Tilauserän koon optimointi EOQ mallin avulla huomioiden myös paljousalennukset ja tilarajoitteet

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat 2.18 Sovelletun matematiikan erikoistyö Tilauserän koon optimointi EOQ mallin avulla huomioiden myös paljousalennukset ja tilarajoitteet Petri Holappa 67793B Espoo, 28. Marraskuuta 27

SISÄLTÖ 1. JOHDANTO... 2 2. TILAUSPISTE... 3 3. OPTIMAALINEN TILAUSERÄN KOKO... 6 3.1 YLEINEN EOQ MALLI... 6 3.2 EOQ JA MÄÄRÄALENNUS... 11 3.3 EOQ JA TILARAJOITTEET... 14 4. EOQ MALLIN HERKKYYSANALYYSI... 15 4.1 POIKKEAMINEN OPTIMIERÄKOOSTA... 15 4.2 KULUJEN KASVAMINEN... 16 4.3 PARAMETRIEN MUUTTUMINEN... 17 5. TULOKSET... 19 6. YHTEENVETO... 23 7. LÄHDELUETTELO... 25 1

1. Johdanto Teollisuuden tukkuliikkeiden katteet ovat pienentyneet viime vuosina. Tähän on vaikuttanut useat toimijat alalla ja voimakas kilpailu asiakkaista. Pienentyneiden katteiden vuoksi teollisuuden tukkuliikkeissä on kiinnitettävä yhä enemmän huomiota siihen, miten yritys saadaan kilpailukykyisemmäksi toimialallaan. Samalla kun nimikkeiden myyntihinnat laskevat tai ainakin pysyy nykyisellä tasollaan, voittoa on lähdettävä kasvattamaan karsimalla toimitusketjussa syntyviä kustannuksia palveluasteen kuitenkaan heikentymättä. Kustannuksia toimitusketjussa voi karsia monella eri tavalla. Tässä työssä keskitytään yhteen toimitusketjun osa alueeseen ostoon. Optimoimalla ostoerien koot saadaan suoraa kustannussäästöä toimitusketjussa. Voidaan pitää myös yleisenä sääntönä, että oston ostaessa nimikkeitä oikeaan aikaan ja optimaalisen määrän yrityksen palveluaste ja asiakastyytyväisyys tulevat kasvamaan (Stevenson, 25). Teollisuuden tukkuliikkeessä x, jonka dataa on hyödynnetty tässä työssä, tuli tarvetta optimaalisen tilauserän määrittelemiselle, koska tällä hetkellä kyseisellä yrityksellä ei ole määritelty tarkempiin laskelmiin perustuvaa tilauserän kokoa ostettaessa nimikkeitä. Tässä työssä pyritään löytämään optimaalinen tilauserän koko hyödyntäen EOQ mallia ja samalla otetaan huomioon määräalennukset sekä tilarajoitteet. 2

2. Tilauspiste Jotta pääsee optimoimaan tilauserän kokoa, täytyy selvittää miten ja milloin tilaustarve syntyy. Silloin kun tilaustarve syntyy, ostetaan ostoerän Q verran nimikkeitä. Seuraavissa kappaleissa selitetään optimaalinen päätösmuuttuja Q siten, että kokonaiskustannukset minimoituvat ja samanaikaisesti otetaan huomioon tilarajoitteet. Tutkimuksen kohteena olevalla teollisuuden tukkuliikkeellä x on tällä hetkellä käytössä oston välineenä tilauspistejärjestelmä. Nimikkeen saldon laskiessa alle kyseisen nimikkeen tilauspisteen, kyseiselle nimikkeelle syntyy ostoehdotus. Ostaja käsittelee näitä tilauspisteen alittaneita ja siten ostoehdotuksen omaavia nimikkeitä esimerkiksi toimittajakohtaisesti kerran viikossa tai tapauskohtaisesti (Tekninen tukkuliike, 27). Tilattavat nimikemäärät ostaja päättää itse perustaen päätöksensä kyseisen nimikkeen aiempaan menekkiin ja omaan kokemukseensa. Tilauspisteet on määritelty tutkittavassa yrityksessä varasto ohjautuville nimikkeille (Tekninen tukkuliike, 27). Tilauspisteen hyödyntäminen on sellaista, jossa siirrytään kiinteästä tilausvälistä vaihtelevaan tilausväliin. Tällaisen tilaustavan käyttö on perusteltua yrityksessä, jossa eri nimikkeitä on paljon ja useiden nimikkeiden menekki on suhteellisen vaihtelevaa (Tuominen, 25). Yrityksen käyttämässä toiminnanohjausjärjestelmässä varasto ohjautuville nimikkeille on määritelty tilauspiste seuraavan kaavan mukaisella tavalla (Tekninen tukkuliike, 27): t ( akl + bk p ) + c, jossa (1) 3 a = lyhyen ajan kulutuksen kerroin b = pitkänajan kulutuksen kerroin k l = lyhyen ajan kulutus (kpl) k p = pitkän ajan kulutus (kpl) 3

t = hankinta aika (tilauksen tekemisestä nimikkeen ollessa varaston saldoilla kuluva aika päivissä) c = varmuusvarasto, puskurivarasto Tersine tuo kirjassaan esille, että vaihteleva kysyntä ja kiinteä hankinta aika ovat usein realistinen toteuma. Tämä on havaittavissa myös tutkimuksen kohteena olevassa yrityksessä. Kun hankinta ajan vaihtelu on pientä keskimääräiseen hankinta aikaan verrattuna, voidaan hankinta ajan olettaa olevan vakio (Tersine R. J., 1982). Varmuusvarastoa ei tarvita silloin, jos tiedetään varmuudella menekin ja hankintaajan olevan vakioita. Tällöin uuden varastotäydennyksen saapuessa viimeiset kappaleet tätä kyseistä nimikettä on juuri myyty varastosta. Perinteiset varastomallit usein olettavat, asian olevan tällä tavalla. Käytännön elämässä suurimmassa osassa tapauksista on kuitenkin pidettävä jonkinlaista varmuusvarastoa, jotta riittävä palveluaste saavutettaisiin. Tilauspisteellä ja varmuusvarastolla pyritäänkin minimimoimaan varastoinnista ja varaston loppumisesta syntyvät kulut. Varmuusvaraston kasvaessa varastointikustannukset tulevat nousemaan, mutta toisaalta samanaikaisesti varaston loppumisesta syntyvät kustannukset tulevat pienenemään. Varastontavaran loppumisen riski ajoittuu pääsääntöisesti hankinta ajan tienoille. Siten hankinta aika tulisi pystyä identifioimaan mahdollisiman tarkasti (Tersine R. J., 1982). Kuviossa 1 on havainnollistettu klassista varastomallia. Tästä kuviosta selviää pääpiirteittäin, miten varastosaldon tulisi käyttäytyä pidemmällä aikavälillä yksittäisen nimikkeen osalta (Tersine R. J., 1994). 4

Kuvio 1 Kuvion 1 avaintiedot: Q = Eräkoko Q = Keskimääräinen varaston koko 2 a, c, e = Tilauspiste VV = Varmuusvarasto a c = c e = Aikajakso tilausten välillä a b = c d = e f = hankinta aika 5

3. Optimaalinen tilauserän koko Optimaalisen tilauserän kokoa on tutkittu paljon. Perusmallina voidaan pitää Economic Order Quantity (EOQ) mallia, jonka kehitteli ja julkaisi F. W. Harris vuonna 1915. EOQ malli on tunnettu myös neliöjuurikaavana (Virtanen, 21) ja Wilsonin kaavana (Sakki, 1999). EOQ mallin kaavaa on tosin arvosteltu sen tuloksen tarkkuudesta, koska käytännössä EOQ mallin avulla saatu optimaalinen tilauserä koko voidaan parhaassa tapauksessa joutua jakamaan kolmella oikean tuloksen saamiseksi (http://www.uku.fi/avoin/tuta/j4_sisallys.htm, 27). Jotkut ovat jopa kyseenalaistaneet koko EOQ:n käytön ja väittävät sen menettäneen käytettävyytensä (Woolsey, 1988). Nimikkeiden vuosittainen kysyntä on joko determinististä tai stokastista. Deterministisessä kysynnässä etukäteen tunnettu kysyntä voi olla tasaista, monotonisesti muuttuvaa eli staattista tai esimerkiksi dynaamista kausivaihtelua sisältävää. Stokastinen kysyntä on taas satunnaisuutta sisältävää (Virtanen, 21). Taha käyttää stokastisesta kysynnästä hieman lievempää nimitystä eli todennäköistä kysyntää (Taha, 27). EOQ malli antaa kaikesta kritiikistä huolimatta hyvän lähtökohdan ja approksimaation siitä, minkä verran tulisi kutakin nimikettä tilata kummassakin tapauksessa (Tersine R. J., 1982). Yksinkertaistettua EOQ mallia joudutaan usein laajentamaan esimerkiksi ottamalla tilarajoitteet, paljousalennukset tai puutekustannukset huomioon. Esimerkiksi varastoon ei useinkaan mahdu kerralla niin paljon tuotteita, mitä perus EOQmallilla saatu optimaalinen tilauserän koko antaisi olettaa tilattavaksi. (Virtanen, 21). Määriteltäessä optimaalista tilauserän kokoa on huomattava, että tilaus ja toimituserän koot tarkoittavat eri asioita (Sakki, 1999). Kuitenkin käsiteltävänä olevassa yrityksessä on ollut tapana pitää toimituserän kokona tilauserän kokoa. Tämän vuoksi tässä työssä tilaus ja toimituserän oletetaan olevan yhtä suuria. 3.1 Yleinen EOQ malli 6

Optimaalinen tilauserän koko heijastuu kuljetus ja tilauskustannusten tasapainoon. Tilauserän koon vaihdellessa yhden tyyppinen kustannus laskee, kun taas toisentyyppinen nousee mutta ei samassa suhteessa. EOQ mallissa pyritään löytämään näille tasapaino. Esimerkiksi tilauserän koon ollessa pieni vuosittaiset hallinnointikustannukset ovat suhteellisen pienet, mutta pienten tilauserien vuoksi kuljetustiheys nousee, joka taas nostaa vuosittaisia tilauskustannuksia. Ja vastaavasti voidaan ajatella esimerkki toisin päin: tilauserän koon kasvaessa vuosittaiset tilauskustannukset pienenevät, mutta hallinnointikustannukset taas kasvavat. Näin ollen ideaalitilanne löytyy jostakin näiden välimaastosta (J.Stevenson, 25). EOQ perusmallin olettamukset (Virtanen, 21) (Stevenson, 25) (Taha, 27): Pelkistykset ja rajaukset täydennykset kertasuorituksina (täydennysnopeus = ) toimitusaika vakio (voidaan olettaa =, vrt. ennakointi) pitkä suunnittelukausi yksi varastoitava tuote ei tilarajoituksia osto ja myyntihinnat vakioita (esimerkiksi paljousalennuksia) puutetta ei sallita Mallin parametrit [ ] D = [ P] [ F] kpl v, kysyntä D on tunnettu ja vakio =, nimikkeen yksikkökohtaiset hankintakustannukset P kpl % =, ylläpitokustannusten tekijä F, (yleensä 1 15% hankintakustan v nuksista, vaikkakin voi saada arvoja väliltä :sta 1:een) =, varaston ylläpitokustannus H = P*F on vakio kpl [ H ] v 7

[ C] =, tilauskustannus C on vakio ja tilausmäärästä riippumaton erä Mallin päätösmuuttujat [ Q Q* ] = kpl,, tilauserän koko Q ja optimieräkoko Q* on vakio [ T ] = v, tilausväli T, määräytyy kysynnän ja eräkoon perusteella (ts. vaihtoehtoinen riippumaton päätösmuuttuja q:lle) Kokonaiskustannukset = hankintakustannukset + tilauskustannukset + ylläpitokustannukset: CD PFQ TC ( Q) = PD + + (2) Q 2 Optimaalinen tilauserän koko löytyy derivoitaessa kustannusfunktio tilausmäärän suhteen: dtc( Q) = dq d dq ( PD + CD Q PFQ + ) = 2 (3) Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisuksi saadaan: PF 2 CD Q = 2 (4) Ratkaistaan Q, jolloin optimaaliseksi tilauserän kooksi saadaan: 2CD Q* = = PF 2CD H (5) EOQ mallia käytetään identifioimaan kiinteä tilauserän koko. Tällä tavalla päästään minimoimaan vuosittaisten kustannusten summa niin hallussapito kuin tilauskustannustenkin osalta. Nimikkeen yksikköhankintahintaa ei yleensä sisällytetä kokonaiskustannuksiin, koska yksikkökustannukset ovat muuttumattomia tilauskokoon nähden niin kauan, kun määräalennukset eivät ole tekijänä (Stevenson, 25). EOQ mallin käyttö tilauserän optimoinnissa on nykyään heikentynyt. Huolimatta varastoriskeistä näyttää siltä, että EOQ malli on kuitenkin parempi kuin esimer 8

kiksi QuickResponse malli. EOQ mallin paremmuus syntyy siitä, että se optimoi kokonaiskustannukset, kun taas QR malli keskittyy ainoastaan minimoimaan hallussapitokustannukset (Zinn & Charnes, 25). Hallussapito ja tilauskustannukset sekä vuosittainen menekki ovat tyypillisemmin esimerkiksi tilintarkastuksesta estimoituja arvoja kuin tarkkoja arvoja. Hallussapitokustannukset ovat useimmin arvioitu liikkeenjohdollisesti kuin laskettu. On huomioitava, että EOQ malli on pikemminkin suuntaa antava kuin tarkka arvo. Näin ollen lasketun arvon pyöristäminen on täysin hyväksyttävä keino. Saatu tulos on yleensä suhteellisen lähellä todellista optimaalista tilauserän kokoa. Pyöristys huomioonottaen on usein hyvin perusteltua kasvattaa tilauserän kokoa, koska kokonaiskustannukset eivät kasva kovinkaan jyrkästi tilauserän koon kasvaessa EOQ kaaviossa (Stevenson, 25). Tilauskustannukseen sisällytetään tilauksen teosta aiheutuva kertakustannus eli tilauskustannukset on määritelty sisältämään kaikki välittömät kustannukset, jotka liittyvät tiettyyn nimikkeeseen. Seuraavassa on määritelty tarkemmin tilauskustannuksia (Zinn & Charnes, 25) (Piasecki, 26): lähetekustannukset lähetyksen vastaanottokustannukset varastoon hyllyttämisen kustannukset laskun käsittelyn kustannukset rahdin ja rahdintarkistuskustannukset laskutuksen käsittelykustannukset vastaanotetun tavaran tarkistamiskustannukset myyjänpalkkiot Rahdin kustannukset on kuitenkin äärimmäisen hankala selvittää, joten siksi ehdotetaan, että ne otetaan huomioon vain, jos ne on merkittävä osa tilausta (Piasecki, 2,21). Tilauskustannuksiin ei sisällytetä (Piasecki, 2,21): 9

materiaalien pakkaamiseen käytetty aika kuorman purku edelleenkuljetus seuraavalle osastolle ennusteiden tutkiminen valmistuskomponenttien hankkiminen tarjousten hankinta (ellei hankita tarjousta jokaisen tilauksen yhteydessä) uusien nimikkeiden asettaminen näytteille. Piaseckin mukaan tehokkain tapa määritellä tilauskustannukset on laskea prosenttiosuus kunkin yksikön käyttämästä ajasta määritellyihin toimintoihin ja kertomalla tämä prosenttiosuus niihin käytetyillä työvoimakustannuksilla esimerksi kuukauden ajalta. Saatu luku jaetaan sitten käsitellyillä tilausmäärillä ja tästä saadaan tilaukselle hinta (Piasecki, 26). Parmetrin H selvittämiseksi määritellään varaston ylläpitokustannukset, jotka sisältävät (Virtanen, 21) (Piasecki, 26): pääomakustannukset varastointikustannukset käsittelykustannukset pilaantumisen kustannukset hävikin kustannukset verot ja vakuutukset Varaston ylläpitokustannuksiin ei pidä lisätä sellaisia kustannuksia, jotka eivät muutu nimikemäärän muuttuessa eli huomioon otetaan vain varastotason mukaan muuttuvat kustannukset. Ylläpitokustannuksiin ei lisätä keräilypaikkojen kustannuksia vaan ainoastaan reservipaikkojen kustannukset. Vaihtuvat varastopaikat otetaan mukaan kustannuksiin, mutta lähetys ja vastaanottopisteiden kustannuksia ei ole yleensä lisätty ylläpitokustannuksiin (Piasecki, 26). 1

Varaston kustannukset tuotteen hinnasta voidaan jaotella karkeasti seuraavalla tavalla (Tuominen, 25): Varastotoiminnat o Tilauskustannukset 1 5 % o Työkustannukset 1 5 % o Varastotekniikan kustannukset 2 8 % o Hallintokustannukset 1 2 % Pääomakustannukset o Tuotteisiin sidotun pääoman kustannukset 12 25 % Häviökustannukset o Hävikkikustannukset 2 5 % o Puutekustannukset 1 5 % Yhteensä tavaran arvosta 2 55 %. 3.2 EOQ ja määräalennus Toimittajan tarjotessa nimikkeistä paljousalennuksia kasvavien tilauserien johdosta, ostajan tulisi hyödyntää pienentynyt hankintahinta parhaansa mukaan ja näin ollen keskittyä useimmissa tapauksissa tilaamaan kerralla aikaisempaa suurempia eriä. Kasvaneiden tilauserien kokojen johdosta keskimääräinen varastosaldo tulee kohoamaan, mutta kokonaiskustannukset tulevat oletettavasti pienenemään. Ostajan tehtäväksi jääkin minimoida kokonaiskustannukset (Kuvio 2), jotka koostuvat kuljetus, tilaus ja ostamiskustannuksista (Stevenson, 25). Perus EOQ malli ei ota huomioon nimikkeen yksikkökohtaisia hankintakustannuksia. Perustelu tälle löytyy siitä, että oletusarvoisesti määräalennuksia ei ole, joten nimikkeen yksikköhinta on sama kaikille tilausmäärille. Ottamalla hankintakustannukset mukaan tarkasteluun optimaalinen tilauserän koko pysyy samana. Ainoastaan kustannus määrä koordinaatistossa optimaalisen tilauserän kustannukset nousevat kappalemäärä kertaa nimikkeen yksikköhinta (Stevenson, 25) (Kuvio 2). 11

Kuvio 2 Otettaessa nimikekohtaiset määräalennukset huomioon, jokaiselle nimikkeen eri yksikköhinnalle tulee oma käyränsä kustannus määrä koordinaatistoon ja sitä myötä jokaiselle yksikköhinnalle tulee oma optimaalinen tilauserän koko. On kuitenkin havaittava se seikka, että jokaisella nimikkeen eri yksikköhinnalla on käytettävissä vain osa piirretystä käyrästä. Kuljetuskustannusten ollessa vakio kaikille nimikemäärille, on olemassa vain yksi minimipiste, joka on kaikille nimikkeen yksikköhinnoille sama. Kuljetuskustannusten ollessa prosentuaalinen osuus tilauksen nimikemäärästä, jokaisen yksikköhinnan muodostamalla käyrällä on oma optimaalinen tilauserän koko. Pienemmät yksikköhinnat merkitsevät pienempiä kuljetuskustannuksia nimikettä kohdin ja siten suurempia tilauserien kokoja (Stevenson, 25). Toimintatapa, kun kuljetuskustannukset pysyvät muuttumattomina riippumatta tilauserän koosta (Stevenson, 25) (Virtanen, 21) (Sahu, 23): 1. Määritetään 2CD Q = (6) H 2. Lasketaan CD HQ TC = TC( Q ) = + + p( Q ) D (7) Q 2 CD HQi TCi = TC( Qi ) = + + pi+ 1D (i=1,2,, n 1) (8) Q 2 i 12

3. Verrataan kokonaiskustannuksia. Optimaalinen Q on se, jolla TC on pienin kohdassa 2. Vain yhdellä yksikköhinnalla on minimikohta, joka osuu omalla käyrällään toteuttamiskelpoiseen kohtaan, jossa eri käyrien toteuttamiskelpoiset kohdat eivät voi osua päällekkäin. Identifioidaan tämä alue. a. Jos toteuttamiskelpoinen minimikohta osuu edullisimman yksikköhinnan omaavalle käyrälle, tämä on optimaalinen tilauserän koko. b. Jos toteuttamiskelpoinen minimikohta on jonkun toisen yksikkökustannuksen omaavan toteuttamiskelpoisella käyrän alueella, lasketaan kokonaiskustannukset kyseisessä kohdassa ja kaikissa alemman yksikköhinnan taitekohdissa (minimierä, jolla nimike saadaan kyseiseen hintaan). Tämän jälkeen verrataan kokonaiskustannuksia; alhaisimman kokonaiskustannuksen saavuttama tilauserän koko on optimaalinen tilauserän koko. Toimintatapa Stevensonin mukaan, kun kuljetuskustannukset ovat prosentuaalinen osuus nimikkeen kappalemäärästä (Stevenson, 25)(Kuvio 3): 1. Aloitetaan nimikkeen halvimmasta yksikkökustannushinnasta laskemalla tälle optimaalinen tilauserän koko. Saatua optimaalista tilauserän kokoa verrataan kyseisen hinnan muodostaman käyrän käytettävissä olevaan alueeseen. Jos optimaalinen tilauserän koko ei osu käytettävissä olevaan alueeseen, jatketaan seuraavaksi halvimman yksikkökustannuksen omaavan käyrän laskemista ja taas verrataan onko saatu tulos käytettävällä alueella. Tätä jatketaan niin kauan, että löydetään toteuttamiskelpoinen kohta. 2. Jos minimikohta alhaisimmalle yksikkökustannushinnalle on toteuttamiskelpoinen, tämä on optimaalinen tilauserän koko. Jos minimikohta ei ole toteuttamiskelpoinen alhaisimmalla yksikköhinnalla, toteuttamiskelpoisen hinnan minimikohdan kokonaiskustannuksia verrataan kaikkien alempien hintojen rajahintoihin. Määrä, joka antaa alhaisimmat kokonaiskustannukset, on optimaalinen tilauserän koko. 13

Kuvio 3 3.3 EOQ ja tilarajoitteet Lagrangen kertoja menetelmää käytetään usein, kun EOQ mallia laajennetaan tilarajoituksilla. Tämän mallin olettamukset ovat samat kuin EOQ perusmallin olettamukset, mutta varastoitavia nimikkeitä oletetaan olevan kaksi tai useampi ja varastotila voi osoittautua optimipolitiikkaa rajoittavaksi tekijäksi. Jos saadut optimaaliset ostoerät eivät täytä tilarajoitusehtoa, ns. sidottu ääriarvo joudutaan etsimään Lagrangen kertoja menetelmällä. Käytettäessä Lagrangen kertojamenetelmää yhtälöryhmien laskutoimituksista tulee verraten monimutkaisia (Virtanen, 21)(Alstrøm, 21) (Sahu, 23). Lagrangen kertoja menetelmää ei sovelleta tässä työssä, koska varaston tilarajoite käsiteltävässä yrityksessä x on määrätty lavapaikkakohtaisesti ja yhdelle lavapaikalle laitetaan vain yhtä nimikettä eli eri nimikkeet eivät siten voi kilpailla toisille nimikkeille varatusta varastotilasta. Optimiostoerä voi siten löytyä joko optimaalisen ostoerän koon kohdalta, jos se alittaa lavapaikan koon tai optimiostoerä voi olla vaihtoehtoisesti täysi lavallinen silloin, jos saadaan paljousalennus ostettaessa vähintään lavallinen kerralla. Varaston tilarajoite ei ole aivan absoluuttinen. Esimerkiksi, jos nimikkeelle varatulla paikalla on uuden erän saapuessa vielä nimikkeitä, saapuva erä siirretään ns. reservipaikalle. Lava siirretään myöhemmin reservipaikalta keräilypaikalle keräilypaikan saldon mennessä nollaan. 14

4. EOQ mallin herkkyysanalyysi Herkkyysanalyysin tehtävänä on tarkastella kuinka virheellisesti syötettyjen parametrien arvot vaikuttavat lopputulokseen. Annettaessa laajalla skaalalla parametrien arvoja mallin voidaan todeta olevan virheellinen tai ainakin vähintään puutteellinen, jos annetut arvot eivät heilauta ulostuloa kovinkaan paljon. Vastaavasti pienten muutosten aiheuttaessa huomattavaa vaihtelua ulostulossa, voidaan sanoa mallin olevan herkkä. EOQ perusmalli olettaa vuosittaisen tarpeen D, hallussapitokustannuksien H ja tilauskustannusten C olevan deterministisiä ja ilman vaihtelua. Virheet näiden parametrien identifioinnissa tulee aiheuttamaan mahdollisesti suuriakin virheitä lopputulokseen (Tersine R. J., 1994). Herkkyysanalyysillä voidaan myös luoda mahdollisia skenaarioita optimaalisen tilauserän määrittelemisessä. Parametrien arvot voivat vaihdella yllättävästi vuoden aikana ja niissä voi muutenkin olla epätarkkuutta mahdollisten estimointivirheiden vuoksi. Näiden syiden vuoksi herkkyysanalyysi on välttämätön, jotta voidaan varmistua edes jollain tavalla tulosten oikeellisuudesta ja niiden mahdollisesta käytettävyydestä optimaalisen tilauserän määrittelyssä. Optimaalisen tilauserän määrittelyssä tulee ottaa huomioon yleiset olosuhteiden määräämät rajoitukset. Rajoituksia voi tulla esimerkiksi tilanpuutteen, kuljetusten suorituskyvyn tai pakkausrajoitteiden osalta (Tersine R. J., 1994). 4.1 Poikkeaminen optimieräkoosta Tilaus ja ylläpitokustannukset tulevat kasvamaan Virtasen mukaan seuraavasti, jos tilauserän kooksi Q :n sijasta valitaankin Q = Q : CD 1 TC( Q) = + HQ (9) Q 2 2CD Q = H TC = TC( Q ) = 2CDH = HQ (1) Ratkaistava: TC = TC ; = TC /TC 15

TC' β = TC = HQ' CD CD + HQ' Q' CD = = HQ HQ' Q 2CD h 1 Q Q' 1 1 = + = α + 2 Q' Q 2 α + 1 Q' 2 Q = 2CD H 2Q' + + 1 q' 2 q 1 Q' 2 Q = 1 Q 2 Q' + 1 Q' 2 Q (11) Mallin ratkaisusta on laskettavissa, että tilaus ja ylläpitokustannukset tulevat nousemaan 8 %, kun eräkoko kasvaa 5 % ja vastaavasti kustannukset nousevat 25 %, kun eräkoko pienenee 5 %. Malli on huomattavasti herkempi poikkeamille optimiratkaisuista alaspäin kuin ylöspäin. Tämä johtuu tavoitefunktion laakeudesta optimiratkaisun oikealla puolella (Virtanen, 21). Tulokset ovat yleispäteviä EOQ mallille, koska ne eivät riipu ollenkaan parametrien K, D ja H arvoista. Toisaalta on huomioitava, että herkkyysanalyysi pätee vain optimin välittömässä läheisyydessä (Virtanen, 21). 4.2 Kulujen kasvaminen Edellä olevista kaavoista on esimerkiksi laskettavissa ääriarvot, joiden välillä tilauserän koko voi vaihdella siten, että tilaus ja ylläpitokustannukset nousevat maksimissaan 1 % optimista (Virtanen, 21): TC TC 1 = α + 1 2 α (12) Vaatimus: TC TC p 1 + = P 1 (13) Saadaan rajaluku P:lle: 1 α + 1 = P 2 α 2 (14) 16

2 α 2P α + 1 = (15) α = P ± P 2 1 (16) Q Q = P ± P 2 1 Q Q 1 2 P=1.1 = P = P + P P 2 2 1q 1q (17) Q Q 1 2 = 1.1 = 1.1 + 1.1 1.1 2 2 1Q 1Q =.64 = 1.54 (18) Eräkoko saa kasvaa korkeintaan 54 % tai laskea korkeintaan 36 % optimista, jotta kokonaiskustannukset eivät ylittäisi 1 %. 4.3 Parametrien muuttuminen EOQ mallia voidaan myös tarkastella siten, että kuinka paljon optimaalinen eräkoko tulee muuttumaan, kun jotakin mallin parametreista C, D tai H muutetaan toisten pysyessä muuttumattomana (Virtanen, 21). Tällainen tarkastelu on hyödyllistä esimerkiksi tilanteessa, jossa on hankala ennustaa kysyntää tai mallin parametrien määrittelyt ovat hieman virheellisiä. Pienille (infinitesimaalisille) muutoksille pätee (Virtanen, 21): D/D dd/d Saadaan: Q/ Q D / D Q = D D Q dq dd D Q = E D ( Q ) (19) E D ( Q ) tarkoittaa Q :n joustoa D:n suhteen. Tästä käytetään myös nimitystä eräkoon kysyntäjousto. Kun kaavaan 19 sijoitetaan 17

Q ja = 2CD H (2) dq 1 2C = (21) dd 2CD H 2 H EOQ mallin kysyntäjoustoksi saadaan: E D 2CD dq D 2C D 1 ( q ) = = = H = dd q 2 2 2 2CD CD CD 2H H H H 1 2 (22) Havaitaan, että optimaalisen ostoerän suhteellinen muutos on vakio ja likiarvoisesti puolet D:n suhteellisesta muutoksesta. Malli pitää paikkaansa sitä paremmin mitä pienempi suhteellinen muutos on. Esimerkiksi, jos kysyntä D nousee kymmenen prosenttia, niin optimaalinen tilauserän koko kasvaa likimain 5 %. Sama kysyntäjousto saadaan myös parametrin C arvon muutoksille. Parametrin H kohdalla eräkoon kysyntäjoustoksi sen sijaan saadaan.5. Tämä tarkoittaa sitä, että tilaus ja ylläpitokustannusten vähentyessä esimerkiksi 1 % optimaalinen eräkoko kasvaa 5 % (Virtanen, 21). 18

5. Tulokset Optimaalisen ostoerän määrittelyä varten yrityksen x tietokannasta on otettu pieni määrä dataa sellaisten nimikkeiden osalta, joiden hankinnassa on käytössä paljousalennus. Näillä nimikkeillä kuljetuskustannukset pysyvät muuttumattomina riippumatta siitä, kuinka paljon nimikkeitä tilataan. Tämän vuoksi optimaalisen tilauserän määrittelyssä on lähdetty liikkeelle kaavojen 6, 7 ja 8 mukaan. Käsiteltävänä olevan yhtiön EOQ malliin tarvittavien parametrien arvoiksi estimoitiin seuraavat luvut: [C] 3 /tilaus ja keskimäärin 7,5 /rivi [F] 12,5 % (Luvussa ei ole otettu huomioon tuotteisiin sidotun pääoman kustannuksia) Taulukossa 1 on lueteltuna laskelmissa käytettyjen lyhenteiden kuvaukset. P1 P2 L D EOQ1 EOQ2 PS IC TC TC1 TC2 SC SC1 SC2 Nimikkeen hinta /kpl Nimikkeen hinta /kpl paljousalennuksin Lavakoko kpl Vuosittainen menekki kpl Optimiostoerä ilman alennuksia Optimiostoerä alennushinnalla Pakkauskoko Nimiketunnus Kokonaiskustannukset ilman paljousalennuksia Kokonaiskustannukset paljousalennuksilla Kokonaiskustannukset lavoittain ostettuna Tilaus ja ylläpitokustannukset ilman paljousalennuksia Tilaus ja ylläpitokustannukset paljousalennusten kanssa Tilaus ja ylläpitokustannukset lavoittain ostettuna Taulukko 1 Taulukosta 2 on havaittavissa, että optimaalista tilauserää käytettäessä vain kolmella eri nimikkeellä kokonaiskustannukset ovat suuremmat verrattuna siihen, että nimikettä ostettaisiin lavoittain. Esimerkiksi nimikkeen 1329 kohdalla on lähestulkoon sama kumpaa toimintamallia käyttää; ostaako lavoittain vai optimaalisen ostoerän verran. Toisaalta on otettava huomioon kuitenkin se, että yhtiöllä on 19

pääsääntöisesti ollut tapana tilata korkeintaan lavallinen, joten nimikkeen 1329 kohdalla on syytä päätyä ostamaan lavallinen kerrallaan. Nimikkeiden 126 ja 1328 kohdalla kannattaa soveltaa optimaalista tilauserän kokoa, koska ostettaessa optimaalisen tilauserän verran päästään minimikustannuksiin ja lisäksi tavaraa ei osteta liikaa kerrallaan ja siten tavara ei pääse vanhenemaan varaston hyllyllä. Lisäksi optimiostoerää kannattaisi soveltaa myös nimikkeen 49 kohdalla vaikka kokonaiskustannukset tulevatkin hieman kalliimmaksi verrattuna siihen, että ostettaisiin lava kerrallaan. Jos nimikettä ostettaisiin lavallinen kerrallaan kyseisessä tapauksessa, se olisi likimain kahden vuoden tarve. Riski mahdollisesta menekin laskemisesta tai tuotteen pilaantumisesta olisi liian suuri. Nimikkeen 125 kohdalla kannattaisi myös käyttää optimaalista tilauserää, vaikka kokonaiskustannukset tulisivat vuositasolla noin 3 kalliimmaksi. Tällöin jäisi varastossa olevien nimikkeiden pilaantumisen riski pienemmäksi ja mahdollinen menekin väheneminenkään ei toisi tappiota. IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC SC1 SC2 TC TC1 TC2 125 48,47 234,44 184 672 72 4,28 NA 69,35 95,8 NA 878,95 126 36,63 1728,59 494 324 324 24,19 NA 65,86 335,23 NA 357,15 1328 24,96 1152,89 466 24 24 28,97 NA 67,12 476,61 NA 482,11 1329 24 1,25 864 1,17 7539 84 888 NA 128,61 128,63 NA 8949,74 8949,76 414 12 2,3 432 1,87 731 24 216 52,77 NA 63,19 1537,57 NA 143,96 49 12 2,69 432 2,5 247 18 18 35,3 NA 71,79 699,35 NA 688,93 Taulukko 2 Poikkeaminen optimiostoerästä 5 % suuntaan tai toiseen aiheuttaa taulukoiden 3 ja 4 mukaiset hinnankorotukset. Taulukossa 3 EOQ ja EOQ2 on kerrottu,5:llä ja vastaavasti Taulukossa 4 EOQ ja EOQ2 on kerrottu 1,5:llä. Tilaus ja ylläpitokustannusten muutos toteutuu likimain tämän erikoistyön kappaleen 4.1 mukaisesti. Poikkeaman tarkasta arvosta aiheuttaa se, että optimaalinen tilauserän koko on jouduttu pyöristämään lähimpään pakkauskokoon sen sijaan, että käytettäisiin tarkkoja optimaalisen tilauserän kokoja. Nimikkeitä ostettaessa poikkeaminen optimaalisesta tilauserän koosta näyttäisi vahvistavan sitä, että nimikkeet kannattaa ostaa lavoittain. Taulukoista on selkeästi nähtävissä, että ostoti 2

lausten suuruuksissa on aina parempi poiketa ylöspäin kuin alaspäin siten, että varastorajoitteet otetaan kuitenkin huomioon. IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC SC1 SC2 TC TC1 TC2 125 48,47 234,44 184 336 36 5,94 NA 69,35 915,74 NA 878,95 126 36,63 1728,59 494 162 162 29,24 NA 65,86 34,28 NA 357,15 1328 24,96 1152,89 466 12 12 36,34 NA 67,12 483,98 NA 482,11 1329 24 1,25 864 1,17 7539 42 444 167,45 NA 128,63 9591,73 NA 8949,76 414 12 2,3 432 1,87 731 12 18 66,72 NA 63,19 1551,52 NA 143,96 49 12 2,69 432 2,5 247 54 54 43,36 NA 71,79 77,41 NA 688,93 Taulukko 3 IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC SC1 SC2 TC TC1 TC2 125 48,47 234,44 184 18 18 43,3 NA 69,35 98,1 NA 878,95 126 36,63 1728,59 494 486 486 26,76 NA 65,86 337,8 NA 357,15 1328 24,96 1152,89 466 36 36 31,31 NA 67,12 478,95 NA 482,11 1329 24 1,25 864 1,17 7539 126 1332 NA 139,85 128,63 NA 896,99 8949,76 414 12 2,3 432 1,87 731 36 324 56,75 NA 63,19 1541,55 NA 143,96 49 12 2,69 432 2,5 247 162 162 38,66 NA 71,79 72,71 NA 688,93 Taulukko 4 Kysynnän laskiessa 5 % taulukosta 5 on pääteltävissä, että tällöin kannattaa tilata pääsääntöisesti optimaalisen tilauserän verran. Vain nimikkeiden 1329 ja 414 osalta kannattaa nimikkeet tilata lavoittain. Nimikkeen 1329 kysyntä D ylittää moninkertaisesti kyseisen nimikkeen lavakoon, mutta optimaalinen tilauserä ei ylitä sitä. Tässä tapauksessa paljousalennusta ei saada ja nämä yhdessä vaikuttavat siihen, että nimike 1329 kannattaa tilata lavoittain. Nimikkeen 411 kohdalla nimikkeen vuosittainen kysyntä lähentelee yhtä lavakokoa. Lavallisen ostosta on tarjolla hyvät alennukset, jonka vuoksi kokonaiskustannukset menevät alhaisimmaksi ostettaessa koko lava kerrallaan. Edelleen on kuitenkin otettava huomioon mahdolliset nimikkeiden parasta ennen päiväykset. IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC SC1 SC2 TC TC1 TC2 125 48,47 234,44 92 48 48 28,48 NA 66,35 46,88 NA 471,15 126 36,63 1728,59 247 216 216 17,8 NA 64,79 172,6 NA 21,44 1328 24,96 1152,89 233 168 168 2,49 NA 65,6 244,31 NA 273,1 1329 24 1,25 864 1,17 377 6 624 94, NA 95,9 486,14 NA 456,47 414 12 2,3 432 1,87 366 144 156 37,32 NA 56,84 779,72 NA 74,72 49 12 2,69 432 2,5 123 72 72 24,96 NA 69,64 356,99 NA 378,21 Taulukko 5 21

Taulukosta 6 on nähtävissä miten nimikkeet tulisi tilata ennakoidun kysynnän kaksinkertaistuessa. Taulukon 6 perusteella nimikettä 1329 kohdalla tulisi tilata optimaalisen tilauserän verran, mutta varastorajoitteet huomioon ottaen päädytään tämänkin nimikkeen kohdalla lavoittain ostoon. Nimikettä 126 kannattaisi kuitenkin tilata optimaalisen tilauserän verran, koska tilattaessa lavallinen kerralla kyseistä nimikettä, saataisiin liki kahden vuoden oletettu tarve yhdellä kertaa. IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC SC1 SC2 TC TC1 TC2 125 48,47 234,44 368 96 18 56,95 NA 75,34 1786,55 NA 1694,54 126 36,63 1728,59 987 432 432 34,15 NA 68,1 656,23 NA 65,59 1328 24,96 1152,89 933 336 36 4,98 NA 7,15 936,24 NA 9,14 1329 24 1,25 864 1,17 1579 12 1248 NA 181,88 194,7 NA 17824,14 17836,34 414 12 2,3 432 1,87 1463 3 312 74,63 NA 75,89 344,23 NA 2811,43 49 12 2,69 432 2,5 494 144 156 49,92 NA 76,7 1378,2 NA 131,36 Taulukko 6 22

6. Yhteenveto Tässä sovelletun matematiikan erikoistyössä tarkasteltiin EOQ mallin käyttöä huomioiden myös paljousalennukset ja tilarajoitteet teollisuuden tukkuliikkeessä x. Nimikkeitä tilattaessa tilarajoitteena yrityksessä x on pääsääntöisesti ollut yksi lavallinen nimikettä kohden. Tätä rajoitusta käytettiin myös mallinnuksessa. Mallinnuksessa paljousalennukset tulivat kysymykseen silloin, kun tilattiin vähintään yksi lavallinen kerrallaan. Tutkittavista nimikkeistä määriteltiin optimaalinen tilauserän määrä ilman paljousalennusta ja paljousalennuksen kanssa kokonaiskustannusten laskemista varten. Kokonaiskustannusten laskemiseen otettiin mukaan myös sellainen vaihtoehto, jossa tilattiin nimikkeitä täysin lavoin. Saaduista kokonaiskustannuksista muodostettiin kolme eri päätösmuuttujaa nimikettä kohden. Pienimmän päätösmuuttujan arvon saanut tilaustapa oli pääsääntöisesti optimaalisin tilauspa. Tuloksista on pääteltävissä se, että nimikkeitä kannattaa pääasiassa tilata lavoittain, jos kyseisen nimikkeen ennustettu kysyntä ylittää lavakoon tai on ainakin hyvin lähellä sitä sekä silloin, jos nimikkeelle annetaan paljousalennus. Tätä toimintatapaa kannatti soveltaa myös siinä tapauksessa vaikka optimaalinen tilauserän koko ei ylittänyt lavakokoa, mutta vuosittainen kysyntä ylitti. Optimaalisessa ostoerässä kannattaa pysytellä silloin, kun vuosittainen kysyntä on reilusti alhaisempi kuin yhden lavallisen sisältämä nimikkeiden määrä. Vaikka täyden lavallisen osto saattaisi tulla hieman edullisemmaksi joissakin tapauksissa, on otettava huomioon mahdolliset nimikkeiden parasta ennen päiväykset. Lisäksi varastoitaessa nimikkeitä pitkään on hyvin todennäköistä, että kustannustekijä F kasvaa mahdollisten nimikkeiden vioittumisen ja samalla käytettävyyden menettämisen johdosta. EOQ mallia eri rajoitusehdoin ja kokonaiskustannusten minimointia eri mallien suhteen tullaan soveltamaan tutkittavana olevan yrityksen nimikkeiden oston yhteydessä. Ostoa pyritään tällä tavalla nopeuttamaan ja tilauskustannuksia pienentämään. Näin nimikkeet saadaan ostettua pienemmin ponnisteluin. Työmäärän 23

vähentyessä ja tilausten kokonaiskustannusten minimoituessa kokonaiskustannukset alenevat ja yritys tulee sitä myötä saamaan enemmän katetta nimikettä kohden. 24

7. Lähdeluettelo Alstrøm, P. (21). Int. J. Production Economics 71. Numerical computation of inventorypolicies, based on the EOQ/ value for order point systems, (ss. 235 245). Piasecki, D. (13. 9 26). Optimizing Economic Order Quantity (EOQ). Noudettu osoitteesta Inventoryops.com: http://www.inventoryops.com/economic_order_quantity.htm Sahu, K. (23). Inventory management. Noudettu osoitteesta http://www1.ximb.ac.in/users/fac/kaushik/kaushik.nsf/bdedfca988b2db3c852562 74f45a9/564dc3628f53bc765256c873afd1e/$FILE/InventoryMgmt 1.ppt Sakki, J. (1999). Logistinen prosessi Tilaus toimitusketjun hallinta. Espoo. Stevenson, J. W. (25). Operation Management. McGraw Hill Irvin. Taha, H. A. (27). Operation Research an intoduction. Pearson Prentice Hall. Tekninen tukkuliike, x. (27). Tersine, R. J. (1982). Principles of inventory and material management. New York: North Holland. Tersine, R. J. (1994). Principles of inventory and materials management. Upper Saddle River: Prentice Hall. Tuominen, A. (25). Elektroniikan komponentit ja materiaalit I Materiaalien varastointi ja toimitukset. Turku: University of Turku. Tuotannon suunnittelu ja ohjaus. (27). Noudettu osoitteesta http://www.uku.fi/avoin/tuta/j4_sisallys.htm Virtanen, I. (1. 4 21). Mallintamisesta, esimerkkinä varastomallit. Noudettu osoitteesta Talousmatematiikan perusteet: www.uwasa.fi/~itv/tmpslide.pdf Woolsey, G. (1988). A Requiem for the EOQ: An Editioral. Production and Inventory Management Journal, Vol. 26, No. 3, 68 72. 25

Zinn, W.;& Charnes, J. M. (25). A comparison of the economic order quantity and quick response inventory replenishment methods. Journal of Business Logistics, 119 142. 26