Luento 11: Potentiaalienergia

Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Ajankohtaista

Konseptitesti 1 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee liukumaan pitkin kitkatonta tasoa. Tason alapäässä kappaleen nopeus on v. Kuinka paljon paljon korkeampi tason pitäisi olla jotta nopeus olisi 2v? 1. p 2-kertainen alkuperäiseen nähden 2. Kaksinkertainen alkuperäiseen nähden 3. Kolminkertainen alkuperäiseen nähden 4. Nelinkertainen alkuperäiseen nähden 5. Kahdenksankertainen alkuperäiseen nähden

Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Johdanto Tähän asti työ määriteltiin hiukkasen liikeradan kautta Usein kätevämpää käyttää potentiaalienergian (potential energy) käsitettä Potentiaalienergia riippuu vain hiukkasen paikasta voimakentässä Sen avulla päästään myös energian säilymisen periaatteeseen Energia voi muuttaa muotoaan, mutta sitä ei voi luoda eikä hävittää

Gravitaatiopotentiaalienergia Maan pinnan läheisyydessä liikkuva hiukkanen Kun se siirtyy korkeudelta y 1 korkeudelle y 2, niin siihen vaikuttavan maan vetovoiman tekemä työ on W grav = Fs = w(y 2 y 1 )=mgy 1 mgy 2 Määritellään gravitaatiopotentiaalienergia Nyt vetovoiman tekemä työ on U = mgy W grav = U 1 U 2 = (U 2 U 1 )= U

Käyräviivainen liike Jos hiukkanen liikkuukin käyräviivaisesti pisteestä P 1 pisteeseen P 2, on gravitaatiovoiman tekemä työ W grav = = Z P2 P 1 ~w d~ l = Z y2 Z P2 P 1 ( mgĵ) (dxî + dyĵ + dz ˆk) y 1 mgdy = mgy 1 mgy 2 = U Seuraus: potentiaalienergian käsitettä voidaan käyttää niin suora- kuin käyräviivaisessakin liikkeessä

Jousen potentiaalienergia Materiaali on elastista (elastic), jos se palautuu alkuperäiseen muotoonsa jännityksen purkauduttua Ideaalinen jousi on täydellisen elastinen. Aiemmin laskettiin jousta venyttävän voima tekemä työ Newtonin 3. laki =) jousen tekemä työ on sen vastaluku W el = 1 2 kx 1 2 1 2 kx 2 2 Määritellään jousen (elastinen) potentiaalienergia U = 1 2 kx 2

Jousen potentiaalienergia Jousen tekemä työ on tällöin W el = 1 2 kx 2 1 1 2 kx 2 2 = U 1 U 2 = U Jousen potentiaalienergiaa laskettaessa venymä x mitataan jousen tasapainoasemasta. Jousta jännitettäessä W el < 0! potentiaalienergia U kasvaa Jännityksen purkautuessa, W el > 0! U pienenee.

Mekaanisen energian säilyminen Jos hiukkaseen ei vaikuta muita voimia kuin gravitaatiovoima, niin voiman tekemä työ on sekä kineettisen energian että potentiaalienergian muutos W tot = K 2 K 1 = K ja W tot = W grav = U 1 U 2 = U Tämä on mekaanisen energian säilymislaki: K = U, K 1 + U 1 = K 2 + U 2 Energia säilyy Sama pätee myös jousivoimalle: W tot = W el

Mekaaninen kokonaisenergia Määritellään systeemin mekaaninen kokonaisenergia E = K + U Nyt mekaanisen energian säilymislaki voidaan kirjoittaa E = K + U = vakio Huom! Mekaanisen energian säilyminen ei riipu potentiaalienergian nollatason määrittelystä Vain potentiaalienergioiden erotus ratkaisee

Muut voimat Mikäli kappaleeseen vaikuttaa jousivoiman ja graviaatiovoiman lisäksi muita voimia (F other 6= 0) Yleistetään edellä käsitellyt tapaukset W tot = W el + W grav + W other = K Toisaalta W el = U el ja W grav = U grav, joten W other = K + U el + U grav =) K 1 + U el,1 + U grav,1 + W other = K 2 + U el,2 + U grav,2

Konservatiiviset voimat Mekaanisen (kineettisen ja potentiaali-) energian säilymislaki on voimassa gravitaatio- ja jousivoiman yhteydessä, mutta ei kitkavoiman. Mistä tiedetään voidaanko potentiaalienergiaa käyttää? Gravitaatio- ja jousivoimat ovat konservatiivisia voimia (conservative force), koska näiden voimien tekemä työ voidaan esittää potentiaalienergiafunktion avulla. Kitkavoima taas on dissipatiivinen, häviöllinen voima. Voimat jotka eivät ole konservatiivisia, ovat ei-konservatiivisia (nonconservative).

Konservatiivinen voima Voi varastoida energiaa joka on kokonaan käytettävissä takaisin liike-energiaksi. Voidaan ilmaista radan alku- ja päätepisteiden potentiaalienergian erotuksena On reversiibeli Ei riipu kuljetusta polusta, ainoastaan alku- ja päätepisteistä Jos alku- ja päätepisteet ovat samat, niin voiman tekemä työ on nolla I ~F cons d ~` = 0 (Konservatiiviselle voimalle)

Ei-konservatiivinen voima Voi olla häviöllinen, jolloin systeemin mekaanista energiaa menetetään. Toisaalta voi myös tuoda systeemiin lisää mekaanista energiaa. Todellisuudessa energiaa ei häviä tai synny, vaan esim. systeemin kappaleet kuumenevat tai jäähtyvät, tai systeemissä vapautuu tai sitoutuu kemiallista energiaa.

Energian säilymisen laki Lämpö ja kemiallinen energia ovat eräitä systeemin sisäisen energian U int muotoja Kokeet! ei-konservatiivisten voimien tekemään työhön liittyy aina sisäisen energian muutos U int = W other Energian säilymislaki yleisessä muodossaan on K + U + U int = 0 missä U sisältää kaikkien konservatiivisten voimien potentiaalienergian.

Harjoitus Hahmottele ratkaisun alkua parin kanssa Tehtävänanto Erään sähköauton massa on 1000 kg. Sen maksiminopeus vaakasuoralla tiellä on 125 km h 1, kun taas maksiminopeus on 115 km h 1 auton kiivetessä jyrkkyydeltään 5 % mäkeä. Kitkavoimat oletetaan nopeudesta riippumattomiksi. Kuinka pitkälle sähköauto pystyy kiipeämään mäkeä, jos sillä on 50 kw h energiaa käytettävissään ja se kulkee maksiminopeudellaan?

Ratkaisu

Ratkaisu jatkuu

Konseptitesti 2 U Kysymys Viereisessä kuvassa on erään x-akselilla kulkevan kappaleen potentiaalienergia. Missä pisteissä kappaleeseen kohdistuva nettovoima on nolla? 1. Pisteissä x = a ja x = c 2. Vain pisteessä x = b 3. Vain pisteessä x = d 4. Pisteissä x = b ja x = d a b c d 5. Harhaanjohtava kysymys, jokaisessa pisteessä on nollasta poikkeava voima x

Voima potentiaalienergiasta Kuinka voidaan laskea voiman lauseke, jos potentiaalienergia tunnetaan? Työ määriteltiin potentiaalienergian negatiivisena muutoksena W = Toisaalta pienelle potentiaalienergian muutokselle du pätee dw = ~ F d~s = Ft ds = du, joten voidaan kirjoittaa F t = du ds Tämä on suunnattu derivaatta eli funktion U muutosnopeus ~s:n suuntaan Se voidaan esittää toisaalta osittaisderivaattojen avulla! @U F t = ê s ru = ê s @x î + @U @y ĵ + @U @z ˆk Merkintä @U/@x tarkoittaa osittaisderivointia, eli monen muuttujan funktio U derivoidaan (tässä tapauksessa) x:n suhteen, pitäen samalla muut muuttujat vakioina U

Voima potentiaalienergiasta gradientti Vektorin ru projektio vektorille ~s F t = ê s ru = ê s! @U @x î + @U @y ĵ + @U @z ˆk Toisaalta tarkasteltiin voimavektoria F ~, joten! @U ~F = ru = @x î + @U @y ĵ + @U @z ˆk eli voima on konservatiivisen potentiaalin gradientti Konservatiivisessa voimakentässä hiukkaseen kohdistuva voima ajaa sitä kohti potentiaalienergiaminimiä

Mikä ihmeen gradientti? ~A = rv = Skalaarikentän V gradientti on vektorikenttä ~ A, joka osoittaa skalaarikentän suurimman kasvun suuntaan ja jonka suuruus on ko. kasvunopeus Taustaa ja kivoja kuvia Wikipediassa http://en.wikipedia.org/wiki/gradient Esiintyy fysiikassa mm. mekaniikassa energian yhteydessä ja sähkömagnetiikassa Maxwellin lakien yhteydessä Mäen jyrkkyys

Harjoitellaan Laske seuraavien lausekkeiden gradientit 1. U(x, y, z) =xyz 2. U(x, y, z) =sin(x) sin(y) cos(z) 3. U(x, y, z) =x + y + z 4. U(x, y, z) =sin(x)+cos(y)+cos(z) 5. U(x, y, z) = p x 2 + y 2 + z 2

Ratkaisu

Energiatasokaaviot Tarkastellaan potentiaalienergiafunktion U(x) kuvaajaa Tasapainopiste, du/dx = 0 Stabiili tasapainoasema: tasapainoaseman ympärillä palauttava voima (restoring force) Kuvaajasta voidaan lisäksi päätellä voiman suunta kussakin kuvaajan pisteessä Voidaan myös arvioida, jos kappaleen kokonaisenergia tiedetään, minkä koordinaattiarvojen välillä kappale liikkuu ja missä sen kineettinen energia on suurimmillaan.

Esimerkki 1 Laatikko lähetetään liukumaan ylöspäin pitkin kaltevaa tasoa (kulma ). Laatikko liukuu matkan L ennen pysähtymistään ja alkaa sen jälkeen liukua alaspäin. Laske a) kitkavoiman suuruus ja b) laatikon nopeus sen palatessa lähtöpisteeseen kun laatikon lähtönopeus on v 0.

Ratkaisu a)e 1 = 1 2 mv 2 1, E 2 = 1 2 mv 2 2 + mgy 2 = mgl sin E 2 = E 1 + W f =) W f = mgl sin 1 2 mv 2 1 = F f L =) F f = mv 2 1 2L mg sin b)e 3 = 1 2 mv 3 2 = E 2 + W f =) 1 2 mv 3 2 = mgl sin F f L r h F i f v 3 = 2L g sin m

Esimerkki 2 Onko tasossa xy vaikuttava voima ~ F = Cxĵ konservatiivinen? Ratkaisu: Mikäli kiertointegraali pitkin mielivaltaista tason polkua on nolla, on voimakin konservatiivinen, muuten ei ole.

Ratkaisu ~F = Cxĵ d ~` = dxî + dyĵ Z =) W = c Z ~F d ~` = c Cx dy =) (0, 0)! (L, 0) :y = 0 =) dy = 0 =) W 1 = 0 (L, 0)! (L, L) :x = L =) W 2 = Z (L,L) Cx dy = CL 2 (L,0) (L, L)! (0, L) :y = L =) dy = 0 =) W 3 = 0 (0, L)! (0, 0) :x = 0 =) W 4 = 0 =) W = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 = W 2 = CL 2 6= 0 Koska tehty työ ei ollut nolla, voima ei ole konservatiivinen

Esimerkki 3 Kysymys Eräs satelliitti (massa m) kiertää Maata ympyräradalla, jonka säde on -kertainen Maan säteeseen R nähden. Ilmakehä ja Maata myös kiertävä kosminen pöly aiheuttavat satelliittiin sen nopeutta vastustavan voiman F = v 2, missä v on satelliitin ratanopeus. Määritä kauanko satelliitilla kestää ennenkuin se törmää Maan pintaan. Voit olettaa että on niin pieni että satelliitin rata on koko ajan ympyrän muotoinen.

Ratkaisu

Ratkaisu jatkuu