Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 + + 5 3 3 + + C + 5 3 3 + + C Käytettiin sitä, että summan saa integroida termeittäin, vakiotekijän saa ottaa integraalista ulos ja α α+ α+ + C Esimerkiksi viimeisen termin integrointi kävi näin: / + /+ Tarkistuksen saa derivoimalla lopputuloksen: Kun muistaa, että D, niin ( D + 5 3 3 + ) + 5 3 3 + On integroitava funktio { kun, f() kun > Ongelmana on se, että funktion lauseke muuttuu kohdassa Integroimalla + 5 + y kumpikin osa erikseen, siis { 3 f() 3 + C kun <, + C kun >, saadaan funktio, jonka derivaatta on f() kaikkialla muualla paitsi kohdassa Tämä yksi pistekin saadaan oikein, kun huomataan, että integraalifunktion on oltava jatkuva (ks s ), koska senhän on oltava derivoituva Toispuoliset raja-arvot ( 3 3 ) + C 3 + C 6 + C, lim lim + ( ) + C + C + C
laitetaan yhtäsuuriksi, 6 + C + C, josta seuraa C 3 + C Näin ollen vastaus on (kun merkitään C C) { 3 f() 3 + C kun, + 3 + C kun > Kuviossa on piirrettynä funktioiden kuvaajat y f() ja y F () f() kun valitaan C 0 Oikeanpuoleinen kuvio näyttää, millainen tilanne olisi jos olisi valittu väärin vaikkapa C 0 ja C 0 y y f() y y f() y F () Perusintegraaleja Käsitellään monisteen s 3 4 perusintegraalilistaa tarkemmin Ideahan näissä on se, että nämä saadaan suoraan tutuista derivointisäännöistä Kun α R, α, niin α α + α+ + C Tämä seuraa derivointisäännöstä D β β β, koska sen mukaan D ( α+ α+) α Eo kaavaa ei voi käyttää jos α ; sen sijaan ln + C Oikeastaan tässä on väkisin kirjoitettu yhdeksi kaksi eri kaavaa, tarkemmin sanoen kaavat ln + C kun > 0, ln( ) + C kun < 0 Nimittäin integraalifunktion määritelmähän koski yhtenäisellä välillä määriteltyjä funktioita f(); katso määritelmää, joka alkaa Olkoon f() funktio I R, missä I on jokin reaalilukuväli Nyt ei ole määritelty kohdassa 0, ja siksi välejä (0, ) ja (, 0) pitää tarkastella erikseen: y y
Kun > 0, niin D ln Seuraa että ln + C välillä (0, ) Kun < 0, niin D ln( ) ( ) Seuraa että ln( ) + C välillä (, 0) 3 Kun α R, α, niin f() α f () α + f()α+ + C Ketjusäännöllä nimittäin oikean puolen derivaatta on f() α f () Esimerkkejä: ( )( ) 3 ( ) }{{} ( ) 3 }{{} 8 ( ) 4 +C, f () f() ja ln }{{} f () ( ln ) 3 ln3 + C }{{} f() 4 Edellinen kaava ei käy kun α, vaan f () ln f() + C f() Oikeastaan tässä pitäisi tarkastella erikseen sellaisia yhtenäisiä välejä, joissa f() > 0 tai f() < 0 koko välillä : ln + C 5 Kaavoista De e ja Da ln a a (a > 0) seuraa heti e e + C, a ln a a + C 6 Kaavoista D sin cos ja D cos sin seuraa sin cos + C, cos sin + C 7 Tangentin derivointikaavasta D tan cos + tan seuraa cos ( + tan ) tan + C 8 Koska D cot sin cot, niin sin ( + cot ) cot + C 3
9 Arkussinin derivaatasta D arcsin saadaan arcsin + C Huomaa tästä kaavasta (samoin kuin kaavoista 0, ja 3), että algebrallisen funktion integraalifunktio saattaa olla transsendenttinen 0 Arkustangentin derivaatta on D arctan ; siis + arctan + C + Hyperbolisten funktioiden derivaatat D sinh cosh ja D cosh sinh antavat sinh cosh + C, cosh sinh + C Nämä voidaan johtaa myös lausekkeista sinh (e e ) ja cosh (e + e ); esimerkiksi sinh (e e ) (e + e ) + C cosh + C Yleensäkin kun integraalissa esiintyy hyperbolisia funktioita, niin aina on mahdollista lausua ne eksponenttifunktioiden avulla, jonka jälkeen tilanteesta riippuen saattaa joutua tekemään sopivan sijoituksen, esimerkiksi e t; sijoitusmenetelmästä puhutaan myöhemmin Suoraan derivoimalla voi tarkastaa, että D ln ( + + ) +, joten + ln( + + ) + C Itse asiassa tämä on kaavan 9 vastine hyperbolisille funktioille, koska ln ( + + ) arsinh, ns areahyperbelisini, hyperbelisinin käänteisfunktio (katso kaavakokoelman kaavoja (0)) 3 Samalla tavalla saadaan monisteen kaava 3, jossa esiintyy funktio arcosh ln ( + ) Oikeastaan monisteen kaavassa on taas kaksi kaavaa kirjoitettu yhteen; tarkasti tämä kuuluisi { ( ln + ) + C kun >, ln ( ) + C kun < Integroitava funktio ei useinkaan ole valmiiksi muodossa, johon jokin perusintegraalisäännöistä soveltuisi suoraan Siksi sitä on ensin muokattava sopivasti, ja tässä tarvitaan yleensä hyviä hoksottimia ja kokemusta 4
+ + ( + ) + ( ) + ln + + C Huomattiin, että integroitava on rationaalifunktio, jonka osoittaja ei vielä ole alempaa astetta kuin nimittäjä Tällaisessa tapauksessa rutiinimenettely on suorittaa jakolasku ja katsoa sitten tilannetta uudestaan + + ( ( + + ) + + + + ) ln( + ) + arctan + C Tässä tarvittiin sen huomaamista, että kun integroitava jaetaan summaksi, niin kumpikin osa osataan integroida Johdetaan kaavakokoelman kaavoista (8) ensimmäinen tapauksessa a : ln + + C Tämä onnistuu laskuteknisellä tempulla, ns osamurtoihin jaolla, jota ei tällä kurssilla käsitellä muuten kuin ehkä esimerkeissä ja demoissa: ( )( + ) ( / + / ) + ln + ln + + C ln + + C Monisteen esimerkissä 8 on joitakin hyviä laskuesimerkkejä Niiden pitäisi olla selviä monisteen tekstistä, mutta tutkitaan kohtia e), f) ja g) tarkemmin 5
8 e) On laskettava integraali 4 + Kaavakokoelmassa on jopa tälle valmis kaava (8) Ajatellaan nyt kuitenkin, ettei meillä ole kaavakokoelmaa käytettävissä, mutta sen sijaan muistamme perusintegraalin arctan + C + (Ajatus on sikäli realistinen, että tämän yksinkertaisemman kaavan toki muistaakin, tai muistaa ekvivalentin asian D arctan ) Ideana on + muokata kysyttyä integraalia niin, että perusintegraalikaava soveltuu: 4 + 4( + 4 ) 4 + ( ) Tämä onkin jo melkein sopivaa muotoa, paitsi että :n paikalla on Jos olisimme jo käsitelleet sijoitusmenetelmän, voisimme nyt tehdä sijoituksen t Koska meillä ei sitä menetelmää vielä ole, joudumme käyttämään hoksaamista: 4 + ( ) + ( ) arctan + C Viimeistä vaihetta kannattaa ajatella päinvastaiseen suuntaan: Kun oikea puoli derivoidaan, niin sisäfunktion derivaatasta tulee tekijä 8 f) On laskettava integraali 9 Tähän olisi kaavakokoelmassa sopiva kaava (30), mutta ajatellaan taas, että muistamme vain arkussinin derivaatasta saatavan perusintegraalin arcsin + C Lasketaanpa saman tien hiukan yleisempi integraali a 6
missä oletamme että a > 0 Samoilla ideoilla kuin äsken saadaan a a ( ) a a ( a ) a ( a ) arcsin a + C Jos viimeinen vaihe tuntuu epävarmalta, niin derivoimalla saa varmistuksen 8 g) Lasketaan integraali sin Kun integraalissa esiintyy sin tai cos, niin hankalasta toisesta potenssista pääsee eroon siirtymällä kaksinkertaiseen kulmaan Nimittäin, koska cos α sin α, (kaavakokoelman kaava (7)), niin sin ( cos ) Siis sin ( cos ) ( ) sin + C Osittaisintegrointimenetelmä sin + C 4 Jokaisesta derivointisäännöstä seuraa yleensä helposti jokin integrointisääntö Esimerkiksi summan derivointisäännöstä (f + g) f + g seuraa integrointisäntö (f + g) f + g Tulon derivointisäännöstä (fg) f g + fg saadaan seuraava osittaisintegrointimenetelmä Olkoot u u() ja v v() funktioita Koska D(uv) u v + uv, niin uv (u v + uv ) u v + uv, josta uv uv u v 7
Tämän avulla voi yrittää yksinkertaistaa kulloistakin integroitavaa: Jos laskettavana on integraali f, niin pyritään kirjoittamaan f uv sillä tavalla, että integraali u v on helpompi kuin alkuperäinen Tässä kannattaa panna merkille, että vanhasta integroitavasta (siis uv ) siirrytään uuteen integroitavaan niin, että toinen tekijä (siis u) derivoidaan ja toinen (siis v ) integroidaan 9 a) On laskettava integraali e Tämä on aivan tyyppiesimerkki integraaleista, joihin osittaisintegrointi sopii Nimittäin yksinkertaistuu derivoitaessa, ja e ei mutkistu integroitaessa Siis kun valitaan u ja v e, niin koko integroitava yksinkertaistuu: e }{{}}{{} u osint e e v e e e + C u v e + u v e Sijoitusmenetelmä Aloitetaan esimerkillä, joka näyttää, miten menetelmä toimii Esimerkin jälkeen näytetään, miksi se toimii Laske integraali sin Integraali sin olisi helppo Tulee ehkä mieleen, että olisipa mukava pitää neliöjuurta muuttujana Aivan suoraan se ei käy, mutta integraaliin voidaan tehdä sijoitus t, missä t on uusi muuttuja Sijoituksessa integraali muuttuu muotoon sin t t dt Miksi näin? No, sijoituksessa integraaliin pitää tehdä muutos kahteen kohtaan: () funktiossa sijoitetaan :n paikalle t, ja () myös pitää muuttaa vastaavasti Jälkimmäinen tapahtuu seuraavalla säännöllä: g(t) g (t)dt; 8
siis nyt t t dt Sijoituksessa syntyvä integraali osataan laskea osittaisintegroinnilla: sin t t dt t sin t dt u t v sin t + ( ) osint t( cos t) ( cos t) dt u v cos t ( t cos t + ) cos t dt ( t cos t + sin t ) + C t cos t + sin t + C Tämä ei vielä ole vastaus, vaan lopuksi on palattava muuttujaan sijoittamalla t ; siis saadaan sin cos + sin + C Tällaisen laskun jälkeen on syytä tehdä tarkistus, siis laskea että D ( cos + sin ) sin Lasku on suoraviivainen, ja sitä helpottaa, kun muistaa, että D Sijoitusmenetelmän perustelu Sijoitusmenetelmä seuraa derivoinnin ketjusäännöstä Olkoon f() integroitava funktio; siis kysytään integraalia f() Merkitään F ():llä f():n (jotakin) integraalifunktiota Silloin F () f(), ja etsimämme vastaus on f() F () + C Kun g(t), niin F (g(t)) on g:n funktio, ja ketjusäännön mukaan sen derivaatta on mikä merkitsee, että d dt F (g(t)) F (g(t))g (t), F (g(t)) f(g(t))g (t) dt Koska tässä g(t), niin F () f(g(t))g (t) dt, eli f() f(g(t))g (t) dt, joka todistaa menetelmän oikeaksi Huomaa, että vasen puoli on :n funktio ja oikea puoli on t:n funktio, ja muuttujia sitoo ehto g(t) 9
Lasketaan Hankkiudutaan neliöjuuresta eroon sijoituksella t eli t (voidaan olettaa että t 0): sij ( t ) t ( t) dt (t t 4 ) dt ( 3 t3 5 t5 ) + C 3 t3 + 5 t5 + C Tarkistus kannattaa taas tehdä sij 3 ( )3/ + 5 ( )5/ + C 3 ( ) + 5 ( ) + C t t dt Toisinaan useampikin sijoitus johtaa tulokseen Lasketaan äskeinen integraali eri sijoituksella: sij ( t) t ( ) dt ( t / + t 3/) dt 3 t3/ + 5 t5/ + C sij 3 ( )3/ + 5 ( )5/ + C 3 ( ) + 5 ( ) + C t t dt Lasketaan integraali sin 3 muokkaamalla integroitavaa hiukan ja tekemällä sitten sijoitus cos t Huomaa, että sijoituksessa tehdään nyt toisin päin kuin monisteessa selitetään Siellähän puhutaan koko ajan sijoituksista vain muodossa g(t); siis vanha muuttuja on lausuttu uuden muttujan t avulla Kuitenkin aivan yhtä hyvin voi olla toisinkin päin, ts uusi muuttuja t on lausuttu vanhan muuttujan avulla, t h() Silloin käytetään seuraavaa: t h() dt h () 0
Sijoittaessa pitää sitten huolehtia siitä, ettei uuteen integraaliin enää jää vanhaa muuttujaa Erotetaan ensin tekijäksi yksi sini, jolloin toisessa tekijässä on sinin parillinen potenssi ja se voidaan lausua kosinin avulla: sin 3 sin sin sin ( cos ) Nyt tehdään sijoitus cos t: sin ( cos ) sij ( t ) dt t + 3 t3 + C sij cos + 3 cos3 + C Kaiken kaikkiaan siis sin 3 cos + 3 cos3 + C cos t sin dt Samalla idealla voi laskea mm integraalit, jotka ovat muotoa sin m cos n, missä eksponenteista toinen on parillinen ja toinen pariton Myös monisteen esimerkissä 5 voi nähdä saman idean Kaavakokoelman sijoitussuositukset Kaavakokoelman kaavoissa (5) (7) on suosituksia siitä, mitä sijoituksia kannattaa yrittää minkäkin muotoisiin integraaleihin (ks huomautus ) Mitään takeita ei kylläkään koskaan ole siitä, että jokin tietty suositus toimisi Seuraavassa suosituksia selitetään tarkemmin (5) Kaavan (5) merkinnässä Q (, + a ) Q(, y) on jokin kahden muuttujan funktio, ja merkintä tarkoittaa, että integroitava on jokin suureiden ja + a lauseke, siis koostuu jollakin tavalla tällaisista osista Esimerkiksi integraali voisi olla + a ( ), + a + 3, + a + + a 3, tai jotain muuta sellaista Suositeltuja sijoituksia (paitsi at) ovat a tan t, a sinh t
Ideana kummassakin on, että hankala neliöjuuri häviää: a tan t + a a tan t + a (ol cos t > 0), cos t a sinh t + a a sinh t + a cosh t (5) Merkintä ( a + b Q, n c + d ) tarkoittaa, että integroitava funktio on suureiden ja n a+b c+d lauseke Suositellaan sijoitusta a + b t n c + d eli a + b c + d tn Tällä kurssilla riittänee erikoistapaus, missä n ja juuren alla on vain polynomi a + b, ts integraali on muotoa Q (, a + b ) (a, b 0) Siis suositeltava sijoitus on t a + b eli a + b t Juuri tätä suositusta käytimme edellä, kun laskimme integraalin sijoituksella t Monisteen esimerkki on toinen tällainen tapaus (6) Jos integraali on muotoa Q (, a ) (a 0) niin kaavakokoelmassa suositellaan (paitsi at, a/t ) sijoitusta a cosh t Ideana on taas hävittää neliöjuuri: a cosh t a a cosh t a sinh t (ol t 0)
(6) Jos integraali on muotoa Q (, a ) (a 0) niin suositellaan (paitsi at) sijoitusta a sin t Jälleen kerran tarkoitus on päästä eroon neliöjuuresta: a sin t a a sin t a cos t (ol cos t 0) (7) Jos integraali on muotoa voi kokeilla sijoituksia Q(tan ), tan t, tan t Edellisessä sijoituksessa dt ja jälkimmäisessä dt, joten tangentti häviää lausekkeesta Esimerkiksi edellisessä arctan +t +t t, josta dt +t (7) Jos integraali on muotoa suositellaan sijoitusta Q(sin, cos ), t tan Tällöin sijoituksessa tarvitaan kaavakokoelman kaavoja (9): Funktioon Q sijoitetaan sin t t, cos + t + t, ja kun integroinnin lopuksi suoritetaan käänteinen muunnos takaisin muuttujaan, niin t:n paikalle voi sijoittaa jommankumman muodoista t tan sin + cos α cos sin Varsinaisessa sijoitusvaiheessa pitää tietenkin muistaa muuntaa myös Koska arctan t, niin dt + t 3
3 Johdetaan kaavakokoelman kaava (3) tapauksessa a Siis lasketaan integraali Integroitavassa on neliöjuuri Suositus on siis sin t Koska täytyy olla 0, niin [, ] Kaikki nämä :n arvot saadaan kun t käy välin [ π, π ] Voidaan siis olettaa että t [ π, π ] Silloin cos t 0; tätä tarvitaan kohta Lasketaan: sij sin t cos t dt sin t cos cos t dt t cos t dt cos t cos t dt ( ) cos t dt (33) t + 4 sin t + C (8) t + sin t cos t + C ( ) t + sin t sin t + C sij arcsin + + C Kohdissa ( ) käytettiin sitä, että cos t 0 Viimeisessä vaiheessa tarvittiin myös oletus t [ π, π ], jotta siitä että sin t seuraa t arcsin Perustelimme heti aluksi, että oletus t [ π, π ] on luvallista tehdä Toisinkin olisi voinut menetellä: Oletuksen luvallisuuden olisi voinut jättää perustelematta ja yksinkertaisesti laskun aikana vain tarvittavissa kohdin käyttää sitä oletusta Kun sitten laskun lopuksi olisi vielä derivoimalla tarkistanut, että tulos on oikein ilman sellaisia oletuksiakin, asia olisi ollut kunnossa (Tällaisen laskun lopuksihan tarkistus derivoimalla kannattaa joka tapauksessa tehdä) Kaavakokoelman kaavoista (34) oikeanpuolimmaisen voi johtaa näin: sij + t sin t + t dt t tan arctan t t dt dt +t ln t + C sij ln tan + C 4
Sama integraali laskettiin itse asiassa monisteen esimerkissä 5 toisella tavalla, sijoituksella cos t: sin sin sin sin cos ln cos + cos + C (katso lasku monisteesta) Kaavakokoelman kaavojen (7) avulla nähdään, että tulos on sama kuin yllä saatu Johdetaanpa huvin vuoksi vastaava kaava hyperboliselle sinille, kaavassa (35): tanh sinh ln + C Meillä ei ole nyt hyperbolisille funktioille käytettävissä samanlaisia kaavoja kuin (9), mutta lausumme hyperbelisinin eksponenttifunktion e avulla ja sitten teemme sijoituksen e t: sinh e e sij dt t t t t dt t dt (8) ln + t t + C ln t t + + C sij ln e e + + C e t ln t dt t Tämä olisi jo hyvä lauseke integraalille, mutta kehitetään sitä vielä supistamalla ensin e / :lla: ln e e + + C ln e / e / e / + e / + C (e / e / )/ ln (e / + e / )/ + C ln sinh cosh + C ln tanh + C 5