Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa vain kahden seuraavan viikon aikana. Harjoitus 4 Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. a) De Saint-Venant -periaate b) superpositioperiaate c) Määritä ohjeisen kuvan rakenteen tukireaktiot, kun F 1 = 3 2 q 0 ja F 2 = q 0. Ratkaisu a) Oppikirjan sivu 107-108. b) Oppikirjan sivu 115-116. c) Ensiksi ulokkeenseen vaikuttava jakautunut kuorma redusoidaan palkille voimaksi ja momentiksi. Tämä tapahtuu siirtämällä jakautuneen kuorman ekvivalenttivoima F ekv = q 0 4 palkille kohtaan, jossa uloke alkaa (x = 3 4) ja lisäämällä samaan pisteeseen siirron aiheuttama momentti ( ) 1 M ekv = F ekv c ekv = q 0 = 1 4 2 4 32 q 0 2 Piirretään vapaakappalekuva (VKK): 1
Tukireaktiot: tukireaktiot saadaan tasapainoyhtälöistä: ΣF x = 0 : A x F 2 = 0 (1) ΣF y = 0 : A y + F 1 + F ekv = 0 (2) ΣM A = 0 : M A F 1 4 F 3 ekv 4 + M ekv = 0 (3) Nyt yhtälöistä (1)-(3) ratkaistaan tukivoimat: A x A y M A = F 2 = q 0 = F 1 + F ekv = 7 4 q 0 = F 1 4 F ekv 3 4 + M ekv = 17 32 q 0 2 Tehtävä 2 Redusoi edellisen tehtävän ulokkeeseen vaikuttava jakautunut kuorma voimaksi ja momentiksi palkkiin (A-B). Määritä tämän palkin resultanttinormaalivoiman N x (x), resultanttileikkausvoiman Q y (x) sekä resultanttitaivutusmomentin M z (x) jakaumat matemaattisina lausekkeina. Ratkaisu Resultanttijakaumat: jaetaan rakenne osaväleihin epäjatkuvuuskohdissa. Väleiksi saadaan I : välille x (0, 4 ) saadaan tasapainoyhtälöiksi: I : x (0, 4 ), II : x ( 4, 3 4 ), III : x ( 3 4, ) ΣF x = 0 : A x + N x (x) = 0 (4) ΣF y = 0 : A y + Q y (x) = 0 (5) 2
ΣM = 0 : M A A y x + M z (x) = 0 (6) Yhtälöistä (4)-(6) voidaan nyt ratkaista resultanttijakaumat ensimmäiselle välille: N x (x) = A x = q 0 Q y (x) = A y = 7 4 q 0 M z (x) = M A + A y x = 17 32 q 0 2 + 7 4 q 0x II : välille x ( 4, 3 4 ) saadaan tasapainoyhtälöiksi: ΣF x = 0 : A x + N x (x) = 0 (7) ΣF y = 0 : A y + Q y (x) + F 1 = 0 (8) ΣM = 0 : M A A y x + F 1 (x 4 ) + M z(x) = 0 (9) Yhtälöistä (7)-(9) voidaan nyt ratkaista resultanttijakaumat toiselle välille: N x (x) = A x = q 0 Q y (x) = A y F 1 = 1 4 q 0 M z (x) = M A + A y x F 1 (x 4 ) = 5 32 q 0 2 + 1 4 q 0x III : välille x ( 3 4, ) saadaan tasapainoyhtälöt: ΣF x = 0 : A x + N x (x) = 0 (10) ΣF y = 0 : A y + F 1 + F ekv + Q y (x) = 0 (11) 3
ΣM = 0 : M A A y x + F 1 (x 4 ) + F ekv (x 3 4 ) + M ekv + M z (x) = 0 (12) Yhtälöistä (10)-(12) ratkaistaan resultanttijakaumat kolmannelle välille: N x (x) = A x = q 0 Q y (x) = A y F 1 F ekv = 0 M z (x) = M A + A y x F 1 (x 4 ) F ekv (x 3 4 ) M ekv = 0 Tehtävä 3 Määritä kuvan palkin leikkausvoimajakauma Q y (x) ja taivutusmomenttijakauma M z (x). Piirrä myös jakaumat. Ratkaisu Piirretään aluksi VKK, jossa tuet on korvattu tukivoimilla: Seuraavaski, jakautunut kuorma redusoidaan ekvivalenttivoimaksi F ekv. Kolmion muotoisen jakautuneen kuormituksen tapauksessa ekvivalenttivoiman suuruuden ja paikan laskeminen on helppoa, kun muistetaan, että ekvivalenttivoiman suuruus on jakautuneen kuorman pinta-ala ja sen paikka kyseisen pinta-alan 4
painopiste. Kolmion tapauksessa saadaan siten F ekv = 1 2 q 0, c = 2 3 (13) Vapaakappalekuvan perusteella voidaan kirjoittaa tasapainoyhtälöt F x = A x + B x = 0 F y = A y + B y 1 2 q 0 = 0 M A = 1 2 q 0 2 3 B y = 0 joista ratkeaa y-suuntaisiksi tukivoimiksi. Koska tehtävä on x-suunnassa staattisesti määräämätön, x-suuntaisia tukivoimia ei voida määrittää yksikäsitteisesti. Ratkaistaan seuraavaksi leikkausvoiman ja taivutusmomentin arvot palkin päätepisteissä. Tällä kertaa palkissa ei ole epäjatkuvuuskohtia. Palkin päädyissä saadaan Q y (0) = A y = 1 6 q 0, M z (0) = 0 (14) Palkin leikkausvoimajakauma on Q y () = B y = 1 3 q 0, M z () = 0 (15) dq y (η) = q y (η) = q 0 η (16) dq y (η) = q 0 η (17) Q y (x) Q y (0) = 1 2 q 0x 2 (18) Q y (x) = Q y (0) 1 2 q 0x 2 (19) Q y (x) = 1 6 q 0 1 2 q 0x 2 (20) 5
Taivutusmomenttijakauma saadaan yhteydestä Q y (x) = 1 6 q 0(1 3x2 ), 0 x < (21) 2 dm z (η) = Q y (η) (22) dm z (η) = Q y (η) (23) M z (x) M z (0) = 6 q 0(x x3 2 ) (24) M z (x) = 6 q 0(x x3 ), 0 x < (25) 2 Kaavojen (21) ja (25) osoittamien jakaumien tarkka piirtäminen käsin vaatii niiden arvojen laskemista useissa eri pisteissä, sillä ne ovat toisen ja kolmannen asteen käyriä. Tämän kurssin yhteydessä jakaumien piirtäminen tarkoittaa kuitenkin lähinnä niiden ääriarvojen määrittämistä sekä oikeanlaisen muodon hahmottelua (eli esimerkiksi onko kuvaaja suora vai kaareva). eikkausvoimajakauma (21) on alaspäin aukeava paraabeli, jonka arvot palkin päädyissä ovat (14) ja (15). Kuvaajan hahmottelemiseksi lasketaan vielä sen nollakohdaksi x = / 3. Taivutusmomenttikuvaajan piirtämiseksi tarvitaan sen arvot palkin päätepisteissä sekä ääriarvokohdassa. eikkausvoima on taivutusmomentin derivaatta (huomaa yhteys (12)!), joten taivutusmomentin ääriarvo sijaitsee leikkausvoiman nollakohdassa x = / 3. Päätepisteissä taivutusmomentin arvo on nolla, joten piirretään ääriarvon M z ( 3 ) = 1 9 3 q 0 2 kautta kulkeva käyrä, joka palkin päissä kaartuu takaisin nollaan. Esimerkkikuvaajat on piirretty alla. 6
7