2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so. trigonometristen funktioiden, summana. Modernia signaalinkäsittely, säätö- ja systeemitekniikka, värähtelytekniikka 18
Harmoniset värähtelykomponentit Funktio Funktion harmoniset värähtelykomponentit ovat tehokkaasti laskettavissa. Fourier-menetelmän sovellutukset Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen: d dx {eikx } = ike ikx.; Differenssiyhtälöiden stabiilisuuden testaus; Signaalien taajuusesitys 19
2.1 Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on -jaksollinen, jos kaikille x R ja n Z on voimassa: f(x + n) = f(x). Jaksollisen funktion kuvaaja on siis täydellisesti määritetty, jos tunnetaan sen arvot perusjakson pituisella välillä [, ] (tai välillä [ 2, 2 ]). 2
Esimerkkejä cos( 2π x) ja sin(2π x) -jaksollisia e i2π x on -jaksollinen f(x), g(x) -jaksollisia = f(x) + g(x) -jaksollinen 21
Lause 5. -jaksolliselle funktiolle a f(x)dx = a f(x)dx, a R od.: α, β: β α β+ f(x)dx = α+ f(ξ )dξ = β+ α+ f(ξ)dξ. Kun α = a, β = : a f(x)dx = a f(x)dx. a f(x)dx = f(x)dx + a f(x)dx a = a f(x)dx + a f(x)dx = f(x)dx. a 22
rigonometristen funktioiden ortogonaalisuus Ortogonaalisuusrelaatio: 2π e ikx e ilx dx =, k l 2π, k = l od. Olkoon k l: 2π Kun k = l: 2π e ikx e ilx dx = 2π e i(k l)x dx = 2π e i(k l)x dx = / = 1 i(k l) [e2πi(k l) 1] =. 1 dx = 2π. 2π 1 i(k l) ei(k l)x dx 23
rigonometristen funktioiden täydellisyys rigonometriset funktiot muodostavat täydellisen funktiojoukon. Jos 2π niin funktio f(x) =. f(x)e ikx dx =, k Z, 24
2.2 Fourier-sarja Jatkossa tarkastellaan paloittain jatkuvien funktioiden osajoukkoa P C()., jotka toteuttavat ns. Dirichlet n ehdot: 1. f(x) on paloittain jatkuva; 2. f:llä on korkeintaan äärellinen määrä lokaaleja (äärellisiä) ääriarvokohtia; 3. 2 2 f(x) dx <. 25
Funktioavaruuden PC() sisätulo: f, g = f(x)g(x)dx Funktioavaruuden PC() normi: f 2 = f, f = { f(x) 2 dx} 1 2 Funktiot cos( 2πnx ) ja sin(2πnx ) ovat -periodisia. 26
Lause 6. Funktiot g ( x) = 1 2 g 2n 1 (x) = sin( 2πnx ), n = 1,2,3,... g 2n (x) = cos( 2πnx ), n = 1,2,3,... muodostavat funktioavaruuden PC() ortogonaalisen kannan, ja g, g = g 2 = 4 g j, g j = g j 2 = 2, j = 1,2,3,.... 27
od.: Vakiofunktio g on kohtisuorassa sini- ja kosinifunktioita vasten: g, g 2n = 1 2 cos(2πnx )dx = / β = [sin(2πn) ] =. 2πn 2πn sin(2πnx ) Vastaavasti: g, g 2n 1 =. Vakion integraali on g 2 = 4. rigonometrinen identiteetti: cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ± sin(a)sin(b) sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± sin(b)cos(a) 28
Olkoon n m: g 2n(x)g 2m (x) = 1 2 = 1 2 { + m)x 2π(n m)x cos(2π(n ) + cos( )dx / / 2π(n + m)x 2π(n m)x sin( ) + sin( 2π(n + m) Vastaavasti, kun n m: g 2m 1, g 2n 1 =. } ) Kun n = m g 2n, g 2m = 1 2 + m)x 2π(n m)x cos(2π(n ) + cos( )dx = 1 2 Aivan vastaavasti: g 2n 1, g 2n 1 = 2. dx = 2.
Lisäksi: g 2n, g 2m 1 = 1 2 Kantaominaisuuden todistus sivuutetaan. + m)x 2π(m n)x [sin(2π(n ) + sin( )]dx =.
Funktion f P C() Fourier-esitys f a 2 + n=1 [ a n cos( 2πnx missä Fourier-kertoimet lasketaan kaavoilla a = 2 a n = 2 b n = 2 f(x)dx ) + b nsin( 2πnx ] ), f(x)cos(2πnx )dx f(x)sin(2πnx )dx. 29
Merkki siis tarkoittaa, että ko. Fourier-sarja on yhtyy funktion f(x) kanssa L 2 -normin mielessä. ästä ei vielä seuraa, että ko. sarja suppenee pisteittäin kohti funktion f(x) arvoa pisteessä x. Olettamalla funktiosta hieman enemmän voidaan osoittaa myös pisteittäinen konvergenssi: Lause 7. Oletetaan, että funktiot f(x) ja f (x) toteuttavat Dirichlet n ehdot. ällöin Fourier-sarja suppenee, ts. a [ 2 + n=1 a n cos( 2πnx ) + b nsin( 2πnx ] ) = 1 2 [ ] f(x+) + f(x ), missä f(x+) on funktion oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x ja f(x ) vasemmanpuoleinen raja-arvo pisteessä x. 3
Edellisen lauseen nojalla Fourier-sarja suppenee kohti funktion arvoa f(x), jos se on jatkuva pisteessä x. Lisäksi voidaan osoittaa, että tällöin sarja suppenee itseisesti ja tasaisesti. Erityisesti on voimassa: Lause 8. Oletetaan, että (i) f(x) on jatkuva välillä [t 1, t 2 ], ja (ii) f (x) toteuttaa Dirichlet n ehdot. ällöin f:n Fourierin sarja suppenee tasaisesti kohti funktiota f välillä [t 1, t 2 ]. Lisäksi funktioiden f, ja f(x)dx, Fourierin sarjat saadaan derivoimalla, vastaavasti integroimalla, f : n Fourierin sarjaa termeittäin. 31
Derivaatan f (x) Fourierin sarja on f n=1 [ 2πn b ncos( 2πnx ) 2πn a nsin( 2πnx ] ), Integraalin F(x) = f(x)dx Fourierin sarja on F 1 2 A + n=1 2πn b ncos( 2πnx ) + 2πn a nsin( 2πnx ). Integraalifunktion sarjassa oleva kerroin on mielivaltainen. 32
Fourierin sini- ja kosinisarjat Funktio f on parillinen, jos f( x) = f(x). Funktio on pariton, jos f( x) = f(x). Esimerkiksi kosinifunktio on parillinen, kun taas sinifunktio on pariton. 33
Parillisen funktion Fourier-sarjan sinikerroin b n = 2 = 2 = 2 = 2 f(x)sin(2πnx )dx f(x)sin( 2πnx )dx 2 2 2 f(x)sin( 2πnx )dx + 2 2 f(t)sin( 2πnx )dt + 2 2 2 f(x)sin(2πnx f(x)sin(2πnx )dx, )dx =, missä integraalissa f(x)dx suoritettiin integroimismuuttujan vaihto x = t, dx = dt, sin(ax) = 2 sin(at). 34
Lause 9. (i) Olkoon f P C() parillinen. ällöin sen Fourier-sarja f a 2 + n=1 a n cos( 2πnx ). (ii) Olkoon f pariton. Silloin sen Fourierin sarja on f n=1 b n sin( 2πnx ) 35
Parsevalin yhtälö -jaksollisen funktion f(x) Fourier-kertoimille on voimassa Parsevalin yhtälö f 2 = f(x) 2 dx = [ a 2 )] ( a 2 2 + n 2 + b n 2. n=1 36