1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko ja joukon G suhteen suljettu binäärinen operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat: 1. (a b) c = a (b c) kaikilla a, b, c G, 2. on olemassa sellainen e G, että x e = x = e x kaikilla x G ja 3. jokaista x G kohti on olemassa sellainen x 1 G, että xx 1 = e = x 1 x. Jos lisäksi x y = y x kaikilla x, y G, niin pari (G, ) on Abelin ryhmä. Ryhmän operaatio jätetään usein jatkossa merkitsemättä. Ryhmän G osajoukko H on aliryhmä, mikäli pari (H, ) on ryhmä. Lause 2 (Aliryhmäkriteeri). Ryhmän G osajoukko H on aliryhmä jos ja vain jos ab 1 H kaikilla a, b H. Olkoon seuraavassa (G, +) Abelin ryhmä ja käytetään additiivista notaatiota eli ryhmän G neutraalialkio on 0 ja alkion a käänteisalkio on a. Jos T, S ovat ryhmän G ei-tyhjiä osajoukkoja, niin merkitään T + S = {t + s t T, s S} = S + T. Tapauksessa T = {a} merkitään vain a + S = T + S. Koska G on Abelin ryhmä, niin merkinnät ovat hyvin määriteltyjä. Jos H on ryhmän G aliryhmä, niin joukkoja a + H, missä a G, kutsutaan aliryhmän H sivuluokiksi ryhmässä G. Jos a, b G, niin joko luokat a + H ja b + H ovat pistevieraita tai a+h = b+h (tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että a b H). Sivuluokat ovat ryhmän G ekvivalenssiluokkia. ja jokainen ryhmän g alkio kuuluu täsmälleen yhteen aliryhmän H sivuluokkaan ryhmässä G. Merkitään ja tällöin pätee G/H = {a + H a G} (a + H) + (b + H) = (a + b) + H kaikilla a, b G. Pari (G/H, +) on nyt ryhmän G tekijäryhmä, kun laskutoimitus + tulkitaan joukon G/H binääriseksi operaatioksi. Ryhmässä G/H neutraalialkio on joukko 0 + H = H ja sivuluokan a + H käänteisalkio on sivuluokka a + H. Ryhmäteorian perustulokset ja -määritelmät oletetaan muutoin tutuksi. 1
2 Renkaat ja kunnat Määritelmä 3. Olkoon R joukko, jolla on joukon R suhteen suljetut binääriset operaatiot + ja. Kolmikko (R, +, ) on rengas, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat: 1. pari (R, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 R, 2. on olemassa sellainen 1 R \ {0}, että 1 x = x = x 1 kaikilla x R, 3. (a + b) c = a c + b c kaikilla a, b, c R, 4. a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R ja 5. a b = b a kaikilla a, b R. Joissakin yhteyksissä renkaan määritelmästä saataan jättää pois kertolaskun assosiatiivisuus, kommutatiivisuus ja/tai ykkösellisyys, mutta näin ei tehdä tällä kurssilla. Renkaan R osajoukko S on alirengas, mikäli kolmikko (S, +, ) on rengas ja niillä on sama ykkösalkio. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että {0, 1} S R, pari (S, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä ja binäärinen operaatio on suljettu joukon S suhteen (alirengaskriteeri). Renkaan yhteenlaskuryhmän (R, +) neutraalialkiota sanotaan jatkossa nollaksi ja merkintänä käytetään renkaasta riippumatta 0. Renkaan yhteenlaskuryhmässä (R, +) käytetään additiivista notaatiota eli alkion a käänteisalkio on a ja a + a = 2a, a + a + a = 3a,... ja niin edelleen. Vastaavasti a + a = a a = 2a ja niin edelleen. Mekaanisesti laskemalla voi todeta, että na + ka = (n + k)a kaikilla a R ja n, k Z. Renkaan kertolaskun neutraalialkiota sanotaan ykköseksi ja merkintänä käytetään renkaasta riippumatta 1. Lisäksi renkaan kertolaskun operaatio jätetään yleensä merkitsemättä eli a b = ab. Määritelmä 4. Olkoon K joukko, jolla on joukon K suhteen suljetut binääriset operaatiot + ja. Kolmikko (K, +, ) on kunta, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K, 2. pari (K \ {0}, ) on Abelin ryhmä ja 3. (a + b) c = a c + b c kaikilla a, b, c K. Jokainen kunta on myös rengas. Jatkossa käytetään merkintöjä 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3,..., n 1 = n1 = n. Kunnan kertolaskuryhmälle käytetään merkintää K = K \ {0}. 2
Kunnan K osajoukko F on alikunta, mikäli kolmikko (F, +, ) on kunta. Tämä on yhdenpitävää sen kanssa, että pari (F, +) on ryhmän (K, +) aliryhmä ja pari (F \ {0}, ) on ryhmän (K \ {0}, ) aliryhmä. Olkoon m Z ja m > 0. Luvut a, b Z ovat kongruentteja modulo m, mikäli m jakaa erotuksen a b. Tällöin merkitään a b mod (m). Kongruenssi modulo m on ekvivalenssirelaatio ja sen ekvivalenssiluokkio kutsutaan jäännösluokiksi modulo m. Luvun a Z määrämä jäännösluokka on [a] = {a + nm n Z}. Jäännösluokkia on m kappaletta modulo m ja merkitään näiden joukkoa Z m. Asetetaan kaikilla a, b Z, että [a] + [b] = [a + b] [a] [b] = [ab]. Kolmikko (Z m, +, ) on rengas, jonka nolla on [0] ja ykkönen [1]. Jatkossa yleensä samaistetaan jäännösluokat edustajansa kanssa jätetään kertolaskuoperaatio merkitsemättä laskettaessa jäännösluokilla. Ryhmäteoreettisesti jäännösluokat modulo m > 0 ovat kokonaislukujen yhteenlaskuryhmän (Z, +) tekijäryhmä Z/mZ, missä mz = {am a Z} on luvun m generoima syklinen aliryhmä. Lause 5. Rengas Z m on kunta jos ja vain jos m on alkuluku. Todistus. Jos Z m on kunta, niin Z m \ {0} on ryhmä renkaan kertolaskun suhteen. Oletetaan, että m = nk eli [nk] = 0. Jos [k] 0, niin kertomalla alkion [k] käänteisalkiolla saadaan [n] = 0 eli m jakaa luvun n. Vastaavasti jos [n] 0, niin m jakaa luvun k. Täten luvulla m ei ole aitoja tekijöitä ja se on siis alkuluku. Vastaavasti jos luku m on alkuluku, niin olkoon n Z m \ {0} mielivaltainen. Rajoituksetta voidaan olettaa, että 0 < n < m. Koska syt (n, m) = 1, niin Euklideen algoritmin nojalla on olemassa sellaiset alkiot a, b Z, että an + mb = 1. Täten [a][n] = [1] eli joukko Z m \ {0} on ryhmä kertolaskun suhteen. Määritelmä 6. Kunnan F karakteristika on ykkösen generoiman syklisen ryhmän {n1 n Z} (yhteenlaskun suhteen) kertaluku, mikäli ryhmä on äärellinen. Muutoin karakteristika on 0. Äärellisen kunnan karakteristika on alkuluku. Jos kunnan F karakteristika on p, niin pa = p a = 0 kaikilla a F. Tarkastelemalla kunnan F suppeinta alikuntaa (kunnan alikuntien mielivaltainen leikkaus on alikunta) ja ykkösen moninkertoja saadaan 3
Lause 7. Jos kunnan karakteristika on p, niin sen suppein alikunta on isomorfinen kunnan Z p kanssa. Jos kunnan karakteristika on 0, niin sen suppein alikunta on isomorfinen kunnan Q kanssa. Tämän suora seuraus on, että jos kunnassa F on p alkiota, missä p on alkuluku, niin kunnat F ja Z p ovat keskenään isomorfisia. Lause 8. Äärellisen kunnan F kertaluku on muotoa p n, missä p on kunnan F karakteristika (ja siis alkuluku) ja n Z +. Vastaavasti jos p on alkuluku ja n Z +, niin on olemassa kunta, jonka kertaluku on p n. Kaikki samaa kertalukua olevat äärelliset kunnat ovat keskenään isomorfisia. Tämän lauseen mukaan jokaista alkulukua p ja positiivista luonnollista lukua n kohti on olemassa yksikäsitteinen (isomorfian suhteen) äärellinen kunta, jonka kertaluku on p n. Toisaalta kaikkien äärellisten kuntien kertaluku on tätä muotoa. Täten äärellisiä kuntia kutsutaan usein Galois n kunniksi ja kertalukua q olevaa kuntaa merkitään F q tai GF (q). 4
3 Vektoriavaruudet Olkoot V Abelin ryhmän W aliryhmä ja F kunnan K alikunta. Operaatiota K W W, (s, w) sw sanotaan joukon V skalaarituloksi kunnan F suhteen, mikäli fv V kaikilla f F ja v V. Määritelmä 9. F-kertoiminen vektoriavaruus on Abelin ryhmä (V, ) varustettuna skalaaritulolla kunnan (F, +, ) suhteen, mikäli skalaaritulo totettaa seuraavat ehdot kaikilla a, b F ja v, w V : 1. 1v = v, missä 1 on kunnan F ykkösalkio, 2. (a + b)v = av bv, 3. a(v w) = av aw ja 4. (a b)v = a(bv). Kerroinkunnan F alkioita kutsutaan yleensä skalaareiksi ja vektoriavaruuden V alkioita taasen vektoreiksi. Jatkossa sekä vektorien yhteenlaskulle ja skalaarien yhteenlaskulle käytetään yhteistä merkintää +, vaikka laskutoimitukset voisivatkin olla eri joukkojen laskutoimituksia. Jos V on F-kertoiminen vektoriavaruus, niin ryhmän V aliryhmä H on aliavaruus, mikäli myös H on F-kertoiminen vektoriavaruus. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että Lause 10. F-kertoimisen vektoriavaruuden V ei-tyhjä osajoukko H on aliavaruus jos ja vain jos ehto av + bw H toteutuu kaikilla a, b F ja v, w H. Kunnilla on myös vektoriavaruuden rakenne alikuntiensa suhteen. Lause 11. Jos F on kunta ja K on sen alikunta, niin kunta F on K- kertoiminen vektoriavaruus. Tällöin kunta K on myös K-kertoimisen vektoriavaruuden F aliavaruus. Todistus. Olkoon F kunta ja K sen eräs alikunta. Kunnan K alkion kertominen kunnan F alkiolla on joukon F skalaaritulo joukon K suhteen. Nyt (F, +) on Abelin ryhmä ja (K, +, ) on kunta ja tälle skalaaritulolle pätee kaikilla v, w F ja k, n K kv F 1v = v (k + n)v = kv + nv k(v + w) = kv + kw k(nv) = (kn)v eli F on K-kertoiminen vektoriavaruus. Viimeinen väite on selvä. 5
3.1 Lineaarinen riippuvuus F-kertoimisen vektoriavaruuden V osajoukko S = {s 1, s 2,..., s n } on lineaarisesti riippumaton (tai vapaa), jos yhtälöllä a 1 s 1 + a 2 s 2 +... + a n s n = 0 on vain triviaali ratkaisu a 1 = a 2 =... = a n = 0 kunnassa F. Jos osajoukko S ei ole lineaarisesti riippumaton, niin se on lineaarisesti riippuva. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että jos i = 1, 2,..., n, niin on olemassa sellaiset a 1,..., a i 1, a i+1,..., a k F, että s i = a 1 s 1 +... + a i 1 s i 1 + a i+1 s i+1 +... + a n s n. F-kertoimisen vektoriavaruuden V osajoukon S = {s 1, s 2,..., s n } virittämä aliavaruus on span S = {a 1 s 1 + a 2 s 2 +... + a n s n a 1, a 2,..., a n F}. Vektoriavaruuden V lineaarisesti vapaa osajoukko S on avaruuden V kanta, mikäli V = span S. Jos vektoriavaruudella V on äärellinen kanta, niin vektoriavaruuden V jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria (saman kerroinkunnan F yli). Avaruuden V {0} dimensio dim V on siis avaruuden jonkin kannan vektoreiden lukumäärä (mikäli äärellisenä olemassa). Jos V = {0}, niin dim V = 0. Jos vektoriavaruudella dim V = n, niin vektoriavaruuden jokainen n + 1 alkion osajoukko on lineaarisesti riippuvainen. Vektoriavaruuden kannan merkittävä ominaisuus on se, että jokainen vektoriavaruuden alkio voidaan esittää yksikäsitteisesti kannan vektorien lineaarisena yhdisteenä. Kanta ei ole yksikäsitteinen. Lisäksi vektoriavaruuden dimensio riippuu kerroinkunnasta. Kompleksiluvuilla C on R-kertoimisena vektoriavaruutena kanta {1, i}, mutta C-kertoimisena vektoriavaruutena kanta voi olla vaikkapa {1} (tai mikä tahansa yhden alkion joukko, jonka alkio ei ole nolla). Lause 12. Jos F on äärellinen kunta, jonka karakteristika on p, niin kunnassa F on p n alkiota eräällä n Z +. Todistus. Olkoon K kunnan F suppein alikunta eli K koostuu ykkösen moninkerroista. Tarkastellaan nyt kuntaa F K-kertoimisina vektoriavaruutena. Koska F on äärellinen kunta, niin sen dimensio on äärellinen. Olkoon joukko {e 1, e 2,..., e n } jokin kunnan F kannoista. Täten F = {x 1 e 1 + x 2 + e 2 +... + x n e n x i K} ja jokaisen kunnan F alkiolla on yksikäsitteinen esitys kannan vektorien {e 1, e 2,..., e n } lineaariyhdisteenä. Koska alikunnassa K on p alkiota, niin kunnassa F on p n alkiota. 6
3.2 Vektorit ja matriisit Olkoon R rengas ja m, n positiivisia kokonaislukuja. Funktiota A : {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} R sanotaan R-kertoimiseksi (m n)-matriisiksi. Yleensä käytetään merkintöjä a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =...... R m n a m1 a m2... a mn missä a ij = A(i, j). Lyhyemmin voidaan merkitä myös A = (a ij ) m n. Erityistapauksina (m 1)-matriiseja kutsutaan m-pituisiksi pystyvektoreiksi ja (1 n)-matriiseja kutsutaan n-pituisiksi vaakavektoreiksi. Renkaan R alkiot eli skaalarit voidaan samaistaa (1 1)-matriisien kanssa. Jatkossa tarkastelemme lähinnä F-kertoisimia matriiseja, missä F on kunta. Nollamatriisi 0 on matriisi, jonka jokainen alkio on kunnan nolla-alkio. Identiteettimatriisi on (n n)-matriisi 1 0... 0 0 1... 0 I n =.... = diag (1, 1,..., 1)... 0 0... 1 Matriiseja on usein hyödyllistä kirjoittaa blokkimuodossa (lohko-), jossa matriisin alkioita korvataan pienemmillä matriiseilla, joiden alkiot vastaavat alkuperäisen matriisin alkioita. Esimerkiksi A = 1 1 1 2 1 1 1 2 3 3 3 4 5 5 5 6 = P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 missä P 1 on 2 3-matriisi, jonka alkioina on ykkösiä, P 2 on 2 1-matriisi, jonka alkioina on kakkosia, P 3 ja P 5 ovat 1 3-matriisi, jonka alkioina on kolmosia ja viitosia sekä P 4 ja P 6 ovat 1 1-matriiseja. Erikoistapauksina matriisin blokkimuodosta on matriisin kirjoittaminen pystysarake- tai vaakarivivektoriensa avulla A = (A 1 A 2... A n ) = B 1 B 2. B m., 7
Blokkimuodossa olevien matriisien lohkot voidaan yhteen- ja kertolaskuissa operoida kuten matriisien oikeita alkioita, kunhan vain pidetään huolta siitä, että lohkojen koot ja sijainti osuvat kohdalleen. Matriisin A = (a ij ) m n F m n transpoosi on matriisi A T F n m, jolla A(i, j) = A T (j, i). Transpoosimatriisin pystyrivit ovat siis alkuperäisen matriisin vaakarivit ja päinvastoin. Erityisesti vaakavektorin transpoosi on pystyvektori ja päinvastoin. Matriisien A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) m n summamatriisi on A + B = (a ij + b ij ) m n. Matriisien A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) n k tulomatriisi AB on m k-matriisi, jolla (AB)(i, j) = n a is b sj. s=1 Matriisien laskutoimituksille pätee (mikäli matriisien koot täsmäävät) seuraavat yhtälöt. A + 0 = A A + B = B + A AI n = A I m A = A A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T (λa) T = λa T, λ F. 8
3.3 Matriisit ja lineaariset kuvaukset Seuraavassa F on kunta ja F n on F-kertoimisten n-pituisten vaakavektorien muodostama joukko. Vastaavasti F (n) on F-kertoimisten n-pituisten pystyvektorien muodostama joukko. Seuraavat tulokset pätevät sekä pystyettä vaakavektoreille. Vaakavektorien tapauksessa tarkastellaan vain tuloa xa F m, missä x F n ja A F n m. Jos V ja W ovat F-kertoimisia vektoriavaruuksia, niin lineaarinen kuvaus on funktio f : V W, jolla pätee f(v + w) = f(v) + f(w) f(kv) = kf(v) kaikilla v, w V ja k F. Jos A = F m n, x, y F (n) ja λ F, niin A(x + y) = Ax + Ay A(λx) = λax eli matriisi generoi lineaarisen kuvauksen f : F (n) F (m), f(x) = Ax. Toisaalta jos f : F (n) F (m) on lineaarinen kuvaus ja joukko {x 1, x 2,..., x n } on vektoriavaruuden V kanta, niin muodostetaan matriisi A = F m n, jonka i:s pystyrivi on vektori f(x i ). Jos x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n, niin f(x) = a 1 f(x 1 ) + a 2 f(x 2 ) + + a n f(x n ) = Ay, missä y = (a 1, a 2,..., a n ) T F (n). Täten tarkasteltaessa vektoriavaruudelta F (n) lähteviä lineaarikuvauksia ne voidaan samaistaa matriiseihin tiettyyn rajaan asti. Esimerkiksi lineaarikuvausta vastaava matriisi ei ole yksikäsitteinen, vaan sen esitys riippuu vektoriavaruuden esityksessä käytetystä kannasta. Matriisin A = F m n ydin (kernel) on joukko ja kuva-avaruus on Ker A = {x F (n) Ax = 0} F (n) Im A = {Ax x F (n) } F (m). Sekä ydin että kuva-avaruus ovat vektoriavaruuksia. Ytimen dimensiota dim Ker A kutsutaan matriisin A nolla-avaruudeksi null A. Nyt Ax = Ay jos ja vain jos A(x y) = 0 eli x y Ker A. Saadaan siis Lause 13. Olkoon A = F m n matriisi. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä 9
1. Ker A = {0}, 2. kuvaus f : F (n) F (m), f(x) = Ax on injektio. Lause 14. Olkoon A = F m n matriisi. Tällöin seuraavat asiat ovat yhtäpitäviä: 1. matriisilla A on k lineaarisesti riippumatonta pystyvektoria, mutta sen jokainen k + 1:n pystyvektorin kokoelma on lineaarisesti riippuvainen 2. matriisilla A on k lineaarisesti riippumatonta vaakavektoria, mutta sen jokainen k + 1:n vaakavektorin kokoelma on lineaarisesti riippuvainen 3. matriisin kuva-avaruuden Im A = {Ax x F (n) } dimensio on k. Matriisin asteeksi asetetaan rank A = dim Im A. On helppo nähdä, että matriisin elementaariset vaakarivimuutokset (vaakarivien järjestyksen permutoiminen, vaakarivin lisääminen toiseen vaakariviin ja vaakarivin kertominen nollasta eroavalla skalaarilla) eivät muuta matriisin astetta. Vastaavasti myöskään elementaariset pystyrivimuunnokset eivät vaikuta matriisin asteeseen. Lause 15. Jos A on (m n)-matriisi, niin rank A + null A = n. Todistus. Jos null A = n, niin Im A = {0} ja väite on tosi. Jos taas null A = 0, niin kuvaus f : F (n) Im A, f(x) = Ax on bijektio ja täten rank A = n. Voidaan siis olettaa, että 0 < null A < n. Olkoon joukko {x 1, x 2,..., x k } F (n) matriisin A ytimen kanta eli null A = k. Tämä kanta voidaan laajentaa avaruuden F (n) kannaksi {x 1, x 2,..., x n }. Olkoon y Im A mielivaltainen. Täten on olemassa sellainen x F (n), että Ax = y. Olkoon x = a 1 x 1 +a 2 x 2 +... + a n k n, missä a i F. Nyt y = Ax = a 1 Ax 1 + a 2 Ax 2 +... + a n Ax n = a k+1 Ax k+1 + a k+2 Ax k+2 +... + a n Ax n. Koska y oli mielivaltainen kuva-avaruuden alkio, niin riittää enää osoittaa, että joukko {Ax k+1, Ax k+2,..., Ax n } on lineaarisesti riippumaton. Oletetaan on olemassa sellaiset alkiot b k+1, b k+2,..., b n F, että b k+1 Ax k+1 + b k+2 Ax k+2 +... + b n Ax n = 0 ja ainakin jokin alkioista on nollasta eroava. Mutta nyt A(b k+1 x k+1 + b k+2 x k+2 +... + b n x n ) = 0 eli vektori 0 b k+1 x k+1 + b k+2 x k+2 +... + b n x n Ker A. Täten joukko {x 1, x 2,..., x n } ei ole avaruuden F (n) kanta, mikä on ristiriita. Siispä joukko {Ax k+1, Ax k+2,..., Ax n } on avaruuden Im A kanta. 10
Tarkastellaan hetken muotoa xa olevia tuloja, missä x F n ja A F n m. Tällöin ydin on joukko ja kuvajoukko on Ker A = {x F n xa = 0} F n Im A = {xa x F n } F m. Lause 15 eli Rank-nullity teoreema on tällöin muotoa Lause 16. Jos A on (n m)-matriisi, niin rank A + null A = n. Muistisääntönä voi siis käyttää sitä, että asteen ja nolla-avaruuden summa on aina kerrottavan vektorin puoleinen koordinaatti (tai kertovan vektorin pituus). Lauseiden ero selittyy sillä, että muotoa Ax olevassa kertolaskussa kuva-avaruus Im A = {Ax x F (n) } on pystyvektoreiden lineaarinen yhdiste (ja niitä on n kappaletta). Muotoa xa olevassa kertolaskussa kuva-avaruus Im A = {xa x F n } on taas vaakavektorien lineaarinen yhdiste (ja niitä on n kappaletta). 11
4 Ideaalit ja tekijärenkaat Määritelmä 17. Olkoon kolmikko (R, +, ) rengas. Renkaan ei-tyhjää osajoukkoa I R sanotaan ideaaliksi, mikäli 1. (I, +) on ryhmä eli se on ryhmän (R, +) aliryhmä ja 2. ra I kaikilla r R ja a I. Jokaisella renkaalla on triviaalit ideaalit {0} ja R. Jos ykkönen on ideaalin I alkio, niin R I. Täten ideaali I on (ykkösellisen) renkaan alirengas jos ja vain jos I = R. Ideaalien (mielivaltainen indeksijoukko) leikkaus on aina ideaali. Täten alkion a R generoimaksi ideaaliksi (a) voidaan määritellä alkion a sisältävien renkaan R ideaalien leikkaus. Koska joukko Ra = {ra r R} on ideaali, niin (r) = Ra. Kokonaislukujen renkaan Z ideaaleja ovat joukot nz = {nz z Z} = (n), missä n Z. Kunnat voidaan ajatella renkaina, joilla ei ole ei-triviaaleja ideaaleja. Lause 18. Olkoon R rengas. Tällöin R on kunta jos ja vain jos renkaalla R on vain triviaalit ideaalit. Todistus. Jos I {0} on kunnan F ideaali, niin valitaan 0 a I. Tällöin 1 = aa 1 I eli I = R. Toisaalta, jos R on rengas, jolla on vain triviaalit ideaalit, niin olkoon 0 a R. Tällöin {0} (a) eli R = (a) = Ra. On siis olemassa alkio 0 x R, jolla ax = xa = 1 eli R \ {0} on ryhmä. Renkaan R ideaali I on Abelin ryhmän (R, +) aliryhmä. Täten ryhmälle R voidaan muodostaa tekijäryhmä R/I = {r + I r R}, jonka yhteenlasku on määritelty (r 1 + I) + (r 2 + I) = (r 1 + r 2 ) + I kaikilla r 1, r 2 R. Asetetaan joukolle R/I kertolasku (r 1 + I)(r 2 + I) = r 1 r 2 + I. Koska RI = {ra r R, a I} I, niin operaatio on hyvin määritelty. Renkaan R kertolaskun assosiatiivisuudesta/kommutatiivisuudesta seuraa joukon R/I kertolaskun assosiatiivisuus/kommutatiivisuus. Lisäksi ekvivalenssiluokka 1 + I toteuttaa ehdon (1 + I)(r + I) = r + I = (r + I)(1 + I) kaikilla r R. Täten kolmikko (R/I, +, ) on rengas. 12
Määritelmä 19. Ideaali I {0} on maksimaalinen renkaassa R, mikäli ehdoista J on renkaan R ideaali ja I J seuraa joko I = J tai J = R. Lause 20. Olkoon I renkaan R ideaali. Jos J on renkaan ideaali ja I J, niin joukko J/I = {j +I j J} on renkaan R/I ideaali. Toisaalta jos J/I on renkaan R/I ideaali eräällä I J R, niin joukko J on renkaan R ideaali. Aliryhmäkriteerin avulla on helppo nähdä, että (J, +) (R, +) jos ja vain jos (J/I, +) (R/I, +). Toisaalta (r + I)(j + I) = rj + I J/I jos ja vain jos rj J kaikilla r R ja j J. Täten ideaali I on maksimaalinen renkaassa R jos ja vain jos renkaalla R/I on triviaalit ideaalit. Näin saadaan Lause 21. Olkoon I on renkaan R ideaali. Tällöin R/I on kunta jos ja vain jos I on maksimaalinen renkaassa R. Jos kokonaisluku k jakaa luvun n, niin tällöin (n) (k) kokonaislukujen renkaassa Z. Siis ideaali (m) = mz on maksimaalinen kokonaislukujen renkaassa jos ja vain jos m Z on alkuluku (tai alkuluvun vastaluku). Täten tekijärengas Z m = Z/mZ on kunta jos ja vain jos m on alkuluku. 13
5 Polynomirenkaat Jos F on kunta, niin F-kertoimista polynomirengasta merkitään F[x]. Formaalisti se on joukko kuvauksia f : N F, joille pätee, että jokaisella f on olemassa sellainen n N, että f(k) = 0 kaikilla k > n. Pienintä tämän ehdon täyttävää lukua n N sanotaan polynomin f asteeksi deg f. Jos f(k) = 0 kaikilla k N eli f on nollapolynomi, niin deg f =. Yleensä astetta n 0 olevalle polynomille f käytetään merkintää f(x) = f(0) + f(1)x + f(2)x 2 +... + f(n)x n, missä x F. Vakiopolynomeja ovat nollapolynomi ja astetta 0 olevat polynomit. Jos f, g F[x] ja a F, niin (af)(k) = af(k) (f + g)(k) = f(k) + g(k) (fg)(k) = f(i)g(j). i+j=k Tällöin polynomit F[x] varustettuna yhteenlaskulla ja kertolaskulla on rengas, jonka nolla-alkio on nollapolynomi 0 ja ykkösalkio on vakiopolynomi 1. Toisaalta F-kertoimiset polynomit muodostavat myös F-kertoimisen vektoriavaruuden, jonka kanta on ääretön joukko {1, x, x 2,...}. Jos F on kunnan K alikunta, niin F-kertoiminen polynomi on myös K- kertoiminen polynomi. Koska kunnassa pätee ab 0 kaikilla a, b 0, niin saadaan seuraava polynomin astetta koskeva tulos Lause 22. Jos F on kunta, niin deg pq = deg p + deg q kaikilla p, q F[x]. Astettan n olevan polynomin f(x) F[x] nollakohdaksi kutsutaan alkiota a F, jolla pätee f(a) = f(0) + f(1)a + f(2)a 2 + + f(n)a n = 0. Ykköspolynomiksi sanotaan polynomeja, joiden korkeimman asteen termin kerroin on 1, eli astetta n 0 olevalla ykköspolynomilla pätee f(n) = 1. Polynomi p(x) F[x] jakaa polynomin f(x) F[x] renkaassa F[x], mikäli on olemassa polynomi q(x) F[x], jolla f(x) = p(x)q(x). Tällöin polynomi p(x) on polynomin f(x) tekijä. Mikäli astetta n 1 olevalla polynomilla ei ole tekijöitä, joiden aste kuuluu joukkoon {1, 2,..., n 1}, niin polynomi on jaoton. Kannattaa huomata, että jos astetta n oleva polynomi a 0 + a 1 x +... + a n 1 x n 1 + a n x n 14
jakaa polynomin f(x) renkaassa F[x], niin myös ykköspolynomi a 0 a 1 n + a 1 a 1 n x +... a n 1 a 1 n x n 1 + x n jakaa polynomin f(x) renkaassa F[x]. Polynomien jaollisuus on riippuvainen kerroinkunnasta. Polynomi f(x) = x 2 + 1 Q[x] on jaoton, mutta f(x) = (x i)(x + i) C[x] on jaollinen. Kunnan polynomirenkaan polynomeille pätee jakoyhtälö. Lause 23. Jos f(x), g(x) F[x], missä F on kunta ja g(x) 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset polynomit q(x), r(x) F[x] joilla pätee missä deg r(x) < deg g(x). f(x) = g(x)q(x) + r(x), Jakoyhtälön käyttö mahdollistaa polynomin nollakohtien ja ensimmäisen asteen tekijöiden samaistamisen. Lause 24. Olkoon F kunta. Jos f(x) F[x] ja a F, niin f(a) = 0 jos ja vain jos polynomi x a jakaa polynomin f(x) renkaassa F[x]. Tämän seurauksena astetta n > 0 olevalla polynomilla on korkeintaan n nollakohtaa. Lisäksi toisen ja kolmannen asteet polynomit ovat jaottomia renkaassa F[x] jos ja vain jos niillä ei ole nollakohtia kunnassa F. Renkaan R ideaalia I sanotaan alkion a R generoimaksi pääideaaliksi, mikäli I = {ra r R}. Tällöin merkittiin I = (a). Huomaa, että {0} = (0) ja R = (1). Lisäksi joukko {ra r R} on suppein alkion a R sisältävä renkaan R ideaali. Rengas on pääideaalirengas, mikäli sen jokainen ideaali on pääideaali. Kokonaislukujen rengas Z on pääideaalirengas, koska kaikki sen ideaalit ovat muotoa nz, missä n Z. Myös kunnan polynomirenkaat ovat pääideaalirenkaita. Lause 25. Jos F on kunta, niin renkaan F[x] jokainen ideaali on pääideaali. Todistus. Olkoon I eräs renkaan F[x] ideaali. Rajoituksetta voidaan olettaa, että I {0}, joten renkaassa on jokin ei-nollapolynomi. Valitaan näistä polynomeista asteluvultaan pienin ja olkoon se f(x) 0. Jakoalgoritmilla saadaan, että I = (f(x)). Jos f(x), g(x) F[x] ja F on kunta, niin joukko I = {a(x)f(x) + b(x)g(x) a(x), b(x) F[x]} 15
eli alkioiden f(x) ja g(x) lineaariset yhdisteet renkaassa F[x] muodostavat renkaan F[x] ideaalin. Koska se on pääideaali, niin on olemassa sellainen ykköspolynomi s(x) F[x], että I = (s(x)). Tätä polynomia s(x) kutsutaan polynomien f(x) ja g(x) suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi syt (f(x), g(x)) renkaassa F[x], mikäli f(x) 0 ja g(x) 0. Lause 26. Olkoot 0 f(x), g(x) F[x] ja F on kunta. Jos renkaassa F[x], niin pätee, että s(x) = syt (f(x), g(x)) 1. s(x) jakaa polynomit f(x) ja g(x) renkaassa F[x] ja 2. s(x) on ensimmäisen ehdon toteuttavista polynomeista asteeltaan suurin. Lisäksi suurin yhteinen tekijä on yksikäsitteisesti määritelty. Todistus. Olkoot s(x) ykköspolynomi ja (s(x)) = {a(x)f(x) + b(x)g(x) a(x), b(x) F[x]}. Koska f(x), g(x) (s(x)), niin polynomi s(x) jakaa polynomit f(x) ja g(x) renkaassa F[x]. Jos p(x) F[x] on polynomi, joka jakaa renkassa F[x] polynomit f(x) ja g(x), niin tällöin se jakaa niiden jokaisen lineaarisen yhdisteen renkaassa F[x]. Siis p(x) jakaa jokaisen ideaalin (s(x)) alkion. Erityisesti polynomi p(x) jakaa polynomin s(x). Täten polynomin p(x) aste on korkeintaan polynomin s(x) aste. Suurimman yhteisen tekijän yksikäsitteisyyden todistamiseksi oletetaan, että myös polynomi r(x) on polynomien f(x) ja g(x) suurin yhteinen tekijä renkaassa F[x]. Aikaisemman nojalla polynomi s(x) jakaa polynomin r(x) ja päinvaistoin. Siis r(x) = s(x), koska molemmat ovat ykköspolynomeja. Polynomirenkaan alkioille on oma versionsa Euklideen algoritmista. Jos 0 f(x), g(x) F[x], niin merkitään r 0 = f(x) ja r 1 = g(x). Nyt rekursiivisesti määritellään, että r i 1 (x) = q i+1 (x)r i (x) + r i+1 (x), missä deg r i+1 < deg r i ja polynomit q i+1 (x), r i+1 (x) F[x] saadaan jakoalgoritmilla. Koska jakojäännöspolynomin aste laskee joka askeleella, niin on olemassa sellainen k Z, että r k+1 on nollapolynomi. Tällöin syt (f(x), g(x)) renkaassa F[x] saadaan kertomalla r k (x) sen korkeimman asteen termin käänteisalkiolla. Kelaamalla algoritmi vastakkaiseen suuntaan saadaan polynomit a(x), b(x) F[x], joilla syt (f(x), g(x)) = a(x)f(x) + b(x)g(x). 16
Esimerkki 27. Olkoon F = Z 2. Tarkastellaan polynomeja x 4 + x 2 + x + 1 F[x] ja x 2 + x F[x]. Tällöin x 4 + x 2 + x + 1 = (x 2 + x)(x 2 + x) + x + 1, x 2 + x = x(x + 1) + 0 eli syt (x 4 + x 2 + x + 1, x 2 + x) = x + 1. Täten (x + 1) on suppein renkaan F[x] ideaali, joka sisältää polynomit x 4 + x 2 + x + 1 ja x 2 + x. 17
6 Kuntalaajennus Olkoon F kunta ja f(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n renkaan F[x] polynomi. Olkoon I polynomin f(x) generoima pääideaali. Tällöin tekijärenkaan F[x]/I alkiot ovat muotoa g(x) + I, missä g(x) F[x]. Jakoalgoritmia käyttämällä saadaan, että g(x) = f(x)q(x) + r(x), missä q(x), r(x) F[x] ja deg r(x) < deg f(x). Siis g(x) + I = r(x) + I ja täten tekijärenkaan F[x]/(f(x)) alkiot voidaan esittää muodossa (b 0 + b 1 x +... + b n 1 x n 1 ) + I, missä b 0, b 1,..., b n 1 F. Täten tekijärenkaassa F[x]/I on F n alkiota, mikäli F on äärellinen kunta. Tunnetusti kunnan polynomirenkaan tekijäryhmän kertolaskuryhmän rakenne tulee riippumaan generoivan polynomin jaollisuudesta. Lause 28. Olkoon F kunta. Tällöin renkaan F[x] ideaalin I = (f(x)) avulla muodostettu tekijärengas F[x]/I on kunta jos ja vain jos polynomi f(x) on jaoton renkaassa F[x]. Todistus. Lauseen 21 nojalla riittää osoittaa, että ideaali I = (f(x)) on maksimaalinen jos ja vain jos polynomi f(x) on jaoton renkaassa F[x]. Oletetaan että polynomi f(x) on jaoton renkaassa F[x]. Olkoon J renkaan R ideaali, joka sisältää ideaalin I = (f(x)) aidosti. Ideaalin J täytyy myös olla pääideaali, joten J = (g(x)) eräällä f(x) g(x) F[x]. Koska I J, niin on olemassa sellainen q(x) F[x], että f(x) = g(x)q(x). Polynomin f(x) jaottomuuden perusteella g(x) = 1 eli J = R ja ideaali I on maksimaalinen renkaassa F[x]. Oletetaan seuraavaksi, että ideaali I = (f(x)) on maksimaalinen renkaassa F[x]. Jos f(x) = g(x)h(x) eräillä g(x), h(x) F[x], niin tällöin ideaali I = (f(x)) sisältyy ideaaleihin (g(x)) ja (h(x)). Maksimaalisuuden nojalla polynomin f(x) täytyy olla jaoton renkaassa F[x]. Usein merkitään, että α = x + I. Nyt α k = (x + I) k = x k + I. 18
Jos kuntalaajennuksessa käytettävä polynomi on astetta n, niin joukko {1, α, α 2,..., α n 1 }, on kuntalaajennuksen F[x]/I kanta F-kertoimisena vektoriavaruutena. Koska generoiva polynomi f(x) on jaoton renkaassa F[x], niin polynomilla f(x) ei ole nollakohtia kunnassa F. Toisaalta f(x) on myös (F[x]/I)-kertoiminen polynomi, koska joukko {a + I a F} on kuntalaajennuksen alikunta, joka on isomorfinen alkuperäisen kunnan F kanssa. Täten f(α) = a 0 + a 1 α +... + a n α n = f(x) + I = 0. eli laajennuksessa käytettävä polynomilla on nollakohtia laajennuskunnassa F[x]/I. Täten tekijärenkaassa F[x]/I pätee yhtälö a n α n = (a 0 + a 1 α +... + a n 1 α n 1 ), jonka avulla alkion α potenssia pystyy tarvittaessa alentamaan. Jaottomalla polynomilla f(x) F[x] on nollakohta laajennuskunnassa F[x]/(f(x)). Tästä voimme induktiivisesti päätellä, että jokaisella astetta n olevalla polynomilla f(x) F[x] löytyy sellainen kunta K, joka sisältää kunnan F alikuntanaan ja polynomilla f(x) on n nollakohtaa kunnassa K. Esimerkki 29. Tässä esimerkissä F = Z 2, K = F[x]/(f(x)) ja f(x) = x 2 + x + 1 F[x]. Koska deg f(x) = 2 ja polynomilla ei ole nollakohtia kunnassa F, niin se on jaoton renkaassa F[x]. Täten K on kunta. Merkitään α = x + (f(x)). Tällöin f(α) = 0 eli α 2 = α + 1. Kunnan K alkiot ovat {0, 1, α, α+1} eli K = 2 2. Kantana kunnan F yli toimii esimerkiksi joukko {1, α}. Kertolaskuryhmä K = {1, α, α + 1} ja sen generaattoreina toimivat alkiot α ja α + 1. Jos a 0 + a 1 α K eli a 0, a 1 F, niin kunnan K alkiot voidaan esittää vektoreina a 0 a 1. Tällöin yhteen- ja kertolaskutauluiksi muodostuvat + 00 10 01 11 00 00 10 01 11 10 10 00 11 01 01 01 11 00 10 11 11 01 10 00 ja 10 01 11 10 10 01 11 01 01 11 10 11 11 10 01 Lisäksi renkaassa K[x] pätee, että (x + α)(x + (α + 1)) = x 2 + (α + α + 1)x + α(α + 1) = f(x). 19
7 Vielä kerran kunnista... Jatkossa F q tarkoittaa kertalukua q olevaa kuntaa. Tällöin tietenkin q = p n eräällä alkuluvulla p ja positiivisella kokonaisluvulla n. Kunnan kertolaskuryhmän alkiota a F = F \ {0} kutsutaan kunnan F primitiiviseksi alkioksi, mikäli kertolaskuryhmä F on alkion a generoima syklinen ryhmä a. Eulerin φ-funktio on kuvaus φ : Z + Z +, missä φ(n) = {k Z + k n ja syt (n, k) = 1}. Olkoon g F kertalukua r oleva alkio ja tutkitaan polynomin f(x) = x r 1 F[x] nollakohtia. Nyt alkiot g, g 2,..., g r 1, g r = 1 ovat polynomin f(x) nollakohdat. Täten alkion y F kertaluku ryhmässä F on r jos ja vain jos y = g s, missä syt (r, s) = 1. Näitä alkioita on φ(r) kappaletta. Lause 30. Kunnalla F q on φ(q 1) primitiivistä alkiota. Todistus. Tutkitaan polynomia f(x) = x q 1 1 F[x]. Koska kertolaskuryhmän F kertaluku on q 1, niin jokainen ryhmän F alkio on polynomin f(x) nollakohta. Olkoot g kertolaskuryhmän alkioista kertaluvultaan suurin ja g = r. Olkoon y F mielivaltainen alkio, jonka kertaluku on s. Jos p on alkuluku ja r = p a b ja s = p c d, missä p ei jaa lukuja b ja d, niin alkioiden g pa ja y d kertaluvut ovat b ja p c. Täten alkion g pa y d kertaluku on p c b r = p a b eli c a. Tästä voidaan päätellä, että alkion y kertaluku jakaa luvun r ja alkio y on polynomin x r 1 nollakohta. Siis r = q 1 ja primitiivisiä alkioita on φ(r) kappaletta. Koska φ(n) 1 kaikilla n 1, niin jokaisella äärellisellä kunnalla F on primitiivinen alkio eli kertolaskuryhmä F on syklinen ryhmä. Todistuksessa käytettiin seuraavaa, lähes triviaalia, mutta äärimmäisen tärkeää huomiota. Kertolaskuryhmän F q, jonka kertaluku on q 1, jokainen alkio toteuttaa yhtälön x q 1 = 1. Siis x q = x kaikilla x F q. Lause 31. Kunnassa F q jokainen alkio toteuttaa yhtälön x q x = 0. Erityisesti x q x = α F q (x α). Tällä on taas seuraava hyödyllinen seuraus. 20
Lause 32. Olkoon F q kunnan F alikunta. Jos α F, niin α F q jos ja vain jos α q = α. niin Koska alkuluku p jakaa binomikertoimen ( p k) kaikilla k = 1, 2,..., p 1, (x + y) p = Induktiolla tästä saadaan p i=0 ( ) p x i y p i x p + y p mod(p). i Lause 33. Jos kunnan F karakteristika on p, niin siellä pätee kaikilla x, y F ja n Z + yhtälö (x + y) pn = x pn + y pn. Tämä yleistyy tietenkin myös useamman summattavan tilanteisiin eli (x 1 + x 2 +... x k ) pn = x pn 1 + x pn 2 +... x pn k Edelliset tulokset voidaan tulkita myös polynomien potensseille. Lause 34. Jos f(x) F q [x], niin kaikilla n Z +. (f(x)) qn = f(x qn ) Harjoituksissa todistetaan, että luku k jakaa luvun n jos ja vain jos luku p k 1 jakaa luvun p n 1. Koska Lagrangen lauseen nojalla aliryhmän kertaluvun täytyy jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun, niin näiden perusteella tiedämme kertalukua p n olevan kunnan alikuntien kertalukujen täytyy olla muotoa p k, missä luku k jakaa luvun n. Lause 35. Olkoon p alkuluku. Kunnalla F p n on kertalukua p k oleva alikunta jos ja vain jos luku k jakaa luvun n. Todistus. Oletetaan ensiksi, että kunta F p k on kunnan F p n alikunta. Nyt kunnan F p k primitiivisen alkion α kertaluku on p k 1. Koska α F pn, niin α pn 1 = 1 eli luku p k 1 jakaa luvun p n 1. Täten luku k jakaa luvun n. Oletetaan siis, että luku k jakaa luvun n eli luku p k 1 jakaa luvun p n 1. Siis (p k 1)d = p n 1 eräällä d Z +. Jos α on kunnan F p n primitiivinen alkio, niin tällöin polynomilla f(x) = x pk 1 1 21
on nollakohdat 1, α d, α 2d,..., α (pk 2)d. Kahden nollakohdan tulo on edelleen nollakohta. Toisaalta (α sd + α td ) pk = α sdpk + α tdpk = α s(pn 1)+sd + α t(pn 1)+td = α sd + α td. Täten joko α sd + α td = 0 tai α sd + α td on polynomin f(x) nollakohta. Siispä alkiot 0, 1, α d, α 2d,..., α (pk 2)d muodostavat kertalukua p k olevan kunnan. Täten esimerkiksi kertalukua 8 = 2 3 olevalla kunnalla ei ole kertalukua 4 = 2 2 olevaa alikuntaa. 22
8 Minimaalipolynomit Olkoon F q r kunnan F q laajennuskunta. Jokainen α F q r toteuttaa yhtälön x qr x = 0. Täten voidaan määritellä, että alkion α F q r minimaalipolynomi m α (x) kunnan F q suhteen on renkaan F q [x] ykköspolynomi, jolla m α (α) = 0 ja jonka asteluku on mahdollisimman alhainen. Nyt α F q jos ja vain jos m α (x) = x α. Lause 36. Olkoon α F q r ja m α (x) sen minimaalipolynomi kunnan F q suhteen. Tällöin minimaalipolynomi m α on jaoton renkaassa F q [x] ja jos f F q [x] ja f(α) = 0, niin m α (x) jakaa polynomin f(x). Todistus. Jos m α (x) = p(x)q(x) ja deg p, deg q < deg m α, niin α on joko polynomin p(x) tai polynomin q(x) nollakohta. Tämä ei ole mahdollista, joten m α (x) on jaoton renkaassa F q [x]. Olkoot f(x) F q [x], f(α) = 0 ja f(x) = q(x)m α (x) + r(x), missä q(x), r(x) F q [x] ja deg r < deg m α. Nyt 0 = f(α) = q(α)m α (α) + r(α) = r(α) ja minimaalipolynomin määritelmän nojalla r(x) on nollapolynomi. Lause 37. Olkoon α F q r ja m α (x) sen minimaalipolynomi kunnan F q suhteen. Tällöin m α (x) = (x α)(x α q ) (x α qs 1 ), missä s on pienin ehdon α qs = α toteuttava positiivinen kokonaisluku. Todistus. Tutkitaan polynomia f(x) = (x α)(x α q ) (x α qs 1 ) ja osoitetaan että f = m α. Näytetään ensiksi, että f(x) F q [x]. Olkoon ja f(x) = a 0 + a 1 x +... + a s 1 x s 1 + x s g(x) = a q 0 + a q 1x +... + a q s 1x s 1 + x s missä a i F q r. Nyt kaikilla k = 1, 2,..., s pätee (f(α qk 1 )) q = a q 0 + a q 1α qk + a q 2α 2qk +... + α sqk = g(α qk ) Täten polynomit f ja g ovat astetta s olevia ykköspolynomeja ja niillä on täsmälleen samat nollakohdat α, α q,..., α qs 1. Siis f = g ja a i = a q i eli a i 23
F q kaikilla i = 1, 2,..., s. Niinpä f(x) F q [x] ja m α jakaa polynomin f(x). Toisaalta 0 = (m α (α)) qk = m α (α qk ) kaikilla k = Z +. Jos k s, niin α qk = α qi, missä i = 1, 2,..., s 1. Koska polynomi m α (x) jakaa polynomin f(x), niin polynomeilla on täsmälleen samat nollakohdat. Koska molemmat ovat ykköspolynomeja, niin m α = f. Lauseen suora seuraus on, että jos α F q r on kunnan F q r primitiivinen alkio, niin minimaalipolynomin aste kunnan F q suhteen on r. Toisaalta α q = α jos ja vain jos α F q eli s = 1 on pienin ehdon α qs = α toteuttava kokonaisluku. Lause 38. Olkoon α F q r ja m α (x) sen minimaalipolynomi kunnan F q suhteen. Tällöin tekijärengas F q [x]/(m α (x)) on kunnan F q r alikunta ja minimaalipolynomin aste s = deg m α jakaa luvun r. Todistus. Koska m α on jaoton renkaassa F q [x], niin K = F q [x]/(m α (x)) on kertalukua q s oleva kunta. Oletetaan, että alkiot b 0, b 1,..., b s 1 F q toteuttavat ehdon b 0 + b 1 α +... + b s 1 α s 1 = 0. Jos väite b 0 = b 1 =... = b s 1 = 0 ei päde, niin on olemassa korkeintaan astetta s 1 oleva polynomi f(x), jolla f(α) = 0. Lauseen 36 perusteella m α (x) jakaa polynomin f(x), mikä on ristiriita. Siis b 0 = b 1 =... = b s 1 = 0 ja joukko {1, α, α 2,..., α s 1 } on kunnan K kanta. Koska α F q r, niin K on kunnan F q r alikunta. Jaollisuusväite seuraa Lauseesta 35. Esimerkissä 29 alkion α minimaalipolynomi kunnan Z 2 suhteen oli polynomi x 2 + x + 1 = (x + α)(x + α 2 ), missä α 2 = α + 1 ja α 4 = α 2 + 1 = α. 24
9 Formaali derivaatta Olkoon F kunta ja f(x) F[x]. Jos polynomi f(x) on muotoa f(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n, niin sen formaali derivaatta on polynomi Df(x) = a 1 + 2a 2 x +... + na n x n 1 F[x]. Formaalille derivaatalle voidaan osoittaa suoraan laskemalla tutut laskusäännöt. Lause 39. Jos f(x), g(x) F[x] ja a F, niin 1. D(f + g) = Df + Dg, 2. D(af) = adf ja 3. D(fg) = gdf + fdg. Äärellisten kuntien tapauksessa formaalilla derivaatalla voi kuitenkin olla tutusta poikkeavia ominaisuuksia. Jos esimerkiksi kunnan F karakteristika on p, niin tällöin Dx p = px p 1 = 0. Formaalin derivaatan hyödyllisyys on moninkertaisten nollakohtien löytämisessä. Jos a F on renkaan F[x] polynomin nollakohta, niin se on polynomin moninkertainen nollakohta, mikäli (x a) 2 jakaa polynomin f(x) renkaassa F[x]. Lause 40. Olkoon f(x) F[x], missä F on kunta. Tällöin polynomin f(x) F[x] nollakohta a F on moninkertainen nollakohta jos ja vain jos f(a) = f (a) = 0. 25
10 Kertalukua p n olevan kunnan olemassa olo Olkoon seuraavassa p alkuluku ja pyritään laskemaan renkaan Z p [x] jaottomien astetta m olevien ykköspolynomien lukumäärä. Lause 41. Polynomi x pm x Z p [x] on renkaan Z p [x] sellaisten jaottomien ykköspolynomien tulo, joiden aste jakaa luvun m. Todistus. Olkoon f(x) Z p [x] mielivaltainen astetta r oleva jaoton ykköspolynomi. Tarkastellaan sitten kuntaa K = Z p [x]/(p(x)), jossa on p r alkiota. Koska f(x) on jaoton renkaassa Z p [x] ja f(x + (f(x))) = 0, niin f(x) on alkion x + (f(x)) minimaalipolynomi kunnassa Z p. Täten f(x) jakaa polynomin x pr 1 1 renkaassa Z p [x]. Harjoitusten nojalla jos r jakaa luvun m, niin polynomi f(x) jakaa polynomin x pm 1 1. Oletetaan nyt, että astetta r oleva jaoton ykköspolynomi f(x) Z p [x] jakaa polynomin x pm x. Tapaus f(x) = x on selvä, joten voimme olettaa, että f(x) jakaa polynomin x pm 1 1 renkaassa Z p [x]. Tarkasteellaan kuntaa K = Z p [x]/(f(x)), jossa on p r alkiota ja olkoon γ kunnan K primitiivinen alkio. Nyt γ = a 0 + a 1 α +... + a r 1 α r 1, missä a i Z p ja α = x + (f(x)). Koska f(x) jakaa polynomin x pm x, niin α pm = α. Täten myös γ pm = γ. Siis luvun γ kertaluku p r 1 jakaa luvun p m 1, joten harjoitusten nojalla luku r jakaa luvun m. Polynomin x pm 1 formaali derivaatta on (p m )x pm 1 1 = 1. Nyt Lauseen 40 nojalla polynomilla x pm 1 ei ole moninkertaisia nollakohtia missään kunnassa, jonka karakteristika on p. Koska jokaisella polynomilla on nollakohta sopivassa laajennuskunnassa, niin täten polynomin x pm 1 tekijät esiintyvät tulossa täsmälleen yhden kerran. Olkoon I p (m) kertalukua p olevan kunnan jaottomien astetta m olevien ykköspolynomien lukumäärä edellä mainitussa tulossa. Summaamalla asteet saadaan p m = d m di p (d). Täten voidaan arvioida, että di p (d) p d ja siis mi p (m) = p m d m,d<m di p (d) p m m 1 d=1 p d = p m pm 1 p 1 > 0 eli I p (m) 1. Täten kunnalla Z p on jaoton kertalukua m > 1 oleva polynomi. Siis on olemassa kertalukua p m oleva kunta. 26