla e o.a (EA) a, koska ne ovat yhtä suuret (liittopoikkileikkauksen painopisteakselin määritelmän perusteella), e o.a = e i - e o.c. Huomautus : Äärettömän jäykkiä liitoksia on käytännössä hyvin vähän, mutta käyttörajatilassa useimmat liitokset ovat lähes jäykkiä. Pienet joustot leikkausliitoksessa aiheuttavat 1 sen, että tuen lähellä vmax Vmaxv, mutta muualla riippuvuus leikkausvoimasta on lausekkeen (14) mukainen. Huomautus 3: Esimerkissä OL (sivu 15) poikkileikkaussuureiden muodostamiseen käytettiin muunnettua poikkileikkausta, jossa staattisen momentin S m ja hitausmomentin I m avulla yksikköleikkausvuo on 1 S v m ja liitoksen leikkausvuo v V v 1 I m EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 7

Jäykät ja joustavat leikkausliitokset Kuva 9 esittää leikkausliitoksen yleisiä ominaisuuksia, kun liitokseen vaikuttaa leikkausvoima F s ja liittymän vastakkaisilla puolilla tapahtuu siirtymä s (= liitoksen liukuma (engl. slip)). Jos leikkausvoiman kasvaessa liukuma on hyvin pieni tai nolla, kyseessä on jäykkä liitos. Kuitenkaan käytännössä ei ole kyetty muodostamaan rajamääritelmää, jonka mukaan liitos voitaisiin tarkasti luokitella jäykäksi tai joustavaksi. Kun liitoksen jäykkyys määritellään liitoksen jousivakiona, k s = F s / s, voidaan vain yleisellä tasolla todeta, että Jäykässä liitoksessa k s =, (esimerkiksi tartuntaliitokset) Joustavassa liitoksessa k s on äärellinen. Osa "c" ds F s s F s s F s Osa "a" k s (a) (b) s Kuva 9: (a) Leikkausliitoksen voima pituudella ds: F s = v ds, (b) Leikkausliitoksen voima-siirtymäyhteyden kuvaaminen: liitoksen sekanttijäykkyys k s = F s / s. Kuvassa 9 s = liitoksen paikallinen siirtymä = liitoksen liukuma = liittymän vastakkaisilla puolilla olevien vastinpisteiden siirtymä toisiinsa nähden. Liitoksen joustosta aiheutuvat ilmiöt Liitoksen jäykkyys ja jousto vaikuttavat sen leikkausvoimajakautumaan. Kimmoteorian mukaisissa tarkasteluissa oletetaan yleensä, että liitokset ovat jäykkiä, jolloin päästään aikaisemmin esitettyihin tyypillisiin taivutusjäykkyyden arvoihin (EI) com. Jos leikkausliitos on joustava, rakenteen eri kohdissa kehittyy erisuuruisia liukumia. Ääritapauksina ovat jäykkäliitoksinen (k s = ) ja liitokseton rakenne (k s = 0). Määritellään aluksi täysin liitoksettoman rakenteen osien liittymässä tapahtuvan siirtymisen tai liukumisen suuruus rakenteen päissä. Se voidaan laskea helposti osien taivutusmuodonmuutoksia tarkastelemalla (kuva 10). EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 8

L e i L (c) (a) A M R Kuva 10: Kahden päällekkäisen rakenneosan välisessä liittymässä tapahtuva liukuma s voidaan laskea integroimalla vastinpintojen taivutusmuodonmuutokset. Kun (EI) c ja (EI) a ovat osien taivutusjäykkyydet ja e i = osien poikkileikkauksien painopisteiden väli, päihin syntyvien liukumien summa L + R on: A e M i L R, (16) ( EI ) ac M( x)dx missä A M = rakenteen momenttipinnan ala =. Liukuma on aina nolla L käyristymän tai momentin maksimikohdassa ja kasvaa edettäessä rakenteen päitä kohti. Symmetrisessä tapauksessa liukuma on nolla jänteen keskipisteessä. Liitoksen jouston aiheuttama taivutusjäykkyyden pienennys Jos liitos ei ole täysin jäykkä, liittymän vastakkaisille puolille muodostuu muodonmuutosero, j = cj - aj ja tehollinen taivutusjäykkyys tulee muodonmuutoserosta riippuvaksi: ( EA ) ( EA ) M ( EI ) ( EI ) 1 e ( EI ) j a c com.eff ac i i ac M Fe i ( EA ) ac M Fei i M ( EI ) c a e i ( ) a( ) EA EA c j i i 1 e i e i ( EI ) ac ( EA ) ac F ; Ulkoinen taivutusmomentti jakaantuu aina osiin M = M a + M c + Fe i liitoksen jouston suuruudesta riippumatta, mutta jousto vaikuttaa osien normaalivoimien (jännitysresultanttien) suuruuteen. Lausekkeen (17) mukaisesti päädytään liitoksettoman tapauksen summajäykkyyteen (EI) c+a, kun F 0. Osien normaalivoima F = -F c = F a säätelee muodonmuutoseron kanssa yhdessä todellisen taivutusjäykkyyden (EI) com.eff suuruutta, joka on nyt erilainen jänteen eri kohdissa. Taipumien suuruuteen vaikuttaa eniten momentin maksimin kohdalla oleva taivutusjäykkyys ja tehollisen jäykkyyden alarajaa voidaan arvioida sen mukaisesti. Numeeriseen laskentaan lausekkeita (17) on vaikea käyttää, koska muodonmuutoseron j arvioiminen yksinkertaisin keinoin on työlästä. Kuitenkin eräitä yksinkertaistuksia tekemällä asiaa voidaan tarkastella numeerisesti. (17) EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 9

Määritellään liittojäykkyyskertoimelle i tehollinen arvo i.eff siten, että (EI) com.eff = (1 + i.eff )(EI) a+c (18a) Yksinkertaisesti tuetussa palkissa i.eff on: 1 s0 1 r s0.max i.eff i i, r s0 (18b) 1 s0 1 ir s0.max i s0.max Joustoparametri r palkin jäykkyysominaisuuksien ja liitoksen tehollisen jäykkyyskertoimen K sc.d = k s.ef /s c [N/mm ] funktiona on: r ( EI ) i ac i 1 ei i( EI ) ac i EI ac mk sc.dl i EI ac mk sc.d i i i 1 ei ( ) ( ) L e ( 1) (19) k s.ef = liitinrivin leikkausjäykkyys [N/mm] ja s c = liitinrivien jakovälit Parametri m riippuu kuormituksen jakaantuneisuudesta, mutta keskimäärin voidaan käyttää m = 1/10, sillä vaihteluväli on: 5 Tasainen kuormitus koko jännevälillä, m 0,104 16 3 1 Pistekuorma jänteen keskellä, m 0,083 4 3 s0 = osien välinen liukuma rakenteen päässä (= päätyliukuma), M max on suurin taivutusmomentti ja L on jännemitta. Kun liukuma kasvaa tarpeeksi, liittovaikutus menetetään ( i.eff 0 ja r 1). Toimivassa liittopalkissa r on yhtälön (19) mukaisten parametrien funktio ja sen avulla voidaan arvioida liitoksen jouston vaikutuksia päätyliukumana, joka on aina osa liitoksettoman palkin päätyliukumaa s0.max : s0 r s0.max LMmaxe r i ( EI ) ac (0) Lausekkeita (19) ja (0) voidaan käyttää esimerkiksi arvioitaessa rakenteiden tilaa palkkien tai liittolaattojen päässä mitattavien päätyliukumien perusteella. Kerroin on momenttipinnan muodosta ja kuorman jakaantuneisuudesta riippuva: = 3, kun kuorma on tasan jakaantunut, = 4, kun jänteen keskellä on pistekuorma. Jatkuvissa palkeissa lausekkeita (19) ja (0) voidaan käyttää asettamalla jännemitan L paikalle tehollinen jännemitta L e (ks. kuva 6c). EC4 Liittorakenteet 8 ja 9.9.016 - Taivutetut liittorakenteet 30