1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1 Millainen on signaalin spektri ja miten se lasketaan?
SIGNAALIEN JA SPEKTRIN PERUSKÄSITTEITÄ 2 Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka graafinen esittäminen edellyttää 3D-kuvaajaa. Kompleksinen spektri jaetaan kahdeksi osakuvaajaksi sen esittämiseksi helpommin 2D-kuvaajina: Kompleksisen vektorin pituus Amplitudispektri Kompleksisen vektorin vaihekulma Vaihespektri Tehotiheysspektri [W/Hz] kuvaa tehon jakautumista taajuuden yli sen taajuusintegraali on kokonaislähetysteho. Fourier-laskenta riippuu signaalin perustyypistä: Tehosignaali Fourier-sarja Energiasignaali Fourier-muunnos Fourier-sarjat kehitti ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-183) alkujaan lämmönsiirtoteorian ja värähtelyanalyysin tarpeita varten v. 1822.
ENERGIASIGNAALI VS. TEHOSIGNAALI 3 Energiasignaaleilla on äärellinen energia, eli ne ovat eräänlaisia kertailmioitä, tyypillisesti äärellisen kestoisia signaaleja. Tehosignaaleilla on ääretön energia, mutta äärellinen keskimääräinen teho. E = lim T T T x( t) 2 dt = x( t) dt, P x( t) x(t) on energiasignaali, jos ja vain jos < E <, siten että P =. x(t) on tehosignaali, jos ja vain jos < P <, mikä merkitsee, että E =. Lisäksi luokitellaan: Deterministinen tai satunnainen (stokastinen) signaali Periodinen (T ) tai aperiodinen signaali. 2 = T lim 1 2T T T 2 dt
ENERGIASIGNAALI VS. TEHOSIGNAALI 4 Tehosignaali Deterministinen Periodinen signaali Energiasignaali Deterministinen Jaksoton/aperiodinen signaali (kertailmiö) Tehosignaali Satunnainen/stokastinen Kohinallakin on joku keskimääräinen teho joka on satunnaismuuttujan varianssi
KOSINISIGNAALIN OMINAISUUDET 5 Tietoliikenneteoriassa käytetään yleensä kosinifunktiota erilaisten analog. ja digit. modulaatioiden kantoaaltona. Sinin ja kosinin vaihe-ero 9 astetta. e ± jω t = t cos( ωt) ± j sin( ω )
KOSINISIGNAALIN OMINAISUUDET 6 Eulerin kaavan sovellus: = cos( Reaalinen signaali kompleksilukujen avulla esitettynä
POSITIIVINEN JA NEGATIIVINEN TAAJUUS 7 Positiivinen taajuusvektori Negatiivinen taajuusvektori Syntyy diskreetti viivaspektri Spektrin 1-p 2-p kuvauksessa: Amplitudiarvot puolittuvat Vaihearvot säilyvät sellaisenaan positiivisilla taajuuksilla ja kerrotaan luvulla -1 negatiivisilla taajuuksilla, sillä vaihespektri on aina pariton funktio (symmetrinen suoran y = x suhteen).
REAALINEN FUNKTIO exp( 2πt) 8 1 Function exp(-2*pii*t).9.8.7.6.5.4.3.2.1.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time axis [seconds]
REAALINEN FUNKTIO exp(+2πt) 9 4.5 x 113 Function exp(+2*pii*t) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time axis [seconds]
KOMPLEKSINEN FUNKTIO exp( j2πt) 1 Function exp(-j*2*pii*t) (angular frequency = 1 rad/s) 1.8.6.4 Imaginary axis.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1 1.5 5 3 4 Real axis -.5-1 1 2 Time axis [seconds]
KOMPLEKSINEN FUNKTIO exp(+j2πt) 11 Function exp(+j*2*pii*t) (angular frequency = 1 rad/s) 1.8.6.4 Imaginary axis.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1 1.5 5 3 4 Real axis -.5-1 1 2 Time axis [seconds]
FOURIER-MUUNNOS JA JATKUVA SPEKTRI 12 Energiasignaalille x(t) sen spektri X(f) lasketaan Fouriermuunnoksen avulla (Z&T ss. 37-4). Integraalimuunnos on jatkuva-arvoinen kompleksinen taajuuden funktio, joka voidaan esittää amplitudi- ja vaihespektrin avulla: X X ( Fourier-käänteismuunnos: ( f f ) ) + j πft = F{ x( t)} = x( t) e 2 dt jθ ( f ) = X ( f ) e, θ ( f ) = X ( f ) x( t) + 1 = = j πft F { X ( f )} X ( f ) e 2 df
FOURIER-MUUNNOKSEN OMINAISUUDET (S) 13 Pariton funktio Parillinen funktio
ESIMERKKI FOURIER-MUUNNOKSESTA 14 sinc(x) = sin(πx)/(πx) Parillisen funktion x(t) amplitudispektri on aina puhtaasti reaalinen ja parillisen symmetrian omaava funktio, ja sen vaihespektri on aina parittoman symmetrian omaava funktio. Parittoman funktion x(t) amplitudispektri on aina puhtaasti imaginäärinen ja parillisen symmetrian omaava funktio, ja sen vaihespektri on aina parittoman symmetrian omaava funktio.
FOURIER-MUUNNOSPAREJA(S) 15
FOURIER- JA LAPLACE-MUUNNOKSEN ERO (S) 16 Molemmat ovat integraalimuunnoksia, jota käytetään lineaaristen järjestelmien analyysiin. L-m. sovelletaan piirianalyysissä mm. vaimeneva-amplitudisille transienttisignaaleille ja F-m. tietoliikennesignaalien analyysiin. Lineaaristen järjestelmien tuloilla ja lähdöillä ao. ehdot.
FOURIER-SARJAT JA VIIVASPEKTRI 17 Periodisesti toistuvilla tehosignaaleilla on äärellinen keskimääräinen teho ja ääretön energia (esim. kosini tai sini). Signaalilla on T -periodinen komponentti, joten spektrisisältö esitetään Fourier-sarjakehitelmän avulla. Fourier-muunnos on Fourier-sarjan erikoistapaus aperiodisille signaaleille, kun T ja f = 1/T Olkoon x(t) T -periodinen reaalinen tehosignaali (perustaajuus f = 1/T ) joka voidaan esittää Fourier-sarjan kertoimien avulla: x( t) 2 T = T + 2 a 2 [ a cos(2πnf t) + b sin(2πnf t ] + ) n n n= 1 an = x( t)cos(2πnf t) dt bn = T 2 2 T T + 2 T 2 x( t)sin(2πnf t) dt
FOURIER-SARJAT JA VIIVASPEKTRI 1 nf t [ e j nf t e j nf t ] + 2π 2π cos(2π ) = + 2 1 nf t [ e j nf t e j nf t ] + 2π 2π sin(2π ) = 2 j a x( t) = + n 2 Eulerin kaavalla: n n n + n= 1 n= 1 [ ] + j2πnf t [ ] j2πnf t a jb e + a jb e positiiviset taajuudet negatiiviset taajuudet 18 Kompleksiarvoiset kertoimet x n = a n ± jb n kuvaavat tehon jakautumista diskreeteille taajuuskomponenteille. Periodisesti toistuvan (periodi T ) signaalin kompleksinen tehospektri on diskreettiarvoinen viivaspektri esiintyen vain perustaajuuden f välein ns. harmoonisilla taajuuksilla.
FOURIER-SARJAT JA VIIVASPEKTRI 19 Kompleksisen kertoimen itseisarvo x n = a n ± jb n on sama kuin spektrissä kutakin taajuuskomponenttia vastaavan sinimuotoisen aallon amplitudi.
FOURIER-SARJAT JA VIIVASPEKTRI 2 Jos lasketaan esim. kosini- ja sinisignaalien spektrit, jää sarjaan vain kaksi termiä taajuuksille ±f. Muunlaisilla tehosignaaleilla on olemassa ääretön määrä sarjan termejä. x n Vain nämä komp. esiintyvät puhtaalla sini- tai kosini muotoisella signaalilla. -5f -4f -3f -2f -f f 2f 3f 4f 5f f
SININ JA KOSININ SPEKTRIT 21 Sinimuotoisen signaalin keskimääräinen teho = ½A 2 Sini on pariton reaalifunktio. Sen puhtaasti imaginäärinen spektri sijaitsee imag.- ja taajuusakselin muodostamassa tasossa. Ei reaalista Komponenttia. Nähdään: Viivaspektrissä vain 2 termiä (muilla periodisilla signaaleilla yleensä määrä). Eroa ilmenee vain vaihespektreissä (vaihe/viive-ero ei vaikuta tehon jakautumiseen taajuusalueessa). Kosini on parillinen reaalifunktio. Sen spektri on puhtaasti reaalinen. Spektri siis sijaitsee reaali- ja taajuusakselin muodostamassa tasossa. Sekä sinin että kosinin amplitudispektri on aina parillinen funktio.
NEGATIIVISET TAAJUUDET 22 e ± jω t cos( ω t) = cosω t ± j sinω t sin( ω t) = sin( ω t) = cos( ω t) Eräs tapa ymmärtää negatiiviset taajuudet on havainto, että sarjan termit e j n ω t ja e +j n ω t yhdessä muodostavat reaalisen sini- & kosini- signaalin taajuudella n ω. Matemaattisesti eksakstin sarja-analyysin vuoksi tarvitaan siis välttämättömät negatiiviset taajuudet. Vrt. fysiikan analyysissä hiukkanen & antihiukkanen ja niiden ominaisuudet (esim. varaus, spin). Muista myös kaava, jossa on kaikki matematiikalla pelaamiseen tarvittavat tärkeimmät palikat nätissä paketissa, ts. 1, +1,, e, π, j: 1 1
FOURIER-SARJOJA (S) 23
ESIMERKKI SAKARAPULSSIJONOLLE 24
SAKARAPULSSIJONON AMPLITUDISPEKTRI 25 Edellä nähtiin, että sakarapulssijonon spektriviivat esiintyvät vain parittomilla perustaajuuden harmoonisilla.
SAKARAPULSSIJONO FOURIER-SARJAN AVULLA Fourier-sarjan komponenteilla voidaan approksimoida mitä tahansa periodista signaalia. Alla kantataajuinen sakarapulssijono saadaan sarjan termien summana, kun n. Kukin harmoninen komponentti edustaa pyörivää osoitinta taajuudella n ω (erilaiset pyörimisnopeudet). Mitä pitempi osoitinvektori, sitä suurempi on ko. spektrikomponentin itseisarvo amplitudispektrissä. 26
SAKARAPULSSIJONO FOURIER-SARJAN AVULLA 27
SAKARAPULSSIJONO FOURIER-SARJAN AVULLA 28 Trigonometrisen Fouriersarjan katkaisusta aiheutuu ns. Gibbsin oskillaatioilmiö
PULSSIN KESTON JA TOISTOTAAJUUDEN VAIKUTUS 29
PULSSIN KESTON JA TOISTOTAAJUUDEN VAIKUTUS 3 Duty-cyclen τ/t pulssijonoja esiintyy elektroniikassa, tiedonsiirrossa ja tutkatekniikassa. Alla olevan viivaspektrin verhokäyrä on sinc-funktio: sinc(x) = sin(πx)/(πx)
PULSSIN KESTON JA TOISTOTAAJUUDEN VAIKUTUS 31
PULSSIN KESTON JA TOISTOTAAJUUDEN VAIKUTUS 32 Huomaa viivaspektrin mielenkiintoinen rajatapaus: Kun T ja f = 1/T, niin diskreetti amplitudispektri muuttuu jatkuvaksi funktioksi (energiasignaalin spektriksi). Muista: Energiasignaali jatkuva Fouriermuunnos Tehosignaali diskreetti Fouriersarjakehitelmä, jonka kertoimista tehon jakautuminen voidaan päätellä.
FOURIER-SARJOJA (S) 33
FOURIER-SARJOJA (S) 34
FOURIER-MUUNNOSPAREJA (S) 35