Finanssimaailman ongelmien ratkaiseminen epäsileän optimoinnin keinoin. Markus Harteela Turun yliopisto

Finanssimaailman ongelmien ratkaiseminen epäsileän optimoinnin keinoin Markus Harteela Turun yliopisto huhtikuu 2016

1 Johdanto Tämä työ on kurssin Epäsileä Optimointi harjoitustyö ja se perustuu artikkeliin [1]. Finanssimaailmassa optimointi on kasvanut suureen arvoon, kun markkinoilla olevien erilaisten rahoitusmarkkinainstrumenttien, kuten bondien, osakkeiden ja optioiden määrä on kasvanut huomattavasti. Sijoittavat pyrkivät maksimoimaan omaa tuottoaan samalla minimoiden mahdolliset riskit. Tässä kohtaa tärkeään rooliin nousevat optimointimenetelmät. Usein ratkaistavat ongelmat eivät ole differentioituvia ja sileitä ja tästä syystä tarvitaan epäsileitä optimointimenetelmiä. Myös lähtökohtaisesti sileiden tehtävien ratkaiseminen onnistuu usein parhaiten epäsileillä menetelmillä, joten ne ovat suuressa arvossa finanssimaailman ongelmissa. Tässä työssä esitetään kaksi yleistä esimerkkiongelmaa finanssimaailmasta ratkaisuineen. Ne ovat hyödyn maksimointiongelma, kun on olemassa transaktiokustannuksia ja bondin duraation laskeminen. Nämä tehtävät ratkaistaan epäsileän optimoinnin keinoin. Aloitetaan kuitenkin hyödyllisillä epäsileään optimointiin liittyvillä määritelmillä ja lauseilla, joita tarvitaan myöhemmin tehtävien ratkaisemisessa. 2 Epäsileästä optimoinnista Tässä kappaleessa esitetään muutamia mainittujen tehtävien ratkaisemisen kannalta oleellisia määritelmiä ja niiden ominaisuuksia. Lisäksi esitetään lyhyesti optimisäätöongelma, jota voidaan hyödyntää finanssimaailman ongelmien mallintamisessa matemaattiseen muotoon. Kurssilla tarkasti läpi käydyt asiat esitetään lyhyemmin ja keskitytään asioihin, joihin ei ole kurssilla paneuduttu. 1

2.1 Määritelmiä Määritelmä 2.1 (Lipschitz-jatkuva funktio). funktio f : R n R on Lipschitz-jatkuva joukossa A R n, jos on olemassa K > 0, jolla f(y) f(z) K y z, y, z A. Määritellään seuraavaksi Clarken alidifferentiaali hieman eri tavalla kuin kurssilla. Määritelmä on kuitenkin yhtäpitävä kurssilla esitetyn kanssa, mikä ilmenee kurssikirjassa olevasta lauseesta. Määritelmä 2.2 (Clarken alidifferentiaali). Olkoon A R n avoin joukko ja piste x A. Lipschitz-jatkuvan funktion f : A R alidifferentiaali pisteessä x on f(x ) = conv{ξ R n jono x i x s.e. f on differentioituva jokaisessa pisteessä x i ja f(x i ) ξ}, missä conv{} on joukon konveksi peite. Ominaisuuksia 2.3. Olkoon funktiot f, g : A R, missä A R n ja piste x Int{A}. Tällöin seuraavat ominaisuudet ovat voimassa: (i) (ii) (iii) (iv) (v) Jos f on jatkuvasti differentioituva pisteen x ympäristössä, niin f(x) = { f(x)}. Välttämätön ehto sille, että piste x minimoi funktion f joukossa A on, että 0 f(x). Jos f on konveksi, niin ehto on myös riittävä. Funktioiden summalle pätee (f + g)(x) f(x) + g(x). Jos g on jatkuvasti differentioituva pisteen x ympäristössä, niin (f + g)(x) = f(x) + { g(x)}. Positiivinen homogeenisuus: (αf)(x) = α f(x). max{f, g}(x) {λη + (1 λ)ξ λ [0, 1], ξ f(x) ja η g(x)}. 2.2 Optimisäätöongelma Useita ongelmia pystyy matemaattisesti mallintamaan optimisäätöongelmien avulla. Seuraavassa on esiteltynä yksi muotoilu tällaisesta optimisäätöongel- 2

masta. Minimize g(x(t )) s.e. ẋ = f(x(t), u(t)), t [0, T ], u(t) U, t [0, T, ] x(0) = x 0 yli Lebesgue-mitallisen funktion u : [0, T ] R m ja absoluuttisesti jatkuvan funktion x : [0, T ] R n. Tehtävässä x 0 on n-ulotteinen alkuarvovektori, U R m ja funktiot g : R n R ja f : R n R m R n. Funktiosta u puhutaan kontrollimuuttujana ja funktiosta x tilamuuttujana. Muuttamalla kontrollimuuttujan arvoa pystytään siis vaikuttamaan tilamuuttujan arvoon. Seuraavaksi esitetään todistuksetta lause, joka perustuu Pontryaginin maksimiperiaatteeseen. Sen avulla saadaan ratkaistua optimisäätötehtävä, jossa päätepiste hetkellä t = T on vapaa. Lauseessa käytetään ns. Hamiltonin funktiota H(x, p, u) = p f(x, u), jonka Clarken alidifferentiaalia muuttujan x suhteen merkitään x H(x, p, u). Lauseessa käytetty merkintä B(x; ɛ) viittaa palloon, jonka keskipiste on x ja säde ɛ. Lause 2.4. Olkoon (u, x ) kontrolli-/tilamuuttujapari, joka toteuttaa edellä mainitun optimisäätötehtävän rajoitteet. Oletetaan, että on olemassa ɛ > 0, jolle on voimassa: (H1) (H2) (H3) funktio f on jatkuva ja K > 0 s.e. f(x, u) f(y, u) K x y, x, y B(x (t); ɛ), u U; funtio g on Lipschitz-jatkuva joukossa B(x (T ); ɛ); U on Borel-mitallinen joukko. Tällöin välttämätön ehto sille, että (u, x ) on optimi, on että on olemassa jatkuva funktio p : [0, T ] R n, joka toteuttaa seuraavat rajoitteet: (a) ṗ(t) = x H(x (t), p(t), u (t)), t [0, T ], (b) p(t ) = g(x (T )), (c) H(x (t), p(t), u (t)) H(x (t), p(t), u(t)) u U. Jos lisäksi f on affiini funktio, g on konveksi funktio ja U on konveksi joukko, niin tämä on myös riittävä ehto optimaalisuudelle. 3

3 Finanssimaailman tehtävät Tässä kappaleessa esitellään ja ratkaistaan kaksi yleistä esimerkkiä finanssimaailmasta. Aloitetaan hyödyn maksimoinnista, kun mukana on transaktiokustannuksia ja sen jälkeen keskitytään bondin duraation laskemiseen. 3.1 Hyödyn maksimointi transaktiokustannusten läsnä ollessa 3.1.1 Tehtävän muodostaminen Hyödyn maksimointi tehtävässä pyritään ratkaisemaan, millaisessa muodossa omaisuutta kannattaisi ajan kuluessa pitää, jotta sen arvo olisi utiliteettimielessä lopussa mahdollisimman suuri. Tällaisia muotoja ovat esimerkiksi bondit, osakkeet ja optiot. Keskitytään tarkemmin tämän tehtävän erikoistapaukseen, jossa on mukana vain osakeindeksejä ja bondeja. Bondeista saatava tuotto on tiedossa jo etukäteen ja ne on helppo lunastaa käteiseksi. Jos taas osakindeksejä pyrkii muuttamaan nopeasti rahaksi, ei niistä välttämättä saa täyttä hintaa. Tämän vuoksi keskitytään tehtävään, jossa optimoidaan portfolion arvoa muuttettuna käteiseksi rahaksi. Tällaisen tehtävän ratkaisemiseen tarvitaan epäsileää optimisäätöteoriaa. Muodostaaksemme ongelmasta optimisäätötehtävän merkitään tehtävässä tarvittavia parametreja seuraavasti: T jakson kesto, r riskitön korkotaso, α välittäjän suhteellinen palkkio, 0 α 1, β välittäjän provisiopalkkio hetkellä t = T, 0 β 1, µ osakeindeksin kasvuvauhti x 0 rahamäärä sijoitettuna bondeihin hetkellä t = 0, y 0 osakeindeksien lukumäärä hetkellä t = 0 M osuus, jonka enintään voi myydä tai ostaa osakeindeksejä vuodessa S 0 osakeindeksin hinta hetkellä t = 0. 4

Oletetaan, että µ > r. Osakeindeksin hinta hetkellä t on S(t) = e µt S 0. Merkitään kontrollimuuttujilla 0 u(t) M ja 0 v(t) M osakeindeksien myyntitahtia hetkellä t. Tällöin bondin määrä x(t) ja osakeindeksien määrä y(t) kehittyvät seuraavien differentiaaliyhtälöiden mukaisesti: ẋ = rx (1 + α)s(t)u + (1 α)s(t)v, x(0) = x 0, ẏ = u v, y(0) = y 0. Mallissa hyväksytään myös lyhyeksi myyminen, joten y voi olla myös negatiivinen. Nyt maksimoitavana oleva käteisvarallisuus hetkellä T on w(t ) = x(t ) + y(t ) S(T ) β y(t ) S(T ), missä viimeinen termi β y(t ) S(T ) on välittäjän ottama palkkio hetkellä T. 3.1.2 Tehtävän ratkaiseminen Ratkaisuksi hyödyn maksimointi tehtävästä tulee ns. Bang Bang -kontrolli, jossa tiettyyn ajanhetkeen t B (η) saakka ostetaan osakeindeksejä niin paljon kuin mahdollista ja tietyn ajanhetken t S (η) jälkeen taas myydään niitä maksiminopeudella. Tähän ratkaisuun johtaa suoraan seuraava lause. Lause 3.1. Hyödyn maksimointitehtävällä on lähes kaikkialla yksikäsitteinen ratkaisu u (t), v (t), 0 t T, joka on muotoa (u (t), v (t)) = (M, 0), jos 0 t < t B (η ), (u (t), v (t)) = (0, 0), jos t B (η ) t < t S (η ), (u (t), v (t)) = (0, M), jos t S (η ) t < T, missä 0, jos t 1 (η) < 0, t B (η) = t 1 (η), jos 0 t 1 (η) T, T, jos T < t 1 (η) 5

ja 0, jos t 2 (η) < 0, t S (η) = t 2 (η), jos 0 t 2 (η) T, T, jos T < t 2 (η). Näissä kaavoissa arvot t 1 (η) ja t 2 (η) saadaan skalaarin η, 1 η 1 funktioina seuraavasti: t 1 (η) := T 1 ( ) 1 + α µ r ln, 1 βη t 2 (η) := T 1 ( ) 1 α µ r ln. 1 βη Todistus. Muotoillaan optimaalisen sijoittamisen ongelma seuraavasti: missä Minimize g(x(t ), y(t )) s.e. ẋ(t) = f 1 (t, x(t), y(t)), ẏ(t) = f 2 (t, x(t), y(t)), (x(0), y(0)) = (x 0, y 0 ), (u(t), v(t)) Ω, g(x, y) = x + y S(T ) β y S(T ), f 1 (t, x, y) = r x (1 + α) S(t) u + (1 α) S(t) v, f 2 (t, x, y) = u v, Ω = {(u, v) 0 u M, 0 v M}. Tässä tapauksessa löytyy sellaiset kontrollit u ja v, jotka minimoivat kohdefunktion arvon. Tämän on seurausta siitä, että joukko Ω on neliö ja siis selvästikin suljettu ja konveksi. Lisäksi ns. dynaamiset funktiot f 1 ja f 2 ovat muuttujien x, y, u ja v suhteen lineaarisia. Lisäksi tarvitaan, että alkupiste (x 0, y 0 on kiinnitetty ja kustannukset hetkellä t = T ovat konveksi funktio muuttujista x ja y. Myös nämä ehdot ovat selvästi voimassa. Todistus kuitenkin sivuutetaan. 6

Myös välttämättömien ja riittävien ehtojen selvittämiseen käytettävän maksimiperiaatteen(lauseen 2.4 yleistys) ehdot ovat voimassa, joten sitä voidaan hyödyntää. Periaatteesta seuraa, että on olemassa jatkuvat funktiot p(t) ja q(t), joilla seuraavat ehdot toteutuvat välillä 0 t T : missä (a) ṗ(t) = r p(t), (b) q(t) = 0, (c) (p(t ), q(t )) g(x (T ), y (T )), (d) H(t, x (T ), y (T ), u (T ), v (T )) = max H(t, u,v x (T ), y (T ), u, v)), H(t, x, y, u, v) = p (r x (1 + α) S(t) u + (1 α) S(t) v) + q (u v). Ehto (c) voidaan uudelleenkirjoittaa muodossa p(t ) = 1, q(t ) = S(T ) ( 1 + η β), missä +1, jos y (T ) > 0, η = 1, jos y (T ) < 0. Ehdosta (a) saadaan puolestaan helposti integroimalla, että p(t) = e r (T t). Ehdon (d) avulla puolestaan saadaan funktioille u ja v seuraavat muodot: M, jos ( 1 + α) + m(t) > 0, u = (1) 0, jos ( 1 + α) + m(t) < 0, missä M, jos ( 1 + α) m(t) > 0, v = 0, jos ( 1 + α) m(t) < 0, m(t) = q(t) p(t) S(t) = (1 η β) e(µ r) (T t). (2) 7

Integroimalla saadaan myös laskettua osakeindeksien määrä hetkellä T : y(t ) = y 0 + T 0 (u v )dt = y 0 + m (t B (η) (T t S (η))) = y 0 M h(η), missä h(η) := T t S (η) t B (η). Funktio h on kasvava funktio, joten tiedetään, että h( 1) < h(1). Tästä syystä jokin seuraavista kolmesta ehdosta on voimassa: (C1) (C2) (C3) y 0 > M h(1). Tällöin (u, v ) toteuttaa maksimiperiaatteen ehdot, jos ja vain, jos se toteuttaa yhtälöt (1) ja (2), kun η = 1. M h( 1) y 0 M h(1). Tällöin (u, v ) toteuttaa maksimiperiaatteen ehdot, jos ja vain, jos se toteuttaa yhtälöt (1) ja (2), jollain η [ 1, 1], jolla y 0 = h(η). y 0 < M h( 1). Tällöin (u, v ) toteuttaa maksimiperiaatteen ehdot, jos ja vain, jos se toteuttaa yhtälöt (1) ja (2), kun η = 1. Koska nyt yhtälöt (1) ja (2) toteuttava strategia u, v toteuttaa riittävät ja välttämättömät ehdot optimaalisuudelle jokaisessa tapauksessa ((C1) (C3)) ja optimaalinen strategia on myös varmasti olemassa, on strategia (u, v ) optimaalinen strategia. Koska funktio h on monotoninen, on olemassa vain yksi η [ 1, 1], joka toteuttaa jonkun seuraavista: y 0 < h( 1) ja η = 1 y 0 = h(η ) y 0 > h(1) ja η = 1. tai tai Lisäksi funktioiden u ja v arvot määrittyvät suoraan parametrin η arvosta, joten ratkaisu (u, v ) on myös yksikäsitteinen. 8

3.2 Bondin duraation laskeminen 3.2.1 Yleistä duraatiosta Merkitään termiinikorkoa funktiolla f(t). Se kuvaa sitä, kuinka suuri korko on hetkellä t, jos sopimus tehdään tällä hetkellä (t = 0). Tässä tehtävässä tutkitaan bondia eli joukkovelkakirjalainaa, joka maksaa haltijalleen summan c(t i ) ajanhetkinä t i, i = 1, 2,..., N. Bondin maturiteetti t N on hetki, jolloin sopimus päättyy. Bondin arvo, eli hinta hetkellä 0, on maksujen yhteenlaskettu nykyarvo, eli maksut on diskontattu hetkeen t = 0: V (f( )) = N i=1 c(t i ) e t i 0 f(s)ds (3) Kun korkotasoon tulee vakion suuruinen muutos bondin maturiteetin ajaksi, kuvataan bondin hinnan suhteellista muutosta usein ns Macaulayn duraation avulla. Se saadaan kaavasta D M = [1/V (f( ))] ( ) d V (f( ) + r) r=0. dr Macaulayn duraation avulla saadaan approksimaatio bondin hinnan muutokselle korkotason muuttuessa: V (f( ) + r) V (f( )) (1 D M r). Kaavan (3) avulla Macaulayn duraatiolle saadaan laskukaava D M = N w i t i, (4) i=1 missä w i = N j=1 c(t i) exp{ t i 0 f(s)ds} c(t j ) exp{ t j 0 f(s)ds} (5) Macaulayn duraatiossa on se ongelma, että se olettaa pitkän ja lyhyen termiinikoron muutoksen olevan samansuuntaisia ja kokoisia. Tästä syystä siirrytään käyttämään ns. approksimoitua duraatiota. 9

3.2.2 Bondin duraation approksimointi Approksimoidun duraation menetelmässä bondin hintaa approksimoidaan ns. nollakuponkibondin bondin hinnalla V 0 (f( )). Nollakuponkibondi maksaa ainoastaan yhden maksun, ns. Face valuen, ja se tekee sen maturiteetin kohdalla hetkellä t = t N. Nollakuponkibondin hinta saadaan kaavasta V 0 (f( )) = c 0 e D 0 f(s)ds, (6) missä parametrit c 0, joka on face value ja D, joka on maturiteetti on valittu sopivasti. Lopulta alkuperäisen bondin duraatioksi tulee myös D. Jotta approksimaation kanssa vältyttäisiin samoilta ongelmilta kuin Macaulayn duraatiossa, pitää koron muutoksia kuvata funktioiden avulla. Otetaan mukaan kaikki sopivat funktiot, jotka pysyvät itseisarvoltaan pienempänä kuin 1: G = {g( ) : [0, ) R g( ) mitallinen ja g(t) 1 melkein kaikilla t}. Määritellään vielä annetulle funktiolle f( ) ja mielivaltaiselle funktiolle g( ) suuntaderivaatat ja DV 0 (f( ); g( )) vastaavasti. DV (f( ); g( )) := d dr V (f( ) + r g( )) r=0 On mahdotonta löytää sellaiset parametrit c 0 ja D, joilla saataisiin toteutumaan V (f( )) = V 0 (f( )) ja DV (f( ); g( )) = DV 0 (f( ); g( )) kaikilla g( ) G. Tästä syystä tyydytään etsimään parametrit, joilla minimoituu suurin ero verrattuna joukon G funktioihin. Määritelmä 3.2. D approx on bondin approksimoitu duraatio, jos jollekin parametrille c 0 pari (c 0, D approx ) minimoi lausekkeen max DV (f( ); g( )) DV 0(f( ); g( )) g( ) G yli kaikkien (c 0, D), jotka toteuttavat ehdon V (f( )) = V 0 (f( )) Seuraavana esitettävä lause kuvaa approksimoitua duraatiota käytännössä. 10

Lause 3.3. Olkoot w 1, w 2,..., w N määritelty kuten kaavassa (5). Oletetaan, että on olemassa kokonaisluku i 0 {1, 2,..., N}, joka toteuttaa ehdot w i < w i ja w i > w i. (7) i<i 0 i i 0 i i 0 i>i 0 Silloin approksimoitu duraatio on yksikäsitteinen ja D approx = t i0. Muulloin on olemassa kokonaisluku i 0 {1, 2,..., N 1}, joka toteuttaa ehdon w i = w i (8) i i 0 i>i 0 Tällöin approksimoitu duraatio ei ole yksikäsitteinen. Approksimoitujen duraatioiden joukon alkiot toteuttavat tällöin ehdon t i0 D approx t i0 +1. Todistus. Merkitään 1, jos s [a, b], χ [a,b] (s) = 0, muulloin, 1, jos s > 0, sign(s) = 1, jos s 0. Nyt mille tahansa ei-negatiivisille luvuille c 0 ja D, joille V (f) = V 0 (f), saadaan helposti muodostettua kaava ( N ) DV (f; g) DV 0 (f; g) = V (f) w i χ [0,ti ](s) χ [0,D] (s) g(s)ds, 0 i=1 kun g( ) G. Yhtälön oikea puoli selvästi maksimoituu joukossa g( ) G, kun ( N ) g( ) = sign w i χ [0,ti ](u) χ [0,D] (u), i=1 11

jolloin saadaan max DV (f( ); g( )) DV 0(f( ); g( )) = V (f) H(D), (9) g( ) G missä H(D) := 0 N w i χ [0,ti ](s) χ [0,D] (s) ds. i=1 Mille tahansa ei-negatiiviselle duraatiolle D on olemassa c 0 0, jolla V (f) = V 0 (f). Lisäksi kaavan (9) oikea puoli on riippumaton face valuesta c 0 ja V (F ) on riippumaton sekä face valuesta c 0 että duraatiosta D. Päädytään tulokseen, että D on approksimoitu duraatio, jos ja vain jos se maksimoi funktion H(D) välillä [1, ). Laskemalla saadaan, että H(D) = D 0 w i χ [0,ti ](s) 1 ds + D w i χ [0,ti ](s) ds i i = ( D 1 ) w 0 i χ [0,ti ](s) ds + w D i χ [0,ti ](s)ds i i = D D w i χ [0,ti ](s)ds + T w i χ [0,ti ](s)ds i 0 i D = D w i min(d, t i ) + w i max(t i D, 0) i i = i = i w i [D min(d, t i ) + max(t i D, 0)] w i D t i. Selvästikään D approx ei ole nolla, koska aikapisteet t i ovat positiivisia. Koska H on jatkuva, alhaalta rajoitettu ja sen raja-arvo äärettömyydessä on ääretön, se saavuttaa miniminsä joukossa [0, ). Koska H on myös konveksi eikä saavuta minimiään pisteessä D = 0, ominaisuuksien (2.3) kohdan (ii) perusteella D minimoi funktion H, jos ja vain jos 0 H(D ). (10) Nyt helposti nähdään, että H(D ) = w i w i ( 1) + w i0 [ 1, 1], jos D = i 0, jollekin i 0, i<i 0 i>i 0 H(D ) = w i w i, jos t i0 < D < t i0 +1. i<i 0 i>i 0 12

Jos on olemassa sellainen i 0, että ehto (7) on voimassa, seuraa optimaalisuusehdosta (10), että D = i 0. Jos taas on olemassa sellainen i 0, että ehto(8) on voimassa, pitää selvästi olla i 0 < N. Silloin optimaalisuusehto (10) on voimassa tarkalleen silloin, kun t i0 D t i0 +1, juuri niin kuin lauseessa väitetään. Kirjallisuutta [1] R. B. Vinter, H. Zheng Some Finance Problems Solved with Nonsmooth Optimization Techniques. Journal of optimization theory and applications; Vol 119, No. 1, pp 1-18, October 2003. 13