q =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.

Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =, r = a b b b jos b Z + 3 Määrää sellaiset luvut N, että (a 2 +1 P, (b 3 +1 P, (c 4 +1 P 4 Kertaa ryhmä, reaa, ooaisaluee, ua seä arateristia määritelmät 5 Oloot a, b Z + aettu Näytä, että o olemassa ysiäsitteiset q, r Z site, että a = bq + r, b/2 <r b/2 6 Oloo x R 1 aettu ja ω d (x =#{ Z 1 x, d } (a Näytä, että ω d (x = x/d (b Lase ω d (1000, u d =5, 25, 125, 625 (c Määrää 7 jaolliset ooaisluvut väliltä [1000, 10000] 7 Osoita, että 2 (2 + 3 Z + 8 Oloot p, p +2,p+4 P Näytä, että p =3 9 Oloot a, b Z + Osoita, että ab = syt(a, bpyj(a, b

10 (a Oloo Määrää detq ja Q 1 (b Osoita, että Q = ( q 1 1 0 syt(a, b =s a + t b 11 Oloo p P 5 Määrää (a 3 1, (b 4 1 ryhmässä Z p 12 Määrää ryhmä Z ertaluu, u (a = p P, (b =24, (c = 13! 13 (a Todista Wilsoi lause: Jos p o aluluu, ii (p 1! 1(mod p (b Jos ei ole aluluu, ii ( 1! 1 (mod 14 (a Oloot p, q P ja p q Näytä, että yhtälöistä { a b (mod p a b (mod q seuraa a b (mod pq (b Oloot m i Z ja m i m j aiilla i j Näytä, että yhtälöistä a b (mod m i i =1,, r seuraa a b (mod m 1 m r 15 Rataise yhtälöryhmä 3x 2 (mod 5 4x 2 (mod 7 2x 4 (mod 9 16 Näytä, että (a ( ( ( r = r (b ( = +1 ( r r, ( 1

17 Osoita, että ( 1 +1 ( = 1 +1 18 Osoita, että (a ( ( r < r+1 0 r< 1( 1 2 (b ( ( r = r+1 2 ja r = 1( 1 2 19 Osoita, että ( (a =2 (b ( 1 ( = 0 u 1 20 (a Osoita idutiolla, että a 1=(a 1(a 1 + a 2 + + a +1 Osoita, että (b a +1=(a + 1(a 1 a 2 + a + 1 jos 2 (c A B =(A B(A 1 + A 2 B + + AB 2 + B 1 21 Johda ja todista aava 22 Todista, että m! =(m + 1! 1 4 +4 P =1 23 Määrää luuje (a 1 + 1 + 1 + + 1 2 3 p 1 (b 1 + 1 + 1 + + 1 3 5 p 2 osoittajie aluteijähajoitelmat, u p = 7, 11, 13 Mitä huomaat? 24 Oloot a Z, a 2, m Z + Osoita, että (a jos a m +1 P, ii 2 a ja m =2, N (b jos a m 1 P,m 2, ii a =2jam = p P 25 Oloot a Z, a 2 Osoita, että syt(a 1, a m 1 = a syt(,m 1 m, Z +

26 Määrää luvu ( 1/2 aluteijähajoitelma 27 Todista biomiaava 28 Suoraa lasemalla äytä, että ( 2 p 1 1+p 1+ 1 3 + 1 5 + + 1 p 2 (mod p 2, u p =11, 13 29 Oloo p P 5 ja p 1 p 1 (x = ( 1 i W i x i =1 i=0 (a Määrää ertoime W p 3 esplisiittie lausee ja osoita, että p W p 3 (b Määrää ertoimie W i palautusaava 30 Oloot a/b Q,a b, Z 2 ja a/b Näytä, että b 31 Näytä, että 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 25 7 (mod 5 3 32 Määrää sellaie Z, että 4/5 1 = (mod 11 33 Muodosta Pascali olmio (mod p riville = 12 asti, u p =2, 3, 5 34 Määrää (31 11 (mod p, u p =7, 11 35 Johda summaaavat (a = (+1 2 =1 (b 2 = (+1(2+1 6 =1 (c 3 = 2 (+1 2 4 36 Näytä, että (a lim f +1 f = 1+ 5 2 = α

(b f +2 >α 2 (c f+1 2 f 1 2 = f 2 (d f 2 = α2 5 ; f 2+1 = α2+1 5 N (e f +1 = ( 0 (f f 2 = ( f (g 2f +m = f l m + f m l (h 2l +m = l l m +5f f m 37 Osoita, että ( ( 1 1 f+1 f = Z 1 0 f f 1 38 Johda geeroivasta sarjasta Biet esitys Lucasi luvuille l L(z = l z 39 Oloot d,, M, N Z Osoita (a d f d f (b jos M N, ii f M f N f MN (c f P 5 P (d 4 f +1 / P 40 Oloo p P 3 Näytä, että ( p +1 0 (mod p j aia, u 2 j p 1 41 Näytä, että 2 1 f (mod 5 42 Johda telesooppiperiaatteella summa m arvo f =1 43 Osoita, että formaalille espoettisarjalle e T = EXP(T pätee

(a e 0 T =1 (b e T = 1 e T (c e T =(e T Z (d e it = cos T + i si T ; i 2 = 1 44 Määrää 10 esimmäistä Beroulli luua 45 Osoita geeroiva sarja avulla tehtävä 36 ohtie e ja f tuloset 46 Oloot A(T,B(T R[[T ]] ja A(T B(T =1 Näytä, että orda(t = ordb(t =0 47 Määrää sellaie A(T Z[[T ]], että missä (a P (T =T (b P (T =2+T (1 T T 2 A(T =P (T, 48 Osoita, että 49 Määrää summat u m =1,, 5 BIN 1/2 (T 2 =1+T S m ( =1 m +2 m + + m, 50 Määrää Beroulli polyomit B (x, u =0, 1,, 5 51 Oloo m 2Z + Osoita, että 52 Oloo p P 2 +1 S m ( Q[] (a Osoita valuaatio v p omiaisuudet 1-4 (b Osoita, että Z (p o regas ja että se ysiöryhmä Z (p o Z (p = {A Q v p (A =0} 53 Oloot p P, Z + ja A = p /( + 1 Osoita, että (a v p (A 0 (b jos 2, ii v p (A 1

(c jos 3jap 5, ii v p (A/p 2 0 54 Oloot a Z, m Z + Osoita, että (a a(a m 1B m Z (b a m (a m 1B m /m Z 55 Määrää summa =1 ( + r r +1 56 Määrää sarjoje (a sih(t, (b cosh(t, (c coth(t, (d tah(t, (e cot(t, (f ta(t, (g 1/ cosh(t, (h 1/ sih(t, (i 1/ cos(t, (j 1/ si(t ertoimet 57 Todista Beroulli polyomie omiaisuudet (a B (0 = ( 1 B (1 = B d (b B dx (x =B 1 (x (c B (x +1 B (x =x 1 (d B (1 x =( 1 B (x (e B (1/2 = (2 1 1B 58 Osoita, että 1 m +2 m + + m = B m+1( +1 B m+1 m +1 59 Oloo p P, äytä, että pb 2 1 2 +2 2 + +(p 1 2 (mod p

60 (a Oloo p P,p 1(mod 3 Näytä, että B 2p = 1 6 + A 2p, missä A 2p Z (b Tarastele luuje B 2 imittäjiä D 2, u =0, 1,, 13, 19 (c Osoita, että aluluvut 5, 7, 11, 13, 17 ovat sääöllisiä B 0 =1,B 1 = 1/2,B 2 =1/6,B 4 = 1/30,B 6 =1/42,B 8 = 1/30, B 10 =5/66,B 12 = 691/2730,B 14 =7/6 61 Asetetaa a 1 =1ja a +1 = 1 (1 + a2 1 + + a 2, Z + Tuti väitettä 62 Näytä, että a Z Z + E 2 = 42+1 2 +1 B 2+1 ( 1 4 63 Osoita, että (a ( +1 S m ( m Z +, Q[] (b 2 ( +1 2 S m ( m 2Z + +1 Q[] 64 Oloo A Q ja v p (A 0 p P Näytä, että A Z 65 Näytä, että (a E Z N, (b s 1 (, Z N, 0, (c S 2 (, Z N, 0 66 Näytä, että (a s 1 (, 0 = δ,0,s 1 (, =1, (b s 1 (, 1 = ( 1 1 ( 1!, (c s 1 (, 2 = ( 1 ( 1!H 1, (d s 1 (, 1 = ( 2 67 Näytä, että (a S 2 (, m =S 2 ( 1,m 1 + ms 2 ( 1,m,

m (b S 2 (, m = 1 ( 1 i( m m! i (m i i=0 aia, u Z +, 0 m 68 Oloo δ = xd = x d dx ja f = f(x,g = g(x Näytä, että (a (b (c D fg = x D f = δ f = ( D fd g s 1 (, δ f S 2 (, x D f 69 Osoita, että B m = m ( 1! +1 S 2(m, 70 Määrää Stirligi olmiot (mod p 8 riville asti, u p =2, 3, 5, 7 71 Oloo α C Osoita, että joot (a (α, (α, (b (α, (α, ( 2 α (c (1, (H, (d (!, (!H ovat lieaarisesti vapaita C: yli 72 Osoita differessioperaattoreille (a =( 1 (b E = ( ( ( E, 73 Oloo D Z eliövapaa Osoita, että D/ Q 74 Oloot Z 3 ja r Q + Osoita (Fermat suure lausee ojalla, että 1+r / Q

75 (a Rataise reursio a +2 ( +3a +1 +( +1a =0 1 (b Oloot f =! jae =! Osoita, että {(e!, (f } o (a-ohda rataisuata (c Määrää reursio rataisuata (d Rataise reursio (e Oloo g =! ( 1! Osoita, että {(f, (g } o (d-ohda rataisuata ( +2b +2 ( +3b +1 + b =0 a +2 ( +1a +1 ( +1a =0 76 Osoita ratioaaliluuje ja -futioide supistamis- ja lavetamissääöt 77 Osoita, että (a ( m+ ( r ( 1 =( 1 ( m r (b ( ( r ( 1 =( 1 δ r 78 Oloot (a, (b C Osoita idetiteettie ( a = b yhtäpitävyys b = ja ( ( 1 a 79 Määrää ( ( 1/2 1/p v 2,v p p P 80 Oloo p P ja = i p i, 0 i p 1 luvu Z + p-ataesitys seä asetetaa s p ( = i

Osoita, että v p (! = s p( p 1 81 (a Osoita Neperi luvu e irratioaalisuus äyttäe luvu e 1 sarjaesitystä (b Osoita, että ehdosta ae 2 + be + c =0, a, b, c Z, seuraa, että a = b = c =0