Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2

Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko A siten, että verkko G A ei ole yhtenäinen. Toisaalta kuvan avulla voidaan huomata, että verkon G jokaisella solmulla x verkko G x on yhtenäinen. Ehto κg)=2 siis toteutuu. Mikäli verkosta G poistetaan mitkä tahansa korkeintaan kaksi särmää, säilyy lopputuloksena oleva verkko edelleen yhtenäisenä. Kuitenkaan verkko G EH) ei ole yhtenäinen. Verkko G on siis 2-särmäyhtenäinen mutta ei 3-särmäyhtenäinen. Siten väite λg)=3 on voimassa. Kuvan perusteella havaitaan verkossa G olevan kaksi solmua, joista on särmä viiteen eri solmuun. Kaikilla muilla verkon G solmuilla on kullakin yhteensä neljä särmää verkon muihin solmuihin. Näin ollen väite δg)=4pätee. Tehtävä 5 : 2 Olkoon G jokin äärellinen verkko, jossa on luvun n verran solmuja. Olkoon lisäksi luku c verkon G komponenttien lukumäärä ja olkoon m verkon G erakkosolmujen lukumäärä. Näytetään verkossa G olevan enintään n+m 2c leikkaussolmua. Suoraan määritelmän mukaan verkossa G olevat m kappaletta erakkosolmuja eivät ole verkon G leikkaussolmuja. Olkoon toisaalta C jokin sellainen verkon G komponentti, jossa on ainakin kaksi solmua. Olkoon P tämän komponentin jokin suurinta pituutta oleva polku ja olkoon solmu a polun P päätepiste. Näytetään nyt, että solmu a ei ole verkon C leikkaussolmu. Polku P on suurinta mahdollista pituutta oleva verkon C polku, joten solmun a kaikki naapurisolmut ovat polun P solmuja. Tällöin verkko C a on yhtenäinen. Olkoot nimittäin x ja y sen mielivaltaisia solmuja. Verkko C on yhtenäinen, joten 1

on olemassa jokin verkon C polku P C solmujen x ja y välillä. Jos ehto a / VP C ) toteutuu, niin P C on myös verkon C a polku. Oletetaan ehdon a VP) olevan jatkossa voimassa. Solmu a ole polun P C päätepiste, joten solmulla a on ainakin kaksi eri naapuria polun P C varrella. Olkoon P jokin verkon P suurinta mahdollista pituutta oleva sellainen polku, että polun P päätepisteet ovat polun P C varrella. Tällöin solmu a ei ole polun P varrella. Nyt solmujen x ja y välille saadaan polku verkossa C a jatkamalla polkua P tarvittaessa polun P osilla solmuihin x ja y asti. Verkko C a on siten osoitettu yhtenäiseksi. Toisaalta oletuksen perusteella komponentissa C on ainakin yksi särmä kahden solmun välillä, joten polulla P on kaksi eri päätepistettä. Siten komponentissa C on vähintään kaksi sellaista solmua, jotka eivät ole leikkaussolmuja. Vastaava tulos pätee jokaisella vähintään kaksi solmua sisältävällä verkon G komponentilla. Verkossa G on m kappaletta yhden solmun komponentteja. Vähintään kaksi solmua sisältäviä komponentteja on siten c m kappaletta. Näin ollen verkossa G on enintään n m 2c m) eli n+m 2c leikkaussolmua. Toisaalta huomataan, että ylärajaa vastaavat tilanteet ovat mahdollisia. Nimittäin jokaisessa vähintään kaksi solmua sisältävässä polussa on tasan kaksi sellaista solmua, jotka eivät ole kyseisestä polusta muodostuvan komponentin leikkaussolmuja. Tehtävä 5 : 3 Huomataan ehdon 2r r + s olevan voimassa. Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on{1,..., r + s} ja jonka särmäjoukkona on { } { } {k, k+ 1} : k {1,..., r+ s} {1, 2r}. Tällöin äärellinen verkko G on yhtenäinen, sillä sen kaikki eri solmut ovat saman polun varrella. Näytetään ehtojen radg)=r ja diamg)=s toteutuvan. Käsitellään aluksi tapaus, jossa ehto r=1on voimassa. Jos ehto s=1 toteutuu, niin verkko G koostuu kahdesta solmusta ja niiden välisestä särmästä. Muussa tapauksessa oletuksen s 2r nojalla väite s = 2 on voimassa, jolloin verkko G on 2

kolmen solmun muodostama polku. Molemmissa tapauksissa väitteet radg)=1 ja diamg)=s ovat voimassa. Oletetaan jatkossa ehdon r 2 toteutuvan. Olkoon C solmujoukon{1,..., 2r} virittämä verkon G aliverkko. Verkko C on verkon G sykli ja verkon C jokainen alkio on tällöin verkon C keskinen solmu. Syklissä C on yhteensä 2r alkiota, joten ehdot radc)=r ja diamc)=r toteutuvat. Jos ehto s=r toteutuu, niin halutut väitteet ovat näin ollen voimassa. Käsitellään seuraavaksi tapaus, jossa väite s>r toteutuu. Solmu 2r on tällöin verkon G leikkaussolmu. Tiedon s 2r perusteella solmusta 2r on korkeintaan pituutta r oleva polku verkon G jokaiseen solmuun, joten väite radg) r pätee. Toisaalta jokainen polku joukkojen VC) sekä {2r+ 1,..., r+ s} välillä kulkee leikkaussolmun 2r kautta. Siten verkon G säde ei voi olla aidosti pienempi kuin aliverkon C säde. Väite radg) = r on siis voimassa. Edelleen solmujen r ja r + s välillä on verkossa G tasan kaksi eri polkua, jotka eroavat toisistaan ainoastaan syklin C kaaren valinnan kohdalla. Molemmat polut kulkevat solmun 2r kautta. Saadaan tulos d G r, r+ s)=d G r, 2r)+d G 2r, r+ s)=r+r+ s 2r)=r+s r)=s. Toisaalta jokaisella luvulla p {2r,..., r+ s 1} verkon G solmujen 2r ja r+ p välinen etäisyys on enintään luvun s r 1 suuruinen, jolloin luku s 1 on yläraja solmun r+ p etäisyydelle verkon G muista solmuista. Solmujen r ja r+ s väliset lyhyintä pituutta olevat polut ovat näin ollen verkon G suurinta pituutta olevia polkuja. Siten ehto diamg)=s toteutuu. Tehtävä 5 : 4 Sovelletaan tunnettua tapaa esittää Petersenin verkko joukon {1,..., 5} alkioista koostuvien kaksioiden avulla. Käytetään kirjainta N kyseisten kaksioiden perheen [ {1,..., 5} ] 2 merkitsemiseen. Olkoon H sellainen verkko, jonka solmujoukkona on N ja jonka särmäjoukkona on {{v, w} [ N ] 2 : v w= }. 3

Oheisen kuvan avulla voi huomata, kuinka verkko H on isomorfinen Petersenin verkon kanssa. Näin ollen Petersenin verkon automorfismiryhmän rakenne selviää tutkimalla verkon H automorfismiryhmää. Olkoon jatkossa A verkon H kaikkien automorfismien joukko ja olkoon S 5 joukon{1,..., 5} permutaatioiden joukko. {1,2} {3,5} {3,4} {4,5} {2,5} {1,3} {2,4} {1,4} {1,5} {2,3} Muodostetaan aluksi joukossa S 5 määritelty funktioarvoinen kuvaus ϕ siten, että jokaisella jäsenellä σ S 5 kuvauksen ϕσ) yksikäsitteisesti määritteleväksi ehdoksi asetetaan se, että jokaisella joukon N alkiolla{x, y} pätee ) ) ϕσ) {x, y} ={σx), σy)}. Tavoitteena on näyttää kuvauksen ϕ kuvajoukon sisältyvän joukkoon A ja olevan lisäksi bijektio joukkojen S 5 ja A välillä. Olkoon σ joukon S 5 alkio sekä olkoon {x, y} joukon N mielivaltainen alkio. Väite {σx), σy)} N voimassa, sillä kuvaus σ säilyttää injektiona äärellisten joukkojen koon. Toisaalta kuvaus σ on myös bijektio ja joukko S 5 sisältää sen käänteiskuvauksen, joten voidaan havaita tuloksen ϕσ 1 ) ϕσ) ) {x, y} ) = ϕσ 1 ) ) {σx), σy)} ) ={x, y} olevan voimassa. Vastaavasti saadaan myös tulos ϕσ) ϕσ 1 ) ) {x, y} ) = ϕσ) ) {σ 1 x), σ 1 y)} ) ={x, y}. Kuvaus ϕσ) on siis joukon N bijektio. Näin ollen kuvauksen ϕ kuvajoukko on joukon N permutaatioiden osajoukko. Olkoon σ edelleen joukon S 5 alkio ja olkoot joukon N alkiot {a, b} ja {c, d} mielivaltaiset. Jos joukot {a, b} ja {c, d} eivät ole erillisiä, niin myös joukkojen 4

{σa), σb)} sekä {σc), σd)} leikkaus on epätyhjä, sillä σ on kuvaus. Jos taas joukot {σa), σb)} ja {σc), σd)} leikkaavat toisiaan, niin joukkojen {a, b} ja {c, d} leikkaus on epätyhjä johtuen kuvauksen σ injektiivisyydestä. Siis pätee { } {a, b},{c, d} EH) {a, b} {c, d}= {σa), σb)} {σc), σd)}= { ϕσ) ) {a, b} ), ϕσ) ) {a, b} ) } EH). Kuvaus ϕσ) on osoitettu verkon H automorfismiksi. Kuvauksen ϕ kuvajoukko on näin ollen joukon A osajoukko. Näytetään nyt kuvauksen ϕ olevan injektio. Olkoot σ ja τ sellaisia joukon S 5 alkioita, että ehto ϕσ)=ϕτ) toteutuu. Olkoon alkio x S 5 mielivaltainen sekä olkoot r ja s jotkin joukon{1,..., 5}\{x} kaksi eri alkiota. Oletuksen perusteella ehdot {σx), σr)} = {τx), τr)} ja {σx), σs)} = {τx), τs)} ovat voimassa. Kuvauksen τ injektiivisyyden perusteella joukossa{τx), τr), τs)} on kolme eri alkiota, jolloin saadaan tulos σx) {σx), σr)} {σx), σs)}={τx), τr)} {τx), τs)}={τx)}. Ehto σx) = τx) siis toteutuu. Toisaalta alkio x valittiin mielivaltaisesti, joten myös väite σ=τpätee. Kuvaus ϕ on osoitettu injektioksi. Osoitetaan verkon H automorfismiryhmän A, ) toiminnan joukossa VH) olevan transitiivista. Olkoot v ja w joukon N mielivaltaiset alkiot. Jos ehto v = w toteutuu, niin väite ϕid {1,...,5} ) ) v ) = w toteutuu. Olkoon ehto v w jatkossa voimassa. Olkoon a joukon v\w alkio sekä olkoon b yksiön v\{a} alkio. Valitaan kaksion w muodostavat alkiot c ja d siten, että jos ehto b w pätee, niin myös väite b=c toteutuu. Ehdot a d ja{a, d} {b, c}= ovat voimassa. Joukon S 5 alkio bd) kuvaa joukon {a, b} joukolle {a, d} sekä toisaalta joukko {c, d} on joukon {a, d} kuvajoukko kuvauksen ac) suhteen. Alkio v kuvautuu siis alkioksi w muun muassa kuvauksen ϕ ac)bd) ) kohdalla. Siten verkon H automorfismiryhmän toiminta on transitiivista. Osoitetaan joukon A sisältyvän kuvauksen ϕ kuvajoukkoon. Olkoon f jokin verkon H automorfismi. Näytetään nyt, että jollakin alkiolla σ S 5 kuvaus ϕσ) 5

on kuvauksen f käänteiskuvaus. Suoraan edellisen päättelyn nojalla on olemassa joukon S 5 alkio σ 1 siten, että ehto ϕσ 1 ) f ) {1, 2} ) = {1, 2} toteutuu. Väite f {1, 2} ) N on nimittäin voimassa. Valitaan seuraavaksi joukon S 5 eräiden alkioiden jonoσ 2, σ 3, σ 4 ) vaiheittain. Kuvaus ϕσ 1 ) f on verkon H eräs automorfismi, joten se kuvaa solmun {3, 4} jollekin solmun{1, 2} naapurille. Valitaan joukon S 5 alkio σ 2 siten, että ehto σ 1 σ 2 = 45) σ 1 35) σ 1 jos jos jos ϕσ1 ) f ) {3, 4} ) ={3, 4} ϕσ1 ) f ) {3, 4} ) ={3, 5} ϕσ1 ) f ) {3, 4} ) ={4, 5} on voimassa. Kuvaus ϕσ 2 ) f on siis verkon H automorfismi, joka pitää solmut {1, 2} ja {3, 4} paikallaan. Lisäksi kyseinen automorfismi kuvaa solmun {3, 5} jollekin solmusta{3, 4} eroavalle solmun{1, 2} naapurille. Valitaan tällöin alkio σ 3 S 5 siten, että ehto σ 2 σ 3 = 34) σ 2 jos jos ϕσ2 ) f ) {3, 5} ) ={3, 5} ϕσ2 ) f ) {3, 5} ) ={4, 5} toteutuu. Molemmissa tapauksissa kuvaus ϕσ 3 ) f pitää solmun{1, 2} sekä sen kaikki naapurit paikallaan. Joukot {1, 2} ja {3, 4} eivät nimittäin muutu alkiolla 34) kuvattaessa. Toisaalta solmu{4, 5} kiinnittyy solmun{1, 2} ainoana jäljellä olevana naapurina. Solmut {1, 5} ja {2, 5} ovat verkossa H solmun {1, 2} ohella solmun {3, 4} ainoat naapurit. Voidaan valita joukon S 5 alkio σ 4 niin, että väittämä σ 3 jos ϕσ2 ) f ) {1, 5} ) ={1, 5} σ 4 = 12) σ 2 jos ϕσ2 ) f ) {1, 5} ) ={2, 5} on myös voimassa. Tällöin kuvaus ϕσ 4 ) f on verkon H sellainen automorfismi, joka aikaisempien tietojen perusteella kiinnittää jokaisen alkion kokoelmasta { } {1, 2},{1, 5},{3, 4},{3, 5},{4, 5}. 6

Automorfismi ϕσ 4 ) f pitää solmun {2, 4} paikallaan, sillä se on verkossa H solmujen {1, 5} ja {3, 5} ainoa yhteinen naapuri. Edelleen myös solmu {1, 3} kiinnittyy solmujen{2, 4} ja{4, 5} ainoana yhteisenä naapurina. Vastaavasti havaitaan, että kuvaus ϕσ 4 ) f säilyttää joukon N jokaisen alkion. Näin ollen ehto ϕσ 4 ) f = id N toteutuu, joten alkio σ 4 on alkion f käänteisalkio ryhmän A, ) suhteen. Verkon H jokaisen automorfismin käänteisalkio kuuluu kuvauksen ϕ kuvajoukkoon, joten kuvauksen ϕ injektiivisyyden perusteella väite fs 5 )=A on osoitettu todeksi. Joukossa S 5 on tunnetusti yhteensä 5! eri alkiota. Verkko H on isomorfinen Petersenin verkon kanssa ja toisaalta isomorfismien yhdiste on isomorfismi, joten voidaan päätellä Petersenin verkolla olevan yhteensä 120 automorfismia. Lisäksi kyseessä olevan automorfismiryhmän toiminta on transitiivista. Tehtävä 5 : 5 Todistetaan ensin huomio verkkojen isomorfisuudesta yhtenäisten komponenttien avulla ilmaistuna. Rajoitutaan kuitenkin tarkastelemaan sellaisia verkkoja, joilla on yhteensä vain äärellinen määrä komponentteja. Lemma. Olkoot U ja W äärellisestä määrästä komponentteja koostuvia verkkoja. Tällöin verkot U ja W ovat keskenään isomorfisia täsmälleen silloin, kun niillä on sama lukumäärä kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Todistus. Osoitetaan induktiolla luvun c Z + suhteen, että jos kahdella verkolla on kummallakin c komponenttia, niin kyseiset verkot ovat isomorfisia keskenään täsmälleen silloin, kun niillä sama määrä kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Induktion alkuaskel toteutuu, sillä kaksi yhtenäistä verkkoa ovat isomorfiset juuri silloin, kun niiden ainoat komponentit ovat isomorfiset. Oletetaan luvun c Z + olevan sellainen, että mitkä tahansa c komponenttia sisältävät verkot ovat isomorfisia keskenään juuri silloin, kun niillä on yhtä paljon kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Olkoot U ja W sellaisia verkkoja, joilla on kummallakin yhteensä c+1 komponenttia. Olkoon lisäksi C U jokin verkon U komponentti. 7

Oletetaan ensin kuvauksen g: VU) VW) olevan eräs verkkojen U ja W välinen isomorfismi. Olkoon K verkon W aliverkko, jonka virittää joukon VC U ) kuvajoukko kuvauksen g suhteen. Kuvauksen g rajoittumana saadaan isomorfismi verkkojen K ja C U välille. Siten verkko K on yhtenäinen. Lisäksi verkko K on verkon W komponentti, sillä muutoin verkko C U ei olisi verkon U komponentti. Edelleen kuvauksen g rajoittumana saadaan isomorfismi verkkojen U VC U ) ja W VK) välille. Näissä verkoissa on c komponenttia, joten induktio-oletuksen nojalla niillä on sama määrä kutakin isomorfiatyyppiä edustavia komponentteja. Verkoille U ja W pätee sama lopputulos, sillä verkot C U ja K ovat isomorfiset. Oletetaan seuraavaksi, että verkoilla U ja W on sama lukumäärä kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Tällöin jokin verkon W komponentti C W on isomorfinen verkon C U kanssa. Nyt verkoilla U VC U ) sekä W VC W ) on kummallakin c komponenttia ja myös yhtä paljon kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Olkoon induktio-oletuksen perusteella h jokin kyseisten verkkojen välinen isomorfismi. Kuvaus h voidaan laajentaa jollakin verkkojen C U ja C W välisellä isomorfismilla verkkojen U ja W väliseksi isomorfismiksi. Näin ollen induktioaskel on käsitelty. Palataan varsinaisen tehtävän käsittelyyn ottamalla ensin merkintöjä käyttöön. Kirjaimella n merkitään joukon VG) kokoa, jolloin ehto n 3 toteutuu. Kuvaus f on bijektio, joten myös verkossa H on n solmua. Oletusta n 3 tarvitaan, jotta verkon G epäyhtenäisyyden avulla voidaan osoittaa verkko H epäyhtenäiseksi. Jokaisella verkolla R merkinnälläsr) tarkoitetaan verkon R eri aliverkkojen kokoelmaa ja merkinnällä CR) tarkoitetaan verkon R komponenttien kokoelmaa. Olkoon D jokin kiinnitetty joukon SG) SH) isomorfialuokkien edustajisto ja jokaisella verkolla A olkoon lisäksi DA) kaikkien sellaisten joukon D verkkojen kokoelma, joiden jokin aito aliverkko on isomorfinen verkon A kanssa. Jos toisaalta R on jokin äärellinen verkko ja A on mielivaltainen verkko, niin merkinnällä sr, A) tarkoitetaan kaikkien verkon A kanssa isomorfisten verkon R aliverkkojen määrää ja merkinnällä cr, A) tarkoitetaan kaikkien verkon A kanssa isomorfisten verkon R komponenttien lukumäärää. Tavoitteena on todistaa, että jokaisella verkolla A on väite cg, A)=cH, A) voimassa. 8

Todistetaan nyt eräs aputulos, jota kirjallisuudessa kutsutaan Kellyn lemmaksi. Sen todistuksessa ei tarvita oletusta verkon G epäyhtenäisyydestä. Olkoon A jokin enintään n 1 solmua sisältävä verkko. Tällöin Kellyn lemman mukaan väittämä sg, A) = sh, A) toteutuu. Nimittäin oletuksen VA) n 1 nojalla joukossa { X, x) : x VG) X SG x) X } = A on tasan sg, A) n VA) ) alkiota, sillä kyseisen kokoelman sisältämien parien ensimmäisenä jäsenenä oleva aliverkko voidaan valita sg, A) tavalla sekä toisena jäsenenä oleva solmu voidaan valita aliverkon ulkopuolelta n VA) eri tavalla. Kuvaus f on bijektio ja jokaisella solmulla x VG) ehto G x = H fx) on voimassa, joten myös joukossa { Y, y) : y VH) Y SH y) Y } = A on täsmälleen sg, A) n VA) ) alkiota. Kyseisessä joukossa on toisaalta tasan sh, A) n VA) ) alkiota. Tällöin oletuksen n VA) 0 nojalla on osoitettu haluttu väittämä sg, A) = sh, A) todeksi. Näytetään seuraavaksi verkon H olevan epäyhtenäinen. Tehdään vastaoletus, että verkko H on yhtenäinen. Verkossa H on vähintään kolme eri solmua, joten tehtävän 2 perusteella on olemassa kaksio{a, b} VH) siten, että solmut a ja b eivät ole verkon H leikkaussolmuja. Siten verkot H a ja H b ovat yhtenäisiä. Kuvaus f on bijektio, jolloin oletettujen isomorfioiden nojalla verkot G f 1 a) ja G f 1 b) ovat yhtenäisiä. Väite f 1 a) f 1 b) on myös voimassa. Yhtenäisyyden perusteella verkolla G f 1 a) on vain yksi komponentti. Verkko G on toisaalta epäyhtenäinen, joten solmun f 1 a) on oltava verkon G erakkosolmu. Tällöin solmu f 1 a) on myös verkon G f 1 b) erakkosolmu, sillä ehto f 1 a) G f 1 b) on voimassa. Toisaalta verkossa G f 1 b) on solmun f 1 a) lisäksi ainakin yksi toinen solmu. Siten verkko G f 1 b) ei ole yhtenäinen. Saatu ristiriita osoittaa verkon H olevan yhtenäinen. Verkot G ja H ovat epäyhtenäisiä, joten niiden jokaisessa komponentissa on enintään n 1 alkiota. Verkkojen G ja H kaikkiin komponentteihin voidaan siten soveltaa Kellyn lemman väitettä. Toisaalta samasta syystä jokaisella vähintään n solmua sisältävällä verkolla A ehdot cg, A)=0 ja ch, A)=0ovat voimassa. 9

Olkoon seuraavaksi A mielivaltainen enintään n 1 solmua sisältävä verkko ja olkoon alkio R {G, H} mielivaltainen. Tällöin edellisten päättelyjen perusteella havaitaan joukossa { L, K) : K CR) L SK) L } = A olevan tasan sr, A) alkiota, sillä jokainen verkon A kanssa isomorfinen verkon R aliverkko sisältyy täsmälleen yhteen verkon R komponenttiin. Toisaalta kyseisessä joukossa on toisella tavalla laskettuna yhteensä ) cr, A)+ sb, A) cr, B) B DA) alkiota. Jos nimittäin K on edustajistond jäsen, niin verkko K esiintyy verkon R komponenttina isomorfiaa vaille tasan cr, K) kertaa ja sisältää sf, A) kappaletta verkon A kanssa isomorfisia aliverkkoja. Jokaisella K D\ DA) on lisäksi ehto sf, A)>0 voimassa täsmälleen silloin, kun väite F = A toteutuu. Luku cr, A) voidaan siis määrittää luvun sr, A) avulla tutkimalla verkon R komponentteja, joiden jokin aito aliverkko on isomorfinen verkon A kanssa. Todistetaan jokaisella verkolla A ehdon cg, A) = ch, A) olevan voimassa. Oletetaan vastaoletuksena, että kyseinen väite ei päde. Jokaisella ainakin n solmua sisältävällä verkolla A ehto cg, A) = ch, A) toteutuu, joten on olemassa jokin korkeintaan n 1 solmua sisältävä verkko M siten, että ehto cg, M) ch, M) toteutuu ja että jokaisella verkon M aitona aliverkkonaan sisältävällä verkolla K on myös väite cg, K) = ch, K) voimassa. Toisin sanoen verkon M oletetaan olevan eräs sisältymisen suhteen maksimaalinen verkko, jolla haluttu ehto ei päde. Jokaisella kokoelman DM) jäsenellä B ehto cg, B) = ch, B) toteutuu, sillä verkko B on isomorfinen jonkin sellaisen verkon kanssa, joka sisältää verkon M aitona aliverkkonaan. Aikaisempien päättelyjen perusteella saadaan tulos cg, M)=sG, M) B DM) sb, M) cg, B) ) ) = sh, M) sb, M) ch, B) B DM) = ch, M). 10

Saadaan siis ristiriita verkosta M tehtyjen oletusten kanssa. Näin ollen jokaisella verkolla A on väite cg, A) = ch, A) voimassa. Verkoilla G ja H on täsmälleen sama lukumäärä kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja. Tällöin äärelliset verkot G ja H ovat ratkaisun alussa esitetyn aputuloksen perusteella isomorfisia keskenään. Tehtävä 5 : 6 Täsmennetään eräitä kaksijakoisiin verkkoihin liittyviä käsitteitä. Jos H on jokin verkko ja D on joukon VH) sellainen osajoukko, että verkon H jokaisen särmän päätepisteistä tasan toinen on joukon H jäsen, niin verkko H on kaksijakoinen ja joukon D sanotaan olevan sen eräs jako-osa. Lisäksi verkossa H toteutuu Hallin ehto joukon D suhteen, jos jokaisella joukolla S D väite N H S) S pätee. Osoitetaan tehtävän väitettä yleisemmin induktiolla luvun n Z + suhteen, että jos G on äärellinen kaksijakoinen verkko, jonka jako-osassa D on tasan n solmua ja jossa Hallin ehto on voimassa jako-osan D suhteen, niin verkossa G on jokaisella ehdon r min{deg G u) : u D} toteuttavalla luvulla r N ainakin r! max{r n, 0})! kappaletta joukon D pariutuksia. Käsittelyssä ei vaadita Hallin ehdon toteutuvan kulloinkin tarkasteltavan verkon muiden jako-osien suhteen. Sovelletaan väitteen todistuksessa samaa menettelyä kuin luentojen ja kurssikirjan varsinaisen Hallin lauseen käsittelyn yhteydessä. Olkoot äärellinen kaksijakoinen verkko G ja solmu x VG) sellaisia, että solmun x muodostama yksiö on verkon G eräs jako-osa ja että verkossa G on Hallin ehto voimassa kyseisen jako-osan suhteen. Olkoon r N sellainen, että ehto r deg G x) toteutuu. Jokaisella solmulla y N G x) pätee, että särmän{x, y} muodostama yksiö on eräs joukon{x} pariutus. Jako-osan{x} pariutuksia on siten ainakin r kappaletta eli vähintään luvun r! max{r 1, 0})! 11

verran. Jos nimittäin ehto r=0toteutuu, niin myös väite max{r 1, 0}=0pätee. Jos vuorostaan ehto r 0 toteutuu, niin väite max{r 1, 0} = r 1 on voimassa. Näin ollen induktion alkuaskel on käsitelty. Oletetaan induktio-oletuksena luvun n Z + olevan sellainen, että jokaisella äärellisellä kaksijakoisella verkolla, jonka epätyhjässä jako-osassa D on enintään n solmua ja jolla Hallin ehto toteutuu kyseisen jako-osan suhteen, on jokaisella joukon D solmujen asteiden alarajana olevalla luvulla r Nvähintään r! max{r n, 0})! kappaletta joukon D pariutuksia. Olkoon lisäksi G jokin äärellinen kaksijakoinen verkko sekä olkoon A sen jako-osa siten, että verkossa G on Hallin ehto voimassa jako-osan A suhteen ja että joukossa A on tasan n+1 solmua. Olkoon r N jokin luku, jolla ehto r min{deg G u) : u A} toteutuu. Verkossa G on suoraan Hallin lauseen nojalla jokin joukon A pariutus, jolloin tällaisia pariutuksia on vähintään 0! kappaletta. Ehdon r = 0 ollessa voimassa on jako-osan A pariutuksia siten vähintään halutun alarajan verran. Voidaan olettaa ehdon r 1 olevan jatkossa voimassa. Käsitellään ensimmäisenä tapaus, jossa jokaisella joukon A aidolla epätyhjällä osajoukolla R on ehto N G R) R +1 voimassa. Olkoon x joukon A jokin alkio ja olkoon y solmun x mielivaltainen naapuri. Tällöin erityisesti ehto y / A toteutuu. Verkko G {x, y} on kaksijakoinen ja joukko A\{x} on sen epätyhjä jako-osa. Joukossa A on nimittäin ainakin kaksi alkiota. Verkossa G {x, y} on Hallin ehto voimassa jako-osan A\{x} suhteen, sillä jokaisella joukon A\{x} aidolla epätyhjällä osajoukolla S pätee oletuksen mukaan NG {x,y} S) = NG y S) = NG S)\{y} NG S) 1 S. Lisäksi tyhjän joukon naapurustossa ei ole yhtään solmua ja koko joukon A\{x} naapurustossa on vähintään A 1 solmua. Verkossa G {x, y} jokaisella joukon A\{x} solmulla on korkeintaan yksi naapuri vähemmän kuin verkon G yhteydessä. Toisin sanoen ehto r 1 min { deg G {x,y} u) : u A {x} } 12

on voimassa. Joukossa A\{x} on korkeintaan n alkiota, jolloin induktio-oletuksen perusteella verkossa G {x, y} on vähintään r 1)! max{r 1) n, 0})! kappaletta joukon A\{x} pariutuksia. Nyt jokainen näistä pariutuksista voidaan verkossa G laajentaa joukon A pariutukseksi särmän{x, y} lisäämisellä. Määritelmän mukaan solmu x on jokaisella joukon A pariutuksella tasan yhden pariutukseen kuuluvan särmän päätepisteenä. Toisaalta solmulla x on vähintään r naapuria ja solmu y valittiin solmun x naapurustosta mielivaltaisesti. Verkossa G on induktio-oletuksen nojalla ainakin r r 1)! max{r 1) n, 0})! erilaista joukon A pariutusta. Haluttu väite on siis tässä tapauksessa voimassa, sillä tulos r n+1)=r 1) n on voimassa. Oletetaan seuraavaksi, että joukon A jollakin aidolla epätyhjällä osajoukolla R on ehto N G R) = R voimassa. Olkoon G R joukon R N G R) virittämä verkon G aliverkko ja olkoon K joukon VG)\VG R ) virittämä verkon G aliverkko. Tällöin verkko G R on kaksijakoinen ja joukko R on sen epätyhjä jako-osa. Verkko K on myös kaksijakoinen ja joukko A\ R on sen epätyhjä jako-osa. Lisäksi joukossa R on korkeintaan n eri alkiota. Näytetään nyt, että verkossa K on Hallin ehto voimassa joukon A\R suhteen. Olkoon S jokin joukon A\R osajoukko. Väite N K S) = N G S) VK) toteutuu, jolloin tietoa N G R) = R soveltaen saadaan tulos N K S) = N K S) + N G R) R = N G S)\N G R) + N G R) R = N G S) N G R) R. Joukot N G S)\N G R) ja N G R) ovat nimittäin erilliset. Toisaalta väite S R= pätee ja verkossa G on Hallin ehto voimassa joukon A suhteen, joten saadaan tulos N G S) N G R) R S R R = S. 13

Haluttu lopputulos N K S) S on voimassa. Siten verkossa K on Hallin ehto voimassa joukon A\R suhteen. Nyt verkossa K on Hallin lauseen nojalla jokin pariutus M EK) siten, että joukko M on eräs joukon A\R pariutus. Edelleen myös verkossa G R on Hallin ehto voimassa jako-osan R suhteen, sillä jokaisella joukon R osajoukolla S pätee verkosta G tehdyn oletuksen nojalla N GR S) = N G S) N G R) = N G S) S. Toisaalta jokaisella solmulla x A pätee, että jos solmu y VG) on verkossa G solmun x naapuri, niin solmu y on myös verkossa G R solmun x naapuri. Nimittäin väite N G R) VG R ) on voimassa. Siten ehto r min{deg G u) : u R} toteutuu. Tällöin verkossa G R on induktio-oletuksen nojalla vähintään r! max{r R, 0})! kappaletta joukon R pariutuksia. Toisaalta ehdot N G R) = R ja r N G R) ovat voimassa, joten väite max{r R, 0}=0 toteutuu. Verkossa G on siis joukon A\R pariutuksia ainakin r! kappaletta. Jokainen joukon R pariutuksista voidaan edelleen verkossa G laajentaa koko joukon A pariutukseksi joukon M lisäämisellä, sillä ehto VK) VG R )= pätee. Siten verkossa G on vähintään r! kappaletta joukon A pariutuksia. Lisäksi tiedon R <n+1 nojalla väite max{r n+1), 0}=0 on voimassa. Verkossa G toteutuu haluttu alaraja joukon A pariutusten lukumäärälle. Nyt induktioaskel on käsitelty ja ratkaisun alussa esitetty väite seuraa yleisestä induktioperiaatteesta. Kyseisen tuloksen seurauksena voidaan todistaa varsinainen tehtävässä kysytty väite. Jos nimittäin H on mielivaltainen epätyhjä äärellinen kaksijakoinen verkko, jonka jako-osan D suhteen on Hallin ehto voimassa, niin jokaisella ehdon r δh) toteuttavalla luvulla r N myös väite r N H D) D toteutuu, jolloin verkossa H on edellisen tuloksen mukaan ainakin r! kappaletta joukon D erilaisia pariutuksia. 14