Potentiaalikuoppa, työohje 16. lokakuuta 013 Johdanto Kvanttimekaniikassa potentiaalikuopalla tarkoitetaan järjestelmää, jossa hiukkasen liike on rajoitettu äärelliseen alueeseen. Tästä seuraa ominaisenergian kvantittuminen, eli se, että sidotun hiukkasen kokonaisenergialla on vain tietyt (diskreetit) mahdolliset arvot, joita se voi saada. Erona klassiseen mekaniikkaan on, että klassisesti sidotulla hiukkasella voi olla mikä tahansa kokonaisenergia. Klassisen ja kvanttifysiikan eroa voidaan hahmottaa esimerkiksi vertaamalla elektronin liikettä protonin sähkökentässä (vetyatomi) ja asteroidin liikettä auringon gravitaatiokentässä. Kumpaankin niistä vaikuttaa matemaattisesti samankaltainen voima, sillä sekä gravitaatio, että sähkömagneettinen voima ovat kääntäen verrannollisia etäisyyden neliöön. Kuitenkin elektroni voi olla vain tietyillä energiatiloilla, joista johtuen havaitaan esim. Lyman- ja Balmersarjat vetyatomin spektrissä elektroni siirtyessä tilalta toiselle. Asteroidilla liikettä ei taas ole rajoitettu tietyille ominaistiloille auringon ympärillä vaan sillä voi olla mikä tahansa kokonaisenergia ja mikä tahansa rata. Klassista ja kvanttimekanista systeemiä kuvataan erilaisella matematiikalla. Kun klassisessa mekaniikassa kappaleen liikettä voidaan kuvata Newtonin laeilla tai Hamiltonin mekaniikalla, kuvataan kvanttimekaanista systeemiä Schrödingerin yhtälöllä. Tässä työssä käsitellään ajasta riippumatonta Schrödingerin yhtälöä Eψ(x) = Ĥψ(x), (1) missä ψ(x) on paikasta riippuva aaltofunktio, E on systeemin kokonaisenergia 1
ja Ĥ = ˆT + ˆV = ˆp m + V (x) = m x + V (x) on Hamiltonin operaattori eli kokonaisenergiaoperaattori, jossa V (x) paikasta riippuva potentaali. Klassisessa mekaniikassa kokonaisenergiaoperaattori Ĥ vastine on liike- ja potentiaalienergia. Operaattori Ĥ on ominainen kvanttisysteemille, mutta Schrödingerin yhtälön ratkaisuna saadaan yleensä useampi aaltofunktio ψ(x) ja kokonaisenergia E, joita kutsutaan systeemin ominaistiloksi (tai ominaisvektoreiksi, ominaisaaltofunktioiksi, orbitaaleiksi, jne) ψ n (x) ja ominaisenergioiksi (tai ominaisarvoiksi, jne) E n. () Potentiaalikuopat fysiikassa Yleensä melko monimutkaisetkin atomifysiikan ja materiaalifysiikan monenkappaleen kvanttisysteemit voidaan kuvata melko yksinkertaiselta näyttävän Hamiltonin operaattorin avulla. Kuitenkin, jotta ominaistilat voitaisiin ratkaista Schrödingerin yhtälöstä, täytyy potentiaalikuopan muoto tuntea tai sille pystyä esittämään jokin mahdollisimman hyvä arvio. Yleensä Schrödingerin yhtälö pystytään ratkaisemaan analyyttisesti vain hyvin yksinkertaisissa tilanteissa [7], kuten vetyatomille. Monimutkaisemmissa tapauksissa yhtälö joudutaan ratkeisemaan numeerisesti ja useamman hiukkasen järjestelmissä käyttämään erilaisia approksimaatiota jotta edes yhtälön numeerinen ratkaisu olisi mahdollista. Erilaisia aproksimaatiomenetelmiä on kehitetty lukuisia ja monenkappaleen kvanttimekaniikasta sekä siihen liittyvästä tutkimuksesta on jaettu useita Nobelin palkintoja fysiikassa ja kemiassa [1, 4, 6]. Erilaisia kvanttisysteemejä voidaan kuvata erilaisilla potentiaalikuopilla ja hiukkasilla. Esimerkiksi ydinfysiikassa käytetään Woods Saxon-potentiaalia [5], joka on lähelle laatikkopotentiaalia, kuvaamaan vahvan vuorovaikuksen aiheuttamaan sidosvoimaa protoneihin ja neutroineihin. Atomin elektroneille potentiaali on ytimen aiheuttama Coulumbin potentiaali [3], jota voidaan aproksimoida melko tarkasti harmonisella potentiaalilla. Kaksiatomisten molekyylien värähtelyille käytetään yleisesti Morse tai Lennard-Jones potentiaalia [3], joka on lähelle vinopohjaista potentiaalikuoppaa. Materiaalifysiikassa käytetään yleisesti erimallisia jaksollisia potentiaalikuoppia kuvaamassa atomeita hilassa ja äärellisiä esteitä tai askelmia kuvaamaan puolijohteiden rajapintoja.
Tilojen ominaisenergiat eivät ole ainoa tieto mikä saadaan ratkaisemalla systeemin ominaisarvot Schrödingerin yhtälöstä. Ominaisenergioiden lisäksi systeemin ominaistilojen symmetrialla (pariteetilla) on tärkeä rooli fysiikassa. Esimerkiksi atomifysiikassa ominaistilojen symmetria määrää mille tiloille elektroni voi itsestään siirtyä tai minne se voidaan valon, esimerkiksi laserin, avulla virittää. Kemiassa kovalenttisidokset ovat kahden atomin ominaistilojen yhdistymistä, johon vaikuttavat voimakkaasti sekä atomien ominaisenergiat, että ominaistilojen eli orbitaalien muoto. Ominaistilojen symmetrian merkityksestä atomin käytökseen löydetään esimerkki kurssillakin ratkaistusta vetyatomista. Vetyatomin ensimmäiselle viritystilalle saadaan kaksi energialtaaan täsmälleen saman suuruista ratkaisua (kurssikirjassa merkinnöillä ψ 00 ja ψ 10 []), joita merkitään yleisesti S ja P tiloiksi. Kun elektroni siirtyy ylemältä tilalta P perustilalle 1S, emittoituu fotonin jota kutsutaan Lyman α :ksi. Vastaavasti elektroni voidaan virittää Lyman α fotonin avulla perustilalta viritystilalle P. Sensijaan fotonin emittoivat tai absorboivat siirtymät tilalta S tialle 1S ovat kiellettyjä tilojen saman symmetrian takia. Atomi voidaan kuitenkin virittää S tilalle esimerkiksi pommittamalla atomia elektroneilla, kuten plasmassa tapahtuu. Koska S tila ei voi itsestään purkautua Lyman α fotonia emittioiden, on S tila erittäin pitkäikäinen. Tästä voi olla merkittäviä seurauksia vetyplasman dynamiikkaan, kun S tiloille viritetyt atomit ovat kuin toinen atomilaji, jonka ionisaatiopotentiaali on vain kolmasosa alkuperäisestä. Teoria, ratkaisu ja virhe Työssä puhutaan monista eri käsitteistä, kuten teoriasta, analyyttisestä lausekkeesta, analyyttisestä ratkaisusta, numeerisesta ratkaisusta, joita on syytä selventää. Erään määritelmän mukaan teoria on maailmaa kuvaava malli. Fysiikassa mallilla voidaan tarkoittaa matemaattista lauseketta, joka pystyy kuvaamaan havaittavaa ilmiötä. Toki monetkaan käsitteistä ei ole yksiselitteisesti määritelty, vaan esimerkiksi aproksimaatioita teorian tuomiin matemaattisiin ongelmiin voidaan toisinaan kutsua myöskin teorioiksi. Teorian paikkansapitävyys varmistetaan kokeellisilla mittauksilla, joiden tulee vastata teorian antamia ennustuksia. Teoria voi koostua analyyttisistä lausekkeista (kuten tässä tapauksessa Schrödingerin yhtälö joka sisältää tutkittavan potentiaalikuopan), joiden ratkaisuna voidaan saada mittatavissa olevia suureita (kuten tässä työssä kvanttisysteemin ominaisenergiat). Mitattavat suureet voidaan saada joko ratkaisemalla lauseke analyyttisesti kynällä ja paperilla, tai mikäli se ei onnistu, yhtälö voidaan ratkaista numeerisesti. Lausekkeen 3
ratkaisua voidaan helpottaa tekemällä erilaisia aproksimaatioita, jotka kuitenkin lisäävät ratkaisun virhettä. Ratkaistun suureen virhe koostuu sekä teorian virheestä, että ratkaisun virheestä. Virheiden yhteisvaikutusta voidaan verrata kokeelliseen tulokseen teorian paikkansapitävyyteen varmistamiseksi. Näiden kahden eri virhelähteen suuruusluokat on hyvä pitää aina mielessä. Ei ole mielekästä yrittää ratkaista lauseketta kymmenen desimaalin tarkkuudella, jos teoria antaa korkeintaan oikean kertaluokan. Toisaalta, jos teoria toimii hyvin, ratkaisun ja approksimaatioiden virhe voi olla merkitsevin, kuten monissa ongelmissa monen kappaleen kvanttimekaniikassa. Tässä työssä ratkaistuja suureita ei voida verrata mitattuhin suureisiin, joten teorian virhettä ei pystytä arvioimaan. Kuitenkin, koska työssä osa tilanteista pysyttään ratkaiseman sekä tarkasti analyyttisesti, että numeerisesti, mahdollistaa tämä numeerisen ratkaisun virheen arvioimisen. Numeerista virhettä on sekä systemaattista, että satunnaista aivan kuten kokeellisissa mittauksissakin. Työn suoritus Työn tavoitteena verrata analyyttisiä ja numeerisia ratkaisuja erimuotoisille potentiaalikuopille, sekä pohtia mihin tilanteisiin kukin ratkaisumenetelmä soveltuu parhaiten. Lisäksi työssä on tarkoitus tutustua differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen numeerisesti, johon perustuu käytetyn ohjelman tapa ratkaista Schrödingerin yhtälö. Ensimmäisessä vaiheessa ratkaistaa tasapohjaisen äärettömän syvän potentiaalikuopan ominaisenergiat analyyttisesti kynällä ja paperilla. Tämän jälkeen lasketaan häiriöteorian ensimmäisen kertaluokan aproksimaation avulla ominaisenergiat uudelleen, kun potentiaalikuoppaan on lisätty porras. Työn toisessa vaiheessa ominaisenergiat kummallekin kuopalle lasketaan numeerisesti tietokoneohjelman avulla sekä tutkitaan miten ominaisenergiat muuttuvat, kun kuopasta tulee äärellisen syvyinen. Tarkempi kuvaus ohjelmasta ja sen toimintaperiaatteesta on esitetty kappaleessaa Ohjelma ja sen käyttö. Numeeristen ratkaisujen tarkkuutta voidaan arvioida vetaamalla ohjelman tuloksia tarkkoihin analyyttisesti ratkaisuihin tasapojaisesta potentiaalikuopasta. Tämän jälkeen häiriöteorian avulla (joka tässä tilanteessa sisältää vain ensimmäisen kertaluvun aproksimaation) ratkaistuja arvoja porras potentiaalista voidaan verrata numeerisesti laskettuihin arvoihin. 4
Tasapohjainen äärettömän syvä potentiaalikuoppa Jokainen käy työssä ensin läpi tasapohjaisen äärettömän syvän potentiaalikuopan (ohjelmassa Square) {, x L V (x) = 0, x < L, (3) jossa L > 0, ominaisenergiat ja aaltofunktiot. Laskut välivaiheineen kirjataan työselostuksen teoriaosaan. Tämän kuopan tunnettuja energioita ja aaltofunktioita verrataan käytettävän ohjelman laskemiin tuloksiin sen varmistamiseksi, että ohjelma toimii oikein ja arvioimaan ohjelman laskentamenetelmän virhettä. Muistin virkistykseksi mainittakoon, että tällaisen kuopan ominaisenergiat ovat E n = π ml (n + 1), n N, (4) jossa L on kuopan leveys. Vastaavat aaltofunktiot ovat normitusta vaille ( ) cos (n+1)π x, n parillinen L ψ n (x) = ( ) sin (n+1)π (5) x, n pariton. L Edellisissä (n + 1):n voisi tietenkin korvata n:llä, mutta nyt käytetyssä numeroinnissa on se etu, että aaltofunktiolla on sama pariteetti kuin vastaavan tilan järjestysnumerolla. Porraspohjainen potentiaalikuoppa Toinen työssä tutkittava potentiaalikuoppa on porraspohjainen potentiaalikuoppa (ohjelmassa Step, tällöin δ = 0., x L V (x) = 0, L < x < 0 (6) δ, 0 < x < L. Tämän potentiaalikuopan voidaan ajatella olevan tasapohjainen potentiaalikuoppa, johon on lisätty δ suuruinen häiriö puoleen kuoppaan. Käyttäen tätä tietoa lasketaan ensimmäisen kertaluvun korjauksen tasapohjaisen potentiaalikuopan ominaisenergioihin hyödyntäen häiriöteoriaa. Ohjelman avulla pystytään laskemaan oikeat ominaisenergiat porraspohjaiselle kuopalle. Tutki ohjelman avulla vähintään viittä alinta ominaistilaa kuopista joiden leveydet ovat L = ja L = 0. Mitä huomaat aaltofunktioista kun vertaat niitä tasapohjaisen potentiaalikuopan sekä häiriöteorian ratkaisuihin? 5
Työselostus Työstä kirjoitetaan normaali työselostus, joka arvostellaan normaalisti soveltuvilta osin. Työselostus voi aivan hyvin noudattaa normaalia työselostuksen rakennetta, mutta luku Mittauslaitteisto ja kokeelliset menetelmät korvataan luvulla Numeeriset menetelmät. Tähän lukuun kuvataan vähintään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Eulerin menetelmän avulla, joka on yksinkertaisempi mutta epätarkempi menenetelmä kuin ohjelmassa käytetty Runge-Kutta -algoritmi. Toki Runge-Kutta-algoritmin kuvausta ei katsota pahalla. Normaalista työselostuksesta poiketen esimerkkisijoituksia ei tarvitse esittää. Työselostuksesta tulee löytyä seuraavat kohdat: 1. Schrödingerin yhtälön ratkaisu äärettömän syvälle tasapohjaiselle potentiaalikuopalle välivaiheineen.. Vähintään häiriteorian ensimmäisen kertaluvun korjaukset häiriöpotentiaalille δ välivaiheineen. 3. Vähintään kuvaus ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisemisesta numeerisesti Eulerin menetelmän avulla 4. Ohjelman antamien numeeristen ratkaisujen vertailu tarkkoihin analyyttisiin ratkaisuihin tasapohjaisesta potentiaalikuopasta (Square) ja arvio tämän avulla ohjelman antamien tuloksien tarkkuudesta 5. Ohjelman porraspotentiaalista (Step) antamien ratkaisujen vertailu häiriöteorian antamiin arvoihin Milloin ensimmäisen kertaluvun aproksimaatio toimii? Mitä tapahtuu jos ominaisenergia on paljon pienempi tai paljon suurempi kuin portaan suuruus? Voidaanko porraspohjaisen potentiaalikuopan ominaistiloja kuvata äärettömän syvän tasapohjaisen potentiaalikuopan ja häiriöteorian avulla? Miksi ja milloin? Tämän työn kohdalla selostuksen palauttaminen työosastolle merkittävästi hidastaa sen päätymistä tarkastajalle ja siksi työ kannattaa pyrkiä lähettämään sähköpostilla suoraan assarille. 1 Ohjelman käyttö Ohjelman saa käyntiin ajamalla Matlabissa M-tiedosto gui.m, jolloin käynnistyy kuvan 1 mukainen käyttöliittymä. Vasemmanpuoleisessa kuvassa on ratkaistava potentiaalikuoppa. Arvatut energian ala- ja yläraja on merkitty vihreällä 6
katkoviivalla, löytynyt ominaisenergia punaisella. Oikeanpuoleisessa kuvassa on löydettyä ominaisenergiaa vastaava aaltofunktio. Työssä ratkaistaan potentiaalikuoppien ominaisenergioita ja -tiloja numeerisesti. Kuten luennoilla on osoitettu, aaltofunktio saa nollasta eroavia arvoja klassisesti kielletyllä alueella kunhan potentiaalin korkeus on äärellinen. Tällainen potentiaali, jota käytettäessä aaltofunktiolle pitäisi laskea arvoja äärettömän kaukana kuopan keskipisteestä, ei sovellu numeeriseen laskentaan. Tässä työssä kaikki kuopat upotetaankin äärettömän syvään laatikkopotentiaaliin. Tämän laatikon reunoilla aaltofunktio voidaan asettaa nollaksi. Mikäli laatikosta tehdään riittävän suuri, ei sen käyttäminen oleellisesti muuta ominaistiloja kuopan pohjalla. Tällainen laatikkoapproksimaatio toimii hyvin silloin, kun laatikon sisällä on tarpeeksi klassisesti kiellettyä aluetta. Äärettömän syvän laatikon kokoa voidaan säätää Boundaries-kohdan arvoilla Ohjelma ei käytä SI-yksiköitä, vaan ohjelmassa = 1 ja hiukkasen massa m = 1. Ohjelma käsittelee siis ajasta riippumatonta Schrödingerin yhtälöä muodossa 1 ψ + V ψ = Eψ ψ = (V E)ψ. (7) Matlab-koodilla toteutettu ohjelma etsii annetulle kuopalle jonkin ominaistilan ja -energian siten, että ominaisenergia on käyttäjän antamien rajojen välissä. Ohjelma ratkaisee ajasta riippumatonta Schrödingerin yhtälöä numeerisesti käyttäen Runge-Kutta-4 -menetelmää tasapituisilla askelilla. Askelien määrä määritetään käyttöliittymän Options-kohdan arvolla Intervals. Koska Runge- Kutta on menetelmä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, palautetaan Schrödingerin yhtälö ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöpariksi v (x) = (V (x) E)ψ(x) ψ (x) = v(x), (8) jossa siis ψ(x) on haluttu aaltofunktio ja v(x) = ψ (x). Ohjelma ratkaisee näitä yhtälöitä yhtä aikaa aloittaen laatikon vasemmasta reunasta. Laatikon vasemmassa reunassa (x = L ) asetetaan alkuehdot ψ( L ) = 0 ja ψ ( L ) = 1. (9) 7
Kuva 1: Ohjelman graafinen käyttöliittymä Ohjelma ratkaisee aaltofunktion olettaen ensin Energy-kohdassa annetun E lower :n ominaisenergiaksi ja sitten olettaen E upper :n ominaisenergiaksi. Jos kyseessä ei ole ominaisenergia, aaltofunktio ei osu nollaan laatikon oikeassa reunassa. Jos toinen energiaraja vie aaltofunktion positiiviselle ja toinen negatiiviselle puolelle, ohjelma pystyy aloittamaan ominaisenergian etsimisen. Mikäli näin ei käy, ohjelma ilmoittaa There is no convergence with the specified conditions. Tällöin energiarajoja täytyy muuttaa. Ohjelma ratkaisee aaltofunktion energioiden keskiarvolla ja katsoo, kummalle puolelle aaltofunktio päätyy oikeassa reunassa. Tätä käytetään sitten tuloksesta riippuen uutena energian ala- tai ylärajana. Näin jatketaan, kunnes energiarajojen ero on alle käyttäjän määrittelemän tarkkuuden, joka on määritelty käyttöliittymän Options-kohdan arvolla Accuracy, tai kunnes ohjelma ei pysty tarkentamaan arviotaan. Toisin sanoen ohjelma etsii jonkn ominaisenergian annetulta energiaväliltä. Jos energiatiloja halutaan tutkia järjestyksessä, rajat täytyy asettaa sopivasti. Ohjelma ratkaisee aaltofunktion vielä tällä lopullisella ominaisenergian arvolla kuvaajan piirtämistä varten. Ohjelman työtä helpottaa (miksi?), mikäli käyttäjä kertoo sille etukäteen, onko haluttu ratkaisu parillinen vai pariton. Tällöin käytettävän kuopan on syytä olla symmetrinen. Saatesanat Työtä tehdessä kannattaa kysyä neuvoa viisaammilta ja joissain tapauksissa myös työn ohjaajalta. Kaikki rakentava työhön kohdistuva kritiikki on hyödyllistä. 8
Merkittävät parannusehdotukset työhön tai käytettyihin menetelmiin huomioidaan arvostelussa. Työohje uudelleenkirjoitettu 013: J. Komppula & J. Partanen Alkuperäinen ohje 005: T. Koponen & J. Pasanen Viitteet [1] M. Goeppert Mayer. Nobel lecture: The shell model. Nobel Lectures, 1963. [] D.J. Griffiths. Introduction to quantum mechanics. Pearson Prentice Hall, 005. [3] J.M. Hollas. Modern Spectroscopy. Wiley, 004. [4] W. Kohn. Nobel lecture: Electronic structure of matter wave functions and density functionals. Nobel Lectures, 1999. [5] J.S. Lilley. Nuclear physics: principles and applications. Manchester physics series. J. Wiley, 001. [6] R. Mulliken. Nobel lecture: Spectroscopy, molecular orbitals, and chemical bonding. Nobel Lectures, 1966. [7] Wikipedia. List of quantum-mechanical systems with analytical solutions, 013. [Online; accessed 1.10.013]. 9