Suhteutuvuus ja sen seurauksia

Suhteutuvuus ja sen seurauksia 11. marraskuuta 2009 Tiivistelmä Tässä artikkelissa määritellään analyyttisesti tiettyjä termejä, jotka liittyvät käsitteiden merkityksiin, osoitetaan että tiettyjä käsitteitä käytetään moniselitteisessä merkityksessä ja argumentoidaan, että tällaisten käsitteiden käyttö on niin epäselvää, ettei se sovi akateemiseen kontekstiin. Jos tämän argumentoinnin pätevyys tunnustetaan yleisesti, monia tunnettuja teorioita täytyy muunnella, tai niiden akateemisesta tutkimisesta muuten kuin historiallisessa mielessä tulee luopua. 1 Suhteutuvuus Lähtökohta on joukko Γ lauseita, jotka katsotaan tosiksi. Näiden pohjalta voidaan tehdä logiikan sääntöjen mukaisesti päättelyjä, ja tulokset on myös katsottava tosiksi. Huomautettakoon ettei tämä tarkoita joukon Γ olevan matemaattisessa mielessä päättelyn suhteen suljettu, sillä vaikka esimerkiksi A ja A B olisivat joukossa Γ, B:n ei tarvitse olla siinä, jos B:tä ei ole vielä päätelty. Muuten olisi esimerkiksi niin, että henkilö, jonka lähtökohtana ovat Peanon aksioomat, välttämättä pitäisi lähtökohtanaan myös minkä tahansa tämän teorian ratkeavan väittämän kohdalla joko itse väittämää tai sen negaatiota, vaikkei kyseisen väittämän totuusarvoa olisikaan vielä ratkaistu. Kuvaus on lause p(x), jossa on yksi vapaa muuttuja x. Muuttuja voi tietysti olla jokin muukin kuin x. Esimerkiksi x + 2 = 4 ja henkilö y, joka oli Suomen presidentti v. 1998 ovat kuvauksia. Sanomme kuvaukseksi myös ilmaisua, joka on tulkittavissa sellaiseksi. Esimerkiksi ilmausten 4 2 ja Suomen presidentti v. 1998 voidaan katsoa vastaavan edellä mainittuja kuvauksia. Historiallisesti käsitteemme kuvaus on peräisin hieman pelkistetystä Bertrand Russellin määrättyjen kuvausten teoriasta. [1] 1

Määrittelymme eivät kuitenkaan tukeudu tämän teorian yksityiskohtiin, joten nämä eivät ole artikkelin esitietoina välttämättömiä. Kuvauksen ekstensio eli ala lähtökohdassa Γ on niiden alkioiden a kokonaisuus, joista saadaan joukon Γ lause, kun a sijoitetaan kuvauksen vapaan muuttujan paikalle. Kuvauksen p(x) ekstensio voi yleisesti ottaen olla joko tyhjä, siinä voi olla vain yksi alkio tai siinä voi olla monta alkiota. Olemassaolo on kuvauksen ominaisuus. Kuvaus on olemassa lähtökohdassa Γ, jos ja vain jos x(p(x)) on Γ:n lause. Tämä tarkoittaa samaa kuin että kuvauksen p(x) ekstensio on epätyhjä. Tautologisen kuvauksen, esimerkiksi p(x) p(x), ekstensiota lähtökohdassa Γ sanotaan lähtökohdan alueeksi. Alue sisältää kaikki alkiot, jotka ovat jonkin olemassaolevan kuvauksen ekstensiossa. Näin on siksi että mikä tahansa alkio on tautologisen kuvauksen ekstensiossa. Olkoon meillä lähtökohta Γ. Γ suhteutetaan kuvaukseen p(x) seuraavasti. Jokainen Γ:n lause φ käydään läpi, ja φ:ssä jokainen sisälause y(ψ) muunnetaan muotoon y(p(y) ψ) ja jokainen sisälause y(ψ) muotoon y(p(y) ψ). Sitten käydään läpi näin saadun lauseen φ vapaat muuttujat y 1,..., y k (jos näitä on) ja φ muutetaan muotoon p(y 1 )... p(y k ) φ. Lopuksi näin saatuun joukkoon Γ lisätään jokaista n:n muuttujan funktiosymbolia f kohti lause x 1,..., x n (p(x 1 )... p(x n ) p(f(x 1,..., x n ))). Mitä suhteutus kuvaukseen p(x) intuitiivisesti ajatellen tekee lähtökohdalle? Jokainen rakenne y(ψ) sisältää ajatuksen jokaiselle y on voimassa ψ. Tämä muuntuu nyt muotoon jokaiselle y, jolle p(y), on voimassa ψ. Jokainen rakenne y(ψ) taas sisältää ajatuksen on olemassa y siten että ψ, ja tämä muuntuu muotoon on olemassa y, jolle p(y), siten että ψ. Jos lauseessa on vapaita muuttujia, lause sanoo, että sijoittamalla niihin mikä tahansa termi (joka on vapaa kyseiselle muuttujalle) saadaan tosi lause. Uusi lause sanoo, että näin on kaikille termeille t (jotka ovat vapaita kyseiselle muuttujalle), joille on voimassa p(t). Lopuksi lisätään että jokaisen funktion arvolle f(x 1,..., x n ) pätee p(f(x 1,..., x n )). Toisin sanoen suhteutus kuvaukseen p(x) rajaa lähtökohdan puhumaan vain ja ainoastaan alkioista x, joille on voimassa p(x). Olkoon meillä lähtökohtana esimerkiksi kaikki Matin tosiksi katsomat lauseet Γ. Olkoon meillä kuvaus M(x) := def Matin lähtökohdan alueen x. Kun suhteutamme Γ:n kuvaukseen M(x), saamme uuden lähtökohdan Γ, jonka jokainen lause kertoo asiaintilan niin tai näin olosta Matin lähtökohdassa sen sijaan että se kertoisi sen niin tai näin olosta yleensä. Jos Matti katsoo todeksi esimerkiksi lauseen Yksisarvisia ei ole olemassa, formaalisti x(y (x)), uuden lähtökohdan Γ vastaava lause väittää, että 2

x(m(x) Y (x)), eli Matin lähtökohdan alueella yksisarvisia ei ole olemassa, mikä voitaisiin ilmaista lyhyestikin: Matin mukaan yksisarvisia ei ole olemassa. Suhteutumaton kuvauksen käyttötapa on sellainen, joka asettaa vaatimuksen, että kuvauksen määritelmän on pysyttävä muuttumattomana, vaikka lähtökohta, jossa kuvausta käsitellään, suhteutettaisiin mihin tahansa kuvaukseen. Suhteutuva kuvauksen käyttötapa on kuvauksen käyttötapa, joka ei ole suhteutumaton. Tutkittaessa kuvauksen p(x) käyttötavan suhteutuvuutta suhteuttamalla lähtökohta Γ kuvaukseen q(x) on usein hyödyllistä laajentaa suhteutettua lähtökohtaa. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi ottamalla lähtökohta ja kuvaus r(x) niin että q(x) ja r(x) eivät ole yhtäaikaa tosia millekään x:lle, suhteuttamalla kuvaukseen r(x) ja yhdistämällä suhteutetut kuvaukset yhdeksi kokonaislähtökohdaksi. Jos esimerkiksi on lähtökohdat Γ ja, jotka määrittävät luonnolliset (ei-negatiiviset) luvut ja negatiiviset luvut ja kuvaukset x N ja x Z, voimme tehdä molemmille suhteutuksen ja yhdistää tulokset yhdeksi lähtökohdaksi, jolloin saamme kokonaislukujen teorian eli lähtökohdan. Yleisesti ottaen kuvausta voi käyttää sekä suhteutuvalla että suhteutumattomalla tavalla. Otetaan esimerkiksi kuvaus asia x lähtökohdassa Γ käytettynä suhteutumattomalla tavalla. Suhteuttakaamme lähtökohta kuvauksella q(x) := def lähtökohdan Γ alueen x. Jos nyt laajennamme suhteutettua näkökulmaa, suhteutumattoman kuvauksen asian x ekstension pitäisi käsittää myös kaikki laajennetun kuvauksen uudet alkiot. Ekstensio on siis monimerkityksinen, sillä emme kuvauksesta puhuessamme maininneet, tarkoitammeko lähtökohdan Γ vai tämän laajennetun lähtökohdan asioita. Suhteutuvalle kuvauksen käyttötavalle sen sijaan on ominaista, että se suhteutuu samalla kun lähtökohdat suhteutetaan. Käyttäessämme suhteutuvasti kuvausta asia x ajattelemme sen lähtökohtaan sidotuksi, jolloin se tarkoittaa samaa kuin lähtökohdan alue. Tällä tavalla käytettynä asia x muuttuu q(x):llä suhteutettaessa kuvaukseksi lähtökohdan Γ asia x. Tämän ekstensio on sama kuin alkuperäisen kuvauksen. Jos halutaan keskustella asioista täsmällisesti, käytettyjen kuvausten pitäisi olla hyvin määriteltyjä. Niiden ekstensio ei saisi muuttua kun lähtökohtaa suhteutetaan johonkin. Suhteutuvan kuvauksen ekstensio ei muutu lähtökohtaa suhteutettaessa, mutta suhteutumattoman kuvauksen ekstensio voi muuttua. Otetaan esimerkiksi kuvaus luku jonka seuraaja on 0 niin, että lähtökohdaksi valitaan luonnollisten lukujen teoria. Tämän kuvauksen ekstensio on tyhjä. Laajennetaan lähtökohtaa nyt niin, että lähtökohta on kokonaislukujen teoria. Jos olemme tulkinneet suhteutuvasti kuvauksen luku jonka seuraaja on 0, se suhteutuu kuvaukseksi 3

luonnollinen luku jonka seuraaja on 0, jolloin sen ekstensio pysyy tyhjänä. Mutta jos olemme tulkinneet kuvauksen suhteutumattomasti, tulkitsemme sen käytännössä muotoon luku jonka seuraaja on 0 riippumatta teoriasta. Tällöin sen ekstensio on luonnollisten lukujen teoriassa tyhjä mutta kokonaislukujen teoriassa 1. Artikkelin kirjoittajien mielestä suhteutumaton käyttötapa kuvaukselle luku jonka seuraaja on 0 ei sovellu akateemiseen kontekstiin, sillä se on moniselitteinen. Ei tiedetä viittaako se 1:teen vai onko se viittaamatta mihinkään. Lukijalla voi herätä kysymys, käyttävätkö artikkelin kirjoittajat kuvausta kuvaus x tai mitä tahansa muita määritelmiään tässä artikkelissa oikeaksi väittämällään tavalla eli suhteutuvasti. Mille tahansa kuvaukselle on kuitenkin ominaista, ettei sen oikeaksi väitetty suhteutuva käyttö herätä kummempaa huomiota, kun taas vääräksi väitetyllä suhteutumattomalla käytöllä voidaan yleensä todistaa yhteensopimattomia väittämiä, mikä on huomiotaherättävää. Lukijan tulee siis muistaa, että vaikkeivät artikkelin kirjoittajat lyhyyden vuoksi eksplisiittisesti huomauta jokaisen määritelmän kohdalla, että sen käyttö tulee suhteuttaa tarkasteltaviin lähtökohtiin, näin on silti tehtävä. Esimerkiksi kuvaus x artikkelin kirjoittajien lähtökohdissa voidaan suhteuttaa lauseella artikkelin kirjoittajien lähtökohtien alueen x, ja kuvaus suhteutuu myös muotoon artikkelin kirjoittajien lähtökohtien alueen kuvaus x. Artikkelin kirjoittajat eivät väitä, että esimerkiksi jonkin heille vielä tuntemattoman kielen kuvauksenkaltaiset ilmaisut olisivat välttämättä kuvauksia heidän tarkoittamassaan mielessä. Kuvaukselle p(x) on ominaista, että jos sitä käytetään suhteutuvalla tavalla määriteltäessä uudet kuvaukset q(x) ja r(x) niin, että kuvauksien q(x) ja r(x) ekstensiot ovat erilliset, ja niiden unioni on p(x):n ekstensio, myös q(x):ää ja r(x):ää käytetään oletusarvoisesti suhteutuvalla tavalla. Niinpä kun edellä todettiin, että kuvausta käytetään tässä artikkelissa suhteutuvasti, myös termejä suhteutuva kuvaus ja suhteutumaton kuvaus käytetään tällä tavalla. 2 Suhteutumattomalla tavalla käytettyjä kuvauksia Tässä kappaleessa argumentoidaan, että vallitsevassa akateemisessa kielenkäytössä on tavallista käyttää useita kuvauksia suhteutumattomalla tavalla. Siitä, mikä on tavallinen käyttötapa, voidaan tietysti usein olla montaa mieltä. Tällöin artikkelin kirjoittajat ovat tukeutuneet omaan kokemukseensa. Sinällään olennainen kysymys tässä ei olekaan se, 4

mikä on tilastollisesti yleisin käyttötapa, vaan se, että suhteutumatontakin käyttötapaa esiintyy kirjoittajien mielestä haitallisessa määrin. Kaikkeus eli kaikki olemassaoleva. Tämä ilmaus viittaa kuvauksen asia x ekstensioon, missä x on mikä tahansa missä olosuhteissa tahansa. Olkoon tarkasteltavana esimerkiksi lukijan lähtökohta Γ. Olkoon kuvaus L(x) := def Lukijan lähtökohdan alueen x. Suhteutettakoon Γ kuvaukseen L(x). Tavallisesti kuvauksen asia x pitäisi määritelmän mukaan sisältää myös kaikki asiat Γ:n alueen ulkopuolella. Jos esimerkiksi laajennetaan lähtökohtaa lukijan naapurin lähtökohdalla suhteutettuna kuvaukseen N(x) := def Lukijan naapurin lähtökohdan alueen x, tämänkin alueen alkioiden pitäisi olla asioita eli kaikkeuden osia. Jos kaikkeus käsittäisi vain Γ:n alueen alkiot, sen ala ei enää olisi kaikki. Näin ollen asiaa x, eli sitä kuvausta, jonka ekstensio on kaikkeus, käytetään tavallisessa merkityksessään suhteettomasti. Kaikki mihin kielellä voi viitata. Tämä ilmaus viittaa kuvauksen x johon kielellä voi viitata ekstensioon. Tavallisesti kielellä voi viitata minkä tahansa lähtökohdan alueen lisäksi kaikkiin alkioihin, jotka lisätään laajentamalla lähtökohtaa. Tajunta eli kaiken koetun kokonaisuus. Tämä ilmaus viittaa kuvauksen x joka koetaan ekstensioon. Tässä kokemiseksi luetaan kaikki havainnointi, ajattelu ja yleensä asian käsittely. Tavallisesti ajatellaan, että jos lähtökohtia laajennetaan, ja laajennetun alueen uusia alkioita tutkitaan, niin näitä alkioita ajatellaan ja käsitellään, eli niidenkin on langettava kuvauksen ekstensioon, tajuntaan. Tämä käyttötapa on selvästi suhteutumaton. Juuri tällaiseen kokemuksen tai havainnon suhteutumattomaan tarkasteluun perustuu George Berkeleyn kuuluisa Mestariargumentti [2], joka kuuluu vapaasti muotoiltuna näin: Oleta asia, jota kukaan ei havaitse. Mutta sinähän havaitset sen. Siispä ei ole mitään, jota joku ei havaitsisi. Esse est percipi, QED. Totuus. Tämä ilmaus viittaa kuvauksen väittämä x joka on totta ekstensioon. Tavallisesti totuutta ei formaalin logiikan ulkopuolella yleensä käytetä sellaisessa merkityksessä, että totuus olisi lähtökohtaan rajattu. Jos laajennetaan lähtökohtaa, jossa on tosia ja epätosia väittämiä, lähtökohdalla, jossa on eräitä muita väittämiä, on tavallista ajatella, että näissä uusissa väittämissä on myös tosia ja epätosia väittämiä. Olettaen että uudet väittämät ovat suljettuja negaation suhteen, jokaista epätotta väittämää vastaa tosi väittämä, jolloin vähintään yksi tosi 5

väittämä lisäytyy tällä lähtökohdan laajennuksella. Kuvausta väittämä x joka on totta on siis tavallista käyttää formaalin logiikan ulkopuolella suhteutumattomasti. Nykyisyys. Tämä ilmaus viittaa kuvauksen x joka on nykyisessä alueessa (ts. olemassa) ekstensioon. Jos lähtökohtia laajennetaan, ei olisi tavatonta, että uudet alkiot tulkittaisiin edelleen nykyisiksi tai nykyisen alueen alkioiksi. Tällöin kuvauksen ekstensio laajenee. Kuvauksen käyttötapa on siis suhteutumaton. Huomautettakoon että tätä kuvausta käytetään usein myös suhteutuvalla tavalla. Jos ajatellaan, että suhteutettaessa edellä mainittu kuvaus lähtökohtineen esimerkiksi kuvaukseen Lukijan lähtökohdan alueen x saadaan kuvaus Lukijan lähtökohdan nykyisen alueen x, kuvausta käytetään suhteutuvasti. Tällöin on mahdollista esimerkiksi laajentaa aluetta käsittämään lukijan huomiset lähtökohdat, ja lukijan lähtökohdan nykyinen alue säilyy samana. Aivan oma asiansa on tietenkin se, voiko nykyisyyttä koskaan käyttää täysin täsmällisesti; muuttuuhan hetki, ja siten lähtökohdat, jo ilmauksen käytön aikanakin. 3 Suhteutuvuuden seurauksia Artikkelin kirjoittajien mielestä kaikki akateeminen diskurssi, joka perustuu suhteutumattomalla tavalla käytettyihin kuvauksiin, tulee muuttaa sellaiseksi, ettei se perustu näihin. Jos tämä ei onnistu, kyseisen diskurssin akateemisesta harjoittamisesta muussa kuin historiallisessa mielessä pitäisi luopua. Tällöin esimerkiksi ontologiaa tulee muuttaa, tai sen akateemisesta harjoittamisesta tulee luopua. Yksi ontologian tärkeimmistä tavoitteista nimittäin on vastata kysymykseen: Mitä on kaikkeus? Kysymyksessä on vakava ongelma, sillä kuvausta kaikkeus käytetään suhteutumattomalla tavalla. Kysymyksen Mitä on kaikkeus? esittäminen voidaan rinnastaa siihen, että matematiikan kokeessa on tehtävä: Ratkaise yhtälö x 2 = 1. Jos pitäydytään luonnollisiin lukuihin, ratkaisu on 1, mutta jos x:n sallitaan olevan kokonaisluku, niin ratkaisuja ovat 1 ja 1. Kysymys on moniselitteinen, sillä siinä ei mainita, millä alueella kysymystä tulee tarkastella. Toki oppilaalla voi käytännön koetilanteessa olla jokin konteksti, joka sanelee alueen. Tällainen konteksti voisi olla esimerkiksi käytävän kurssin aihe. Kysymyksellä Mitä on kaikkeus? ei tällaista kontekstia kuitenkaan ole. Esimerkkinä teoriasta, joka pohjautuu suhteutumattomalla tavalla käytettyyn kuvaukseen, tarjottakoon fysikalismi. Fysikalismina tunnettu teoria on tapana tulki- 6

ta kahdella tavalla. Eräs tapa on tulkita fysikalismi lingvistiseksi teoriaksi, jonka mukaan jokainen kielellinen väittämä on synonyymi jollekin fysikaaliselle väittämälle. Toinen tapa on tulkita fysikalismi metafyysiseksi teoriaksi, joka kertoo maailman olemuksesta. [3] Kummatkin tulkinnat johtavat siihen, että fysikalismi perustuu suhteutumattomalla tavalla käytettyyn kuvaukseen. Lingvistinen tulkinta tiivistyy muotoon kaikki, mihin kielellä voidaan viitata, on fysikaalista, mutta kaikki, mihin kielellä voidaan viitata on suhteutumattomalla tavalla käytetty kuvaus. Metafyysinen tulkinta taas tiivistyy muotoon kaikkeus on fysikaalinen, mutta kaikkeus on suhteutumattomalla tavalla käytetty kuvaus. Fysikalismina tunnettua teoriaa tulee siis muuttaa, tai siitä tulee luopua. On triviaalisti havaittavissa että sama koskee myös esimerkiksi idealismia ja kartesiolaista dualismia. Ludwig Wittgensteinin Tractatus Logico-Philosophicuksen propositio 5.61 viittaa siihen, että Wittgenstein oli jossakin määrin tietoinen suhteutuvuudesta. [4] Artikkelin kirjoittajat arvelevat, ettei hänen suhteutuvuutta koskeva pohdintansa kuitenkaan ollut riittävän selkeää ja pitkälle vietyä, sillä muuten suhteutuvuuden seuraukset olisivat oletettavasti jo tunnettuja. Viitteet [1] Bertrand Russell, On Denoting. Teoksessa: A. P. Martinich (toim.): Philosophy of Language. Oxford University Press 22.12.2006, s. 230238. [2] George Berkeley; Colin Murray Turbayne, A Treatise Concerning the Principles of Human Knowledge. Forgotten Books 1957, s. 33. [3] Daniel Stoljar, Physicalism. Teoksessa: Edward N. Zalta (toim.): The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2009 Edition), <http://plato.stanford.edu/archives/fall2009/entries/physicalism/>. [4] Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus. Book Jungle 6.9.2007, propositio 5.61. 7