Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division
Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa z C ja merkitään z = lim n z n, jos jokaista positiivilukua ǫ kohti on olemassa sellainen indeksi n 0 N, että z n z < ǫ kaikilla n n 0. Suppeneminen palautuu reaalilukujonojen suppenemiseen. Lause 1 Olkoot z n = x n + iy n (n = 1,2,...) ja z = x + iy. Tällöin lim z n = z lim x n = x ja lim y n = y. n n n 2 / 27
Jonon suppeneminen y z 3 z 2 z ǫ n z z n+1 z 1 O x Geometrisesti suppeneminen tarkoittaa, että jostakin n:n arvosta lähtien jonon termit z n ovat z-keskisessä ǫ-säteisessä kiekossa. 3 / 27
Esimerkki Esim. 1 Tutki, onko jonolla z n = 2+i ( 1)n n 2, n = 1,2,..., raja-arvoa. Onko lukujen z n argumentin pääarvolla Arg z n raja-arvoa, kun n? 4 / 27
Kompleksiset sarjat Aivan kuten reaalianalyysissä, sarjojen suppeneminen palautetaan jonon suppenemisen käsitteeseen. Määr. 2 Sanotaan, että kompleksiluvuista c k = a k + ib k koostuva sarja c k = c 0 + c 1 + +c n +... k=0 suppenee kohti kompleksilukua S, jos osasummien S n = n c k = c 0 + c 1 + +c n k=0 muodostama jono suppenee kohti lukua S. Lukua S sanotaan sarjan summaksi. Jos sarja ei suppene, sanotaan, että se hajaantuu. 5 / 27
Sarjan suppeneminen Kompleksisen sarjan suppeneminen palautuu reaalisarjojen suppenemiseen. Lausetta 1 vastaava tulos sarjoille on Lause 2 Kompleksiluvuista c k = a k + ib k koostuva sarja k=0 suppenee kohti lukua S = A + ib C, jos ja vain jos c k A n merk. = n k=0 a k n A merk. ja Bn = n k=0 b k n B. 6 / 27
Sarjan suppeneminen Kompleksisen sarjan suppenemisesta seuraa reaalisille sarjoille tutut tulokset. Seuraus 1 Jos sarja k=0 c k suppenee, niin lim n c n = 0. Huomautus 1 Käänteinen väite ei pidä paikkaansa! Seuraus 2 Jos k=0 c k suppenee, niin k=0 c k suppenee (itseinen suppeneminen suppeneminen). 7 / 27
Jäännöstermi Sarjan S = c k suppemista voidaan tutkia tarkastelemalla k=0 jäännöstermiä r n = S S n = c k k=0 n c k = k=0 k=n+1 Koska S = S n + r n, niin S n S = r n 0, joten sarjan S suppeneminen on yhtäpitävää sen kanssa, että jäännöstermi suppenee kohti nollaa. c k. 8 / 27
Esimerkkejä Esim. 2 Osoita jäännöstermiä tutkimalla geometriselle sarjalle summakaava k=0 z k = 1, z < 1. 1 z Osoita, että geometrinen sarja hajaantuu, kun z 1. 9 / 27
Esimerkkejä Esim. 3 Diskreettien LTI-systeemien yhteydessä päädytään usein muotoa S(z) = z z a, 0 a C, oleviin lausekkeisiin. Laske geometrisen summakaavan avulla sarjaesitys, jossa esiintyy a) z:n potensseja z,z 2,z 3,..., b) z 1 :n potensseja z 1,z 2,z 3,... Millä z:n arvoilla sarjaesitykset ovat olemassa? 10 / 27
Potenssisarja Kompleksianalyysin eräitä päätuloksia on, että analyyttinen funktio voidaan esittää Taylorin sarjana. Sitä varten aloitetaan potenssisarjoista. Muotoa a k (z z 0 ) k (1) k=0 olevaa kompleksista sarjaa sanotaan potenssisarjaksi. Esimerkin 2 geometrinen sarja on yksinkertaisin esimerkki potenssisarjasta, missä a k 1 ja z 0 = 0. Erityisesti meitä kiinnostaa, milloin sarja (1) määrittelee analyyttisen funktion ja kääntäen, milloin analyyttinen funktio voidaan esittää potenssisarjana (1). 11 / 27
Suppenemissäde Jotta olisi edes mielekästä puhua milloin (1) määrittelee jonkin kompleksimuuttujan funktion, minimivaatimus on, että sarja (1) suppenee. Potenssisarjan suppenemissäde R on suurin mahdollinen arvo, jolla (1) suppenee alueessa D(z 0,R) = {z C : z z 0 < R}. Joukkoa D(z 0,R) sanotaan sarjan (1) suppenemiskiekoksi. Geometrista sarjaa analysoimalla nähdään, että jos sarjan (1) peräkkäisten termien suhteen itseisarvo on pienempi kuin yksi, sarja (1) suppenee (itseisesti). 12 / 27
Suppenemissäde Edellisen perusteella suppenemissäde R voidaan määrätä kaavalla R = lim c k, jos raja-arvo on olemassa. Esim. 4 k c k+1 a) Geometrisen sarjan suppenemissäde on R = 1. b) Sarjan k=0 zk k! suppenemissäteeksi saadaan R = lim (k + 1)! k k! = lim (k + 1) =, k joten eksponenttifunktion sarjakehitelmä suppenee koko tasossa C. 13 / 27
Potenssisarjan analyyttisyys Meille riittää tieto siitä, että potenssisarjaa voidaan huoletta derivoida termeittäin suppenemiskiekossaan. Lause 3 Potenssisarja S(z) = c k (z z 0 ) k on suppenemiskiekossa k=0 analyyttinen funktio ja se voidaan derivoida termeittäin, S (z) = kc k (z z 0 ) k 1. k=1 Derivoimalla saadun sarjan suppenemissäde on sama kuin alkuperäisen sarjan suppenemissäde. 14 / 27
Cauchy-Taylorin sarja Lause 4 (Taylorin sarja) Olkoon G avoin ja z 0 G. Analyyttisellä funktiolla f : G C on 1-käsitteinen potenssisarjakehitelmä f(z) = a n (z z 0 ) n = n=0 n=0 joka suppenee jokaisessa kiekossa D(z 0,r) = {z C : z z 0 < r} G. f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n, n! 15 / 27
Cauchy-Taylorin sarja Lauseen 4 tulos on vahva ja poikkeaa reaalimuuttujan tapauksesta, jossa on olemassa äärettömän monta kertaa derivoituvia funktioita, joiden Taylorin sarjan suppenemissäde on nolla. Lauseen 4 mukaisen sarjan esitti ensimmäisenä Brook Taylor (1685-1731) ja sen yleisti kompleksimuuttujille Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Todistuksessa käytetään hyväksi Cauchyn kaavaa. Tämän vuoksi joissakin lähteissä sarjaa nimitetään Cauchy-Taylorin sarjaksi. Usein käytetään lyhyesti nimitystä Taylorin sarja. 16 / 27
Esimerkkejä Esim. 5 Laske funktion f(z) = z 2 z+2 Taylorin sarja pisteen z 0 = 1 ympäristössä. Mikä on sarjan suppenemissäde? Esim. 6 Laske sinin f(z) = sin z Taylorin sarja origon ympäristössä. Mikä on sarjan suppenemissäde? 17 / 27
Cauchyn kaavan seurauksia Koska Lauseen 4 todistuksen kulmakivi on Cauchyn kaava, voidaan Lausetta 4 perustellusti nimittää Cauchyn kaavan suoraksi seuraukseksi. Cauchyn kaavalla on myös muita merkittäviä seurauksia, joita käsitellään seuraavassa. Lauseista 3 ja 4 saadaan Lause 5 Analyyttinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva. 18 / 27
Liouville n lause Lause 6 (Liouvillen lause) Jos f on koko tasossa analyyttinen ja rajoitettu, niin f on vakio. Lauseen 6 tulos ei päde reaalimuuttujan tapauksessa. Esimerkiksi sinifunktio f(x) = sin x on (reaali)analyyttinen koko R:ssä ja sin x 1. Vakiosta poikkeavan analyyttisen funktion täytyy siis saada rajattoman suuria arvoja äärettömyydessä z (kuten myös sini f(z) = sin z, z C). 19 / 27
Algebran peruslause Liouvillen lauseen seurauksena saadaan Lause 7 (Algebran peruslause) Polynomiyhtälöllä P(z) = a n z n + +a 1 z + a 0 = 0, n 1, a n 0, on ainakin yksi juuri. Aikamoinen määrä teoriaa tarvittiin tämän perustuloksen saamiseksi. Mutta toisaalta reaalimuuttujan reaalikertoimiselle polynomille Lause 7 ei ole totta kuten nähdään esimerkiksi polynomista p(x) = x 2 + 1. 20 / 27
Maksimi- ja minimiperiaate Otetaan viimeisimpänä Cauchyn kaavan seurauksena Lause 8 (Maksimi- ja minimiperiaate) Alueessa D (avoin joukko) analyyttinen funktio ei voi saavuttaa itseisarvonsa maksimia missään pisteessä. Jos f(z) 0 kaikilla z D, niin f(z) ei voi saavuttaa myöskään minimiä millään z D. Minimiä koskeva ehto f(z) 0 on välttämätön. Esimerkiksi f(z) = z on koko C:ssä analyyttinen, mutta f(z) = 0, kun z = 0, eli f saavuttaa minimin origossa. 21 / 27
Laurentin sarja Taylorin lause antoi potenssisarjaesityksen analyyttiselle funktiolle f : G C pisteen z 0 G ympäristössä. Tutkitaan nyt, löytyykö f :lle sarjaesitystä, jos analyyttisyydestä pisteessä z 0 luovutaan. Osoittautuu, että sarjaesitys on olemassa, mutta hinta, joka esityksessä maksetaan, on (z z 0 ):n negatiiviset potenssit. 22 / 27
Laurentin sarja Lause 9 (Laurentin sarja) Olkoon R = {z C : r 1 < z z 0 < r 2 } ja f analyyttinen R:ssä. Tällöin f :llä on suppeneva Laurentin sarja f(z) = n= a n = 1 2πi sekä S r = {z : z z 0 = r}, r 1 < r < r 2. a n (z z 0 ) n, z R, missä S r f(z) (z z 0 ) n+1dz S r2 S r1 * z * z 0 S r R 23 / 27
Laurentin sarja Huomautus 2 Edellä voi olla r 1 = 0 ja/tai r 2 =. Kehitelmä suppenee laajimmassa renkaassa, joka sisältyy analyyttisyysalueeseen. Kehitelmän kertoimet ovat 1-käsitteiset. Esim. 7 Mikä on funktion f(z) = 1 (z i) 2 Laurentin sarja alueessa 0 < z i <? 24 / 27
Siirtofunktio ja impulssivaste Digitaalisten LTI-systeemien toimintaa kuvaa siirtofunktio H(z) = k= joka on systeemin impulssivastejonon h(k)z k, (2) (h(k)) k= = (...,h( 1),h(0),h(1),...) Z-muunnos. Siirtofunktio on aina (supistetussa muodossa oleva) rationaalifunktio H(z) = P(z) Q(z), jonka nollakohdilla (P:n nollakohdat) ja navoilla (Q:n nollakohdat) on erityinen rooli. 25 / 27
Siirtofunktio ja impulssivaste Huomaa, että (2) on funktion H(z) Laurentin sarja, missä Lauseen 9 mukaan h( k) = 1 f(z) 2πi (z z 0 ) k+1dz. jollekin z 0 ja r. Alueen valinnalla on merkittävä vaikutus sarjaesityksen (2) muotoon. S r 26 / 27
Esimerkki Esim. 8 Määrää LTI-systeemin, jonka siirtofunktio on 1 H(z) = z 2 3z + 2, impulssivaste, kun H:ta tarkastellaan alueessa a) z < 1, b) 1 < z < 2, c) z > 2. 27 / 27