Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet Luku 3 Suorat aaltojohdot Aaltojohdot voidaan jakaa kahteen pääryhmääm, TEM ja TE/TM sen mukaan millaiset kentät niissä etenevät. TEM-aallot voivat edetä vain sellaisissa aaltojohdoissa, joissa on vähintään kaksi johdinta ja väliaine on homogeeninen. Muulloin voi edetä TE/TM-aallot. TEM-aallot voivat edetä millä taajuudella tahansa. TE/TM-aalloilla on ns katkotaajuus, jonka alapuolella aallot vaimenevat. Riittävän suurella taajuudella (riippuu myös aaltojohdon geometriasta) voi edetä useita eri aaltomuotoja. 1
Suorien aaltoputkien kaikki ratkaisut voidaan hakea muodosta missä poikittaiskentät e ja h voidaan lausua skalaarikentän E z ja H z avulla sijoittamalla edellinen hajotelma Maxwellin yhtälöihin Auki kirjoitetuna komponenttimuodossa edellinen on siten e ( x, y) = [ jβ E + jωµ u H ] h k ( x, y) = [ jωεu E jβ H ] 2 c = k 2 1 k 2 c 1 k 2 c 2 β t z z z z t z z TEM-aaltojohdot Koaksiaalikaapeli Parijohto Mikroliuska johto (QTEM) Koplanaari mikroliuska (QTEM) Liuskajohto Levyaaltoputki Rakojohto (QTEM) Riittävän suurilla taajuuksilla TEM-aaltojohdoissa voi myös edetä TE/TM-aaltomuotoja. Pyrittävä siihen, että aaltojohdossa etenisi vain yksi aaltomuoto. 2
TEM-aallon kentät TEM-aallolla ei ole sähkö- ja magneettikentän komponenttia etenemissuuntaan (vrt. Tasoaallot) Tasoaaltoihin verrattuna poikittaiset kenttäkomponentit voivat riippua paikasta. Merkitään poikittaisia kenttiä vektoreilla e(ρ) ja h(ρ), aksiaalisia komponentteja e z (ρ) ja h z (ρ), jotka ovat nollia. Suoran aaltojohdon kentät noudattavat eksponenttilakia kuten tasoaaltoratkaisukin. E(r) = e(ρ)exp(-jβz) H(r) = h(ρ)exp(-jβz) Sijoittamalla eo lausekkeet Maxwellin roottoriyhtälöihin ja saaduista tuloksista nähdään että kentät e ja h voidaan esittää skalaaripotentiaalin avulla φ. Käyttämällä pitkittäisille komponenteille nolla-ehtoa ja eliminoimalla H x saadaan Nyt Helmholtzin yhtälö E x :lle on 0 Vastaava tulos pätee E y :lle ja h:lle Näin ollen TEM-aallon kentät voidaan aina lausua skalaaripontentiaalin avulla 0 3
Reunaehdot Laplacen yhtälön ratkaisusta tiedetään, että se saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa alueen reunoilla. Tämä selittää miksi suljetussa johdeputkessa ei voi esiintyä TEM-aaltoa. Potentiaalifunktion täytyy saada kahdella erillisellä johdepinnalla eri suuret arvot ennen kuin potentiaali voi saada vakioarvosta poikkeavia arvoja muualla. Reunapinnan normaali n osoittaa kenttä-alueeseen päin, ja se toteutuu u z n = 0. Reunaehdot ideaalijohteelle on täten n e = 0 ja n h = 0 TE-Aallot TE aalloilla ei ole sähkökentän pitkittäistä komponenttia mutta magneettikentän on! Poikittaiskenttien yhtälöiksi tulevat Näistä nähdään, että muut kenttä komponentit voidaan lausua pitkittäisen magneettikentän avulla Toisin sanoen, riittää että ratkaistaan Helmholtzin yhtälö H z :lle 0 Nyt TE-aaltomuodon impedanssi on 4
TM-Aallot 0 TM-aalloilla ei puolestaan ole pitkittäistä magneettikentän komponenttia Vastaavalla tavalla saadaan aaltoyhtälö E z :lle sekä TM-aaltomuodon impedanssi Eristehäviöt Aaltojohdoissa häviöitä aiheutuu johtimista ja eristeestä. Tällöin vaimennuskerroin on näiden summa. Johdinhäviöt voidaan laskea perturbaatiomenetelmällä, jolloin se on laskettava jokaiselle geometrialle erikseen. Jos aaltojohto on täytetty homogeenisella eristeellä, niin silloin eristehäviöt voidaan laskea suoraan etenemiskertoimen avulla. Käyttämällä Taylorin hajotelmaa 5
Levyjohto Levyjohdossa voi edetä kaikki kolme mainittua aaltomuotoa: TEM, TE, TM. TEM-aallolle ratkaisu saadaan skalaaripotentiaalin avulla jolle reunaehdot ovat Tällöin yleinen ratkaisu on muotoa Φ = A + By. jossa A ja B ovat vakioita. Nämä saadaan selville reunaehtojen avulla Nyt kentät ovat TM-aalloille levyjohdolla ei ole magneettikentän pitkittäistä komponenttia. Lisäksi sähkökenttä ei muutu x-suuntaan, jolloin aaltoyhtälö on muotoa missä kc on katkoaaltoluku. Nyt yleinen ratkaisu on reunaehtojen perusteella B = 0 ja etenemiskertoimeksi saadaan Tällöin kokonaiskentät ovat 6
Poyntingin vektorin avulla on helppo tarkastella miten teho etenee TM n aaltomuodolla olettaen, että taajuus on katkotaajuutta suurempi Vaimennuskerroin saadaan laskettua perturbaatiomenetelmän avulla Vastaavalla saadaan kentät TE-aaltomuodolle Sekä vaimennuskerroin 7
8
Suorakulmaiset aaltoputket Onttoja tai eristeellä täytettyjä putkia, joita käytetään 1 GHz - 220GHz asti. Voidaan siirtää suuria tehoja (kw) Monien komponenttien rakennuspalikoita kuten kytkimien, ilmaisimien, isolaattoreiden ja vaimentimien osana. Koostuu ainoastaan yhdestä johtimesta -> TEM-aalto ei etene mutta TE ja TM etenee. TE-aaltomuodot Olkoon suorakulmainen aaltoputki täytetty eristeellä ja a > b. h z toteuttaa aaltoyhtälön, missä k c on katkoaaltoluku. Koska h z on kahden muuttujan ody, niin muuttujien separointia voidaan käyttää hyväksi ratkaistaessa yhtälöä. Jokaisen summan tekijän täytyy olla vakioita, niin nyt voidaan määritellä erotusvakiot k x ja k y seuraavasti 9
Nyt yleinen ratkaisu h z :lle voidaan kirjoittaa Vakiot saadaan ratkaisemalla reuna-arvotehtävä, jossa vaaditaan, että sähkökentän tangentiaalikomponentit ovat nollia johtavilla pinnoilla Tästä seuraa, että D = B = 0, lisäksi k y = nπ/b ja k x = mπ/a, joten H z on siten Etenemisvakio on ja on reaalinen tietylle aaltomuodolle, jos Jokaisella aaltomuodolla on yksilöllinen katkotaajuus Se aaltomuoto, jolla on alin taajuus, sanotaan dominoivaksi muodoksi ja se on TE 10, jolle katkotaajuus on Aaltomuodon impedanssi ja aallonpituus on 10
Tarkastellaan aaltomuotoa, jolle kentät ovat Jotta vaimennuskerroin saataisiin selville, lasketaan ensin tehon eteneminen aaltoputkessa tällä aaltomuodolla Mahdolliset eristehäviöt saadaan etenemisvakion avulla. Johdinhäviöihin sovelletaan perturbaatiomenetelmää, jolloin pintavirrat neljällä johdinpinnalla on laskettava. Virrat ovat symmetrisiä pohjalla ja ylhäällä sekä sivuilla keskenään eli riittää laskea virrat x = 0 ja y = 0. Sijoitetaan lausekkeeseen, saadaan ja vaimennuskertoimeksi 11
Vastaavalla tavalla voidaan johtaa lausekkeet TMaaltomuodoille. Kuvissa on vaimennuksia eri aaltomuodoille sekä muutamien muotojen katkotaajuuksia kun a = 2.286 cm ja b = 1.016 cm. 12
Esimerkki Koaksiaalijohto koaksiaalinen sylinterijohto, jossa ulko- ja sisäjohtimen säteet ovat b ja a. Pyörähdyssymmetrian nojalla potentiaali riippuu vain etäisyydestä ρ. Kirjoitetaan Laplacen yhtälö sylinterikoordinaatistossa. 13
Planaariset TEM- ja QTEMjohdot Aaltoputki TE ja TM aaltomuotoja f c = f cte10 1.2 1.9 f = c 2a c Tyyppi f/ghz WR 650 1.12-1.70 WR 510 1.45-2.20 WR 430 1.70-2.60 WR 340 2.10-3.00 WR 284 2.60-3.95 WR 229 3.30-4.90 WR 187 3.95-5.85 WR 159 4.90-7.05 WR 137 5.85-8.20 WR 112 7.05-10.0 WR 102 7.00-11.0 WR 90 8.20-12.4 WR 75 10.0-15.0 WR 62 12.4-18.0 WR 51 15.0-22.0 WR 42 18.0-26.5 WR 34 21.7-33.0 WR 28 26.5-40.0 WR 22 33.0-50.0 WR 19 39.3-59.7 WR 15 50.0-75.0 WR 12 60.0-90.0 WR 10 75.0-110.0 300 GHz 14
15 Aaltoputki Aaltoputki 0 sin 2 1 cos 2 sin 0 2 0 = = = = = y o x o z y x H a x a E H a x a je H a x E E E π λ η π λ η π TE 10 aaltomuodon kenttien lausekkeet
Aaltoputki TE 10 aaltomuodon aaltoimpedanssi Z TE10 = E H y x = 2b Z = a µ η = ε 2 λ λ 1 1 2a 2a Aaltoputken ominaisimpedanssi 0 TE10 Z TE 10 2 Aaltoputki 16
Esimerkki 18 mm 9 mm Aaltoputken mitat ovat 18 mm x 9 mm. Millä taajuudella aaltoputkea voi käyttää? f f f cte10 min max WR75 c = 2 a 8 3 10 m = s = 8,33 GHz 2 0,018 m = 1,2 8,33 GHz = 10,00 GHz = 1,9 8,33 GHz = 15,83 GHz Tyyppi f/ghz WR 650 1.12-1.70 WR 510 1.45-2.20 WR 430 1.70-2.60 WR 340 2.10-3.00 WR 284 2.60-3.95 WR 229 3.30-4.90 WR 187 3.95-5.85 WR 159 4.90-7.05 WR 137 5.85-8.20 WR 112 7.05-10.0 WR 102 7.00-11.0 WR 90 8.20-12.4 WR 75 10.0-15.0 WR 62 12.4-18.0 WR 51 15.0-22.0 WR 42 18.0-26.5 WR 34 21.7-33.0 WR 28 26.5-40.0 WR 22 33.0-50.0 WR 19 39.3-59.7 WR 15 50.0-75.0 WR 12 60.0-90.0 WR 10 75.0-110.0 V: 10-15 GHz Mikroliuskajohto aaltomuoto: kvasi-tem häviöt - johdinhäviöt - eristehäviöt - säteily 17
Mikroliuskajohto 18
Esimerkki Mitoita FR4 piirilevylle (ε r = 3.8, h = 1,5 mm) veto, jonka ominaisimpedanssi on 50Ω w 2 B 1 ln h π 377π B = 2Z ε 0 r ε 1 2ε r r ( 2B 1) + ln( B 1) 0,61 + 0,39 ε r w 2 B 1 ln h π 377π missä B = 2 50Ω 3,8 w = 2,13 h 3,8 1 2 3,8 ( 2B 1) + ln( B 1) w = 2,13 1,5 mm = 3,20 mm 0,61 + 0,39 3,8 19
Suuntakytkin Käytetään: piirianalysaattoreissa reflektometreissä näytteenottoon tehonmittauksessa ALC-piireissä vaihelukituspiireissä Suuntakytkimet λ g 4 20
Suuntakytkimet λ g 4 Suuntakytkimet 3 C 1 2 4 1 P 3 P 4 P4 P 1 P 2 kytkentä P C = 10log suuntaavuus P4 D = 10log P 3 21
Kaksoissuuntakytkin 3 4 1 2 P1 C = 10log P 4 P4 D = 10log P 3 22