ATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy 2011 1 /6 Tehtävä 1. 0,67 m pitkä häviötön siirtojohdon (50 Ω) päässä on kuorma Z L = (100 - j50) Ω. iirtojohtoa syötetään eneraattorilla (e (t) = 10sin(ωt + 30º) V), jonka sisäinen impedanssi on Z = 10 Ω ja taajuus 1,05 GHz. Vaihenopeus johdossa on 0,7c. Laske jännite u(z, t) ja virta i(z, t) siirtojohdossa. Aallonpituus johdossa: v 0,7 3 10 λ = = = 0, 2 m 9 f 1,05 10 Vaihekerroin: 2π 2π β = = = 10π rad/m βl = 10π 0,67 = 6,7π = 0,7π rad 126 λ 0, 2 Heijastuskerroin kuorman päässä: Z Z 100 j50 50 50 j50 50 2 45 5 L 0 L = = = = = 26,57 = 0, 45 26,57 ZL Z0 100 j50 + 50 150 j50 50 105 1, 43 5 Impedanssi siirtojohdon alussa (eneraattorin päässä): 2γ z j2βl 1+ 1+ Le 1+ Le 1+ 0, 45 26,57 2 126 Ζ in = Z0 = Z0 = Z 2 0 = 50 γ z j2βl 1 1 e 1 e 1 0, 45 26,57 2 126 = 37,5 + j41,5 Generaattorin jännite: L L { j ωt j30 10 sin 30 Im 10e e } Im{ ˆ j ωt = ω + = = e } e t t e j30 eˆ 10e 10 30 = = Joten eneraattorin päästä siirtojohdolle lähtevä jännite: Zin + jβ l jβ l + jβl jβl uˆ ˆ ˆ ˆ ˆ in = e = u0e + u0e = u0 e + e Z + Z in ( + ) Z eˆ 37,5 j41,5 10e uˆ = = = j30 + in 1 1 j111 0 7, 6e jβl jβl j126 j26,57 j126 Zin + Z e + Le 37,5 + j41,5 + 10 e + 0, 45e e Ja jännite siirtojohdolla: + uˆ z = uˆ e + e = 7, 6e e + 0, 45e e jβ z jβ z j111 jβ z j26,57 jβ z 0 ( L ) jωt u ( z t) { uˆ ( z) } ( ωt β z ) ( ωt β z ), = Im e = 7, 6sin 111 + 3, 46sin + 13 V Virta siirtojohdolla: + jβ z jβ z j j j j j111 j j26,57 j 0 β z 0 β z 0 β z β z β z β z = 0e + 0e = e e = ( e Le ) = e ( e 0, 45e e ) iˆ z iˆ iˆ ˆ + uˆ uˆ + uˆ 7, 6 Z Z Z 50 0 0 0 jωt { } ( ω β ) ( ω β ) i z, t = Im i z e = 0,15sin t z 111 0, 07 sin t + z 13 A
ATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy 2011 2 /6 Tehtävä 2. 0 m pitkä häviötön koaksiaalikaapeli (50 Ω) on päätetty oikosululla. Kaapeli kytketään hetkellä t = 0 tasajännitelähteeseen (40 V), jonka sisäinen resistanssi on 25 Ω. Määritä ja esitä raafisesti lähetyspään jännite 0 < t < t 1 (t 1 on hetki, jolloin jännite laskee alle 0,1 V). Vaihenopeus linjalla on 2,5 10 m/s. Aalto kulkee kaapelin pituuden ajassa: 0 m t l = = 32 10 = 320 ns 2,5 10 m/s Heijastuskerroin oikosuljetun johdon loppupäässä: 0 Z0 R = = 1 0 + Z 0 Heijastuskerroin eneraattorin päässä: R Z0 25 50 25 1 = = = = R + Z 25 + 50 75 3 Lähetyspään jännite alkuhetkellä: Z0 50 U = U 40 26,6 V R + Z = 25 + 50 = Lähetyspään jännite eri ajanhetkillä: 0 < t < 0,64 µs: U = 26,6 V Johdon loppupäästä heijastunut aalto saapuu alkupäähän hetkellä t = 0,64 µs ja osa siitä heijastuu takaisin johdolle: 0,64 t < 1,2 µs: U = 26,6 26,6 + 26,6 V =, V 1, 2 t < 1,92 µs: U =,, +, V = 2,962 V 1,92 t < 2,56 µs: U = 2,962 2,962 + 2,962 V = 0,9 V 2,56 t < 3, 20 µs: U = 0,9 0,9 + 0,9 V = 0,330 V 3, 20 t < 3,4 µs: U = 0,330 0,330 + 0,330 V = 0,110 V 3,4 t < 4, 4 µs: U = 0,110 0,110 + 0,110 V = 0, 037 V Eli jännite laskee alle 0,1 V ajanhetkellä t = 3,4 µs
ATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy 2011 3 /6 U s / V 20 10 5 0 0 2t l 4t l 6t l t l 10t l 12t l Kuva 1. Lähetyspään jännite tehtävässä 2. t / µs Tehtävä 3. 12 m pitkä häviötön (90 Ω) siirtolinja (ε r =3,51) kytketään hetkellä t = 0 tasajännitelähteeseen (70 V), jonka sisäinen resistanssi on 120 Ω. Määritä aika, milloin vastaanottopään (avoin linja) jännite on 97% jatkuvantilan arvosta. Aallon etenemisnopeus: 1 1 1 c 3 10 m/s v = = = = = 1,6 10 m/s µε µ ε µ ε ε 3,51 0 0 r r r Aalto kulkee kaapelin pituuden ajassa: 12 m t l = = 0 10 = 00 ns 1,6 10 m/s Heijastuskerroin avoimen johdon loppupäässä: Z0 R = = 1 + Z 0
ATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy 2011 4 /6 Heijastuskerroin eneraattorin päässä: R Z0 120 90 30 1 = = = = R + Z 120 + 90 210 7 Lähetyspään jännite alkuhetkellä: Z0 90 U = U 70 30 V R + Z = 120 + 90 = Jännite loppupäässä: 0,97 70 V = 67,9 V t = 0,0 µs: 30 + 30 V = 60 V 6 t = 0,0 + 2 0,0 10 µs = 2, 4 µs: 60 + 2 30 = 6,6 V 7 Tehtävä 4. 200 m pitkä häviötön (90 Ω) siirtojohto (ε r =3,52) on päätetty 50 Ω vastuksella. iirtojohtoa syötetään pulssieneraattorilla, jonka sisäinen resistanssi on 90 Ω. Generaattorin syöttämän tasajännitepulssin amplitudi on 140 V, kesto 5 µs ja pulssitaajuus 100 pulssia sekunnissa. Määritä sekä lähetysettä vastaanottopään jännite aikavälillä 0 < t < 30 µs ja esitä ne raafisesti (eri kuvissa). Aallon etenemisnopeus: 1 1 1 c 3 10 m/s v = = = = = 1,60 10 m/s µε µ ε µ ε ε 3,52 0 0 r r r Aalto kulkee kaapelin pituuden ajassa: 200 m t l = = 125 10 = 1, 25 µs 1,60 10 m/s Heijastuskerroin avoimen johdon loppupäässä: ZL Z0 50 90 2 R = = = Z + Z 50 + 90 7 L 0 Heijastuskerroin eneraattorin päässä: Z Z0 90 90 = = = 0 Z + Z 90 + 90 Lähetyspään jännite hetkellä t = 0 + : Z0 90 U = 1 U 140 V 70 V Z + Z = 90 + 90 =
ATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy 2011 5 /6 Ensimmäinen jännitepulssi saapuu johdon loppupäähän hetkellä t = 1,25 µs, jolloin loppupäästä heijastuu osa pulssista takaisin: Takaisin heijastuu: 2 U1 = RU1 = 70 V = 20 V 7 Joten loppupäänjännite hetkellä t = 1,25 µs: R1 1 1 U = U + U = 70 20 V = 50 V Ensimmäinen loppupäästä alkupäähän heijastunut jännitepulssi saapuu johdon alkupäähän hetkellä t = 2,5 µs. Koska eneraattorin pää on sovitettu, johdon alkupäästä ei heijastu johdolle takaisin mitään. Johdon alkupäänjännite hetkellä t = 2,5 µs: U = U + U = 70 20 V = 50 V 2 1 1 Toinen pulssi: 1 1 T = = s = 10 ms f 100 Toinen pulssi ei ennätä lähteä aika jaksolla 0 < t 30µs. u / V 0 60 40 20 2,5 5 7,5 10 30 t / µs u R / V 0 60 40 20 2,5 5 7,5 10 30 t / µs Kuva 2. Lähetys- että vastaanottopään jännitteet aikavälillä 0 < t < 30 µs tehtävässä 4.
ATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy 2011 6 /6 Tehtävä 5. Alla esitetyn kuvan mukaisessa tilanteessa häviöttömällä siirtojohdolla tuotetaan 12 ns kestävä suorakaidepulssi (00 V). Kytkimen k 1 ollessa kiinni ja kytkimen k 2 ollessa auki siirtojohto varataan tasajännitteellä E. Varaamisen jälkeen kytkin k 1 avataan. Hetkellä t = 0 kytkin k 2 suljetaan, ja varaus puretaan kuormaan Z R. Määritä siirtojohdon pituus l 1 ja siirtojohdon alkupään jännite hetkellä t = 0 +, kun Z = 2 kω, Z 0 = 100 Ω, Z R = 100 Ω ja ε r =5,25. Z k 1 k 2 E + U dc Z 0, ε r Z R U out l Kuva 3. Periaatekaavio tehtävään 5. Aallonnopeus siirtojohtimessa: 1 c 3 10 m m v = = = = 1,3 10 µε µ ε 5, 25 s s r r Joten kaapelin pituus on oltava: 9 2l = vt = 1,3 10 12 10 m = 1,56 m l = 0,7 m Johdon alkupään jännite hetkellä t = 0 + : ZR U out = U dc Z + Z U R 0 Z + Z 100 + 100 U 00 V 1600 V R 0 dc = out = = ZR 100