LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste (, ) y = x y = x y =,5x y = x y 5 x 7 7. a) Vastaus: Leikkauspiste on (, ). y 5 x 5 8 8 y = x + 5 y = x + y = x y = x y = x 4 Suorat ovat yhdensuuntaisia. KERTOMA 6! MAB6 47 LISÄTEHTÄVÄT
b). Piirretään mallikuva: y = x y = x y = 0,5x y = 0,5x y = x y = x y = kx + 0 Kaikki suorat kulkevat pisteen (0, ) kautta. c) y = x + y = x + y = 0,5x + 0,5 y = 0,5x 0,5 y = x y = x Kaikki suorat kulkevat pisteen (, 0) kautta. Kolmio on suorakulmainen ja sen korkeus on 0 ja kannan pituus on suoran nollakohdan ja nollan erotus. Suoran nollakohta: kx 0 0 kx 0 : k 0 x k Kolmion pinta-alan pitää olla 5, joten saadaan yhtälö, josta ratkaistaan kulmakertoimen k arvo. 0 0 k 5 0 0 50 k k Kun k =, niin suora on y = x + 0. KERTOMA 6! MAB6 48 LISÄTEHTÄVÄT
Suoran nollakohta on tällöin: 0 x 0 x 0 x 5 Kolmion kanta on 5 ja kolmion pinta-ala on kanta korkeus 50 A 5 Sama kolmio muodostuu, toiselle puolelle, jos kulmakerroin on. (ks. kuva alla) Kun k =, niin suora on y = x + 0 Suoran nollakohta on tällöin: 0 x 0 x 0 x 5 Kolmion kanta on 5 ja kolmion pinta-ala on kanta korkeus 50 A 5 Yhtälöryhmät 4. a) y x 4 x Algebrallisesti: Sijoitetaan x = : y ( ) 4 4 x Vastaus: y 4 Graafisesti: Piirretään suorat ja määritetään niiden leikkauspiste. x = y x 4 y = x + 0 y = x + 0 Leikkauspiste ( ; 0,5) Leikkauspiste on ( ; 0,5). Vastaus: k = tai k = Vastaus: x ja y 0,5 KERTOMA 6! MAB6 49 LISÄTEHTÄVÄT
b) y x 4 x 5x Algebrallisesti: Ratkaistaan alemmasta yhtälöstä x. x 5x x5x 4x x 4 9 Sijoitetaan x ylempään: y ( ) 4 4 6 c) y x y 4 Algebrallisesti: Sijoitetaan alempi yhtälö ylempään x 4 x x ja y x ( ) 4 tai x ja y x 4 Vastaus: x = ja y = 4 tai x = ja y = 4. Vastaus: x 4 9 y 6 Graafisesti: Piirretään kuvaajat y = x Graafisesti: Piirretään suorat ja määritetään niiden leikkauspiste. x 4 Leikkauspiste (, 4) Leikkauspiste (, 4) y = 4 Leikkauspiste ( 0,;,) y x 4 Leikkauspiste on ( 0,;,). Vastaus: x 0, ja y, Leikkauspisteet (, 4) ja (, 4) Vastaus: x = ja y = 4 tai x = ja y = 4. KERTOMA 6! MAB6 50 LISÄTEHTÄVÄT
5. On määritettävä vakio a siten, että suorilla y = x + a ja y = ax + on yhteinen piste (, 4). Suorilla on yhteinen piste, jos (, 4) on molempien suorien piste. Sijoitetaan piste (, 4) ensimmäisen suoran yhtälöön y = x + a: + a = 4, josta saadaan a = 0. Tällöin toinen suora on y = ax + = 0 x + = 0 + =, joka ei kulje pisteen (,4) kautta. Ei ole olemassa sellaista lukua a, että suorat kulkisivat pisteen (, 4) kautta samanaikaisesti. Vastaus: Suorilla ei ole yhteisenä pisteenä (, 4) millään a:n arvolla. 6. Määritetään kuvassa esiintyvien suorien yhtälöt. Laskeva (sininen) suora leikkaa y-akselin, kun y = 4 ja suoran kulmakerroin on,5 eli suoran yhtälö on y =,5x + 4. Muodostetaan kysytty yhtälöpari ja ratkaistaan se. y x y,5x 4 x,5x4 4,5x : 4,5 x 7 y x Vastaus: y (Tai etsitään kaksi suoran pistettä esim. (0, 4) ja (, ) ja lasketaan y y 4 5 5 kulmakerroin: k,5) x x 0 Nouseva (musta)suora leikkaa y-akselin, kun y = ja suoran kulmakerroin on eli suoran yhtälö on y = x +. (Tai etsitään kaksi suoran pistettä esim. (0, ) ja (, ) ja lasketaan y y kulmakerroin: k ) x x 0 KERTOMA 6! MAB6 5 LISÄTEHTÄVÄT
Lineaariset epäyhtälöt 7. y x y 0 x x 0 y x y Muokataan epäyhtälöryhmä muotoon x x. Piirretään rajasuorat koordinaatistoon (katkoviivoilla, koska ne eivät kuulu ratkaisualueeseen). y = x = x = (, ) (, ) y = x y = x = x = 8. Lasketaan suorien leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. Suora 00x + 400y = 00 (eli y = 0,75x + ) x akseli (sijoitetaan y = 0) 00 x 00 :00 x 4 y akseli (sijoitetaan x = 0) 400 y 00 :400 y Suora 500x + 000y = 000 (eli y = 0,5x + ) x akseli (sijoitetaan y = 0) 500 x 000 :500 x 6 y akseli (sijoitetaan x = 0) 000 y 000 :000 y Piirretään suorat ja väritetään kysytty alue: y = x Tutkitaan testipisteellä, onko väritetty tasoalue oikea. Valitaan testipisteeksi alueen piste (,5; ): >,5 tosi,5 > 0 tosi,5 < tosi,5 > 0 tosi x = 0 y = 0,5x + y = 0 y = 0,75x + KERTOMA 6! MAB6 5 LISÄTEHTÄVÄT
9. Suorat: B Vasemmanpuoleinen leikkaa y-akselin kohdassa 0 ja oikeanpuoleinen kohdassa 0. Suorien yhtälöt ovat täten y x0 ja y x 0. a) Nousevat suorat ovat yhdensuuntaiset ja niiden kulmakerroin on 0,5. (Tai lasketaan esim. ylemmän punaisen suoran kulmakerroin kahden pisteen (0, 8) ja (4, 0) avulla: y y 0 8 k 0,5 ) x x 40 4 Ylempi leikkaa y-akselin kohdassa 8 ja alempi kohdassa 5. Suorien yhtälöt ovat täten y x8ja y x 5. Laskevat suorat ovat yhdensuuntaiset ja niiden kulmakerroin on. (Tai lasketaan esim. vasemmanpuoleisimman suoran kulmakerroin kahden pisteen ( 4, ) ja (0, 0) avulla: y y 0 ( ) 8 k ) x x 0 ( 4) 4 A D C Valitaan tasoalueen piste (0, 0) testipisteeksi ja tutkitaan suorilla: 0 08 0 05 000 000 Kirjoitetaan epäyhtälöryhmä ja koska rajoitesuorat kuuluvat, niin yhtäsuuruus otetaan mukaan. y x 8 y x 5 y x 0 y x 0 y x 8 Vastaus: y x 5 y x 0 y x 0 KERTOMA 6! MAB6 5 LISÄTEHTÄVÄT
b) Lasketaan suorien leikkauspisteet A: B: y x 8 y x 8 y x0 y x0 x8x0 x 8x0 x6 4x0 x6 4x0 5x 6 :5 5x 4 :5 6 4 x x 5 5 6 4 4 y 0 y 0 5 5 5 5 Leikkauspiste: Leikkauspiste: 6 4 4, ( 7,;4,4) 5 5, (0,8;8, 4) 5 5 C: D: y x 5 y x 5 y x0 y x0 x5x0 x5x0 x0 4x0 x0 4x0 5x 0 :5 5x 0 :5 x 6 x y 6 0 y ( ) 06 Leikkauspiste: (6, ) Leikkauspiste: (, 6) Pinta-ala: Kuvio on muodoltaan suorakulmio, koska suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaa. (kulmakertoimien tulo on koska 0,5 ( ) =.) Lasketaan kannan CD ja korkeuden BC pituus CD (6 ( )) ( ( 6) 80 6 ( ) 4 4 676 BC 5 5 5 Pinta-ala: 676 A 80 086 04 5 4 4 6 Vastaus: Kärkipisteet ovat A = 04.,,,,(, 6),(6, ) ja 5 5 5 5 0. Merkitään tennareiden määrää x:llä ja laukkujen määrää y:llä. Tennareihin kuluu kumia 0,5x kg ja kangasta 0,08x. Laukkuihin kuluu kumia 0,06y kg ja kangasta 0,y. Kumia oli käytössä 500 kg ja kangasta 000 kg Saadaan rajoitteet 0,5 x 0,06 y 500 0,08 x 0, y 000 Lukumäärät ovat ei-negatiivisia, joten x 0 y 0. Hahmotellaan ratkaisu koordinaatistoon ja päätellään alueen kärkipisteistä suurimmat valmistusmäärät: Rajoitesuorien 0,5 x 0,06 y 500 0,08 x 0, y 000 leikkauspisteet akselien kanssa: KERTOMA 6! MAB6 54 LISÄTEHTÄVÄT
y-akseli (x = 0): 0, 06 y 500 :0,06 y 5000 ja 0, y 000 :0, y 0000 x-akseli (y = 0): 0,5 x 500 x 0000 ja 0, 08 x 000 x 5000 Eniten molempia valmistetaan suorien 0,5 x 0,06 y 500 0,08 x 0, y 000 leikkauspisteessä. Ratkaistaan yhtälöpari: 0,5x 0,06y 500 0, 08 0, 08x 0, y 000 ( 0,5) 0,0x0,0048y 0 0,0x 0,0y 00 0, 05y 80 : 0,05 y 74,8574 Sijoitetaan alempaan 0,08 x 0,74,8574 000 0,08 x 57,48574 :0,08 x 74,8574 Molempia voidaan valmistaa 7 4 kappaletta eli noin 7 00 kappaletta. Lineaarinen optimointi. Hillomunkit: x, pasteijat: y, tuotto,5x + y. Rajoite-epäyhtälöt x 0 y 0 x 00 y 400 x y 500 x y Piirretään rajoitesuorat. x 0 y 0 x 00 y 400 y x500 y x Vastaus: Rajoite-epäyhtälöt: 0,5x + 0,06y 500, 0,08x + 0,y 00, x 0 ja y 0. Molempia voidaan valmistaa noin 7 00 kappaletta. KERTOMA 6! MAB6 55 LISÄTEHTÄVÄT
Valitaan testipiste (00,00) 00 0 tosi 00 0 tosi 00 00 tosi 00 400 tosi 00 00 500 tosi 00 00 50 tosi Testipiste on tosi kaikilla epäyhtälöillä, joten tasoalue on kuvaan rajattu alue. Lasketaan alueen kärkipisteet ja määritetään optimoitavan lausekkeen,5x + y arvo kärkipisteissä. (0, 0) on suorien x = 0 ja y = 0 leikkauspiste. (00, 0) on suorien x = 00 ja y = 0 leikkauspiste. Lasketaan suorien x = 00 ja y = x + 500 leikkauspiste: x 00 y x 500 y 00 500 00 (00, 00) Lasketaan suorien y = x ja y = x + 500 leikkauspiste: y x y x 500 x x 500 x 500 : x 66,666 y 66,666, (66,67;,) Tuotteita valmistetaan kappalemäärä, joten tutkitaan toteuttaako kokonaislukupiste (67, ) epäyhtälöt: 67 0 tosi 0 tosi 67 00 tosi 400 tosi 67 500 tosi 67 66,5 tosi Lasketaan arvot Kärkipisteet,5x + y (0,0) 0 (00,0),5 00 = 450 (00, 00),5 00 + 00 = 650 suurin (67, ),5 67 + = 58,5 Kun valmistetaan 00 kpl hillomunkkeja ja 00 kpl pasteijoita, saadaan tuotolle suurin arvo 650 euroa. Vastaus: Tuottoa voidaan saada 650 euroa.. Mansikoita viljellään x neliömetriä sataa neliötä kohden ja perunoita y neliömetriä sataa neliötä kohden. Sataa neliötä kohden saadaan tehtävän mukaan tuottoa 650x + 000y Rajoite-ehdot: Direktiivin vuoksi x 40 ja y 0 ja toisaalta tutkittavan alueen pinta-ala on 00 m, joten x + y 00. Mansikoiden viljelyyn tarvitaan vähintään kaksinkertainen ala verrattuna perunaan, joten x y. KERTOMA 6! MAB6 56 LISÄTEHTÄVÄT
Saadaan epäyhtälöryhmä: x 40 y 0 x y x y 00 Ratkaistaan alueen kärkipisteet: A: Suorien y = 0,5x ja y = 0 leikkauspiste: 0, 5x 0 :0,5 x 60 (60, 0) Piirretään rajoitesuorat y 0 x 40 y x y x 00 x = 40 y = x + 00 C B: Suorien y = x + 00 ja y = 0 leikkauspiste x 00 0 x 70 (70, 0) C: Suorien y = x + 00 ja y = 0,5x leikkauspiste 0, 5 x x 00, 5 x 00 :,5 x 66,666 y 0,566,666, y = 0 y = 0,5x A B Tutkitaan, toteuttaako (66,6;,) epäyhtälöt 66,6 40 tosi, 0 tosi 66,6, 66,6 tosi 66,6,99,900 tosi Piste (66,6;,) käy. Valitaan testipiste (65, ). 65 40 tosi 0 tosi 65 6 tosi 65 96 00 tosi Alue on kuvaan merkitty alue. Myös kokonaislukupiste (67, ) kelpaa, koska 67 40 tosi 0 tosi 67 tosi 67 00 tosi KERTOMA 6! MAB6 57 LISÄTEHTÄVÄT
(Piste (66,7;,) ei käy koska 66,7, on epätosi. Piste (66,6;,4) ei käy koska 66,6,4 on epätosi. Piste (66,7;,4) ei käy koska 66,7,4 on epätosi.) Lasketaan optimoitavan lausekkeen arvot kärkipisteissä: Piste 650x + 000y (60, 0) 650 60 + 000 0 = 69 000 (70, 0) 650 70 + 000 0 = 75 500 (66,6;,) 650 66,6 + 000, = 76 590 suurin (Kokonaislukupisteellä (67, ) saadaan 650 67 + 000 = 76 550, joten kelpaa) Kannattaa viljellä mansikkaa 66,6 m 67 m ja perunaa, m m jokaista sataa neliömetriä kohden. Vastaus: Kannattaa viljellä mansikkaa 67 m ja perunaa m jokaista sataa neliömetriä kohden.. Kilpapallojen määrä: x Harjoituspallojen määrä: y Tuotto: 0x + 7y. Määritetään rajoite-ehdot. Koneet ovat toiminnassa 45 min jokaista tuntia kohden eli 75 %. Viikossa työskennellään 50 tuntia, joten koneiden (6 kpl) käyttöaika viikossa on 0,75 50 h 6 = 5 h = 60 5 min = 500 min. Kilpapallon leikkaamiseen kuluu 5 min ja harjoituspallon min. Koneet käyttävät siis leikkaamiseen aikaa 5x + y minuuttia Rajoite-ehto on 5x + y 500. Työntekijöitä on 800, joten heidän työaika minuutteina on yhteensä 800 50 60 = 400 000 Kilpapalloon kuluu 60 min ja harjoituspalloon 600 min. Siis yhteensä pallojen viimeistelyyn kuluu 60x + 600y minuuttia. Rajoite-ehto on 60x + 600y 400 000. Valmistusmäärät ovat ei-negatiivisia, joten saadaan epäyhtälöryhmä x 0 y 0 5xy 500 60x600y 400000 Rajoitesuorat: x 0 y 0 5xy 500 60x600y 400000 Piirretään suorat koordinaatistoon. Lasketaan kahden alemman suoran leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. 60x + 600y = 400 000 5x + y = 500 x-akseli (y = 0): x-akseli (y = 0): 60 x 400000 :60 5 x 500 : 5 x 6666,666. x 700 y-akseli (x = 0): y-akseli (x = 0): 600 y 400000 :600 y 4000 y 500 : y 4500 KERTOMA 6! MAB6 58 LISÄTEHTÄVÄT
A B 60x + 600y 400000 5x + y 500 C B: 5x y 500 ( 00) 60x600y 400000 000x600y 700000 60x600y 400000 640x 00000 : ( 640) x 468,75 Sijoitetaan ylempään yhtälöön ja ratkaistaan y: 5468,75 y 500 4,75 y 500 y 56,5 : y 78,75 Valitaan testipiste (00, 00) 00 0 tosi 00 0 tosi 5 00 00 800 500 tosi 6000 60000 96000 400000 tosi Lasketaan alueen kärkipisteet. Pisteet A ja C on laskettu jo suorien piirtämisen yhteydessä. A: (0, 4000) C: (700, 0) Pallojen valmistusmäärä on kokonaisluku, joten mahdollisia kokonaislukupisteitä voivat olla (468, 78) (469, 78) (468, 79) ja (469, 79). Tutkitaan kelpaavatko pisteet. Tutkitaan pistettä (468, 78): 468 0 tosi 78 0 tosi 5 468 78 494 500 tosi 60468 60078 9980 400000 tosi Piste käy. Tutkitaan pistettä (469, 78): 469 0 tosi 78 0 tosi 5 469 78 499 500 tosi 60469 60078 99640 400000 tosi Piste käy. KERTOMA 6! MAB6 59 LISÄTEHTÄVÄT
Tutkitaan pistettä (468, 79): 468 0 tosi 79 0 tosi 5 468 79 497 500 tosi 60468 60079 99880 400000 tosi Piste käy. Tutkitaan pistettä (469, 79): 469 0 tosi 79 0 tosi 5 469 79 50 500 EPÄTOSI 60469 60079 40040 400000 EPÄTOSI Piste ei käy. Ehdot toteuttavia kokonaislukupisteitä ovat siis pisteet (468, 78) (469, 78) ja (468, 79). Käytetään pistettä (468, 78) ja lasketaan optimoitava lauseke kärkipisteissä. Piste 0x + 7y (0, 4000) 7 4000 = 8000 (700, 0) 700 0 = 7000 (468, 78) 0 468 + 7 78 = 0706 suurin Tutkitaan, millä kolmesta kokonaislukupisteestä saadaan suurin voitto: Pisteellä (468, 78) saadaan 0 468 + 7 78 = 0706 Pisteellä (469, 78) saadaan 0 469 + 7 78 = 076 (suurin) Pisteellä (468, 79) saadaan 0 468 + 7 79 = 07 Kannattaa valmistaa 469 kilpapalloa ja 78 harjoituspalloa. (Arvot voi pyöristää lukuihin 470 ja 700 tarkkuuksien ja ehtojen rajoissa.) Lukujonot 4. Lasketaan muutama termi a n = n a = = a = = 4 a = = 8 Seuraava termi on aina kaksi kertaa edellinen, joten rekursiivinen sääntö on a n+ = a n, a = (n =,,, ) Miljoona on 0 6, joten ratkaistaan yhtälöstä muuttujan n arvo. n 6 0 lg n 6 lg lg 0 6 nlg lg 0 : lg n 9,9 a 9 = 9 = 54 88 (< 000 000) a 0 = 0 = 048 576 (> 000 000) joten 0. jäsen ylittää miljoonan. Vastaus: Rekursiivinen sääntö on a n+ = a n, a = ja lukujonon 0. jäsen ylittää miljoonan. 5. a) Seuraava jäsen on yhden pienempi kuin edellinen. 5, 4,,,, 0,,. Lukujono on aritmeettinen ja d = ( ), joten lukujonon analyyttinen sääntö saadaan aritmeettisen lukujonon avulla. a n = a + (n ) d = 5 + (n ) ( ) = 5 n + = n + 6 Vastaus: a n = n + 6 Vastaus: Kannattaa valmistaa 469 kilpapalloa ja 78 harjoituspalloa. KERTOMA 6! MAB6 60 LISÄTEHTÄVÄT
b) Seuraava jäsen on kaksi suurempi kuin edellinen., 4, 6, 8, 0,, 4. Lukujono on aritmeettinen ja d =, joten lukujonon analyyttinen sääntö saadaan aritmeettisen lukujonon avulla. a n = a + (n ) d = + (n ) = + n = n Vastaus: a n = n c) Lukujono vuorottelee,,,,,,. Vuorotteleva jono saadaan luvun potenssina a n = ( ) n Vastaus: a n = ( ) n. d) Seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla viidellä. 5, 5, 5, 65, 5, 565 Lukujono on geometrinen ja q = 5, joten lukujonon analyyttinen sääntö saadaan geometrisen lukujonon avulla. a n = a q n = 5 5 n = 5 +n = 5 n (Tai analyyttinen sääntö saadaan suoraan luvun viisi potenssina a n = 5 n.) Vastaus: a n = 5 n. 6. a) a n = n + Tutkitaan yhtälöä n 75 n 750 : n 75 Luku 75 on lukujonon 75:s jäsen. Vastaus: On. b) a n = n + Tutkitaan yhtälöä n 75 n 75 : n 50 n 50 5,8... Ratkaisu ei ole kokonaisluku, joten luku 75 ei ole lukujonon jäsen. Vastaus: Ei ole. c) a n + = a n, a = 00 Lukujonon sääntö on rekursiivinen, joten lasketaan muutamia jäseniä eteenpäin. a 4 = 00 = 600 a 5 = 600 = 00 > 75 75 ei ole lukujonon jäsen. Vastaus: Ei ole. 7. a) Ensimmäisen vuoden alussa metsässä on 000 puuta. (a = 000) Ensimmäisen vuoden aikana kaadetaan 0,05 000 = 00 puuta. Toisen vuoden alussa metsässä on 000 00 + 500 = 00 puuta. (a = 000 0,975 + 500) Toisen vuoden aikana kaadetaan 0,05 00 = 05 puuta. Kolmannen vuoden alussa metsässä on 00 05 + 500 = 95 puuta. (a = ( 000 0,975 + 500) 0,975 + 500 = 000 0,975 + 500 0,975 + 500) Vastaus: Kolmannen vuoden alussa metsässä on 95 puuta. KERTOMA 6! MAB6 6 LISÄTEHTÄVÄT
b) Edellisen vuoden aikana kaadetaan,5 % puista ja lisätään 500 vuoden lopussa. a n+ = a n 0,05 a n + 500, a = 000 (n =,,, ) Sääntö voidaan sieventää: a n+ = a n 0,05 a n + 500 = 0,975 a n + 500 Tehtävässä pyydettiin ilmaisemaan lukujono a n, joten se saadaan muodossa a n = 0,975 a n + 500, a = 000 (n =,, 4 ). Vastaus: a n = 0,975 a n + 500, a = 000 (n =,, 4 ). Aritmeettinen lukujono 8. a) a n+ = a n, a = 00. Lukujonon seuraava termi saadaan edellisestä kertomalla se luvulla, joten lukujono ei ole aritmeettinen. Vastaus: Ei ole. b) a n+ = a n + 5, a =. Lasketaan termejä: a = a = + 5 = 4 a = 4 + 5 = Lasketaan erotukset: 4 = 9 4 = Kahden peräkkäisen termin erotus ei ole vakio, joten lukujono ei ole aritmeettinen. c) a n+ = (a n + ), a = 4. Lasketaan termejä a = 4 a 4 = ( 4 + ) = 4 a 5 = ( 4 + ) = 4 Kyseessä on vakiojono 4, 4, 4,, joten erotusluku on d = 0 a n = 4 Vastaus: On, a n = 4. d) a n+ = + a n, a = 00. Lasketaan termejä a = 00 a 4 = + 00 = 0 a 5 = + 0 = 04 Kahden peräkkäisen termin erotus on aina vakio (04 0 = 0 00 = ), joten lukujono on aritmeettinen ja erotusluku eli differenssi on d =. (Tai tutkitaan kahden peräkkäisen erotusta: a n+ a n = + a n a n =. Erotus on vakio, joten jono on aritmeettinen.) Määritetään yleinen termi. a = 00 a = 00 = 98 a = 00 = 96. a n = a + (n ) d = 96 + (n ) = 96 + n = n + 94 Vastaus: On, a n = n + 94. 9. Lukujono muodostuu siten, että seuraava jäsen on kahden edellisen jäsenen keskiarvo. Lukujonon jäsenet peräkkäiset jäsenet ovat a n, a n+, a n+. Vastaus: Ei ole. KERTOMA 6! MAB6 6 LISÄTEHTÄVÄT
Seuraava jäsen on kahden edellisen jäsenen keskiarvo, eli an an an. Tutkitaan kahden peräkkäisen jäsenen erotusta an an an an an an an an Erotus ei ole yleisesti vakio. Jos lukujonon kaksi ensimmäistä lukua ovat samat a = a ja a = a, a a niin a a. Tällöin lukujono on aritmeettinen, koska muodostuu vakiojono. an an Vastaus: Lukujonon rekursiivinen sääntö on an. Lukujono ei ole aritmeettinen ellei jonon kaksi ensimmäistä lukua ole samat. 0. Sainin säätösumma on + + + Kun on kulunut n viikkoa Sainilla on n euroa rahaa. Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan viikkojen lukumäärä n. n 600 : n 00 (Tai aritmeettinen lukujono, jossa a =, a n = ja d = 0. Sn n 600 n 600 n n 00) Vastaus: 00 viikon kuluttua.. (vrt. 8 d) a n+ = + a n, a = 00. a = 00 a 4 = + 00 = 0 Lukujono on aritmeettinen, joten d = 0 00 =. a = 00 a = 00 = 98 a = 00 = 96. a n = a + (n ) d a 50 = 96 + 49 = 94 (Tai yleisen jäsenen a n = n + 94 (ks. 8d) avulla a 50 = 50 + 94 = 94.) a an Sn n 96 94 S50 50 750 Vastaus: S 50 = 7 50. Katsomossa on 70 penkkiriviä ja ensimmäisessä on 00 paikkaa. Paikkoja on yhteensä 6 660. Viimeisellä rivillä on x paikkaa. Lukujono on aritmeettinen, joten käytetään aritmeettista summaa. 00 x 70 6660 70(00 x) 0 7000 70x 0 70x 60 : 70 x 76 Vastaus: Viimeisellä penkkirivillä on 76 paikkaa. KERTOMA 6! MAB6 6 LISÄTEHTÄVÄT
. Piirretään kaaviokuva, kun katu oli 0 korttelia pitkä ja kunkin korttelin pituus oli 00 m. Etäisyys ensimmäisen korttelin alusta kaatopaikalle oli,5 km. Kaatopaikka Korttelit... 4. 9. 0.,5 km 0, km 0, km 0, km 0, km Ensimmäisen matkan pituus oli,5 + 0, + 0, +,5 = 5,4 (km) (a = 5,4) Toisen matkan pituus oli,5 + 0, + 0, + 0, + 0, +,5 = 5,4 + 0,4 = 5,8 (km) (a = a + 0,4) Kolmannen matkan pituus oli 5,8 + 0,4 = 6, (km) (a = a + 0,4) 4. Aritmeettinen summa,5 + 7 + + 7. Aritmeettinen lukujono, jossa a =,5 ja erotusluku on d = 7,5 = 5,5. Selvitetään kuinka mones jäsen 7 on lukujonossa. a n = a + (n ) d a n =,5 + (n ) 5,5 7,5 5,5 n 5,5 5,5n : ( 5,5) n On siis laskettava jäsenen summa. a an Sn n, 5 7 S 0,5 Vastaus:,5 + 7 + + 7 = 0,5 Matkan pituus kasvaa aina 0,4 km, joten viimeinen kolmaskymmenes matka oli 5,4 km + 9 0,4 = 7 km (a 0 = a + 9 0,4) (Tai (,5 + 0 0,) = 7) Kuljetusta matkasta tulee aritmeettinen summa 5,4 + 5,8 + 6, + + 7. 5, 4 7 S0 0 6 Vastaus: Matkaa kertyi yhteensä 6 km. KERTOMA 6! MAB6 64 LISÄTEHTÄVÄT
Geometrinen lukujono 5. Lukujono x, x x, x on geometrinen, jos peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. Ratkaistaan yhtälö (esimerkiksi ristiin kertomalla). x x x x x x x x ( x x)( x x) 4 4 x x x x x 4 4 x x x x x x 0 x (x) 0 Tulon nollasäännöllä saadaan x 0 tai x 0 x 0 tai x 0,5 Jos x = 0, niin tulee jono 0, 0, 0, joka ei ole geometrinen. Jos x = 0,5, niin tulee jono 0,5; 0,5; 0,5, joka on geometrinen 0,5 0,5 lukujono ja q 0,5. 0,5 0, 5 Vastaus: x = 0,5 6. Lasketaan 00 ensimmäisen termin summa geometrisen summan kaavalla, kun a = 00 ja q = 0,7. ( n a q S ) n q 00 00( 0,7 ) S00,... 0,7 500 00( 0,7 ) S500,... 0,7 000 00( 0,7 ) S000,... 0,7 Summa näyttää pysyvän likimain samana, joten summa ei saavuta arvoa 000 koskaan. Vastaus: S 00,. Lukujonon summa ei saavuta arvoa 000 koskaan. 7. Lasketaan geometrisen lukujonon, 9, 7, summia, kun a = 00 ja 9 q. n a( q ) Sn q ( ) S ( ) S ( ) S 9 Osasummien muodostama lukujono on,, 9, Lasketaan suhteet: 4 9,5 Jonon termien suhde ei ole vakio, joten jono ei ole geometrinen. Vastaus: Lukujono summista ei ole geometrinen. Tutkitaan summan muutosta laskemalla 500 ja 000 ensimmäisen termin summa KERTOMA 6! MAB6 65 LISÄTEHTÄVÄT
8. (vrt. Esimerkki s. 5) Ensimmäinen talletus kasvaa korkoa 0 vuotta, seuraava 9 jne. Korkokerroin on q =,0075 Tilin saldo 0 vuoden kuluttua säästämisen aloittamisesta muodostaa geometrisen summan 000,0075 0 + 000,0075 9 + 000,0075 8 + + 000,0075 + 000,0075 Muutetaan termien järjestys 000,0075 + 000,0075 + + 000,0075 8 +000,0075 9 + 000,0075 0 Sijoitetaan geometriseen summakaavaan a = 000,0075, q =,0075 ja n = 0. 0 000,0075(,0075 ) S0 50,908...,0075 Vastaus: 50,90 9. Geometrisen lukujonon ensimmäinen termi on a =. ( q ) Lukujonon n ensimmäisen termin summa on Sn. q 00 ( q ) Lukujonon 00 ensimmäisen termin summa on S00. q On ratkaistava, millä q:n arvolla Etsitään haarukoimalla q:lle sopiva arvo. 00 ( q ) 000000. q 00 (, 5 ) 8 6 Kun q =,5, niin S00,66... 0 0, joten q:n,5 arvon on oltava pienempi. n 00 (, ) 6 Kun q =,, niin S00 7559,4... 0, joten q:n, arvon on oltava suurempi. 00 (, ) 6 Kun q =,, niin S00 887975... 0, joten q:n, arvon on oltava pienempi. 00 (, ) 6 Kun q =,, niin S00 690,45... 0, joten q:n, arvon on oltava suurempi. 00 (,5 ) 6 Kun q =,5, niin S00 9856,68... 0, joten,5 q:n arvon on oltava suurempi. 00 (,6 ) 6 Kun q =,6, niin S00 006894,64... 0, joten,6 q:n arvon on oltava pienempi. Jos päätetään käyttää vastauksessa kolmen desimaalin likiarvoa, lasketaan vielä arvolla 00 (,55 ) 6 q =,55, jolloin S00 96695,95... 0, joten,55 q:n arvon on oltava suurempi. Kysytty arvo on siis kolmen desimaalin tarkkuudella q =,6. ( q )! Voi myös muodostaa yhtälön 000000. Tämä johtaa q kuitenkin yhtälöön, joka on ratkaistava kokeilemalla (haarukoimalla) vastaavasti kuin tässä ratkaisussa on tehty. Lukujonon 00 ensimmäisen termin summa on yli miljoona, kun q =,6. Vastaus: Kysytty arvo on kolmen desimaalin tarkkuudella q =,6. 00 KERTOMA 6! MAB6 66 LISÄTEHTÄVÄT
PIKAOSIO. Muutetaan suoran yhtälö y + x = 00 ratkaistuun muotoon y = x + 00, josta nähdään, että kulmakerroin on. Vastaus: Kulmakerroin on.. Ratkaistaan yhtälöpari y x y x x x xx x x. y x Vastaus: Suorien leikkauspiste on (, ). 4. Kuvasta saadaan tasoalueen kärkipisteen koordinaatit (, ), (6, ) ja (, ). Lasketaan lausekkeen x + y arvo kärkipisteissä. Tasoalueen piste (x, y) Lauseke x + y (, ) ( ) + ( ) = 6 (6, ) 6 + ( ) = 0 suurin (, ) + = 6 Vastaus: Lausekkeen suurin arvo on 0. 5x x 5xx x x Vastaus: x 5. x 5 lg x lg 5 lg x lg5 lg :lg5 lg x 0,406 lg 5 lg Vastaus: x 0, 4 lg 5 KERTOMA 6! MAB6 67 PIKAOSIO
6. Differenssi on d = 7 = 5 an a n d a 5 5 45 7 5 Vastaus: Viidestoista termi on a 5 =7. 9 4 7. Suhdeluku on q,8 5 5 9 4 Vastaus: q,8 5 5 8. Lukujono, x, 7 on aritmeettinen, jos peräkkäisten termien erotus on vakio. Saadaan x 7x xx 7 x 9 : 9 x 4 4,5 Vastaus: 9 x 4 4,5 9. Piirretään suorat y = x ja y = x + koordinaatistoon ja väritetään suorien ja y-akselin rajoittama tasoalue. y = x y = x + A B C x = 0 Kolmion pinta-alan laskemiseksi tarvitaan pisteiden B ja C y-koordinaatit, joiden avulla määritetään kolmion kanta pisteen A x-koordinaatti, joka kertoo kolmion korkeuden Piste B y x x 0 y x 00 Piste C y x x 0 y x0 Kolmion kantasivun BC pituus on a =. Piste A y x y x x x xx x x Kolmion korkeus on h. kanta korkeus Kolmion pinta-ala on A 6 Vastaus: Kolmion pinta-ala on 6. KERTOMA 6! MAB6 68 PIKAOSIO
0.. Geometrinen lukujono, jossa a = ja a 7 = 00. a a q n a a q 7 n 6 00 q 6 Ratkaistaan suhdeluku q yhtälöstä. 6 q 00 : q 6 00 q 6 00,544 q,54 tai q,54 Vastaus: Suhdeluku on q =,54 tai q =,54. Kuvassa esitettyä tasoaluetta rajoittaa kaksi suoraa: musta nouseva suora ja sininen laskeva suora. Mustan nousevan suoran yhtälö on y = x. (Kulmakerroin on ja kulkee origon kautta.) Sinisen laskevan suoran yhtälö on y = x + 4. (Kulmakerroin on ja leikkaa y-akselin pisteessä (0, 4).) Kuvassa esitettyä tasoaluetta kuvaa siten epäyhtälöryhmä y x4, koska rajasuorat kuuluvat mukaan (piirretty y x kokonaisilla viivoilla). Vastaus: y x4 y x. Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 500. Seuraava jäsen on 0 % suurempi, kuin edellinen, joten q =,0. Rekursiivinen sääntö on a n+ =,0a n, a = 500, n =,,, Vastaus: a n+ =,0a n, a = 500. a = ja d = 0 = a n = a + (n )d a 00 = + 99 ( ) = 96 ( 96) S00 00 9700 Vastaus: S 00 = 9 700 4 4. a = ja q Lukujonon seitsemän ensimmäisen termin summa on ( + 4 + 8 + 6 + + 64 + 8) 7 ( ) S7 54 ( n a q S ) n q a n = a q n a 7 = a q 6 = 6 = 8 a 8 = a q 7 = 7 = 56 KERTOMA 6! MAB6 69 PIKAOSIO
Lukujonon seuraavien seitsemän termin summa on (56 + 5 + 04 + 048 + 4096 + 89 + 684) 7 56( ) S 5 Lasketaan kuinka monta prosenttia 54 on pienempi kuin 5. 54 0,00785 eli noin 99, % pienempi. 5 (Tai 7 ( ) 0,00785 ) 7 56( ) 65 Vastaus: 99, prosenttia pienempi KERTOMA 6! MAB6 70 PIKAOSIO
HARJOITUSKOE. a) Suorien leikkauspisteessä x- ja y-koordinaatit ovat yhtä suuret. y x y 5x 5 x5x5 x5x 5 7x x 7 0 6 y x 7 7 7 6 Vastaus: Leikkauspiste on, 7 7. b) Ratkaistaan yhtälöpari TAI y x y x x x x x x x 0 x(x) 0 x 0 tai x0 x x x x x 0 xx ( ) 0 x 0 tai x 0 x Kun. 4 x, niin y x Vastaus: Leikkauspisteet ovat (0, 0) ja, 4.. Aritmeettinen lukujono, 7,, missä a = ja d = 7 = 5. Yleinen jäsen on a n = a + (n )d. a n = + (n ) 5 = + 5n 5 = 5n Kymmenes jäsen on a 0 = 5 0 = 47. (Tai a 0 = + 9 5 = 47) Kymmenen ensimmäisen termin summa saadaan summakaavalla a an Sn n. S 0 47 0 45 Vastaus: a n = 5n, a 0 = 47, S 0 = 45. y x 4 y 5x x 0 Piirretään rajasuorat y x 0,75 x, y 5x ja x 0 4 koordinaatistoon. Kun x = 0, niin y = x = 0 = 0. KERTOMA 6! MAB6 7 HARJOITUSKOE
x = 0 A = (0, ) B = (0, 0) y = 5x + y = 0,75x Väritetään epäyhtälöryhmän määrittämä tasoalue (esim. nuolia apuna käyttäen). Tarkistetaan testipisteen (, ) avulla, onko väritetty tasoalue oikea. Epäyhtälö y x : 4 tosi 4 Siis testipiste kuuluu ratkaisualueeseen. Täten suoran yläpuolinen alue on ratkaisu ja suora ei kuulu ratkaisuun. (Suora on piirretty kuvaan katkoviivalla). Epäyhtälö y < 5x +: < 5 + tosi Siis testipiste kuuluu ratkaisualueeseen. Täten suoran alapuolinen alue on ratkaisu ja suora ei kuulu ratkaisuun. (Suora on piirretty kuvaan katkoviivalla). Epäyhtälö x 0: 0 tosi Siis testipiste kuuluu ratkaisualueeseen. Täten suoran oikeanpuoleinen alue on ratkaisu ja suoran osa kuulu ratkaisuun. (Suora on piirretty kuvaan yhtenäisellä viivalla). Merkitään tasoalueen kärkipisteet A ja B. Ratkaistaan kärkipisteet suorien leikkauspisteistä yhtälöpareilla. Piste A x 0 y 5x y 50 Piste on A = (0, ). Piste B x 0 y x 4 y 0 0 4 Piste on B = (0, 0). x = 0 y = 0,75x (0, ) (0, 0) y = 5x + Vastaus: Yhtälöryhmän ratkaisu on esitetty graafisesti oheisessa kuvassa. Tasoalueen kärkipisteet ovat (0, ) ja (0, 0). KERTOMA 6! MAB6 7 HARJOITUSKOE
4. x 0 y 0 x y 8 x y 7 Määritetään epäyhtälöryhmän graafinen ratkaisu ja lasketaan lausekkeen x + y arvot alueen kärkipisteissä. Piirretään rajoitesuorat. x 0 y 0 x y 8 x y 7 Tapa Ratkaistaan kaksi alinta epäyhtälöä muuttujan y suhteen. x y 8 y x8 : x y 75 y x 75 y x4 Piirretään rajasuorat y x 4, y = x + 75, x = 0 (y-akseli) ja y = 0 (x-akseli) Tapa Ratkaistaan kahdesta alemmasta suorasta x- ja y- akselin leikkauspisteet ja piirretään suorat niiden avulla siten että y-akselilla x = 0 ja x-akselilla y = 0. Suora x + y = 8: Kun x = 0, niin 0 y 8 : y 4 eli piste on (0,4). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste D) Kun y = 0, niin x + 0 = 8 eli piste on (8, 0). Suora x + y = 7: Kun x = 0, niin 0 + y = 7 eli piste on (0,7). Kun y = 0, niin x 0 7 : x,5 eli piste on (,5; 0). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste B) Lisäksi merkitään nuolet kuvaamaan jokaisen yksittäisen epäyhtälön määrittämää tasoaluetta. Koordinaatistoon piirrettyjen rajasuorien ja nuolien avulla voidaan päätellä, että tasoalue, jolla kaikki epäyhtälöt toteutuvat on suorien rajoittama nelikulmio. Väritetään kyseinen alue. Nimetään nelikulmio ABCD. x = 0 D = (0, 4) y = x + 7 y = 0 C = (, ) y = 0,5x + 4 A = (0, 0) B = (,5; 0) KERTOMA 6! MAB6 7 HARJOITUSKOE
Tarkistetaan, onko väritetty tasoalue oikea. Valitaan tarkistuspisteeksi piste (, ) ja sijoitetaan se erikseen jokaiseen epäyhtälöön. x 0 0 tosi y 0 0 tosi x y 8 8 tosi x y 7 7 tosi Tavassa Selvitetään vielä kyseisen tasoalueen kärkipisteiden koordinaatit A, B, C ja D yhtälöparien avulla. Piste A Piste B x 0 y x7 y 0 y 0 x 70 x 7 7 x,5 Piste on A = (0, 0). Piste on B = (,5; 0). Piste C Piste D y x 4 y x 4 y x7 x 0 x4x7 y 0 4 4 x 74 x x y 7 Piste on C = (, ). Piste on D = (0, 4). Tavassa Jos suorat on piirretty suoran ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteiden avulla kuten tavassa, niin silloin on jo laskettu pisteet B ja D, joten nyt riittää laske pisteet A ja C. Piste A: x 0 y 0 Piste C: xy 8 x y 7 ( ) xy 8 4x y 4 x 6 :( ) x Sijoitetaan alempaan yhtälöön: y 7 y Piste on C = (, ). Lasketaan lausekkeen x + y arvo tasoalueen kärkipisteissä. Tasoalueen piste (x, y) x + y A = (0, 0) 0 + 0 = 0 B = (,5; 0),5 + 0 =,5 C = (, ) + = 5 suurin D = (0, 4) 0 + 4 = 4 Vastaus: Lausekkeen x + y suurin arvo on 5. KERTOMA 6! MAB6 74 HARJOITUSKOE
5. Geometrinen lukujono, jossa a = 5 ja q =. a) a n = a q n a 5 = 5 5 = 94 845 Vastaus: 94 845 b) Ratkaistaan n:n arvo, jolla saadaan arvo 0 9. n 9 5q 0 :5 n 8 0 lg n 8 lg lg 0 8 8 8 ( n )lglg 0 :lg lg 0 n lg lg 0 n lg n 8,9 a 8 = 5 8 = 645 700 85 < 0 9 a 9 = 5 9 = 97 0 445 < 0 9 Siis lukujonon 9. jäsen ylittää miljardin. Vastaus: Lukujonon 9. jäsen ylittää miljardin. 6. Merkitään kaulakorujen määrää muuttujalla x ja rintakorujen määrää muuttujalla y. Optimoitava funktio on saatava rahamäärä 5000x + 500y. Taulukoidaan koruihin kuluvat raaka-aineet Kulta (g) Platina (g) Rintakoru (x) 5x x Kaulakoru (y) y 4y Yhteensä 00 00 Korujen määrät ovat ei-negatiivisia. Korujen valmistusta rajoittavat epäyhtälöt x 0 y 0 5xy 00 x4y 00 Määritetään epäyhtälöryhmän graafinen ratkaisu ja lasketaan lausekkeen 5000x + 500y arvot alueen kärkipisteissä. Tapa Ratkaistaan kaksi alinta epäyhtälöä muuttujan y suhteen. 5x y 00 x 4y 00 y 5x00 : 4y x00 :4 5 y x00 y x50 Piirretään rajoitesuorat. x 0 y 0 5xy 00 x4y 00 KERTOMA 6! MAB6 75 HARJOITUSKOE
Tapa Kaksi ensimmäistä suoraa ovat y- ja x- akseli. Lasketaan kahden alemman suoran leikkauspisteet x- ja y-akselien kanssa. Ratkaistaan kahdesta alemmasta suorasta x- ja y- akselin leikkauspisteet ja piirretään suorat niiden avulla siten että y-akselilla x = 0 ja x-akselilla y = 0. Suora 5x + y = 00: Kun x = 0, niin 50 y 00 : y 00 eli piste on (0,00). Kun y = 0, niin 5 x 0 00 :5 x 60 eli piste on (60, 0). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste B) Suora x + 4y = 00: Kun x = 0, niin 0 4 y 00 :4 y 50 eli piste on (0,50). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste D) Kun y = 0, niin x 40 00 : x 00 eli piste on (00, 0). Lisäksi merkitään nuolet kuvaamaan jokaisen yksittäisen epäyhtälön määrittämää tasoaluetta. Koordinaatistoon piirrettyjen rajasuorien ja nuolien avulla voidaan päätellä, että tasoalue, jolla kaikki epäyhtälöt toteutuvat on suorien rajoittama nelikulmio. Väritetään kyseinen alue. Nimetään nelikulmio ABCD. x = 0 D = (0, 50) 5 y x00 C = (4,9; 8,6) y 0,5x50 A = (0, 0) y = 0 B = (60, 0) Tarkistetaan, onko väritetty tasoalue oikea. Valitaan tarkistuspisteeksi piste (0, 0) ja sijoitetaan se erikseen jokaiseen epäyhtälöön. x 0 0 0 tosi y 0 0 0 tosi 5xy00 50 0 00 tosi x4y00 0 40 00 tosi Ratkaisualue on kaikkien suorien väliin jäävä alue, joka on nelikulmio ABCD. KERTOMA 6! MAB6 76 HARJOITUSKOE
Tavassa Selvitetään vielä kyseisen tasoalueen kärkipisteiden koordinaatit A, B, C ja D yhtälöparien avulla. Piste A: x 0 y 0 Piste on A = (0, 0). Piste B: 5 y x 00 y 0 5 x 00 0 5 5 x 00 : x 60 Piste on B = (60, 0). Piste C: 5 y x 00 y x50 5 x00 x50 5 x x 50 00 7 7 x 50 : 6 6 00 6 x 4 4,857 4,9 7 7 00 00 4 y x50 50 8 8,57 8,6 7 7 7 00 00 6 4 C, 4,8 (4,9;8,6). 7 7 7 7 Piste on Piste D: y x 50 x 0 y 0 50 50 Piste on D = (0, 50). Tavassa Jos suorat on piirretty suoran ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteiden avulla kuten tavassa, niin silloin on jo laskettu pisteet B ja D, joten nyt riittää laske pisteet A ja C. Piste A: x 0 y 0 Piste C: 5xy 00 ( ) x4y 00 5 0x6y 600 0x0y 000 4y 400 :4 00 y 8,6 7 KERTOMA 6! MAB6 77 HARJOITUSKOE
Sijoitetaan alempaan 00 x 4 00 7 600 x : 7 00 x 4,9 7 00 00 6 4 Piste on C, 4, 8 (4, 9; 8,6). 7 7 7 7 Lasketaan lausekkeen 5000x + 500y arvot tasoalueen kärkipisteissä. Ilmoitetaan C likiarvona. Tasoalueen piste (x, y) 5000x + 500y A = (0, 0) 5000 0 + 500 0 = 0 B = (60, 0) 5000 60 + 0 = 00 000 C = (4,9; 8,6) 5000 4,9 + 500 8,6 = 4 600 suurin D = (0, 50) 0 + 500 50 = 75 000 Lauseke 5000x + 500y saa suurimman arvonsa pisteessä 00 00 6 4 C, 4, 8 (4, 9; 8,6). 7 7 7 7 Tehtävässä pitää tarkastella kokonaislukuja, joiden arvot on testattava epäyhtälöissä. x = 4, y = 8 x = 4, y = 9 x = 4, y = 8 x = 4, y = 9 5x + y 00 x + 4y 00 5 4 + 8 = 94 00 OK 5 4 + 9 = 97 00 OK 5 4 + 8 = 99 00 OK 5 4 + 9 = 0 > 00 EI KÄY 4 + 4 8 = 96 00 OK 4 + 4 9 = 00 00 OK 4 + 4 8 = 98 00 OK 4 + 4 9 = 0 > 00 EI KÄY Laskelmien perusteella nähdään, että kokonaislukuparit (4, 8), (4, 9) ja (4, 8) täyttävät vaaditut ehdot. Selvitetään, missä pisteessä tuotto 5000x + 500y on suurin. Piste (x, y) 5x + 4y (4, 8) 5000 4 + 500 8 = 08 000 (4, 9) 5000 4 + 500 9 = 500 (4, 8) 5000 4 + 500 8 = 000 suurin Tuotto on suurin pisteessä (4, 8), joten rintakoruja (x) kannattaa valmistaa 4 kpl ja kaulakoruja (y) kannattaa valmistaa 8 kpl. Vastaus: Valmistettava 4 rintakorua ja 8 kaulakorua. Tarkastellaan C pisteen lähellä olevat kokonaislukuarvot x = 4 tai x = 4 ja y = 8 tai y = 9 Tutkitaan missä kokonaislukupisteissä vaaditut epäyhtälöt toteutuvat. Epäyhtälöt x 0 ja y 0 toteutuvat varmasti, joten tutkitaan muut epäyhtälöt: KERTOMA 6! MAB6 78 HARJOITUSKOE
7. a) Aritmeettinen lukujono, jossa a = ja a = 8. a a n d n a a d 8 d 6 d d 6 : d Lasketaan sadan ensimmäisen termin summa kun q = : 00 ( ) 0 0 S00,550,550 Vastaus: Sadan ensimmäisen termi summa on S 00,5 0 0 tai S 00 8,45 0 9. Sadas jäsen on a 00 = a + (00 )d = + 99 = 99. Sadan ensimmäisen termin summa saadaan summakaavalla: a an Sn n 99 S00 00 5050 Vastaus: S 00 = 5050 b) Geometrinen lukujono, jossa a = ja a = 8. n an aq a aq q 8 : q 4 q Lukujono voi olla siis muotoa, 4, 8, tai, 4, 8, Lasketaan sadan ensimmäisen termin summa kun q = : n a( q ) Sn q 00 ( ( ) ) 9 9 S00 8,45000 8,450 ( ) KERTOMA 6! MAB6 79 HARJOITUSKOE
HARJOITUSKOE. Lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen luku,5 ja a = 8. a) Lukujono muodostuu säännön mukaan a = 8 +,5 = 9,5 a = 9,5 +,5 = a 4 = 9,5 +,5 =,5 Merkitään edellistä jäsentä a n, jolloin seuraava jäsen on a n+. Rekursiivinen sääntö on a n+ = a n +,5, a = 8 ja n =,,, Vastaus: a n+ = a n +,5, a = 8 ja n =,,, b) Lukujono muodostuu säännön mukaan a = 8 +,5 a = 8 +,5 +,5 = 8 +,5 a 4 = 8 +,5 +,5 +,5 = 8 +,5 = 8 + (4 ),5 a 5 = 8 +,5 +,5 +,5 +,5 = 8 + 4,5 = 8 + (5 ),5 Lukujonon analyyttinen sääntö on a n = 8 + (n ),5 = 8 +,5n,5 =,5n + 6,5 (Tämä on aritmeettinen lukujono, joten yleinen sääntö voidaan muodostaa myös aritmeettisen jonon avulla.). Koiranäyttelyssä on yhteensä 00 koiraa ja ihmistä ja jalkojen lukumäärä on yhteensä 040. Merkitään koirien lukumäärää muuttujalla x, jolloin koirilla on jalkoja yhteensä 4x kappaletta. Merkitään ihmisten lukumäärää muuttujalla y, jolloin ihmisillä on jalkoja yhteensä y. Saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan koirien lukumäärä x. x y 00 4xy 040 y 00 x 4xy 040 4x(00 x) 040 4x600 x 040 x 440 : x 0 Koirien lukumäärä on 0. (Ihmisiä on y = 00 0 = 80.) Vastaus: Näyttelyssä on 0 koiraa. TAI NÄIN: x y 00 ( ) 4xy 040 xy 600 4xy 040 x 440 x 0 Vastaus: a n =,5n + 6,5 KERTOMA 6! MAB6 80 HARJOITUSKOE
. Lukujonon seuraava jäsen on 0 % suurempi kuin edellinen jäsen, joten seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla,:lla. Lukujono on geometrinen, koska peräkkäisten termien suhde on vakio an q,. a n 4. Lukujonon neljäs jäsen on a 4 =,456 ja on selvitettävä yleinen jäsen. Yleinen sääntö a n = a q n,456 a, :, a 4 = a q 4 a Yleinen sääntö on a n = a q n =, n Vastaus: a n =, n Määritetään rajoitesuorien yhtälöt kuvaajan avulla. Tasoalue on suorien väliin jäävä kolmio. Sininen suora kulkee pisteiden (0, 5) ja (4, ) kautta, joten sen kulmakerroin on y y 5 ( ) k. x x 04 Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 5), joten suoran yhtälö on y = x + 5. Musta suora kulkee pisteiden (0, 0) ja (5, 5) kautta, joten sen kulmakerroin on y y 5 0 k. x x 50 Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 0), joten suoran yhtälö on y = x. Oranssi suora on x-akselin suuntainen, ja kulkee pisteen (0, ) kautta, joten suoran yhtälö on y =. Suorat rajaavat kolmionmuotoisen tasoalueen. Määritetään sitä vastaava epäyhtälöryhmä. KERTOMA 6! MAB6 8 HARJOITUSKOE
Tapa Kolmio on sinisen suoran alapuolella, joten rajoite-epäyhtälö on y x + 5. Kolmio on mustan suoran alapuolella, joten rajoite-epäyhtälö on y x. Kolmio on oranssin suoran yläpuolella, joten rajoite-epäyhtälö on y. Kaikki suorat kuuluvat mukaan tasoalueeseen, joten kaikkiin epäyhtälöihin tulee mukaan =-merkki. Tapa Valitaan kolmiosta testipiste (, 0) ja määritetään epäyhtälömerkin suunta: Siniselle suoralle y = x + 5 pätee + 5 = > 0 Ensimmäinen epäyhtälö on siten y x + 5. Mustalle suoralle y = x pätee 0 <. Toinen epäyhtälö on siten y x. Oranssille suoralle y = pätee 0 >. Kolmas epäyhtälö on siten y. Tasoalue määräytyy yhtälöryhmästä y x5 y x y. y x 5 Vastaus: y x y 5. Aritmeettisen jonon viides jäsen on a 5 = 70 ja 0 jäsen on a 0 = 50. On laskettava lukujonon 00 ensimmäisen termin summa, joten a an käytetään kaavaa Sn n. Ensin on selvitettävä a 00, mitä varten tarvitaan erotusluku d. Tapa Jono on aritmeettinen, joten jonon yleinen jäsen on a n = a + (n )d. Ratkaistaan tästä erotusluku ja ensimmäinen jäsen yhtälöparilla a (5 ) d 70 a (0 ) d 50 ( ) a 4d 70 a 9d 50 5d 0 :( 5) d 4 Sijoitetaan ylempään yhtälöön a 4 ( 4) 70 a 96 70 a 66 Tapa Lukujono on aritmeettinen, joten muodostetaan yhtälö a 0 = a 5 + 5d. Sijoitetaan yhtälöön a 5 = 70 ja a 0 = 50 ja ratkaistaan erotusluku d. a0 a5 5d 50 70 5d 50 70 5d 0 d 4 5 KERTOMA 6! MAB6 8 HARJOITUSKOE
Sijoitetaan erotusluku d = 4 yhtälöön a 5 = a + 4d (tai yhtälöön a 0 = a + 9d) ja ratkaistaan muuttujan a arvo. a5 a4d 70 a 4 ( 4) 70 a 96 a 70 96 66 Saatiin a = 66 ja d = 4, joten lasketaan lukujonon sadas jäsen. an a n d a 66 00 4 66 99 4 0 00 Sadan ensimmäisen termin summa saadaan summakaavalla: a an Sn n 66 0 S00 00 000 Määritetään milloin (millä n:n arvolla) alittaa 000 000 = 0 6. Yleinen jäsen on a n = a + (n )d = 66 + (n ) ( 4) = 66 4n + 4 = 4n + 90. n ensimmäisen termin summa: a an Sn n 66 ( 4n90) 4n56 4n 56n Sn n n Tapa Ratkaistaan yhtälö S n = 0 6. 4n 56n 6 0 6 4n 56n0 0 b b 4ac n a 6 56 56 4 ( 4) 0 ( 4) 56 9676 48 56 9676 n 8,5 48 56 9676 tai n 96,87 48 Negatiivinen arvo ei kelpaa, joten n = 96,87... Jos n = 96, niin a 96 = 66 + (96 ) ( 4) = 6 94. 66 694 S96 96 998 704, joten ei riitä. Jos n = 97, niin a 97 = 66 + (97 ) ( 4) = 6 98. 66 698 S97 97 005 64 < 000 000, joten kelpaa. Siis n arvosta 97 summa alittaa 000 000. KERTOMA 6! MAB6 8 HARJOITUSKOE
Tapa Ratkaistaan epäyhtälö S n < 0 6. 4n 56n 6 0 6 4n 56n0 0 Ratkaistaan nollakohdat 6 4n 56n 0 0 b b 4ac n a 6 56 56 4 ( 4) 0 ( 4) 56 9676 48 56 9676 n 8,5 48 56 9676 tai n 96,87 48 n = 8,5 tai n = 96,87 Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten merkki muuttuu negatiiviseksi suuremman nollakohdan jälkeen. Negatiivisia ratkaisuja ei huomioida, joten on oltava n > 96,87 eli n arvosta 97 summa alittaa 000 000. Vastaus: Sadan ensimmäisen jäsenen summa on 0 00 ja summa alittaa 000 000, kun on laskettu 97 ensimmäisen jäsenen summa. 6. Lukujono, x, x on geometrinen, jos peräkkäisten termien suhde on vakio. On oltava: x x x x xx x x 0 x (x) 0 x 0 tai x0 x 0 tai x 0,5 Jos x = 0, niin lukujono on, 0, 0. Piirretään mallikuva. Suhdelukua ei voi laskea, koska osamäärä 0 0 ei ole määritelty. 8,5 96,87 + Kyseinen lukujono ei siten voi olla geometrinen lukujono, joten arvo x = 0 ei kelpaa. Jos x = 0,5, niin lukujono on ; 0,5; 0,5, suhdeluku on 0, 5 0,5 q 0,5 ja lukujono on geometrinen. 0,5 Vastaus: Lukujono on geometrinen, kun x = 0,5. KERTOMA 6! MAB6 84 HARJOITUSKOE
7. Koska istumapaikkojen määrä lisääntyy rivi riviltä yhtä paljon, niin istumapaikkojen määrät muodostavat aritmeettisen lukujonon. Merkitään lukujonossa alimman rivin paikkojen lukumäärää a = 800 ja ylimmän rivin (. rivi) paikkojen lukumäärää a = 4 60. Tällöin saadaan an a n d a a d 460 800 d 60 d d 05 Rivin paikkojen lukumäärä lisääntyy siten aina 05:llä. Määritetään keskimmäisen rivin paikkojen lukumäärä. 6,5, joten keskimmäisin on 7. rivi. a 7 = a + (7 )d = 800 + 6 05 = 480. Keskimmäisellä rivillä on 480 paikkaa. Stadionilla on istumapaikkoja yhteensä: a an Sn n 800 460 S 8 840 Vastaus: Keskimmäisellä rivillä on 480 paikkaa ja yhteensä paikkoja on 8 840. KERTOMA 6! MAB6 85 HARJOITUSKOE
HARJOITUSKOE. a) Tutkitaan, onko lukujono aritmeettinen: 4 = 6 4 = 8 6 =. Kahden peräkkäisen termin erotus on aina vakio, joten lukujono on aritmeettinen ja d =, a =. Määritetään, kuinka mones jäsen 46 on lukujonossa. an a n d 46 n 46 n 46 n : n 7 joten a 7 = 46.! Tarkistus: a 7 = + 7 = 46 On laskettava 7 ensimmäisen termin summa. S S n 7 a an n 46 7 540 Vastaus: + 4 + 6 + 8 + + 46 = 5 40 b) Tutkitaan, onko lukujono geometrinen. 0 00 500 5 4 0 00 Kahden peräkkäisen termin suhde on aina vakio, joten lukujono on geometrinen ja q = 5, a = 4. Määritetään kuinka mones jäsen 500 on lukujonossa. a n = a q n a n = 4 5 n n 500 45 n 45 500 : 4 n 5 785 lg n lg 5 lg 785 ( n )lg 5 lg 785 : lg 5 n 7 n 8 joten a 8 = 500.! Tarkistus: a 8 = 4 5 8 = 500 On laskettava kahdeksan ensimmäisen summa n a( q ) Sn q 8 4( 5 ) S8 9064 5 Vastaus: 4 + 0 + 00 + 500 + + 500 = 90 64 KERTOMA 6! MAB6 86 HARJOITUSKOE
. yx40 y x Graafinen ratkaisu: Ratkaistaan y ylemmästä yhtälöstä: y x 40 y x4 : 4 y x 4 y x Piirretään suorat koordinaatistoon: y x y = x + 4 y x A Tapa Käytetään graafisessa ratkaisussa muokattua suoran yhtälöä. yx40 y x 4 y x y x 4 x x x46x9 5x 5 :( 5) x Sijoitetaan alempaan yhtälöön y = ( ) + = Tapa Käytetään alkuperäisiä yhtälöitä. yx40 y x (x) x4 0 6x9x40 5x 50 5x 5 x Yhtälöparin ratkaisu on suorien leikkauspisteen A koordinaatit x ja y. Algebrallinen ratkaisu: Ratkaistaan yhtälöpari. Vastaus: x y y x ( ) KERTOMA 6! MAB6 87 HARJOITUSKOE
. x6y 540 60x80y 4800 x 0 y 0 Määritetään epäyhtälöryhmän graafinen ratkaisu ja lasketaan lausekkeen x + y arvot alueen kärkipisteissä. Piirretään rajoitesuorat. x6y 540 60x80y 4800 x 0 y 0 Tapa Ratkaistaan kaksi ylintä epäyhtälöä muuttujan y suhteen. x 6y 540 6y x540 :6 60x 80y 4800 80y 60x4800 : 80 y x90 y x60 4 Piirretään rajasuorat y = x + 90, y = 0 (x-akseli) y x 60, x = 0 (y-akseli) ja 4 Tapa Ratkaistaan kahdesta ylemmästä suorasta x- ja y- akselin leikkauspisteet ja piirretään suorat niiden avulla siten että y-akselilla x = 0 ja x-akselilla y = 0. Suora x + 6y = 540: Kun x = 0, niin 0 6 y 540 : 6 y 90 eli piste on (0, 90). Kun y = 0, niin x 60 540 : x 45 eli piste on (45, 0). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste B) Suora 60x + 80y = 4800: Kun x = 0, niin 600 80 y 4800 : 80 y 60 eli piste on (0, 60). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste D) Kun y = 0, niin 60 x 800 4800 : 60 x 80 eli piste on (80, 0). Lisäksi merkitään nuolet kuvaamaan jokaisen yksittäisen epäyhtälön määrittämää tasoaluetta. Koordinaatistoon piirrettyjen rajasuorien ja nuolien avulla voidaan päätellä, että tasoalue, jolla kaikki epäyhtälöt toteutuvat on suorien rajoittama nelikulmio. Väritetään kyseinen alue. Nimetään nelikulmio ABCD. KERTOMA 6! MAB6 88 HARJOITUSKOE
D = (0, 60) C = (4, 4) A = (0, 0) B = (45, 0) 60x + 80y = 4800 x + 6y = 540 Tarkistetaan, onko väritetty tasoalue oikea. Valitaan tarkistuspisteeksi piste (0, 0) ja sijoitetaan se erikseen jokaiseen epäyhtälöön. Tutkitaan, toteuttaako testipiste epäyhtälöt. 0 60 80 540 tosi 600 800 400 4800tosi 0 0tosi 0 0tosi Väritetty alue on kysytty tasoalue. Rajoitesuorat kuuluvat tasoalueeseen. Nelikulmion ABCD pinta-alan määrittämiseksi on laskettava kärkipisteiden A, B, C ja D koordinaatit. Tavassa Selvitetään kärkipisteiden koordinaatit A, B, C ja D yhtälöparien avulla. Piste A: Piste B: x 0 y x90 y 0 y 0 x 900 x 90 x 45 Piste on A = (0, 0). Piste on B = (45, 0). Piste C: Piste D: y x 60 4 y x 60 4 y x90 x 0 x60 x90 y 0 60 60 4 4 xx 9060 4 5 x 0 4 x 4 y 4 904 Piste on C = (4, 4). Piste on D = (0, 60). Tavassa Jos suorat on piirretty suoran ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteiden avulla kuten tavassa, niin silloin on jo laskettu pisteet B ja D, joten nyt riittää laskea pisteet A ja C. Piste A: x 0 y 0 KERTOMA 6! MAB6 89 HARJOITUSKOE
Piste C: x6y 540 ( 5) 60x80y 4800 60x0y 700 60x80y 4800 50y 00 : y 4 Sijoitetaan ylempään ja ratkaistaan x: x 64 540 x 5 540 x 88 : x 4 Leikkauspiste on (4, 4). Alue koostuu suorakulmiosta ja kahdesta suorakulmaisesta kolmiosta, joiden mitat on laskettu kuvassa. 48 4 A 44 665 Vastaus: Tasoalueen pinta-ala on 665 ja alue on piirretty oheiseen kuvaan. Kun kärkipisteet on selvitetty, voidaan laskea alueen pinta-ala. (0, 60) korkeus = 60 4 = 8 kanta = 4 (4, 4) korkeus = 4 4. Aritmeettinen lukujono, jossa a =, a n = 70 ja S n = 994. Ratkaistaan kuinka mones termi 70 on lukujonossa, kun a n = 70 ja S n = 994. a an Sn n 70 n 994 5,5n 994 : 5,5 n 8 (0, 0) (45, 0) kanta = 45 4 = Siis a 8 = 70 ja S 8 = 994. KERTOMA 6! MAB6 90 HARJOITUSKOE
Määritetään erotusluku d: an a n d a8 a 8 d 70 7d 69 7 d : 7 69 d 7 9 Tällöin a = a + d 5 a 9 9 9 5 Vastaus: a 9 5. a) Aritmeettisessa lukujonossa peräkkäisten termien erotus on vakio, joten saadaan yhtälö a 5 a a 6 : a 8 Vastaus: a = 8 b) Geometrisessä lukujonossa peräkkäisten termien suhde on vakio, joten saadaan yhtälö a 5 a a 55 a 55. Vastaus: a 55 tai a 55 5 6. Geometrinen lukujono, jossa a = ja q,5. Yleinen jäsen a n = a q n a n =,5 n. Ratkaistaan yhtälö n,5 0000 : n,5 5 000 lg n lg,5 lg 5 000 n lg,5 lg 5000 : lg,5 n 9,95 n 0, 95 a n =,5 n. a 0 =,5 9 = 7 69,94 < 0 000 OK a =,5 0 = 9 07,486 > 0 000 ei kelpaa Vastaus: Lukujonon kymmenen ensimmäistä termiä ovat pienempiä, kuin 0 000. 7. Merkitään korujen määrää muuttujalla x ja kintaiden määrää muuttujalla y. Halutaan suurin arvo myyntituloille, joten optimoitava lauseke on myyntitulot 40x + 45y. Taulukoidaan tehtävän tiedot. Aika (h) Raaka-aineiden hinta ( ) Koru (x),x x Kinnas (y),5y 7y Yhteensä 80 540 KERTOMA 6! MAB6 9 HARJOITUSKOE
Määritetään reunaehdot. Aika ja raha ovat tehtävät reunaehdot. Korujen ja kintaiden valmistamiseen kuluu aikaa,x +,5y (h). Aikaa oli käytössä 80h. Rahaa kuluu x + 7y ( ). Rahaa oli käytössä 540. Valmistusmäärät ovat positiivisia. Rajoittavat epäyhtälöt ovat,x, 5 y 80 x7y 540 x 0 y 0. Piirretään rajoitesuorat,x, 5 y 80 x7 y 540 x 0 y 0. Joko ratkaistaan kaksi ylintä epäyhtälöä muuttujan y suhteen ja piirretään suorat,x, 5 y 80,5 y,x80 :,5 60 y x 5 x 7 y 540 7y x540 :7 540 y x 7 7 Suoralle,x +,5y = 80: Kun x = 0 niin,5 y 80 :,5 60 y 5, Kun y = 0, niin, x 80 :, 800 x 7,77 Suoralle x + 7y = 540: Kun x = 0, niin 7 y 540 :7 540 y 77,4 7 Kun y = 0, niin x 540 : x 45. Piirretään suorat koordinaatistoon ja lisäksi merkitään nuolet kuvaamaan jokaisen yksittäisen epäyhtälön määrittämää tasoaluetta. Koordinaatistoon piirrettyjen rajasuorien ja nuolien avulla voidaan päätellä, että tasoalue, jolla kaikki epäyhtälöt toteutuvat on suorien rajoittama nelikulmio. Väritetään kyseinen alue. Nimetään nelikulmio ABCD. tai lasketaan kahden ensimmäisen suoran leikkauspisteet akseleiden kanssa ja piirretään suorat. KERTOMA 6! MAB6 9 HARJOITUSKOE
x + 7y = 540 D C A B,x +,5y = 80 Piste A: x 0 y 0 Piste on A = (0, 0). Piste B: x7y 540 y 0 x 70 540 x 540 : x 45 Piste on B = (45, 0). Tarkistetaan, onko väritetty tasoalue oikea. Valitaan tarkistuspisteeksi piste (0, 0) ja sijoitetaan se erikseen jokaiseen epäyhtälöön., 0,5 0 6 80 tosi 0 70 90 540 tosi x 0 tosi y 0 tosi Selvitetään vielä kyseisen tasoalueen kärkipisteiden koordinaatit A, B, C ja D yhtälöparien avulla. (Jos aiemmin suoria piirrettäessä on jo laskettu pisteet B ja D, niin nyt riittää laskea vaan pisteet A ja C.) Piste C:,x, 5 y 80 7 x7y 540 (.5) 7,7x0,5y 560 8x 0,5y 80 0,x 50 :0, 500 x 4,7 0 Sijoitetaan alempaan yhtälöön 4,77y 540 7y 48,7 :7 660 y 5,59 0 500 660 C, (4,;5,5). 0 0 Piste on KERTOMA 6! MAB6 9 HARJOITUSKOE
Piste D:,x, 5 y 80 x 0,0, 5 y 80, 5 y 80 :, 5 60 y 5, 5, 60 Piste on D 0, (0;5,). Lasketaan lausekkeen 40x + 45y arvot tasoalueen kärkipisteissä. Lasketaan C ja D likiarvoina kokonaislukupisteinä. Tasoalueen piste (x, y) 40x + 45y A = (0, 0) 40 0 + 45 0 = 0 B = (45, 0) 40 45 + 45 0 = 800 500 660 40 4, + 45 5,5 = 569,5 suurin C, (4,;5,5) 0 0 60 40 0 + 45 5, = 98,5 D 0, (0;5,) Epäyhtälöt x 0 ja y 0 toteutuvat varmasti, joten tutkitaan muut epäyhtälöt: x = 4, y = 5 x = 4, y = 6 x = 5, y = 5 x = 5, y = 6,x +,5y 80 x + 7y 540, 4 +,5 5 = 78,9 80 OK, 4 +,5 6 = 80,4 > 80 EI KELPAA, 5 +,5 5 = 80 80 OK, 5 +,5 6 = 8,5 > 80 EI KELPAA 4 + 7 5 = 5 540 OK (tätä ei tarvitse laskea enää) 4 + 7 5 = 545 > 540 EI KELPAA (tätä ei tarvitse laskea enää) Laskelmien perusteella nähdään, että vain kokonaislukupari (4, 5) täyttää vaaditut ehdot. Myyntitulo on suurin pisteessä (4, 5), joten koruja (x) kannattaa valmistaa 4 kpl ja kintaita (y) kannattaa valmistaa 5 kpl. Vastaus: On valmistettava 5 kinnasta. Lauseke 40x + 45y saa suurimman arvonsa pisteessä 500 660 C, (4, ;5, 5) 0 0 Tehtävässä pitää tarkastella kokonaislukuja, joiden arvot on testattava epäyhtälöissä. Tarkastellaan C pisteen lähellä olevat kokonaislukuarvot: x = 4 tai x = 5 ja y = 5 tai y = 6 Tutkitaan, missä kokonaislukupisteissä vaaditut epäyhtälöt toteutuvat. KERTOMA 6! MAB6 94 HARJOITUSKOE