Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I

Ilkka Mellin II

Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on luoda perusta yliopistoissa annettavalle tilastotieteen opetukselle. Tämä on monisteen 1. korjattu painos, jossa olen pyrkinyt poistamaan monisteen β-versiossa ja 1. painoksessa olleet paino- ym. virheet. Olen myös monin paikoin pyrkinyt parantamaan aikaisempien versioiden kieltä. Lisäksi olen tehnyt joitakin tarpeellisiksi katsomiani lisäyksiä ja täydennyksiä. Moniste perustuu Teknillisessä korkeakoulussa pitämiini sovelletun todennäköisyyslaskennan kurssien luentoihin, mikä tietysti lyö leimansa käsiteltävän materiaalin valintaan. Moniste voinee kuitenkin toimia oheismateriaalina monenlaisilla yliopistoissa pidettäville todennäköisyyslaskennan ja (matemaattisen) tilastotieteen kursseilla. Moniste jakautuu kolmeen osaan: Osassa 1 tarkastellaan todennäköisyyden perusominaisuuksia ja laskusääntöjä sekä esitetään Kolmogorovin aksioomat todennäköisyydelle. Osassa 2 käsitellään satunnaismuuttujia ja niiden jakaumia. Osassa 3 esitellään tärkeimmät todennäköisyysjakaumat ja niiden ominaisuudet. Lisäksi monisteessa on kaksi liitettä: Liite 1 käsittelee (naiivia) joukko-oppia ja liite 2 käsittelee verkkoja ja todennäköisyyslaskentaa. Se, että käsillä oleva moniste on tarkoitettu perustutkintotasolle, näkyy siinä, että monisteessa ei varsinaisesti käytetä mittateoreettista lähestymistapaa, vaikka osassa 1 käsitelläänkin Kolmogorovin aksioomia. Lisäksi jotkut vaikeimmista tuloksista on jätetty perustelematta. Eräänä tavoitteenani yliopisto-opettajana on ollut tuottaa verkkoon sellaista todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen oppimateriaalia, mikä mahdollistaa itseopiskelun. Lukija saattaa ihmetellä, miksi tässä monisteessa on tavoitteeseeni nähden vähän esimerkkimateriaalia. Perustelunani tälle on se, että tätä monistetta täydentävät verkossa erikseen julkaistut esimerkki- ja harjoitustehtäväkokoelmat ratkaisuineen. Todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä opettavien kannattaa huomata se, että monisteen materiaaliin liittyvät luentokalvot ovat saatavilla verkossa. Käsillä olevaan todennäköisyyslaskennan monisteeseen liittyy kiinteästi opetusmoniste Tilastolliset menetelmät sekä kaava- ja taulukkokokoelmat Todennäköisyyslaskenta: Kaavat Tilastolliset menetelmät: Kaavat Tilastolliset taulukot Myös tämä materiaali on saatavilla verkossa. Elokuussa 2008 Ilkka Mellin Ilkka Mellin III

Ilkka Mellin IV

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyys ja sen laskusäännöt 1. Johdanto 2. Joukko-opin peruskäsitteet 3. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet 4. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt 5. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka 6. Todennäköisyyden aksioomat 7. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat 8. Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat 9. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat 10. Kertymäfunktio 11. Jakaumien tunnusluvut 12. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat 13. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio 14. Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat 15. Stokastiikan konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet Todennäköisyysjakaumia 16. Diskreettejä jakaumia 17. Jatkuvia jakaumia 18. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 19. Moniulotteisia jakaumia Liitteet L1. Joukko-oppi L2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Ilkka Mellin V

Sisällys Todennäköisyys ja sen laskusäännöt 1 1. JOHDANTO 7 1.1. DETERMINISTISYYS JA SATUNNAISUUS 8 DETERMINISTISYYS 8 SATUNNAISUUS 8 1.2. SATUNNAISKOKEET JA KOETOISTOT 9 1.3. SATUNNAISUUS JA TILASTOLLINEN STABILITEETTI 9 TILASTOTIEDE, TILASTOLLINEN STABILITEETTI JA REILUT PELIT 10 1.4. TILASTOLLINEN TUTKIMUS PELINÄ LUONTOA VASTAAN 11 1.5. TODENNÄKÖISYYDEN MÄÄRITTELEMINEN 12 KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS 13 ONGELMAT KLASSISEN TODENNÄKÖISYYDEN MÄÄRITELMÄSSÄ 13 KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS JA TODENNÄKÖISYYDEN FREKVENSSITULKINTA 13 EMPIIRINEN TODENNÄKÖISYYS 15 ONGELMAT EMPIIRISEN TODENNÄKÖISYYDEN MÄÄRITELMÄSSÄ 16 EMPIIRINEN TODENNÄKÖISYYS JA TODENNÄKÖISYYDEN FREKVENSSITULKINTA 16 TODENNÄKÖISYYS MITTANA 17 ONGELMAT TODENNÄKÖISYYDEN NAIIVISSA MÄÄRITELMÄSSÄ MITTANA 17 KOLMOGOROVIN AKSIOOMAT TODENNÄKÖISYYDELLE 17 1.6. SATUNNAISILMIÖT JA NIIDEN TILASTOLLISET MALLIT 17 2. JOUKKO-OPIN PERUSKÄSITTEET 19 2.1. JOUKKO JA SEN ALKIOT 20 2.2. VENN-DIAGRAMMIT 21 2.3. OSAJOUKKO 21 2.4. TYHJÄ JOUKKO 22 2.5. JOUKKO-OPIN PERUSOPERAATIOT 22 KOMPLEMENTTIJOUKKO 22 YHDISTE 22 LEIKKAUS 23 PISTEVIERAAT JOUKOT 23 EROTUS 24 3. TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSKÄSITTEET 25 3.1. SATUNNAISILMIÖT 26 3.2. TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSKÄSITTEET 26 3.3. TODENNÄKÖISYYS JA SEN PERUSOMINAISUUDET 28 TODENNÄKÖISYYDEN PERUSOMINAISUUDET 28 TODENNÄKÖISYYKSIEN VERTAILU 29 TODENNÄKÖISYYKSIEN VERTAILU JA TODENNÄKÖISYYDEN FREKVENSSITULKINTA 29 3.4. KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS 29 SYMMETRISET ALKEISTAPAHTUMAT 29 ALKEISTAPAHTUMIEN SYMMETRIA JA UHKAPELIT 29 LUKUMÄÄRÄFUNKTIO 30 KLASSISEN TODENNÄKÖISYYDEN MÄÄRITELMÄ 30 3.5. EMPIIRINEN TODENNÄKÖISYYS 31 3.6. TODENNÄKÖISYYS MITTANA 32 3.7. TODENNÄKÖISYYDEN FREKVENSSITULKINTA 32 Ilkka Mellin VI

4. TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSLASKUSÄÄNNÖT 33 4.1. TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSOPERAATIOT JA -LASKUSÄÄNNÖT 34 4.2. TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSOPERAATIOT 34 VENN-DIAGRAMMIT 34 TAPAHTUMAN A KOMPLEMENTTI 35 TAPAHTUMIEN A JA B YHDISTE 35 TAPAHTUMIEN A JA B LEIKKAUS 36 TAPAHTUMIEN A JA B EROTUS 36 4.3. TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSLASKUSÄÄNNÖT 36 KOMPLEMENTTITAPAHTUMAN TODENNÄKÖISYYS 38 TOISENSA POISSULKEVAT TAPAHTUMAT 38 YHTEENLASKUSÄÄNTÖ TOISENSA POISSULKEVILLE TAPAHTUMILLE 39 YLEISTETTY YHTEENLASKUSÄÄNTÖ TOISENSA POISSULKEVILLE TAPAHTUMILLE 39 TAPAHTUMIEN RIIPPUMATTOMUUS 39 RIIPPUMATTOMUUS VS RIIPPUVUUS 40 TULOSÄÄNTÖ RIIPPUMATTOMILLE TAPAHTUMILLE 40 YLEISTETTY TULOSÄÄNTÖ RIIPPUMATTOMILLE TAPAHTUMILLE 42 YLEINEN YHTEENLASKUSÄÄNTÖ 43 EROTUSTAPAHTUMAN TODENNÄKÖISYYS 44 TAPAHTUMASTA B SEURAA TAPAHTUMA A 44 EROTUSTAPAHTUMAN TODENNÄKÖISYYS, JOS TAPAHTUMASTA B SEURAA TAPAHTUMA A 45 YHDISTEEN TODENNÄKÖISYYS 45 4.4. EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS JA RIIPPUMATTOMUUS 45 EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS 45 RIIPPUMATTOMUUS 48 YLEINEN TULOSÄÄNTÖ 50 YKSINKERTAINEN SATUNNAISOTANTA JA TULOSÄÄNNÖT 51 5. KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS JA KOMBINATORIIKKA 52 5.1. KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS 53 5.2. KOMBINATORIIKAN PERUSPERIAATTEET 53 5.3. KOMBINATORIIKAN PERUSONGELMAT 55 JOUKKO 55 JONO 55 5.4. KOMBINATORIIKAN PERUSONGELMIEN RATKAISEMINEN 56 PERMUTAATIO 56 N-KERTOMA 58 VARIAATIO 58 KOMBINAATIO 59 PERMUTAATIOT, VARIAATIOT, KOMBINAATIOT 60 PASCALIN KOLMIO 62 PASCALIN KOLMIO JA BINOMIKERTOIMET 62 BINOMIKAAVA 63 ÄÄRELLISEN JOUKON OSAJOUKKOJEN LUKUMÄÄRÄ 65 ESIMERKKEJÄ LUKUMÄÄRIEN LASKEMISESTA 65 5.5. MULTINOMIKERROIN 67 6. TODENNÄKÖISYYDEN AKSIOOMAT 69 6.1. TODENNÄKÖISYYS ÄÄRELLISISSÄ OTOSAVARUUKSISSA 70 BOOLEN ALGEBRAT 70 TODENNÄKÖISYYDEN AKSIOOMAT ÄÄRELLISISSÄ OTOSAVARUUKSISSA 72 ALKEISTODENNÄKÖISYYSLASKENNAN LASKUSÄÄNTÖJEN TODISTAMINEN 73 ÄÄRELLINEN TODENNÄKÖISYYSKENTTÄ 76 RIIPPUMATTOMUUS JA RIIPPUMATTOMIEN TAPAHTUMIEN TULOSÄÄNTÖ 76 Ilkka Mellin VII

6.2. KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS, SUHTEELLINEN FREKVENSSI JA EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS TODENNÄKÖISYYKSINÄ 76 KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS TODENNÄKÖISYYTENÄ 76 SUHTEELLINEN FREKVENSSI TODENNÄKÖISYYTENÄ 78 EMPIIRINEN TODENNÄKÖISYYS 79 TODENNÄKÖISYYDEN FREKVENSSITULKINTA 79 EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS TODENNÄKÖISYYTENÄ 80 6.3. TODENNÄKÖISYYS MIELIVALTAISISSA OTOSAVARUUKSISSA 81 σ-algebrat 81 KOLMOGOROVIN AKSIOOMAT 83 TODENNÄKÖISYYSKENTTÄ 84 MITALLISET JA EPÄMITALLISET JOUKOT 84 KOLMOGOROVIN AKSIOOMIEN SEURAUKSIA 85 7. KOKONAISTODENNÄKÖISYYDEN JA BAYESIN KAAVAT 90 7.1. JOHDATTELEVA ESIMERKKI 91 7.2. OSITUKSET 93 7.3. KOKONAISTODENNÄKÖISYYDEN KAAVA 93 7.4. BAYESIN KAAVA 95 7.5. KOKONAISTODENNÄKÖISYYDEN KAAVAN JA BAYESIN KAAVAN SYSTEEMITEOREETTINEN TULKINTA 96 8. VERKOT JA TODENNÄKÖISYYSLASKENTA 98 8.1. JOHDATTELEVA ESIMERKKI 99 8.2. PUUDIAGRAMMIT JA TODENNÄKÖISYYSLASKENTA 100 VERKOT 100 PUUT 101 PUIDEN KONSTRUOINTI 101 PUUTODENNÄKÖISYYDET 102 TULOSÄÄNTÖ PUUTODENNÄKÖISYYKSILLE 102 YHTEENLASKUSÄÄNTÖ PUUTODENNÄKÖISYYKSILLE 103 PÄÄTÖSPUUT: ESIMERKKI 104 8.3. TOIMINTAVERKOT JA NIIDEN TOIMINTATODENNÄKÖISYYDET 106 TOIMINTAVERKOT 106 SARJAAN KYTKENNÄN TOIMINTATODENNÄKÖISYYS 107 RINNANKYTKENNÄN TOIMINTATODENNÄKÖISYYS 107 SOVELLUS 108 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat 109 9. SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT 117 9.1. SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT: JOHDATTELEVIA ESIMERKKEJÄ 118 9.2. SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT: MÄÄRITELMÄT 122 SATUNNAISMUUTTUJA 122 TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA 122 TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT TILASTOLLISINA MALLEINA 123 SATUNNAISMUUTTUJIEN TYYPPEJÄ 123 9.3. DISKREETIT SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT 124 JOHDATTELEVA ESIMERKKI 124 DISKREETTI SATUNNAISMUUUTTUJA 126 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 127 DISKREETTI TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA 128 PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTION KUVAAJA 128 Ilkka Mellin VIII

DISKREETTI TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 129 TODENNÄKÖISYYKSIEN VERTAILU 130 DISKREETTIEN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN PARAMETROINTI 130 HAVAINNOLLISTUS: GEOMETRINEN JAKAUMA 130 DISKREETTEJÄ TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA 134 9.4. JATKUVAT SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT 135 JOHDATTELEVA ESIMERKKI 135 JATKUVA SATUNNAISMUUTTUJA 136 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN TIHEYSFUNKTIO 137 TIHEYSFUNKTION KUVAAJA 137 JATKUVA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 137 TODENNÄKÖISYYKSIEN VERTAILU 139 JATKUVIEN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN PARAMETROINTI 139 HAVAINNOLLISTUS: EKSPONENTTIJAKAUMA 140 JATKUVIA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA 142 9.5. DISKREETIT JAKAUMAT VS JATKUVAT JAKAUMAT 143 10. KERTYMÄFUNKTIO 144 10.1. KERTYMÄFUNKTIO JA SEN OMINAISUUDET 145 10.2. DISKREETIN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 148 DISKREETIN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTION JA KERTYMÄFUNKTION YHTEYS 149 DISKREETIN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTION KUVAAJA 149 DISKREETTI JAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 149 DISKREETIN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO JA KERTYMÄFUNKTIO: HAVAINNOLLISTUS 149 10.3. JATKUVAN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 151 JATKUVAN JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION JA KERTYMÄFUNKTION YHTEYS 152 JATKUVAN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTION KUVAAJA 152 JATKUVA JAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 152 JATKUVAN JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO JA KERTYMÄFUNKTIO: HAVAINNOLLISTUS 152 11. JAKAUMIEN TUNNUSLUVUT 154 11.1. ODOTUSARVO 155 JOHDATTELEVA ESIMERKKI 155 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN ODOTUSARVO 157 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN ODOTUSARVO 158 11.2. ODOTUSARVON OMINAISUUDET 161 ODOTUSARVON OLEMASSAOLO 161 ODOTUSARVO TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAN TODENNÄKÖISYYSMASSAN PAINOPISTEENÄ 161 VAKION ODOTUSARVO 161 LINEAARIMUUNNOKSEN ODOTUSARVO 161 ODOTUSARVON TULKINTA JAKAUMAN SIJAINTIPARAMETRINA 162 SUMMAN JA EROTUKSEN ODOTUSARVOT 164 LINEAARIKOMBINAATION ODOTUSARVO 164 11.3. YLEINEN ODOTUSARVO 164 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN FUNKTION ODOTUSARVO 164 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN FUNKTION ODOTUSARVO 165 11.4. VARIANSSI JA STANDARDIPOIKKEAMA 165 VARIANSSI 165 VARIANSSIN VAIHTOEHTOINEN LASKUKAAVA 165 STANDARDIPOIKKEAMA 166 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN DIMENSIOT 166 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN TULKINTA 166 Ilkka Mellin IX

DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN VARIANSSI 167 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN VARIANSSI 169 11.5. VARIANSSIN OMINAISUUDET 169 VARIANSSIN OLEMASSAOLO 169 VAKION VARIANSSI 170 LINEAARIMUUNNOKSEN VARIANSSI 170 STANDARDOINTI 171 SUMMAN JA EROTUKSEN VARIANSSI 171 LINEAARIKOMBINAATION VARIANSSI 172 EMPIIRISEN JAKAUMAN ODOTUSARVO JA VARIANSSI 173 ARITMEETTISEN KESKIARVON ODOTUSARVO JA VARIANSSI 173 11.6. MARKOVIN JA TSHEBYSHEVIN EPÄYHTÄLÖT 174 MARKOVIN EPÄYHTÄLÖ 174 TSHEBYSHEVIN EPÄYHTÄLÖ 175 11.7. MOMENTIT 177 MOMENTTIEN OLEMASSAOLO 177 11.8. VINOUS JA HUIPUKKUUS 178 VINOUS 178 HUIPUKKUUS 179 11.9. KVANTIILIT 180 KVANTIILIN MÄÄRITELMÄ 180 KVANTIILIEN OMINAISUUKSIA 180 KVANTIILIT JA TILASTOLLISET TAULUKOT 180 PROSENTTIPISTEET 181 DESIILIT 181 KVARTILIT 182 MEDIAANI 182 11.10. MOODI 183 11.11. SUURTEN LUKUJEN LAKI 184 12. MONIULOTTEISET SATUNNAISMUUTTUJAT JA JAKAUMAT 187 12.1. JOHDANTO 188 12.2. KAKSIULOTTEISET SATUNNAISMUUTTUJAT 188 12.3. DISKREETIT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT 188 DISKREETIT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT JA TAPAHTUMIEN TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN 189 DISKREETIT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT JA SYMMETRISET TODENNÄKÖISYYSKENTÄT 189 12.4. JATKUVAT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT 194 JATKUVAT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT JA TAPAHTUMIEN TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN 195 12.5. KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN KERTYMÄFUNKTIOT 195 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 195 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 195 12.6. KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN REUNAJAKAUMAT JA RIIPPUMATTOMUUS 196 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN REUNAJAKAUMAT 196 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN REUNAJAKAUMAT 199 SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS 199 USEAMMAN SATUNNAISMUUTTUJAN RIIPPUMATTOMUUS 200 SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS JA TAPAHTUMIEN TODENNÄKÖISYYS 201 12.7. KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN ODOTUSARVOT 203 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN YLEINEN ODOTUSARVO 203 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN YLEINEN ODOTUSARVO 203 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN REUNAJAKAUMIEN ODOTUSARVOT 203 12.8. ODOTUSARVON OMINAISUUDET 204 ODOTUSARVO PAINOPISTEENÄ 204 SUMMAN JA EROTUKSEN ODOTUSARVOT 204 LINEAARIKOMBINAATION ODOTUSARVO 205 Ilkka Mellin X

SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS JA TULON ODOTUSARVO 205 12.9. KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN VARIANSSIT JA STANDARDIPOIKKEAMAT 207 REUNAJAKAUMIEN VARIANSSIT 207 VAIHTOEHTOISET LASKUKAAVAT VARIANSSEILLE 207 STANDARDIPOIKKEAMAT 207 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN TULKINTA 207 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN DIMENSIOT 208 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN VARIANSSIT 208 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN VARIANSSIT 210 12.10. KOVARIANSSI 210 VAIHTOEHTOINEN LASKUKAAVA KOVARIANSSILLE 211 KOVARIANSSIN TULKINTA 211 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KOVARIANSSI 211 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KOVARIANSSI 211 12.11. KOVARIANSSIN OMINAISUUDET 212 SATUNNAISMUUTTUJIEN LINEAARIMUUNNOSTEN KOVARIANSSI 212 SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JA EROTUKSEN VARIANSSIT 212 KORRELOIMATTOMUUS 213 SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS JA KOVARIANSSI 213 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JA EROTUKSEN VARIANSSI 214 12.12. KORRELAATIO 214 KORRELAATIOKERTOIMEN DIMENSIO 214 12.13. KORRELAATIOKERTOIMEN OMINAISUUDET 215 KORRELAATIO JA KOVARIANSSI 215 SATUNNAISMUUTTUJIEN LINEAARIMUUNNOSTEN KORRELAATIO 215 KORRELAATIOKERTOIMEN TULKINTA 221 KORRELOIMATTOMUUS 221 12.14. EHDOLLISET JAKAUMAT 224 EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS 224 EHDOLLISET JAKAUMAT 224 EHDOLLISET JAKAUMAT JA EHTOMUUTTUJA 224 EHDOLLISET JAKAUMAT JA RIIPPUMATTOMUUS 224 12.15. EHDOLLISET ODOTUSARVOT JA VARIANSSIT 225 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET ODOTUSARVOT 225 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET ODOTUSARVOT 225 EHDOLLISET ODOTUSARVOT JA EHTOMUUTTUJAT 225 EHDOLLISET ODOTUSARVOT JA RIIPPUMATTOMUUS 226 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET VARIANSSIT 226 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET VARIANSSIT 226 EHDOLLISET VARIANSSIT JA EHTOMUUTTUJAT 226 EHDOLLISET VARIANSSIT JA RIIPPUMATTOMUUS 227 ITEROIDUN ODOTUSARVON LAIT 227 REGRESSIOFUNKTIOT JA KÄYRÄT 228 REGRESSIOFUNKTIOT JA ENNUSTAMINEN 228 HAVAINNOLLISTUKSIA 229 13. MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA KARAKTERISTINEN FUNKTIO 240 13.1. MOMENTTIEMÄFUNKTIO 241 MOMENTTIEMÄFUNKTION OLEMASSAOLO 241 DISKREETIN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 241 JATKUVAN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 242 MOMENTTIEMÄFUNKTION YKSIKÄSITTEISYYS 242 MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA SATUNNAISMUUTTUJAN MOMENTIT 242 MOMENTTIEMÄFUNKTION TAYLORIN SARJAKEHITELMÄ 243 SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 244 RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 245 Ilkka Mellin XI

RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISEN KESKIARVON MOMENTTIEMÄFUNKTIO 246 MOMENTTIEMÄFUNKTIOIDEN KONVERGENSSI 247 13.2. KARAKTERISTINEN FUNKTIO 249 KARAKTERISTISEN FUNKTION OLEMASSAOLO 249 INVERSIOTEOREEMA 249 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 249 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 250 KARAKTERISTISEN FUNKTION YKSIKÄSITTEISYYS 250 KARAKTERISTINEN FUNKTIO JA MOMENTTIEMÄFUNKTIO 251 KARAKTERISTISEN FUNKTION OMINAISUUDET 251 KARAKTERISTINEN FUNKTIO JA SATUNNAISMUUTTUJAN MOMENTIT 251 KARATERISTISEN FUNKTION TAYLORIN SARJAKEHITELMÄ 252 SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 252 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 253 RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 253 RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISEN KESKIARVON KARAKTERISTINEN FUNKTIO 253 KARAKTERISTISTEN FUNKTIOIDEN KONVERGENSSI 254 14. SATUNNAISMUUTTUJIEN MUUNNOSTEN JAKAUMAT 255 14.1. SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN JAKAUMA 256 14.2. SATUNNAISMUUTTUJAN MONOTONISEN MUUNNOKSEN JAKAUMA 258 LINEAARIMUUNNOKSEN JAKAUMA 260 CAUCHY-JAKAUMA 261 14.3. SATUNNAISMUUTTUJAN EI-MONOTONISTEN MUUNNOSTEN JAKAUMAT 262 χ 2 (1)-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 262 14.4. KAKSIULOTTEISTEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MUUNNOSTEN JAKAUMAT 263 NORMAALIJAKAUTUNEIDEN SATUNNAISLUKUJEN GENEROINTI 264 14.5. RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 266 χ 2 (N)-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 267 14.6. RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN OSAMÄÄRÄN JAKAUMA 272 F-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 273 t-jakauman TIHEYSFUNKTIO 276 14.7. RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MINIMIN JA MAKSIMIN JAKAUMAT 278 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MINIMIN JAKAUMA 278 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MAKSIMIN JAKAUMA 280 15. STOKASTIIKAN KONVERGENSSIKÄSITTEET JA RAJA-ARVOLAUSEET 283 15.1. SATUNNAISMUUTTUJIEN JONOT 284 15.2. VARMA KONVERGENSSI 285 15.3. MELKEIN VARMA KONVERGENSSI 285 15.4. KVADRAATTINEN KONVERGENSSI 286 SOVELLUS: RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISTEN KESKIARVOJEN MUODOSTAMAN JONON KVADRAATTINEN KONVERGENSSI 287 15.5. STOKASTINEN KONVERGENSSI 287 SOVELLUS: RIIPPUMATTOMIEN SAMAA NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAIS- MUUTTUJIEN ARITMEETTISTEN KESKIARVOJEN MUODOSTAMAN JONON STOKASTINEN KONVERGENSSI 288 15.6. JAKAUMAKONVERGENSSI 289 MOMENTTIEMÄFUNKTIOIDEN KONVERGENSSI JA JAKAUMAKONVERGENSSI 290 KARAKTERISTISTEN FUNKTIOIDEN KONVERGENSSI JA JAKAUMAKONVERGENSSI 291 15.7. STOKASTIIKAN KONVERGENSSIKÄSITTEIDEN YHTEYDET 291 15.8. SUURTEN LUKUJEN LAIT 293 VAHVA SUURTEN LUKUJEN LAKI 293 Ilkka Mellin XII

HEIKKO SUURTEN LUKUJEN LAKI 293 SUURTEN LUKUJEN LAIT: KOMMENTTEJA 294 SUURTEN LUKUJEN LAKI: SUHTEELLISEN FREKVENSSIN ASYMPTOOTTINEN KÄYTTÄYTYMINEN 294 15.9. KESKEINEN RAJA-ARVOLAUSE 296 LINDEBERGIN JA LEVYN LAUSE 297 LINDEBERGIN JA LEVYN LAUSE: KOMMENTTEJA 300 LIAPUNOVIN LAUSE 301 LIAPUNOVIN LAUSE: KOMMENTTEJA 302 LINDEBERGIN JA FELLERIN LAUSE 302 KESKEINEN RAJA-ARVOLAUSE: KOMMENTTEJA 303 KESKEINEN RAJA-ARVOLAUSE SEKÄ BINOMIJAKAUMAN, HYPERGEOMETRISEN JAKAUMAN JA POISSON-JAKAUMAN ASYMPTOOTTISET JAKAUMAT 304 Todennäköisyysjakaumia 305 16. DISKREETTEJÄ JAKAUMIA 311 16.1. DISKREETTI TASAINEN JAKAUMA 312 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 312 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN ODOTUSARVON JA VARIANSSIN OMINAISUUDET 313 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 314 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 315 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 315 16.2. BERNOULLI-JAKAUMA 316 BERNOULLI-KOKEET 317 BERNOULLI-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 317 BERNOULLI-JAKAUMAN ODOTUSARVON JA VARIANSSIN OMINAISUUDET 317 BERNOULLI-JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 318 BERNOULLI-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 318 BERNOULLI-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 318 BERNOULLI-JAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 319 BERNOULLI-KOKEET DISKREETTIEN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN PERUSTANA 320 16.3. BINOMIJAKAUMA 321 BINOMIJAKAUMAN JOHTO 321 BINOMIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 322 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 323 BINOMIJAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 324 BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 324 BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 325 BINOMIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 326 BINOMIJAKAUMA JA BERNOULLI-JAKAUMA 327 BERNOULLI-JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMAN ODOTUSARVO JA VARIANSSI 328 BINOMIJAKAUMA JA OTANTA PALAUTTAEN 328 16.4. GEOMETRINEN JAKAUMA 329 GEOMETRISEN JAKAUMAN JOHTO 330 GEOMETRISEN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 330 GEOMETRISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 331 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 332 GEOMETRISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 332 GEOMETRISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 333 GEOMETRISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 333 GEOMETRISEN JAKAUMAN UNOHTAMISOMINAISUUS 334 16.5. NEGATIIVINEN BINOMIJAKAUMA 335 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN JOHTO 335 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 337 Ilkka Mellin XIII

ODOTUSARVON OMINAISUUDET 338 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 338 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 338 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 339 NEGATIIVINEN BINOMIJAKAUMA JA GEOMETRINEN JAKAUMA 340 16.6. HYPERGEOMETRINEN JAKAUMA 340 HYPERGEOMETRISEN JAKAUMAN JOHTO 341 HYPERGEOMETRISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 342 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 344 HYPERGEOMETRISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 344 HYPERGEOMETRINEN JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMA 344 HYPERGEOMETRINEN JAKAUMA JA OTANTA PALAUTTAMATTA 347 OTANTA PALAUTTAEN VS OTANTA PALAUTTAMATTA 348 16.7. POISSON-JAKAUMA 349 POISSON-JAKAUMAN JOHTO 350 POISSON-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 351 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 351 POISSON-JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 352 POISSON-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 352 POISSON-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 352 POISSON-JAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 353 POISSON-JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMA 354 POISSON-JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA 356 17. JATKUVIA JAKAUMIA 358 17.1. JATKUVA TASAINEN JAKAUMA 359 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 360 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 360 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 361 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 361 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 362 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TODENNÄKÖISYYDET 363 17.2. EKSPONENTTIJAKAUMA 363 EKSPONENTTIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 364 EKSPONENTTIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 364 EKSPONENTTIJAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 365 EKSPONENTTIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 365 EKSPONENTTIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 366 EKSPONENTTIJAKAUMA JA POISSON-JAKAUMA 367 EKSPONENTTIJAKAUMAN UNOHTAMISOMINAISUUS 368 EKSPONENTTIJAKAUMAN TODENNÄKÖISYYDET 369 17.3. NORMAALIJAKAUMA 370 NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 372 NORMAALIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 373 NORMAALIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 373 NORMAALIJAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 374 NORMAALIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 375 NORMAALIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 375 STANDARDOITU NORMAALIJAKAUMA 376 NORMAALIJAKAUTUNEEN SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN JAKAUMA 377 STANDARDOINTI 378 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN STANDARDOIDUSTA NORMAALIJAKAUMASTA 378 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN STANDARDOIDUSTA NORMAALIJAKAUMASTA JA NORMAALIJAKAUMAN TAULUKOT 379 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN MIELIVALTAISESTA NORMAALIJAKAUMASTA 381 Ilkka Mellin XIV

TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN NORMAALIJAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 382 NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 383 NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN LINEAARIKOMBINAATION JAKAUMA 384 SAMAA NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 385 NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISEN KESKIARVON JAKAUMA 385 17.4. KESKEINEN RAJA-ARVOLAUSE 385 BINOMIJAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMALLA: DE MOIVREN JA LAPLACEN RAJA-ARVOLAUSE 388 DE MOIVREN JA LAPLACEN RAJA-ARVOLAUSEEN HAVAINNOLLISTUS 389 BINOMITODENNÄKÖISYYKSIEN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA 391 HYPERGEOMETRISEN JAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA 392 POISSON-JAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMALLA 393 POISSON-TODENNÄKÖISYYKSIEN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA 394 17.5. LOG-NORMAALIJAKAUMA 395 LOG-NORMAALIJAKAUMAN JOHTO 395 LOG-NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 396 LOG-NORMAALIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 397 LOG-NORMAALIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 398 LOG-NORMAALIJAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 398 17.6. CAUCHY-JAKAUMA 398 CAUCHY-JAKAUMAN JOHTO 398 CAUCHY-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 399 CAUCHY-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 399 CAUCHY-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 400 CAUCHY-JAKAUMA JA t-jakauma 400 17.7. GAMMA-JAKAUMA 400 GAMMA-FUNKTIO 400 GAMMA-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 402 GAMMA-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 403 GAMMA-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 403 GAMMA-JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 403 GAMMA-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 403 GAMMA-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 404 GAMMA-JAKAUMA JA POISSON-JAKAUMA 403 GAMMA-JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA 405 GAMMA-JAKAUMA JA χ 2 -JAKAUMA 406 17.8. BETA-JAKAUMA 406 BETA-FUNKTIO 407 BETA-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 407 BETA-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 408 BETA-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 409 BETA-JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 409 BETA-JAKAUMA JA JATKUVA TASAINEN JAKAUMA 409 17.9. WEIBULL-JAKAUMA 409 WEIBULL-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 410 WEIBULL-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 412 WEIBULL-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 412 WEIBULL-JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 412 WEIBULL-JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA 412 18. NORMAALIJAKAUMASTA JOHDETTUJA JAKAUMIA 414 18.1. χ 2 -JAKAUMA 415 χ 2 -JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 415 χ 2 -JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 416 Ilkka Mellin XV

χ 2 -JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 416 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ 2 -JAKAUMASTA 416 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ 2 -JAKAUMASTA JA χ 2 -JAKAUMAN TAULUKOT 417 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ 2 -JAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 418 18.2. F-JAKAUMA 418 F-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 419 F-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 419 F-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 420 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F-JAKAUMASTA 420 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F-JAKAUMASTA JA F-JAKAUMAN TAULUKOT 420 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F-JAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 422 18.3. t-jakauma 423 t-jakauman TUNNUSLUVUT 423 t-jakauman TIHEYSFUNKTIO 422 t-jakauman TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 424 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN t-jakaumasta 425 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN t-jakaumasta JA t-jakauman TAULUKOT 425 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN t-jakaumasta JA TIETOKONEOHJELMAT 426 t-jakauma JA F-JAKAUMA 426 t-jakauma JA CAUCHY-JAKAUMA 427 t-jakauma JA NORMAALIJAKAUMA 427 19. MONIULOTTEISIA JAKAUMIA 428 19.1. MULTINOMIJAKAUMA 429 MULTINOMIJAKAUMAN OMINAISUUDET 430 19.2. KAKSIULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA 431 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN JOHTO 431 2-ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 436 2-ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO JA SEN OMINAISUUDET 436 2-ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN ODOTUSARVOVEKTORI JA KOVARIANSSIMATRIISI 437 2-ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN REUNAJAKAUMAT 440 2-ULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA, KORRELOIMATTOMUUS JA RIIPPUMATTOMUUS 440 2-ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET JAKAUMAT 441 2-ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET ODOTUSARVOT 442 REGRESSIOSUORIEN OMINAISUUDET 443 REGRESSIOSUORIEN YHTÄLÖT JA STANDARDOINTI 444 YHTEISKORRELAATIOKERROIN 445 2-ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET VARIANSSIT 445 ESIMERKKI 2-ULOTTEISESTA NORMAALIJAKAUMASTA 445 Liitteet 451 1. JOUKKO-OPPI 455 1.1. JOUKKO-OPIN PERUSKÄSITTEET 456 JOUKKOJEN MÄÄRITTELEMINEN 456 NUMEROITUVAT JOUKOT 457 YLINUMEROITUVAT JOUKOT 458 JOUKKOJEN SAMUUS 458 OSAJOUKKO 459 VENN-DIAGRAMMIT 459 TYHJÄ JOUKKO 460 PERUSJOUKKO 460 ONGELMAT JOUKON KÄSITTEEN NAIIVISSA MÄÄRITELMÄSSÄ 460 NAIIVIN JOUKKO-OPIN PARADOKSIT 460 Ilkka Mellin XVI

1.2. JOUKKO-OPIN PERUSOPERAATIOT 461 KOMPLEMENTTIJOUKKO 461 YHDISTE 462 LEIKKAUS 462 DE MORGANIN LAIT 463 PISTEVIERAAT JOUKOT 463 EROTUS 464 YHDISTE PISTEVIERAIDEN JOUKKOJEN YHDISTEENÄ 465 SYMMETRINEN EROTUS 465 1.3. JOUKKO-OPIN LASKUSÄÄNNÖT 466 OSAJOUKKO-RELAATIO JA JOUKKO-OPIN OPERAATIOT 466 JOUKKOJEN ALGEBRAN LASKUSÄÄNNÖT 467 1.4. FUNKTIOT 468 FUNKTIO 468 KUVA 468 FUNKTION MÄÄRITTELYALUE JA ARVOALUE 469 FUNKTIOIDEN SAMUUS 469 SURJEKTIO, INJEKTIO, BIJEKTIO 469 IDENTTINEN FUNKTIO 470 VAKIOFUNKTIO 470 YHDISTETTY FUNKTIO 470 YHDISTETYN FUNKTION OMINAISUUKSIA 471 KÄÄNTEISFUNKTIO 471 KÄÄNTEISFUNKTION OMINAISUUKSIA 472 1.5. TULOJOUKOT JA FUNKTIOIDEN KUVAAJAT 473 JÄRJESTETTY PARI 473 KARTEESINEN TULO 473 FUNKTION KUVAAJA 473 FUNKTION KUVAAJAN OMINAISUUDET 474 YLEISTETTY KARTEESINEN TULO 475 1.6. JOUKKO-OPIN PERUSOPERAATIOIDEN YLEISTYKSET 475 JOUKKOPERHEET 475 POTENSSIJOUKOT 475 INDEKSOIDUT JOUKKOPERHEET 476 YLEISTETYT JOUKKO-OPERAATIOT 477 YLEISTETYT DISTRIBUUTIOLAIT 478 YLEISTETYT DE MORGANIN LAIT 478 OSITUKSET 478 1.7. BOOLEN ALGEBRAT 478 BOOLEN ALGEBRAN AKSIOOMAT 479 BOOLEN ALGEBROIDEN OMINAISUUDET 479 1.8. σ-algebrat 481 σ-algebran AKSIOOMAT 481 σ-algebroiden OMINAISUUDET 481 2. TODENNÄKÖISYYSLASKENTA JA PUUDIAGRAMMIT 484 2.1. VERKOT 485 VERKON MÄÄRITELMÄ 485 REITTI JA SILMUKKA 486 VERKON YHTENÄISYYS 487 2.2. PUUT 488 PUUN MÄÄRITELMÄ 488 PUUN OMINAISUUDET 488 PUUDIAGRAMMI 488 2.3. PUUTODENNÄKÖISYYDET 489 PUUTODENNÄKÖISYYDET 491 TULOSÄÄNTÖ PUUTODENNÄKÖISYYKSILLE 491 YHTEENLASKUSÄÄNTÖ PUUTODENNÄKÖISYYKSILLE 492 Ilkka Mellin XVII

2.4. PUUT JA TODENNÄKÖISYYSLASKENNAN PERUSLASKUSÄÄNNÖT 492 KOMPLEMENTTITAPAHTUMAN TODENNÄKÖISYYS 493 YLEINEN TULOSÄÄNTÖ 493 TULOSÄÄNTÖ RIIPPUMATTOMILLE TAPAHTUMILLE 494 YLEINEN YHTEENLASKUSÄÄNTÖ 494 YHTEENLASKUSÄÄNTÖ TOISENSA POISSULKEVILLE TAPAHTUMILLE 496 EROTUSTAPAHTUMAN TODENNÄKÖISYYS 497 KOKONAISTODENNÄKÖISYYDEN KAAVA 498 Ilkka Mellin XVIII