Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi 6.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 8 Olkoon kstt paraabelin piste A (, ) Koska piste A on paraabelilla A=, + +. =. = + +, piste Pisteiden A ja B sekä A ja C kautta kulkevien suorien kulmakertoimet: A B + + kab = = = =, k AC A B ( 7) A C + + = = 4 A C = + + ± 4 ( ) 8 + + 8 = = ( ) 4 ± 6 = = tai = 4 ( + )( 4) = = 4 4 + + 8= Kumpikaan suorista AB ja AC ei voi olla pstsuora, joten suorat AB ja AC ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos k k = ( ) = AB AC + = + + = ( + ) = + = =, 4 kelpaa Kun =, niin = ( ) + ( ) + = + =. Vastaus (, )
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 54 Päivitett 9..7 84 Origon, etäiss suorasta a + ( a ) = on a + ( a ) d = d = a + ( a ) a + b + c = a + ( a ) Koska vakio on positiivinen, niin etäiss d on suurin, kun a + b positiivinen jakaja a + ( a ) on pienin. Jakaja on pienin, kun juurrettava a + a = a + a a+ = a a+ on pienin. Koska juurrettavan kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli, niin juurrettava saa pienimmän arvonsa, kun a on sama kuin huipun -koordinaatti. Lasketaan huipun -koordinaatti a. b a = = = a Suoran etäiss origosta on suurin, kun a =. Kstn suoran htälö on a + ( a ) = a = + = 4= Vastaus 4 = 85 Valitaan -koordinaatisto niin, että kivi lähtee origosta. Piirretään mallikuva, jossa ksikkönä on metri. Paraabelin htälö nollakohtamuodossa on = a = a( )( 7) = a( 7) = = 7 Paraabeli kulkee pisteen ( 48;,5 ) kautta, joten saadaan htälö vakion a ratkaisemiseksi.,5 = a 48 ( 48 7),5 = 5a,5 a = = 5 56
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 55 Päivitett 9..7 Paraabelin htälö on siis = ( 7). 56 Paraabelin nollakohdat ovat = ja = 7, joten paraabelin huipun -koordinaatti on 86 Piirretään mallikuva, jossa ksikkönä on cm. + + 7 = = = 6 Paraabelin huipun -koordinaatti on siten = 6 6 7 = 7 56 56 = 5,875 Vastaus Kivi kä 5 metrin korkeudella. Paraabelin htälö nollakohtamuodossa on = a = a( + )( ) = = Paraabeli kulkee pisteen (,6 ) kautta, joten saadaan htälö a:n ratkaisemiseksi. 6= a( + )( ) 6= 9a 6 a = = 9
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 56 Päivitett 9..7 Paraabelin htälö on siten = ( + )( ) 87 Piirretään mallikuva, jossa ksikkönä on metri. Lasketaan aukon korkeus, kun =. h = ( + )( ), < 4 Juusto ei siis mahdu aukosta. Paraabelin htälö huippumuodossa on = a( 5) (, ) ( 5,) = a = Koska (, ) on paraabelin piste, saadaan = a( 5) a = 5 a = 45 Paraabelin htälö on siten = ( 5). 45
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 57 Päivitett 9..7 Kiven ratakärän tangentti ilmoittaa kiven hetkellisen suunnan. Lähtösuuntaa edustaa origon kautta kulkeva suora = k. Tangentilla = k ja paraabelilla = ( 5) on vain 45 ksi hteinen piste. Yhteiset pisteet saadaan htälöparin avulla. () = k Sijoitetaan htälöön ( ). = ( 5) 45 k = ( 5) 45 45 ( ) 45k 45 = + 5 45k 45 = + 6 45 + ( 45k 6) = ( + 45k 6) = = tai + 45k 6 = = tai = 6 45k 6 45k = tai = Koska ratkaisuja saa olla vain ksi, sen on oltava =. Saadaan htälö 6 45k = 6 45k = 6 4 k = = 45 Tangentin (suoran) suuntakulma α saadaan htälöstä 4 tanα = k k = 4 tanα = α = 5,... 5, Vastaus 5,
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 58 Päivitett 9..7 88 Valitaan koordinaatisto oheisen kuvion mukaisesti, ksikkönä on metri. Heittokulma on htä suuri kuin paraabelin pisteeseen (, ) piirretn tangentin suuntakulma α. Ratkaistaan tangentin kulmakerroin k ja sitten suuntakulma α ( tanα = k ). Tangentin htälö on Koska paraabeli kulkee pisteiden (, ) ja ( 5,5 ) kautta, saadaan htälöpari h= a( ) 5 h = a( 5 ) () h= 9a 5 h = 4a () + h= 9a 5 h= 4a = 5a a = Sijoitetaan htälöön (). 5 h = 9 5 7 h = 5 7 h = 5 = k = k = k+ Paraabelin htälö on h= a = a
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 59 Päivitett 9..7 Paraabelin htälö on siten 7 = ( ) 5 5 5 ( ) 5 7= 6+ 9 5 7 = + 8 7 5 = + 8+ :5 8 = + + 5 5 Tangentilla ja paraabelilla on vain ksi hteinen piste. () = k+ Sijoitetaan htälöön ( ). 8 = + + 5 5 8 k + = + + 5 5 8 + k = 5 5 5 Koska ratkaisuja saa olla vain ksi, sen on oltava =. Saadaan htälö 8 5k = 8 5k = 5k = 8 8 k = 5 Suuntakulma saadaan htälöstä 8 tanα = k k = 5 8 tanα = 5 α = 74,475... + 5k 8= ( + 5k 8) = = tai + 5k 8 = 8 5k = tai = Vastaus 74,5
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitett 9..7 89 Olkoon (mk) kahvin kilohinnan korotus. Tällöin kahvin kilohinta on 5 + (mk) ja kahvia mdään kuukaudessa 5 5 (kg). Kauppiaan voitto kahvikilosta on ( 5 + ) = + (mk). Kauppiaan voitto (mk) kuukaudessa on = ( + ) ( 5 5) = + 5 5 = 5 + +, Kauppiaan voittoa kuvaa siis alaspäin aukeavan paraabelin kaari. Paraabelin huipun -koordinaatti on b = = = 6,67 a ( 5) 84 Piirretään mallikuva, jossa ksikkönä on metri. Valitaan koordinaatiston -akseli pitkin vedenpintaa ja -akseli tukipilarin oikeaan reunaan. Paraabelin htälö nollakohtamuodossa on = a = a( )( ) = a( ) = = Paraabelin piste on (, ), joten saadaan htälö Kauppiaan voitto on suurin, kun = 6,67 (mk), jolloin kahvin kilohinta on 5 + = 56,67 markkaa. Vastaus mk 6,67 kg = a ( ) : = a ( 7) a = 7
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitett 9..7 Paraabelin htälö on siten = ( ) 7 84 Piirretään mallikuva, jossa ksikkönä on metri. Sillan suurin alikulkukorkeus on h = ( ) = = 5,88... 7 7 Vastaus 5,8 m (pörists alaspäin!) Määritetään paraabelien AGD ja BCE htälöt ja paraabelien leikkauspiste D = (, ). Pallon lhin etäiss hiekkakuopan reunasta vaakasuunnassa mitattuna on 9. Paraabelin AGD htälö on = 5 = a( )( ) = 8 = a( + 5)( 8) Paraabeli AGD kulkee pisteen G = (, 4) kautta, joten 4= a ( + 5)( 8) 4= a 5 ( 8) 4 a = = 5 ( 8) Paraabelin AGD htälö on = ( + 5)( 8).
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitett 9..7 Paraabelin BCE htälö on = a = a( + 9)( 9) = 9 = 9 Paraabelin BCE piste on ( ;,8), joten,8 = a ( + 9) ( 9),8 8 a = = = 8 8 Paraabelin BCE htälö on = ( + 9)( 9). Paraabelien leikkauspisteen D -koordinaatti: ( + 9)( 9) = ( + 5)( 8) 8 = 8+ 5 4 8 = 4+ 4 + 4 48= 4 ± 4 4 ( 48) = 4 ± 56 = > 4 4 + 56 = = 8,8... 4 Pallon lhin etäiss hiekkakuopan reunasta vaakasuunnassa mitattuna on 9 = 9 8,8... =,776...,77 ( m) () = ( + 5)( 8) = ( + 9)( 9 ) Sijoitetaan htälöön (). ( + 9)( 9) = ( + 5)( 8) Vastaus 77 cm
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitett 9..7 84 Paraabelin = eli = huippu on b = = = = a = =,. Huippu on Piirretään mallikuva. Ymprä sivuaa paraabelia origossa, joten mprän säde on a.,a ja säde a, joten sen htälö on Ymprän keskipiste on + ( a) = a + ( a) = a Paraabelin ja mprän hteiset pisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. = ( ) + ( a) = a + = + + a = a + a = a + a+ a = a + a= ( + a) = = tai + a= = tai = a Kun =, niin + = = =,. Yhteinen piste on siis origo Kun = a, niin + ( a ) = = ( a ) = ± ( a )
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 64 Päivitett 9..7 Koska hteisiä pisteitä ei saa olla kuin origo (, ), niin joko ) a = = a = a = eli eli eli eli a = = a = a = a = tai ) Siis ( a ) < :( > ) a < a < : ( > ) a < a. Vakion a suurin arvo on siis. 84 = p pq + 5 4p + 4pq Valitaan käräparvesta kaksi kärää ja määritetään niiden leikkauspisteet. Nämä leikkauspisteet ovat ainoat mahdolliset pisteet, joiden kautta kaikki kärät kulkevat. Tutkitaan lopuksi minkä leikkauspisteen kautta kaikki kärät kulkevat. Jos p = ja q =, niin = 5. Jos p = ja q =, niin = + 5 4 eli = +. Leikkauspisteet: () = 5 Sijoitetaan htälöön ( ). = + 5= + = 4 = ± Siis leikkauspisteet ovat (,5 ) ja (,5). ) Kun = ja = 5, niin käräparven Vastaus = p pq+ 5 4p+ 4pq vasen puoli on 5 ja oikea puoli on p ( ) pq ( ) + 5 4p + 4pq = 4p + 4pq + 5 4p + 4pq = 8pq + 5
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 65 Päivitett 9..7 Piste (,5) ei toteuta käräparven htälöä kaikilla vakioiden p ja q arvoilla (esimerkiksi, kun p = ja q = ). Kaikki kärät eivät siis kulje pisteen (,5) kautta. ) Kun = ja = 5, niin käräparven = p pq+ 5 4p+ 4pq vasen puoli on 5 ja oikea puoli on p pq + 5 4p + 4pq = 4p 4pq + 5 4p + 4pq = 5 Piste (,5 ) toteuttaa käräparven htälön kaikilla vakioiden p ja q arvoilla. Kaikki kärät siis kulkevat pisteen (,5 ) kautta. Vastaus (,5 ) 844 Leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. () = Sijoitetaan htälöön ( ). + = + = ( ) ( ) + = ( ) ( ) + = = tai + = ( ) = tai ( ) = = tai = tai ( ) = = tai = tai = = = tai = tai = Vastaus (, ), (, ) ja (, )
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 66 Päivitett 9..7 845 Valitaan paraabeliparvesta a = a+ a, a R, kaksi (mielivaltaista) paraabelia ja ratkaistaan näiden leikkauspisteet. Valitaan esimerkiksi a = : = a = : ( ) = + Paraabelit a = a+ a, a R, ovat löspäin aukeavia, joten niiden akselit ovat pstsuoria (-akselin suuntaisia). Tällöin pisteen (,4 ) kautta kulkeva suora on paraabelin tangentti, jos ja vain jos tangentilla ja paraabelilla on vain ksi leikkauspiste ja tangentti ei ole pstsuora eli sillä on kulmakerroin. Näiden leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. () = Sijoitetaan htälöön ( ). = + = + = = = = 4 Siis ainoa leikkauspiste näille kahdelle paraabeliparven paraabelille on (, 4 ). Tämän on samalla oltava kaikkien paraabeliparven paraabelien hteinen piste. Osoitetaan, että tämä saatu hteinen piste toteuttaa paraabeliparven htälöön. Sijoittamalla = saadaan a () = a + a = 4 a+ a = 4, 4 on kaikkien paraabelien hteinen piste. joten piste Tangentin htälö on 4= k = k = k k + 4 Tangentin ja paraabelin = a+ a leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. () = k k + 4 = a + a Sijoitetaan htälöön (). a+ a = k k + 4 a k+ a+ k 4= ( a+ k) + a+ k 4=
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 67 Päivitett 9..7 Toisen asteen htälöllä on ratkaisuja, jos ja vain jos diskriminantti on nolla. [ ( a+ k) ] 4 ( a+ k 4) = ( a+ k) 4 ( a+ k 4) = a + ak + k 8a 8k + 6= k + a 8 k + a 8a+ 6= k + ( a 4) k + ( a 4) = [ k + ( a 4) ] = ( k + a 4) = k + a 4= k = 4 a D = D = b 4ac 846 Pstsuoria tangentteja ei ole, koska paraabelin akseli on pstsuora. Pisteiden O ja A kautta kulkevan suoran kulmakerroin on Vastaus Yhteinen piste on (, 4 ). Tangentin kulmakerroin on 4 a. k OA, = = Tällöin tangentin kulmakerroin on k, = k = OA
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 68 Päivitett 9..7 Tangentin htälö on = = = + + = +, on mprän + = piste, joten + = Sisältää mös tapauksen, + = jossa =, jolloin =. Tangentti on =. Tangentilla ja paraabelilla on täsmälleen ksi hteinen piste. + = = + Sijoitetaan htälöön (). ( ) + + = + + = + + = vain ksi ratkaisu 4 = D = D = b 4ac + = 4 + 4 = =, joten 4 + 4 = 5 + 4 + = 4± 4 4 ( 5) = ( 5) 4± 6 = + =, joten = tai = 5 4 =± tai =± 5 6 =± tai = 5 Yhteiset tangentit ovat siis 6 = eli 6 5 = 5 5 6 = eli 6+ + 5 = 5 5 + = eli = Vastaus 6 5= 6+ + 5= = =±
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 69 Päivitett 9..7 847 a) = 4 = a + b+ c, a Paraabeli on vasemmalle aukeava, sillä a = <. Paraabelin huippu: b = = = 4 a ( ) = = 4 = 4 4,. Huippu on Paraabelin akseli on =. b) 4 + 6 + = = 4 6 :( ) = + + 5 = a + b+ c, a Paraabeli aukeaa oikealle, sillä a = >. Paraabelin huippu: b = = = = + + 5 a 4 9 9 = + + 5= + 5 4 4 6 4 9 8 9 = + 5= + 5= + 5 8 8 8 8 7 = 8 7 Huippu on, 8 4. Paraabelin akseli on =. 4 c) = + = a, a Paraabeli aukeaa oikealle, koska a = >. Paraabelin huippu: Paraabelin nollakohdat ovat = ja =, joten huipun -koordinaatti on + + = = = Huipun -koordinaatti on = + = = + Huippu on (,) ja akseli on =.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitett 9..7 5= 4 + = a, a d) Paraabeli aukeaa vasemmalle, koska a = 4 <. Paraabelin huippu on ( 5, ) ja akseli =. b) = 4 + = 4 + = a, a Paraabeli aukeaa vasemmalle, koska a = <. Paraabelin nollakohdat ovat = 4 ja =, joten huipun -koordinaatti on + 4+ = = = 848 a) = 6 + 7 = a + b + c, a Paraabeli aukeaa oikealle, koska a = >. Paraabelin huippu: b 6 = = = = 6+ 7 a = 6 + 7= 4 4,. Huippu on Huipun -koordinaatti on = 4 + = 4 + = ( 7) 7= 47 Huippu on ( 47, ) Paraabelin akseli on =. Paraabelin akseli on =.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitett 9..7 c) 5= 4 + = a, a Paraabeli aukeaa alaspäin, koska a = 4 <. Paraabelin huippu on (, 5). Paraabelin akseli on =. d) = 4 = a, a Paraabeli aukeaa oikealle, koska a = 4 >., ja akseli =. Paraabelin huippu on 849 a) = 4+ = a + b+ c, a oikealle aukeava paraabeli, koska a = >. b 4 huippu: = = = = 4+ a = 4 + =, nollakohdat: lisäpisteitä: huippu 4+ = 4± 4 4 = 4± = = tai = = 4+,,,, 4,4
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitett 9..7 b) = = a + b+ c, a vasemmalle aukeava paraabeli, koska a = <. b huippu: = = = = a = = huippu (, ) nollakohdat: = lisäpisteitä: = = = + = a, a c) oikealle aukeava paraabeli, koska a = >. nollakohdat: = ja = + + = + =, huippu: = = = = ( + )( ) huippu = (, ),,, ( ),
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitett 9..7 d) 5= 4 + = a, a Paraabeli aukeaa vasemmalle, sillä a = 4 <. Huippu on ( 5,). Lisäpisteitä: = 5 4 +, (,), 85 Paraabelin = a( a) htälö on huippumuodossa ( = a, a ), joten kerroin a ja paraabelin huippu on (,a ). Paraabelin piste (, ) toteuttaa paraabelin htälön, joten = a( a) a( a) = tulon nollasääntö a = tai ( a) = a = tai a = a = tai a = a ei kelpaa kelpaa Paraabelin huippu on siten (, a ) = (, ). Vastaus (, )
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 74 Päivitett 9..7 85 Paraabeli = + voidaan piirtää graafisella laskimella, sillä htälö on ratkaistu muuttujan suhteen. Ratkaistaan mös paraabelista = muuttuja. = = toisen asteen htälön ratkaisukaava a =, b=, c= ± ( ) 4 ( ) = ± 6+ 4 ± 4 ( 4+ ) ± 4+ = = = = ± 4 Paraabeli muodostuu siis käristä = + 4 ja = 4 85 a) Ylöspäin aukeavan paraabelin htälö huippumuodossa on = a( ), (, ) (,) = a a > = = a Paraabeli kulkee pisteen 8= a a = a > kelpaa Paraabelin htälö on siis,8 kautta, joten =. b) Oikealle aukeavan paraabelin htälö huippumuodossa on = a, =, = a,8 kautta, joten = a 8 a = = a > 64 kelpaa Paraabelin htälö on siis =. Paraabeli kulkee pisteen Vastaus a) = b) =
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 75 Päivitett 9..7 85 Sivulle aukeavan paraabelin htälö nollakohtamuodossa on = = a( )( ), a = = a + Paraabeli kulkee pisteen (,8 ) kautta, joten = a ( 8+ ) ( 8 ) = a 9 5 a = 45 Paraabelin htälö on siten = ( + )( ) 45 Huipun -koordinaatti on + + = = = Huipun -koordinaatti on = + = 45 45 + 4 = = 45 45 Vastaus 4, 45 854 Piirretään mallikuva. Koska paraabelin pisteillä ( 5,8 ) ja (,8 ) on sama -koordinaatti on paraabeli lös- tai alaspäin aukeava. Paraabelin htälö perusmuodossa on siten = a + b+ c, a Paraabeli kulkee pisteiden ( 5,8 ), (,8 ) ja ( 7, 4) kautta, joten saadaan htälörhmä = + + 8 a 5 b 5 c = + + 8= a + b + c 4 a 7 b 7 c
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 76 Päivitett 9..7 c = 8 5a 5 b Sijoitetaan htälöihin ( ) ja ( ). 69a+ b+ c= 8 ( ) 49a+ 7b+ c= 4 Tapa Piirretään mallikuva. 69a+ b+ 8 5a 5b= 8 49a + 7b+ 8 5a 5b= 4 44a+ 8b= 4a+ b= ( 4) b= 8 a Sijoitetaan htälöön ( 5 ). ( 5) 4a+ b= 4 + ( 8a) = 4a 6a = a = a = Sijoitetaan htälöön ( 4 ). b = 8 Yhtälön () mukaan c = 8 5 5 ( 8) c = 7 Paraabelin htälö on siten = 8+ 7 5+ Paraabelin smmetria-akseli on = = 9, joten huipun -koordinaatti on = 9. Paraabelin htälö huippumuodossa on = a 9, a Paraabeli kulkee pisteiden ( 5,8 ) ja ( 7, 4) kautta, joten saadaan htälöpari 8 = a 5 9 4 a( 7 9) ( ) =
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 77 Päivitett 9..7 8 = 6a + 4 + = 4a = a a = 855 Piirretään mallikuva. Sijoitetaan a = htälöön 8 = 6a. Saadaan htälö 8 = 6 = 8 Paraabelin htälö on siten = a( 9) a = ja = 8 ( 8) = ( 9) + 8 = ( 9) paraabelin htälö huippumuodossa + 8= 8+ 8 = 8+ 7 paraabelin htälö perusmuodossa Janan AB keskipiste on A + B A + B + + 6 C =, =, =,4 Koska jana AB on pstsuora, niin paraabelin akseli on = 4 ja,4. paraabelin huippu on -akselilla pisteessä Vastaus = 8+ 7 Oikealle aukeavan paraabelin htälö huippumuodossa on, (, ) (,4) = a a > = = a 4 ( 4) = a
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 78 Päivitett 9..7 Paraabeli kulkee pisteen (, ) kautta, joten = a( 4) a = a > kelpaa Paraabelin htälö on siis = ( 4) huippumuoto = ( 8+ 6) = 4+ 8 perusmuoto 856 Paraabelin ja suoran hteiset pisteet eli jänteen päätepisteet: Sijoitetaan htälöön ( ). = + = + = = ± ( ) 4 ( ) ± = = = tai = = = tai = Siis jänteen päätepisteet ovat (, ) ja (, ). = 4 = 4+ 8 Vastaus Jänteen pituus on [ ] ( ) + ( ) = 9+ 9 = 9 = Vastaus
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 79 Päivitett 9..7 857 Yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. () + = = Sijoitetaan htälöön ( ). 4 + = 4 ( ) = = = tai = = tai = = tai =± = = tai = Yhteiset pisteet ovat (, ), (, ) ja (, ). 858 Paraabeli + = eli = aukeaa oikealle, joten sen akseli on vaakasuora (-akselin suuntainen). 4 Suora + 4= eli = + ei ole vaakasuora, joten se sivuaa paraabelia täsmälleen silloin, kun suoralla ja paraabelilla on vain ksi hteinen piste. Todistetaan, että hteisiä pisteitä on vain ksi. Yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. 4 () = + = 4 = ( ) + = + 4 4+ 4= ( ) = = = = = =,. Yhteinen piste on Sijoitetaan htälöön (). Yhteisiä pisteitä on siis vain ksi, joten suora sivuaa paraabelia.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitett 9..7 859 Paraabeli = eli = aukeaa oikealle >, joten tangentti ei voi olla akselin suuntainen. Tangentin kulmakerroin ei siis voi olla nolla. Paraabelin = huippu: b = = = = a = = Siis huippu on (, ). koska (, ) (,), ei huipun kautta kulkeva pstsuora tangentti = kelpaa ( = on ainut pstsuora tangentti). Olkoon tangentin kulmakerroin k ( ). Tangentin htälö on (, ) (, ) = k = ( ) = k( ), k + = k = k k Tangentilla ja paraabelilla on vain ksi hteinen piste. () = k k = Sijoitetaan htälöön (). = k k = k 4k 4 k 4k 4= Toisen asteen htälöllä ( k ) on vain ksi ratkaisu, jos ja vain jos D =. D = k ( k ) 4 4 4 = 4+ 6k + 6k = :4 4k + 4k + = ( k + ) = k + = k = = k k Tangentin htälö on =.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitett 9..7 86 Paraabeli = + a on vasemmalle aukeava. Paraabelin ja -akselin leikkauskohdat ( = ) : = + a a = ( a) = = tai = a Saadaan kolme eri tilannetta riippuen a:n arvoista: 86 Paraabeli = eli = aukeaa 6 oikealle, koska paraabeli on muotoa = a + b+ c ja a = >. Paraabelin akseli on siten vaakasuora. Paraabelin huippu: b 6 6 = = = = = a 6 6 = = = = 6 Huippu on (,) H =. Paraabelin akseli on siis = Vastaus a
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitett 9..7 Paraabelin polttopiste P ja huippu H ovat paraabelin akselilla =, joten polttopisteen -koordinaatti on =. Polttopiste P = ( F,). Huipun etäiss johtosuorasta = 4 on. Koska paraabelin huippu H = (,) on htä kaukana johtosuorasta = 4 ja polttopisteestä P = ( F,), niin polttopisteen -koordinaatti =. Siis polttopiste on (, ). on F Vastaus Polttopiste on (, ). F 86 Todistus. = t = t ( t R ) Eliminoidaan parametri t. () = t t = + Sijoitetaan htälöön (). ( ) = + = + = a, a Kärä on siis oikealle aukeava paraabeli ( > ), jonka huippu on (, ). Vastaus Huippu on (, ).
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitett 9..7 86 ( )( ) > ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) ( ) = ( + ) ( ) ( + ) = ( ) ( > ja > ) tai ( < ja < ) ( > ja > ) tai ( < ja < ) I Tulon merkkisääntö Paraabelien = ja = leikkauspisteet: () = Sijoitetaan htälöön ( ). = = 4 = ( ) = ( ) = tai = = tai = 4 = tai = = = = Kun =, niin Kun =, niin = =. Leikkauspiste (, ). = =. Leikkauspiste (, ). II I Epähtälön > toteuttavat oikealle aukeavan paraabelin = oikealla puolella olevat pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) toteuttaa epähtälön >. Epähtälön > toteuttavat löspäin aukeavan paraabelin = läpuolella olevat pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteuta epähtälöä >. Ehdon > ja > toteuttavat pisteet on esitett seuraavassa kuvassa. II Epähtälön < toteuttavat oikealle aukeavan paraabelin = vasemmalla puolella olevat pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteuta epähtälöä Epähtälön <. < toteuttavat löspäin aukeavan paraabelin = alapuolella olevat pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, )
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 84 Päivitett 9..7 toteuttaa epähtälön <. Ehdon < ja < toteuttavat pisteet on esitett seuraavassa kuvassa. 864 Paraabeli = aukeaa oikealle, koska se on muotoa = a + b+ c, a>. Paraabelin huippu: b = = = = a = = Huippu on (, ). Ehdon I tai II toteuttavat pisteet on esitett seuraavassa kuvassa. Olkoon ( ab, ) paraabelin Tällöin a = b. = piste.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 85 Päivitett 9..7 Janan AB keskipisteen (, ) koordinaatit ovat A + B + a = = a = b A + B + b b = = = b = b = Ratkaistaan keskipisteiden muodostaman kärän htälö eliminoimalla parametri b R. b = b = () = b = b Sijoitetaan htälöön (). ( ) = = 4 : = Keskipisteet muodostavat oikealle aukeavan paraabelin =. 865 Asetetaan koordinaatisto oheisen kuvan mukaisesti ja kätetään ksikkönä metriä. Paraabelin kaaren AF htälö:, (, ) (,) = a a > = = a = a, a > Piste ( 5, ) on paraabelilla AF, joten 5= a a = a > kelpaa
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 86 Päivitett 9..7 Paraabelin kaaren htälö on siten =. Junan suurin korkeus saadaan, kun sijoitetaan paraabelin kaaren htälöön piste (,k ): = k k = 6 k = ± 6 = 7,745... ( m) Vastaus 7,7 m