Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tapio Lind Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Maaliskuu 2009

Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos LIND, TAPIO: Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia Pro gradu -tutkielma, 29 s. Matematiikka Maaliskuu 2009 Tiivistelmä Tutkielmassa esitetään reaaliarvoisten funktioiden raja-arvon virallinen, ns. epsilon-delta-määritelmä. Toisessa luvussa esitetään lyhyt katsaus määritelmän historiaan. Kolmannessa luvussa esitetään jatkon kannalta oleellinen itseisarvon käsite, jolla käytännössä tarkoitetaan kahden reaaliluvun etäisyyttä toisistaan. Tässä luvussa esitetään ja todistetaan myös reaalilukujen summien ja erotusten itseisarvoihin liittyvä kolmioepäyhtälö. Luvussa 4 esitetään itse määritelmä esimerkkeineen. Määritelmän mukaan raja-arvo on voimassa, jos siten, että f(x) = L ɛ > 0 δ > 0, 0 < x c < δ = f(x) L < ɛ. Tässä luvussa määritellään myös toispuoleiset raja-arvot, sekä raja-arvo tilanteissa, joissa muuttujan arvot kasvavat, tai pienenevät rajatta. Rajaarvoa koskevia lauseita on todistettu ɛ - δ-määritelmää hyväksikäyttäen luvussa 5. Luvuissa 6 ja 7 esitetään jatkuvuuden käsite, sekä todistetaan ns. kuristusperiaate, jonka avulla voidaan määrittää funktion raja-arvo tutkimalla sellaisten funktioiden raja-arvoja, joiden arvojen välissä tutkittavan funktion arvot ovat. Jatkuvien funktioiden ääriarvolause esitetään ja todistetaan luvussa 8. Luvussa 9 raja-arvon sovelluksista esitetään derivaatta ja todistetaan Rollen lause, jatkuvien funktioiden väliarvolause, Cauchyn väliarvolause, sekä lopulta L'Hospitalin sääntö. L'Hospitalin sääntöä voidaan käyttää hyväksi rationaalifunktioiden raja-arvojen määrittämisessä esimerkiksi tilanteissa, joissa sekä osoittajana, että nimittäjänä oleva funktio lähestyy nollaa. Sääntö toimii myös tilanteessa, jossa edellä mainittujen funktioiden arvot kasvavat, tai pienenevät rajatta. Lopuksi lasketaan muutama esimerkki L'Hospitalin sääntöä hyväksikäyttäen. 2

Sisältö 1 Johdanto 4 2 Raja-arvon historiaa 4 3 Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö 5 4 Raja-arvon määritelmä 6 4.1 Epsilon-delta-määritelmä..................... 6 4.2 Esimerkkejä............................ 7 4.3 Toispuoleiset raja-arvot...................... 9 4.4 Raja-arvo äärettömyydessä.................... 10 5 Raja-arvoa koskevia lauseita 11 5.1 Raja-arvon yksikäsitteisyys.................... 11 5.2 Funktioiden summa, tulo ja vakiolla kerrottu funktio..... 12 5.3 Funktioiden osamäärän raja-arvo................ 14 6 Jatkuvuus 16 6.1 Jatkuvuus pisteessä........................ 16 6.2 Jatkuvuus avoimella ja suljetulla välillä............. 17 7 Kuristusperiaate 17 7.1 Esimerkkejä............................ 18 8 Jatkuvien funktioiden ääriarvolause 19 9 Raja-arvon sovelluksia 21 9.1 Derivaatta............................. 21 9.2 Rollen lause............................ 22 9.3 Jatkuvien funktioiden väliarvolause............... 23 9.4 Cauchyn väliarvolause...................... 24 9.5 L'Hospitalin sääntö........................ 25 9.5.1 Tapaus 0/0........................ 25 9.5.2 Tapaus /....................... 26 9.5.3 Esimerkki......................... 28 Viitteet 29 3

1 Johdanto Tässä Pro Gradu -tutkielmassa esitetään raja-arvon virallinen, ns. ɛ-δ-määritelmä. Määritelmän historia esitellään lyhyesti ensimmäisessä luvussa ja itse määritelmä kolmannessa luvussa. Lisäksi suoritetaan muutama todistus erilaisten funktioiden raja-arvoihin liittyen hyödyntäen ɛ-δ-määritelmää. Toisessa luvussa tutustutaan itseisarvon käsitteeseen, sekä esitetään ja todistetaan kolmioepäyhtälö. Molempia hyödynnetään tutkielmassa useaan otteeseen. Luvussa neljä esitetään ja todistetaan keskeisiä, raja-arvoon liittyviä lauseita. Raja-arvoihin liittyvistä analyysin sovelluksista esitellään jatkuvuuden ja derivaatan käsitteet, kuristusperiaate, jatkuvien funktioiden ääriarvo- ja väliarvolauseet, Cauchyn väliarvolause, sekä L'Hospitalin sääntö. Lähteinä on käytetty teoksia S. Salas, E. Hille and G. Etgen, Calculus: One and several variables 9th ed, L. Myrberg, Dierentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten. Osa 1., sekä englanninkielisen Wikipedian artikkeleita Limit (mathematics) ja l'hôpital's rule. 2 Raja-arvon historiaa Tässä lyhyessä katsauksessa raja-arvon historiaan on lähdeteoksena käytetty Hannu Korhosen teosta Matematiikan historian henkilöhahmoja.[1, s. 89-92] Raja-arvon täsmällisen määritelmän isänä voidaan pitää Augustin Louis Cauchya (1789-1857), joka vaikutti Napoleonin sotien runtelemassa, levottomassa Ranskassa. Cauchyn isä Louis-Francois oli tuomari, poliisiviranomainen ja hurskas katolilainen, joka muutti perheensä kanssa maaseudulle turvallisuuden ja elintarvikkeiden puutteessa. Muuton aikana Augustin Louis oli vasta nuori, mutta isänsä opissa hän tutustui mm. kirjallisuuteen ja etenkin runouteen, jota hän harrasti intohimoisesti koko loppuelämänsä ajan. Maalaisseutu sai jäädä vuonna 1800, jolloin Louis-Francois valittiin senaatin sihteeriksi. Maineikas matemaatikko Lagrange kiinnitti huomionsa Lois-Francois'n työhuoneen nurkassa opiskelevaan nuoreen Augustiniin, mutta oli sitä mieltä, etta korkeampaan matematiikkaan syventyminen kuluttaisi aliravitun pojan loppuun. Yksityiset matematiikan opinnot päättyivät, kun Cauchy pääsi kuusitoistavuotiaana Ecole Polytechniqueen siviili-insinöörikouluun. Syvästi uskonnollinen Cauchy sai kokea koulussa pilkkaa, mutta valmistui neljässä vuodessa ja pääsi töihin Cherbourgiin sotilasinsinööriksi. Cherbourgissa Cauchy teki myös opetus- ja tutkimustyötä, sekä julkaisi tutkielmia ja to- 4

disti mm. matemaatikko Fermat'n esittämän, 150 vuotta vanhan lauseen. (Kyseessä ei kuitenkaan ollut ns. Fermat'n suuri lause.) Matemaattinen analyysi sai rautaisen pohjan vuonna 1815, kun Cauchy esitti Ecole Polytechniquessa dierentiaali- ja integraalilaskennassa peruskäsitteinä olevien raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät. Nuo määritelmät ovat säilyneet samanlaisina tähän päivään asti. Voitiin vihdoin unohtaa Newtonin ajoista lähtien voimassa olleet käsitykset raja-arvon likimääräisistä tuloksista. 3 Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö Raja-arvoja tutkittaessa törmätään aina itseisarvoihin ja hyvin usein joudutaan hyödyntämään niin sanottua kolmioepäyhtälöä. Ne esitetään ennen raja-arvon määritelmää, sillä tässäkin tutkielmassa niitä käytetään useaan otteeseen. Määritellään ensin reaaliluvun x itseisarvo x. Määritelmä 1. [2, s. 26-27] x = { x, kun x 0, x, kun x 0. Itseisarvon määritelmästä seuraa, että x = x. Itseisarvo voidaan tulkita geometrisesti niin, että x y on pisteiden x ja y väatka. Esitetään ja todistetaan kolmioepäyhtälö. Lause 1. Kaikille reaaliluvuille x ja y pätee kolmioepäyhtälö x y x + y x + y. Todistus. Olkoot x ja y mielivaltaisia reaalilukuja. Itseisarvon määritelmästä seuraa, että x x x ja y y y. Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen ja saadaan ( x + y ) x + y x + y, eli Voidaan kirjoittaa x + y x + y. x = x + y + ( y) x + y + y, 5

ja todeta vähentämällä puolittain y, että x + y x y. Vaihdetaan lukujen x ja y roolit keskenään ja suorittamalla sama toimenpide, saadaan x + y y x. Kaksi edellistä epäyhtälöä yhdessä tarkoittavat Nyt siis tiedetään, että x + y x y. x + y x + y ja x + y x y. Nämä yhdistämällä saadaan kolmioepäyhtälö x y x + y x + y. 4 Raja-arvon määritelmä 4.1 Epsilon-delta-määritelmä [3, s. 73] Virallisessa, niin sanotussa ɛ-δ-määritelmässä, lähdetään liikkeelle funktion määriteltävyydestä jonkin kohdan ympäristössä. Olkoon f(x) reaaliarvoinen funktio ja c jokin reaaliluku. Oletetaan, että funktio f(x) on määritelty jossakin pisteen c ympäristössä ]c p[ ]c + p[, p > 0, mutta ei välttämättä kohdassa x = c. Nyt merkintä f(x) = L tarkoittaa epävirallisesti esitettynä, että funktion f(x) ja raja-arvon L etäisyys f(x) L saadaan niin pieneksi kuin halutaan, kunhan etäisyys x c on tarpeeksi pieni, mutta ei nolla. Täsmällisempi esitys saadaan aikaan ottamalla käyttöön ɛ-δ-merkintä. Tällöin voimme korvata aiemman esityksen toteamalla, että mitä tahansa positiivista reaalilukua ɛ kohden voidaan löytää positiivinen reaaliluku δ siten, että f(x) L < ɛ, kunhan x c < δ. Seuraava määritelmä on virallinen raja-arvon määritelmä. 6

Määritelmä 2. pätee, jos siten, että f(x) = L ɛ > 0 δ > 0, 0 < x c < δ = f(x) L < ɛ. 4.2 Esimerkkejä Esimerkki 1. Todistetaan ɛ-δ-menetelmällä, että 6x + 2 = 32. x 5 Olkoon ɛ positiivinen reaaliluku. Etsitään positiivinen reaaliluku δ siten, että kun 0 < x 5 < δ, niin Etäisyyksien välinen yhteys on (6x + 2) 32 < ɛ. (6x + 2) 32 ja x 5 (6x + 2) 32 = 6x 30 = 6 x 5 Jotta etäisyys (6x + 2) 32 saadaan pienemmäksi kuin ɛ, voidaan luvuksi δ valita luku ɛ/6. Tällöin on voimassa x 5 < ɛ/6 6 x 5 < ɛ 6x 30 < ɛ (6x + 2) 32 < ɛ ja siis 6x + 2 = 32. x 5 Koska funktion arvon ja raja-arvon etäisyys halutaan pienemmäksi kuin ɛ, voidaan valita myös mikä tahansa lukua ɛ/6 pienempi positiivinen reaaliluku. 7

Esimerkki 2. Todistetaan ɛ-δ-menetelmällä, että x 4 x + 5 = 3. Olkoon ɛ positiivinen reaaliluku. Etsitään positiivinen reaaliluku δ siten, että kun 0 < x 4 < δ, niin x + 5 3 < ɛ. Jotta x + 5 olisi määritelty, täytyy olla x 5. Tämä tarkoittaa, että luku δ, eli muuttujan etäisyys kohdasta 4, voi olla korkeintaan 9. Etsitään aluksi yhteys etäisyyksien x 4 ja x + 5 3 välille. Kirjoitetaan etäisyys x + 5 3 < ɛ ilman itseisarvomerkkejä ja edetään lopusta alkuun. Oletetaan ensin, että ɛ < 3, eli 3 ɛ > 0. ɛ < x + 5 3 ɛ + 3 < x + 5 (3 ɛ) 2 < x + 5 (3 ɛ) 2 9 < x 4 Jos nyt valitaan positiivinen reaaliluku niin on voimassa, että jos niin < ɛ < ɛ + 3 < (ɛ + 3) 2 < (ɛ + 3) 2 9 δ = min { 9, (3 ɛ) 2 9, (ɛ + 3) 2 9 } = min { 9, (ɛ + 3) 2 9 } 0 < x 4 < δ, x + 5 3 < ɛ. Jos taas ɛ 3, voidaan luvuksi δ valita mikä tahansa lukua 9 pienempi positiivinen reaaliluku, sillä tällöin on voimassa, että jos 0 < x 4 < 9, niin 5 < x 0 < x + 5 0 < x + 5 3 < x + 5 3 8 < 13 < 18 < 18 < 18 3.

Koska 18 3 = 3( 2 1) < 3, on 3 < x + 5 3 < 3, ja siis x + 5 3 < ɛ. Reaaliluvuksi δ käy siis joka tapauksessa δ = min {9, (ɛ + 3) 2 9}. Näin ollen voidaan todeta, että x + 5 = 3. x 4 4.3 Toispuoleiset raja-arvot [3, s. 79-80] Esitetään seuraavaksi funktion raja-arvon määritelmään liittyvät toispuoleiset raja-arvot. Ensimmäiseksi määritellään vasemmanpuoleinen raja-arvo. Määritelmä 3. Olkoon funktio f määritelty ainakin avoimella välillä (c p, c), missä reaaliluku p > 0. Tällöin f(x) = L pätee, jos jokaista reaalilukua ɛ > 0 kohden on olemassa reaaliluku δ > 0 siten, että c δ < x < c = f(x) L < ɛ. Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään vastaavasti. Määritelmä 4. Olkoon funktio f määritelty ainakin avoimella välillä (c, c+ p), missä reaaliluku p > 0. Tällöin f(x) = L + pätee, jos jokaista reaalilukua ɛ > 0 kohden on olemassa reaaliluku δ > 0 siten, että c < x < c + δ = f(x) L < ɛ. Toispuoleisten raja-arvojen avulla voidaan nyt helposti tutkia, onko funktiolla olemassa raja-arvo. Tätä varten hyödynnetään seuraavaa lausetta. Lause 2. f(x) = L jos ja vain jos f(x) = L ja f(x) = L. + 9

Todistus. Oletetaan ensin, että f(x) = L. Nyt siis jokaista reaalilukua ɛ > 0 kohden on olemassa reaaliluku δ > 0 siten, että 0 < x c < δ = f(x) L < ɛ. Erityisesti tämä luku δ toteuttaa sekä vasemman- että oikeanpuoleisen rajaarvon ehdot c δ < x < c = f(x) L < ɛ ja c < x < c + δ = f(x) L < ɛ. Oletetaan sitten, että f(x) = L ja f(x) = L. Nyt jokaista reaalilukua ɛ > 0 on olemassa reaaliluku δ > 0 siten, + että c δ < x < c = f(x) L < ɛ ja c < x < c + δ = f(x) L < ɛ. Yhdistämällä nämä saadaan 0 < x c < δ = f(x) L < ɛ ja siis f(x) = L. 4.4 Raja-arvo äärettömyydessä [5] Jonkin äärellisen reaaliluvun lisäksi, funktion muuttuja voi lähestyä myös positiivista, tai negatiivista äärettömyyttä. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että muuttujan arvon ja äärettömän välinen ero pienenisi, sillä ääretön ei ole reaaliluku. Jos muuttujan arvot lähestyvät ääretöntä, sanotaan, että ne kasvavat tai pienenevät rajatta. Täsmällisesti määritelmä esitetään seuraavaksi. Määritelmä 5. = L, x jos ja vain jos kaikille reaaliluvuille ɛ > 0, on olemassa reaaliluku c siten, että ja f(x) L < ɛ aina kun x > c = L, x jos ja vain jos kaikille reaaliluvuille ɛ > 0, on olemassa reaaliluku c siten, että f(x) L < ɛ aina kun x < c. 10

5 Raja-arvoa koskevia lauseita [3, s. 83-85] Esitetään ja todistetaan muutamia keskeisiä, raja-arvoon liittyviä lauseita. Lauseet helpottavat raja-arvojen määrittämistä, sillä ɛ-δ-määritelmän hyödyntäminen saattaa olla hyvinkin työlästä. Lauseet kuitenkin todistetaan ɛ-δ-menetelmällä. 5.1 Raja-arvon yksikäsitteisyys Ensimmäiseksi todistetaan raja-arvon yksikäsitteisyys. Lause 3. Jos f(x) = L ja f(x) = M, niin L = M. Todistus. Todistetaan lause epäsuoralla päättelyllä. Tehdään vastaoletus, että L M. Tällöin L M /2 > 0. Koska f(x) = L, tiedetään, että on olemassa δ 1 > 0 siten, että (1) jos 0 < x c < δ 1, niin f(x) L < L M /2. Koska f(x) = M, tiedetään myös, että on olemassa δ 2 > 0 siten, että (2) jos 0 < x c < δ 2, niin f(x) M < L M /2. Edellä lukuna ɛ on siis käytetty vastaoletuksen mukaan positiivista reaalilukua L M /2. Olkoon nyt x 1 sellainen reaaliluku, joka toteuttaa epäyhtälön Yhdistämällä (1) ja (2), saadaan f(x 1 ) L < Nyt voidaan todeta, että 0 < x 1 c < min {δ 1, δ 2 }. L M 2 ja f(x 1 ) M < L M = [L f(x 1 )] + [f(x 1 ) M] L f(x 1 ) + f(x 1 ) M = f(x 1 ) L + f(x 1 ) + M < L M 2 + L M 2 = L M. L M. 2 Vastaoletus johtaa siis ristiriitaan L M < L M, joten lause on tosi. 11

5.2 Funktioiden summa, tulo ja vakiolla kerrottu funktio Seuraavat lauseet helpottavat usein raja-arvojen määrittämistä. Lause 4. Olkoot f(x) = L ja g(x) = L. Tällöin (i) (ii) (iii) [f(x) + g(x)] = L + M, [αf(x)] = αm kaikille reaaliluvuille α, [f(x)g(x)] = LM. Todistus. Olkoon reaaliluku ɛ > 0. Todistetaan lauseen kohta (i), eli osoitetaan, että on olemassa reaaliluku δ > 0 siten, että jos 0 < x c < δ, niin [f(x) + g(x)] [L + M] < ɛ. Tässä vaiheessa on hyvä huomata seuraava epäyhtälö. [f(x) + g(x)] [L + M] = [f(x) L] + [g(x) M] [f(x) L] + [g(x) M]. Etäisyys [f(x) + g(x)] [L + M] saadaan pienemmäksi, kuin ɛ saattamalla molemmat etäisyydet f(x) L ja g(x) M pienemmiksi kuin 1 ɛ. Koska 2 f(x) = L ja g(x) = M, tiedetään, että on olemassa sellaiset positiiviset reaaliluvut δ 1 ja δ 2, että jos 0 < x c < δ 1, niin f(x) L < 1 2 ɛ ja jos 0 < x c < δ 2, niin g(x) M < 1 2 ɛ. Asetetaan nyt luvuksi δ pienempi luvuista δ 1 ja δ 2, siis δ = min {δ 1, δ 2 }. Jos nyt 0 < x c < δ, niin Tällöin f(x) L < 1 2 ɛ ja g(x) M < 1 2 ɛ. [f(x) + g(x)] [L + M] = [f(x) L] + [g(x) M] [f(x) L] + [g(x) M] < 1 2 ɛ + 1 2 ɛ = ɛ. 12

Todistetaan lauseen kohta (ii). Jaetaan tarkastelu kahteen tapaukseen; α 0 ja α = 0. Mikäli α 0, on ɛ/ α > 0, ja koska f(x) = L, tiedetään, että on olemassa positiivinen reaaliluku δ siten, että jos 0 < x c < δ, niin f(x) L < ɛ α. Edellisestä epäyhtälöstä saadaan α f(x) L < ɛ ja siis αf(x) αl < ɛ. Mikäli α = 0, eli αf(x) = 0, voidaan luvuksi δ valita mikä tahansa positiivinen reaaliluku, sillä jos 0 < x c < δ, niin αf(x) αl = 0 < ɛ. Todistetaan lauseen kohta (iii) aloittamalla kolmioepäyhtälöön perustuvalla algebralla. f(x)g(x) LM = [f(x)g(x) f(x)m] + [f(x)m LM] f(x)g(x) f(x)m + f(x)m LM = f(x) g(x) M + M f(x) L f(x) g(x) M + (1 + M ) f(x) L. Olkoon taas ɛ > 0. Koska f(x) = L ja g(x) = M, tiedetään, että on olemassa positiiviset reaaliluvut δ 1, δ 2 ja δ 3 siten, että jos 0 < x c < δ 1, niin jos 0 < x c < δ 2, niin ja jos 0 < x c < δ, niin f(x) L < 1 jolloin f(x) < 1 + L, g(x) M < f(x) L < ( 1 ɛ ) 2, 1 + L ( 1 ɛ ) 2. 1 + M Valitaan nyt δ = min {δ 1, δ 2, δ 3 } ja todetaan, että jos 0 < x c < δ, niin f(x) LM f(x) g(x) M + (1 + M ) f(x) L ( 1 2 < (1 + L ) ɛ ) ( 1 + (1 + M ) ɛ ) 2 = ɛ. 1 + L 1 + M 13

5.3 Funktioiden osamäärän raja-arvo Seuraavat kolme lausetta liittyvät funktioiden erilaisten osamäärien rajaarvoihin. Lause 5. Jos 1 g(x) = M, missä M 0, niin g(x) = 1 M. Todistus. Kun g(x) 0 1 g(x) 1 = M g(x) M g(x) M. Valitaan reaaliluku δ 1 > 0 siten, että Tällöin on voimassa Näin ollen jos 0 < x c < δ 1, niin g(x) M < M 2. g(x) > M 2, eli 1 g(x) < 2 M. 1 g(x) 1 = M g(x) M g(x) M < 2 g(x) M M 2 = 2 g(x) M. M 2 Olkoon nyt reaaliluku ɛ > 0 ja valitaan reaaliluku δ 2 > 0 siten, että jos 0 < x c < δ 2, niin g(x) M < M 2 2 ɛ. Kun nyt valitaan δ = min {δ 1, δ 2 }, niin jos 0 < x c < δ, niin 1 g(x) 1 < ɛ. M 14

Lause 6. Jos f(x) f(x) = L ja g(x) = M, missä M 0, niin g(x) = L M. Todistus. Kirjoitetaan funktioiden osamäärä tulona ja käytetään hyväksi edellistä lausetta. f(x) g(x) = f(x) 1 g(x). Koska 1 f(x) = L ja g(x) = 1 M, voidaan lauseen (4) kohdan (iii) perusteella todeta, että f(x) g(x) = L 1 M = L M. Lause 7. f(x) Jos f(x) = L, missä L 0 ja g(x) = 0, niin raja-arvoa g(x) Todistus. Tehdään vastaoletus: olkoon reaaliluku K sellainen, että Tällöin [ L = f(x) = g(x) f(x) ] g(x) f(x) g(x) = K. f(x) = g(x) g(x) = 0 K = 0, mikä on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa. Siis vastaoletus on väärä ja lause tosi. ei ole olemassa. 15

6 Jatkuvuus [3, s. 93-99] Puhekielessä jatkuvalla prosessilla tarkoitetaan yleensä jotakin tapahtumaa, jossa ei ole katkoksia. Matemaattisessa mielessä jatkuvuus tarkoittaa miltei samaa asiaa. Tässä tutkielmassa määritellään jatkuvuuden käsite jossakin tietyssä kohdassa ja tietyllä välillä. 6.1 Jatkuvuus pisteessä Kun tutkitaan funktion f(x) jatkuvuutta tietyssä kohdassa c, ideana on määrittää arvot f(c) ja f(x) ja verrata niitä keskenään. Mikäli arvot ovat yhtä suuret, sanotaan funktion f olevan jatkuva kohdassa c. Seuraava määritelmä esittää ajatuksen täsmällisemmin. Määritelmä 6. Olkoon funktio f määritelty ainakin avoimella välillä (c p, c + p), missä p on positiivinen reaaliluku. Funktio f on jatkuva kohdassa c, jos f(x) = f(c). Edellisessä määritelmässä on syytä huomata, että nyt funktion f täytyy olla määritelty kohdassa c. Raja-arvon olemassaolo samassa kohdassahan ei vaadi funktion arvon olemassaoloa. Esitetään vielä ɛ-δ-määritelmä jatkuvuudelle pisteessä. Määritelmä 7. Funktio f on jatkuva kohdassa c, jos kaikille ɛ > 0 on olemassa δ > 0 siten, että jos x c < δ, niin f(x) f(c) < ɛ. Esitetään ja todistetaan yhdistettyjen funktioiden jatkuvuutta koskeva lause. Seuraavassa esitys f g tarkoittaa funktioista f ja g muodostettua yhdistettyä funktiota f(g(x)). Lause 8. Jos funktio g on jatkuva kohdassa c ja funktio f on jatkuva kohdassa g(c), niin yhdistetty funktio f g on jatkuva kohdassa c. Todistus. Olkoon reaaliluku ɛ > 0. Etsitään sellainen reaaliluku δ > 0, että jos x c < δ, niin f(g(x)) f(g(c)) < ɛ. Koska f on jatkuva kohdassa g(c), on olemassa sellainen reaaliluku δ 1 > 0, että jos t g(c) < δ 1, niin f(t) f(g(c)) < ɛ. 16

Koska funktio g on jatkuva kohdassa c, tiedetään, että on olemassa reaaliluku δ > 0, jolle pätee jos x c < δ, niin g(x) g(c) < δ 1. Yhdistämällä edelliset implikaatiot, saadaan haluttu tulos. Jos x c < δ, niin g(x) g(c) < δ 1, joten ensimmäisen implikaation nojalla f(g(x)) f(g(c)) < ɛ. Esitetään vielä määritelmä toispuoleisille jatkuvuuksille. Määritelmä 8. Funktion f sanotaan olevan jatkuva vasemmalta kohdassa c, jos = f(c) jatkuva oikealta kohdassa c, jos = f(c). + 6.2 Jatkuvuus avoimella ja suljetulla välillä Olkoon (a, b) avoin väli. Funktion f sanotaan olevan jatkuva välillä (a, b), jos se on jatkuva jokaisessa pisteessä c (a, b). Funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], jos se on 7 Kuristusperiaate (i) jatkuva avoimella välillä (a, b), (ii) oikealta jatkuva kohdassa a, (iii) vasemmalta jatkuva kohdassa b. Kuristusperiaatteen avulla voidaan määrittää raja-arvoja hyödyntämällä funktioita, joiden arvojen välissä tutkittavan funktion arvot ovat. Lause 9. [3, s. 103-104] Olkoon reaaliluku p > 0. Oletetaan, että kaikille luvuille x, joille 0 < x c < p pätee h(x) f(x) g(x). ja 17

Jos h(x) = L ja g(x) = L, niin f(x) = L Todistus. Olkoon ɛ > 0. Olkoon p > 0 sellainen reaaliluku, että jos 0 < x c < p, niin h(x) f(x) g(x). Valitaan reaaliluku δ 1 siten, että jos 0 < x c < δ 1, niin L ɛ < h(x) < L + ɛ. Valitaan reaaliluku δ 2 siten, että jos 0 < x c < δ 2, niin L ɛ < g(x) < L + ɛ. Olkoon nyt δ = min {p, δ 1, δ 2 }. Kaikille luvuille x, joille 0 < x c < p, pätee ja siis L ɛ < h(x) f(x) g(x) < L + ɛ, f(x) L < ɛ. 7.1 Esimerkkejä Esimerkki 3. Määritetään raja-arvo x x 5 x x 6 + 100 hyodyntämällä kuristusperiaatetta. Koska x, voidaan olettaa, että x > 0. Epäyhtäloketjusta x 5 x x 6 + 100 < x 5 x 6 + 100 < x5 x = 1 6 x seuraa, että x 5 x x 6 + 100 1 x ja koska 1 x x = 0, voidaan kuristusperiaatteen nojalla todeta, että x x 5 x x 6 + 100 = 0. 18

Esimerkki 4. Määritetaan raja-arvo hyodyntämällä kuristusperiaatetta. x 0 x2 cos 1 x Huomataan, että raja-arvoa cos 1 x 0 x ei ole olemassa, sillä 1, kun x x 0. Tälloin cos 1 saa arvoja välilta [ 1, 1], mutta ei lähesty mitään tiettyä x lukua. Voidaan kirjoittaa 1 cos 1 x 1. Epäyhtalo voidaan kertoa puolittain epänegatiivisella luvulla x 2. Saadaan x 2 x 2 cos 1 x x2. Koska ( x 2 ) = 0 ja x 2 = 0 ja x 2 x 2 cos 1 x 0 x 0 x x2, voidaan kuristusperiaatteen nojalla todeta, että x 0 x2 cos 1 x = 0. 8 Jatkuvien funktioiden ääriarvolause [3, Appendix B] Jatkuvien funktioiden ääriarvolausetta ei voida ohittaa, mikäli halutaan todistaa raja-arvoon perustuvia, soveltavia lauseita. Lauseen todistuksessa tarvitaan lukujoukkoihin liittyvän ylärajan ja erityisesti niin sanotun supremumin käsitettä. Määritellään nämä käsitteet ennen ääriarvolauseen todistusta. Määritelmä 9. Olkoon S epätyhjä joukko reaalilukuja. Reaaliluku M on joukon S yläraja, jos x M kaikille x S. Tärkeä joukko-opin aksiooma, pienin yläraja-aksiooma, kertoo, että jos epätyhjällä joukolla S reaalilukuja on yläraja, on joukolla myös pienin yläraja. Tätä pienintä ylärajaa kutsutaan joukon supremumiksi, ja merkitään sup(s). Ennen ääriarvolauseen todistusta, todistetaan vielä seuraava apulause. Lause 10. Jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], on se myös rajoitettu välillä [a, b]. 19

Todistus. Määritellään joukko S = {x : x [a, b] ja funktio f on rajoitettu välillä [a, x]}. Joukko S on epätyhjä ja luku b rajoittaa sen ylhäältä. Näin ollen voidaan määritellä c = Sup{x : funktio f on rajoitettu välillä [a, x]}. Osoitetaan nyt, että c = b. Tehdään vastaoletus, että c < b. Koska funktio f on jatkuva kohdassa c, voidaan helposti nähdä, että funktio f on rajoitettu välillä [c ɛ, c + ɛ] jollakin reaaliluvulla ɛ > 0. Koska funktio f on rajoitettu väleillä [a, c ɛ] ja [c ɛ, c + ɛ], on se rajoitettu myös välillä [a, c + ɛ]. Tämä on ristiriidassa vastaoletuksen c < b kanssa. Siis c = b. Tämä tarkoittaa, että funktio f on rajoitettu välillä [a, x] kaikilla x < b. Koska funktio f on jatkuva, tiedetään, että se on rajoitettu jollakin muotoa [b ɛ, b] olevalla suljetulla välillä. Koska b ɛ < b, juuri todetun perusteella tiedetään, että funktio f on rajoitettu välillä [a, b ɛ]. Funktio f on siis rajoitettu väleillä [a, b ɛ] ja [b ɛ, b]. Yhdistämällä nämä voidaan todeta, että funktio f on rajoitettu välillä [a, b]. Esitetään ja todistetaan jatkuvien funktioiden ääriarvolause. Lause 11. Jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], saa se sekä maksimiarvon M että minimiarvon m välillä [a, b]. Todistus. Funktio f on siis rajoitettu välillä [a, b]. Olkoon M = sup{f(x) : x [a, b]}. Osoitetaan, että välillä [a, b] on luku c, jolle f(c) = M. Asetetaan g(x) = 1 M f(x). Tehdään vastaoletus, että funktio f ei saa arvoa M. Tällöin funktio g on jatkuva välillä [a, b] ja siis myös rajoitettu kyseisellä välillä. Kuitenkin huomataan, että funktio g ei voi olla rajoitettu välillä [a, b], sillä kun f(x) M, niin g(x) hajaantuu. Siis vastaoletus on väärä, ja funktio f saa arvon M. 20

9 Raja-arvon sovelluksia Analyysi nojaa raja-arvon määritelmään hyvin vankasti ja tässä tutkielmassa esitetääkin muutama äärimmaisen hyödyllinen sovellus, joissa hyödynnetään edellä esitettyä raja-arvon käsitettä. 9.1 Derivaatta Dierentiaali- ja integraalilaskenta ovat ehdottomasti elintärkeitä lukemattomille tieteenaloille ja sovelluksille. Näihin liittyen esitetään nyt derivaatan määritelmä, jota tarvitaan myöhemmin, kun todistetaan L'Hopitalin sääntö. Derivaatta kertoo funktion muutosnopeuden tietyssä kohdassa ja määritelmänsä mukaisesti funktion derivaatan arvo on funktiolle tiettyyn kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin. Määritelmä 10. [3, s. 120] Funktion f(x) sanotaan olevan derivoituva kohdassa x = c, jos raja-arvo f(c + h) f(c) h 0 h on olemassa. Mikäli raja-arvo on olemassa, sitä sanotaan funktion f(x) derivaataksi kohdassa c ja merkitään f (c) Toinen, täysin ekvivalentti määritelmä funktion f(x) derivaatalle kohdassa c on f(x) f(c) x c ɛ δ -määritelmää hyödyntäen voidaan esittää derivaatan määritelmä myös seuraavasti Määritelmä 11. jos ja vain jos siten että f (c) = L ɛ > 0 δ > 0, f(x) f(c) 0 < x c < δ = x c L < ɛ. 21

9.2 Rollen lause [3, s. 199-200] Esitetään ja todistetaan jatkon kannalta oleellinen Rollen lause. Lause 12. Olkoon funktio f derivoituva avoimella välillä (a, b) ja jatkuva suljetulla välillä [a, b]. Jos f(a) ja f(b) saavat molemmat arvon 0, on olemassa ainakin yksi luku c avoimella välillä (a, b) jolle pätee f (c) = 0. Todistus. Mikäli funktio f(x) on vakiofunktio 0 välillä [a, b], on f (c) = 0 kaikilla luvuilla c (a, b). Jos funktio f(x) ei ole vakiofunktio 0 välillä [a, b], saa se joko positiivisia tai negatiivisia arvoja. Oletetaan ensin, että funktio f saa positiivisia arvoja välillä [a, b]. Koska funktio f on jatkuva välillä [a, b], saa se maksimiarvon jossakin kohdassa c välillä [a, b]. Tämän maksimiarvon f(c) täytyy oletuksen mukaan olla positiivinen. Koska f(a) = f(b) = 0, luku c ei voi olla luku a eikä luku b. Siis kohta c sijaitsee avoimella välillä (a, b), jolloin derivaatta f (c) on määritelty. Mikäli olisi f (c) > 0 tai f (c) < 0, täytyisi derivaatan määritelmän perusteella funktion f(x) saada kohdan c läheisyydessä suurempia arvoja, kuin f(c). Täytyy siis olla voimassa, että f (c) = 0. Oletetaan sitten, että funktio f(x) saa negatiivisia arvoja ja edetään vastaavalla tavalla. Koska funktio f on jatkuva välillä [a, b], saa se nyt minimiarvon jossakin kohdassa c välillä [a, b]. Tämän minimiarvon f(c) täytyy oletuksen mukaan olla negatiivinen. Koska f(a) = f(b) = 0, luku c ei voi olla luku a eikä luku b. Siis kohta c sijaitsee avoimella välillä (a, b), jolloin derivaatta f (c) on määritelty. Mikäli olisi f (c) > 0 tai f (c) < 0, täytyisi derivaatan määritelmän perusteella funktion f(x) saada kohdan c läheisyydessä pienempiä arvoja, kuin f(c). Nytkin täytyy siis olla voimassa, että f (c) = 0. Joka tapauksessa väliltä (a, b) löytyy ainakin yksi luku c, jolle f (c) = 0 Usein Rollen lause esitetään seuraavassa, yleisemmässä muodossa. Lause 13. Olkoon funktio f derivoituva avoimella välillä (a, b) ja jatkuva suljetulla välillä [a, b]. Jos f(a) = f(b), on olemassa ainakin yksi luku c välillä (a, b) jolle pätee f (c) = 0. Todistus. Oletetaan, että f(a) = f(b) = k. Olkoon funktio g(x) = f(x) k. Nyt g(a) = f(a) k = k k = 0 ja g(b) = f(b) k = k k = 0. Voidaan soveltaa Rollen lausetta ja todeta, että välillä (a, b) on olemassa luku c, jolle g (c) = f (c) 0 = f (c) = 0. Siis lause pätee. 22

Jälkimmäistä muotoilua käytetään hyväksi myöhemmin. 9.3 Jatkuvien funktioiden väliarvolause [3, s. 197-199] Jatkuvien funktioiden väliarvolause on yksi keskeisimmistä raja-arvon sovelluksista, jonka yksi erikoistapaus on edellä todistettu Rollen lause. Esitetään ja todistetaan väliarvolause. Lause 14. Jos funktio f on derivoituva avoimella välillä (a, b) ja jatkuva suljetulla välillä [a, b], on olemassa ainakin yksi luku c (a, b), jolle tai, ekvivalentisti f (c) = f(b) f(a), b a f(b) f(a) = f (c)(b a). Todistus. Kehitetään funktio g, joka toteuttaa Rollen lauseen ehdot ja jolle pätee f f(b) f(a) (c) =. b a Tällainen funktio on [ f(b) f(a) ] g(x) = f(x) (x a) + f(a). b a Koska funktio f on derivoituva avoimella välillä (a, b) ja jatkuva suljetulla välillä [a, b], myös funktio g on. Koska [ f(b) f(a) ] g(a) =f(a) (a a) + f(a) b a =f(a) f(a) = 0 ja [ f(b) f(a) ] g(b) =f(b) (b a) + f(a) b a =f(b) f(b) + f(a) f(a) = 0 voidaan Rollen lauseen perusteella todeta, että avoimella välillä (a, b) on ainakin yksi luku c siten, että g (c) = 0. Koska g (x) = f (x) 23 f(b) f(a), b a

saadaan Kun g (c) = 0, on voimassa g (c) = f (c) f(b) f(a). b a f (c) = f(b) f(a). b a 9.4 Cauchyn väliarvolause [3, s. 613] Jotta L'Hopitalin sääntö voidaan myöhemmin todistaa, esitetään ensin Cauchyn väliarvolause jatkuville funktioille. Lause 15. Oletetaan, että funktiot f(x) ja g(x) ovat derivoituvia avoimella välillä (a, b) ja jatkuvia suljetulla välillä [a, b]. Jos derivaatta g (x) ei saa arvoa 0 missään välin (a, b) pisteessä, on olemassa luku r välillä (a, b), jolle pätee f (r) g (r) = f(b) f(a) g(b) g(a). Todistus. Todistuksessa hyödynnetään Rollen lausetta funktioon Koska G(x) = [g(b) g(a)][f(x) f(a)] [g(x) g(a)][f(b) f(a)] G(a) = 0 ja G(b) = 0 on Rollen lauseen nojalla avoimella välillä (a, b) olemassa luku r, jolle pätee G (r) = 0. Nyt G (x) = [g(b) g(a)]f (x) g (x)[f(b) f(a)]. Asettamalla x = r, saadaan ja täten [g(b) g(a)]f (r) g (r)[f(b) f(a)] = 0, [g(b) g(a)]f (r) = g (r)[f(b) f(a)]. Koska g (x) ei saa arvoa 0 avoimella välillä (a, b), g (r) 0 ja g(b) g(a) 0. 24

Jälkimmäinen epäyhtälö on voimassa, sillä jos pätisi g(b) g(a) = 0, eli g(b) = g(a), niin Rollen lauseen nojalla välillä (a, b) olisi jokin luku t, jolle g (t) = 0, mikä on ristiriita oletuksen kanssa. Näin ollen edellä mainituilla luvuilla voidaan jakaa, ja saadaan f (r) g (r) = f(b) f(a) g(b) g(a). 9.5 L'Hospitalin sääntö [3, s. 611] L'Hospitalin sääntö on hyödyllinen erikoistilanteissa, joissa tarkastellaan kahden funktion osamäärän raja-arvoja. Usein raja-arvoja tarkasteltaessa törmätään tilanteeseen, jossa raja-arvoa ei voida suoraan päätellä. Tällaisia tilanteita ovat esimerkiksi tapaukset, joissa sekä osoittajana että nimittäjänä oleva funktio lähestyy lukua 0. L'Hospitalin sääntö toimii myös tilanteissa, joissa funktiot kasvavat tai vähenevät rajatta. Tässä osiossa esitetään ja todistetaan L'Hospitalin sääntö edellä mainituissa tilanteissa. 9.5.1 Tapaus 0/0 Jos törmätään tilanteeseen, jossa sekä osoittajana että nimittäjänä oleva funktio lähestyy lukua 0, voidaan soveltaa seuraavaa L'Hospitalin sääntöä Lause 16. Oletetaan, että f(x) 0 ja g(x) 0, kun x c +, x c, x c, x, tai x. Jos f (x) g (x) L, niin f(x) g(x) L Todistus. [3, s. 79-80] Todistetaan L'Hospitalin sääntö tapauksessa, jossa f (x) g (x) L, kun x c. Oletetaan, että x c ja f (x) g (x) L. Todistetaan, että f(x) g(x) L. Koska f (x) g (x) L, kun x c, 25

tiedetään, että molemmat funktiot f (x) ja g(x) ovat määritellyt jollakin puoliavoimella välillä (c h, c]. Tällä välillä on myös voimassa g (x) 0 Asettamalla f(c) = 0 ja g(c) = 0 varmistetaan, että f(x) ja g(x) ovat jatkuvia välillä [c h, c]. Nyt voidaan hyödyntää Cauchyn väliarvolausetta ja todeta, että välillä (c h, c) on olemassa luku c h siten, että f (c h ) g (c h ) = f(c) f(c h) g(c) g(c h) = f(c h) g(c h) Haluttu lopputulos saavutetaan nyt kun h 0. Tällöin yhtälöketjun vasen puoli lähestyy oletuksen mukaan lukua 0, joten myös oikea puoli lähestyy lukua 0. Siis f(x) L. g(x) Tapaus x c + voidaan todistaa samalla tavalla tutkimalla aluksi puoliavointa väliä [c, c + h). Tapaukset x c + ja x c todistavat yhdessä tapauksen x c. Todistetaan vielä L'Hospitalin sääntö tilanteessa x. Todistus. Oletetaan, että Todistetaan, että f (x) x g (x) = L. f(x) x g(x) = L. Merkitään muuttuja x parametrin t avulla seuraavasti x = 1/t. Tällöin f (x) x g (x) = [f(1/t)] [f(t 1 )] t 2 [f (1/t)] = = t 0 + [g(1/t)] t 0 + [g(t 1 )] t 0 + t 2 [g (1/t)] = f (1/t) t 0 + g (1/t) Tässä vaiheessa voidaan soveltaa edellä todistettua L'Hospitalin sääntöä, sillä nyt t 0 + f (1/t) t 0 + g (1/t) = f(1/t) t 0 + g(1/t) = f(x) x g(x) = L. 9.5.2 Tapaus / L'Hospitalin sääntö toimii siis myös tilanteissa, joissa osoittaja ja nimittäjä kasvavat tai vähenevät rajatta. Lause 17. Oletetaan, että f(x) ± ja g(x) ±, 26

kun x c +, x c, x c, x, tai x. Jos f (x) g (x) L, niin f(x) g(x) L Todistus. [4] Todistetaan tapaus, jossa x, sekä f ja g. Olkoon ɛ > 0. Oletuksen mukaan on olemassa reaaliluku m siten, että jos x > m, niin f (x) L < ɛ. g (x) Väliarvolauseen perusteella jos x > m, g(x) g(m). (Muutoin välillä (m, x) olisi jokin luku c, jolle g (c) = 0.) Sovelletaan Cauchyn väliarvolausetta suljetulle välille [m, x] ja saadaan f(x) f(m) g(x) g(m) L < ɛ, kun x > m. Koska funktio f kasvaa rajatta, pätee f(x) f(m), kun luku x on tarpeeksi suuri. Voidaan kirjoittaa Nyt f(x) g(x) = f(x) f(m) g(x) g(m) f(x) f(x) f(m) g(x) g(m). g(x) f(x) f(m) g(x) g(m) f(x) g(x) g(m) f(x) f(m) f(x) f(m) g(x) g(x) g(m) f(x) f(m) f(x) g(x) g(m) 1 g(x) g(m) f(x) f(m) g(x) f(x) g(x) g(m) < ( L + ɛ) 1. f(x) f(m) g(x) Tämä lauseke saadaan pienemmäksi kuin ɛ, kunhan x on riittävän suuri, sillä f(x) g(x) g(m) 1 = 1 1 1 = 0, kun x. f(x) f(m) g(x) On siis todettu, että f(x) f(x) f(m) < ɛ. g(x) g(x) g(m) Yhdistämällä tämä tulos aiemmin todettuun epäyhtälöön f(x) f(m) < g(x) g(m) L ɛ, kun x > m 27

saadaan f(x) g(x) L < 2ɛ. Tämä riittää lauseen todistukseksi, sillä koska luku ɛ on mielivaltaisesti valittu, myös 2ɛ saadaan mielivaltaisen pieneksi. 9.5.3 Esimerkki Esimerkki 5. Määritetään raja-arvo 1 cos x x 0 x 2 hyödyntämällä L'Hospitalin sääntöä. Raja-arvoa ei voida suoraan päätellä, mutta huomataan, että (1 cos x) = 1 1 = 0 ja x 0 x 0 x2 = 0. Voidaan siis hyödyntää L'Hospitalin sääntoä. Derivoidaan osoittaja ja nimittäjä. D(1 cos x) = sin x ja D(x 2 ) = 2x. Raja-arvoa sin x x 0 2x ei voida vieläkään suoraan päätellä, mutta edelleen on voimassa Derivoidaan uudestaan. (sin x) = 0 ja 2x = 0. x 0 x 0 D(sin x) = cos x ja D(2x) = 2. Nyt voidaan L'Hospitalin säännön perusteella todeta, että 1 cos x x 0 x 2 = x 0 sin x 2x = cos x x 0 2 = 1 2. 28

Viitteet [1] H. Korhonen, Matematiikan historian henkilöhahmoja. Lahden Kirjapaino ja Sanomalehti Oy, 1995. [2] L. Myrberg, Dierentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten. Osa 1. Kustannusosakeyhtiö Tammi, 1961. [3] S. Salas, E. Hille and G. Etgen, Calculus: One and several variables 9th ed. John Wiley & Sons, Inc., 2003. [4] Wikipedia, l'hôpital's rule. http : //en.wikipedia.org/wiki/l%27h%c3%b4pital%27s_rule [5] Wikipedia, Limit (mathematics). http : //en.wikipedia.org/wiki/limit ( mathematics) 29