91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N Vastaus: ei aia (esim. a5, b ) Laajeetaa lukualuetta lisäämällä 0 ja egatiiviset luvut Kokoaisluvut Z :...,, 1,0,1,,... Määritelty - yhteelasku ab Z, ku a, b Z - väheyslasku ab Z, ku a, b Z - kertolasku ab Z, ku a, b Z Kysymys: Oko olemassa sellaie x Z, että ax b, ku a, b Z Vastaus: ei aia (esim. a3, b ) Laajeetaa lukualuetta lisäämällä murtoluvut
9 a Ratioaaliluvut Q : b ; ab, Zb, 0 Määritelty - yhteelasku ab Q, ku a, b Q - väheyslasku ab Q, ku a, b Q - kertolasku ab Q, ku a, b Q - jakolasku a b Q, ku a, b Q ja b 0 Kysymys: Oko olemassa sellaie x Q, että xx a, ku a Q ja a 0 Vastaus: ei aia (esim. a ) Laajeetaa lukualuetta lisäämällä irratioaaliluvut Reaaliluvut R Määritelty - yhteelasku ab R, ku a, b R - väheyslasku ab R, ku a, b R - kertolasku ab R, ku a, b R - jakolasku a b R, ku a, b R ja b 0 Reaalilukuje joukosta löytyy myös vastaus kysymyksee paljoko o x, ku xx a ja a 0. Kysymyksee, oko olemassa sellaie x R, että xx a, ku a 0, vastaus o edelleeki kielteie. Laajeetaa lukualuetta kompleksilukuihi C lisäämällä imagiääriluvut
93 5. KOMPLEKSILUKUJEN ESITYS JA ALGEBRA 5..1 Imagiääriyksikkö Määritelmä: i 1 Jos a o reaaliluku, ii ia o imagiääriluku, joka toteuttaa relaatio ( ia) i a 1a a Kompleksiluku z voidaa esittää esim. reaaliluvu ja imagiääriluvu summaa: z a ib, missä a ja b ovat reaalilukuja. Tässä a o kompleksiluvu reaaliosa ja b imagiääriosa: Re z a Im z b Kompleksiluku o puhtaasti reaalie, jos Imz 0 ja puhtaasti kompleksie, jos Rez 0. Kompleksiluvut u ja v ovat ovat yhtäsuuria, u v, jos Reu Rev ja Imu Imv
Kompleksiluvu z a ib liittoluku eli kompleksikojugaatti z * o z* a ib, ts. kojugoiissa vaihdetaa imagiääriosa merkki. Kompleksiluvu z ormi z o z zz* (Re z) (Im z) 94 Joskus ormiksi saotaa suuretta z. Merkitöjä: imagiääriyksikkö i j isiööreillä fysiika z* z matematiikassa Esimerkki: Laske kompleksiluvu z 3 i ormi. Ratkaisu: Kompleksikojugaatti o z* 3 i, jote z zz* (3 i)(3 i) (3)(3) (3)( i) ( i)(3) ( i)( i) tai 9 4i 9 4 13 z (Re z) (Im z) (3) ( ) 13
95 5.. Algebra Tarkastellaa kompleksilukuja u a ib ja v c id Yhteelasku u v a ib c id ( a c) i( b d), ts. Re( uv) ReuRev Im( uv) ImuImv Väheyslasku uv aibcid ( ac) i( bd), ts. Re( uv) ReuRev Im( uv) ImuImv Kertolasku uv ( a ib) ( c id) ac a( id ) ( ib) c ( ib)( id), ac bd i( ad bc) ts. Re( uv) (Re u)(re v) (Im u)(im v ) Im( uv) (Re u)(im v) (Im u)(re v )
96 Jakolasku u a ib ( a ib)( c id), v c id ( c id)( c id) ts. imittäjää o kehitetty v : ormi v vv * c d, jolloi osoittajaksi tulee ( ac bd) i( bc ad) ja saadaa u ac bd bc ad i v c d c d Esimerkki: Olkoot u 3 i ja v 1i. Laske summa, erotus, kertolasku ja jakolasku. Ratkaisu: uv (3 ( 1)) i( 1) i, uv (3 ( 1)) i( 1) 43i uv [3( 1) ( )(1)] i[3(1) ( )( 1)] 15i u 3 i (3 i)( 1 i) 3 3ii 5 1 i v 1 i ( 1) ( i)
97 5..3 Kompleksitaso Kompleksilukua z a ib voidaa myös esittää reaalilukuparia ( ab., ) Esitykset ovat ekvivaletteja, ku kirjoitetaa zaib ( ab, ). Edellise kappalee "algebra" pätee sellaiseaa myös lukupariesitykselle. Kompleksilukua z xiy ( xy, ) edustaa piste kaksiulotteisessa s. kompleksitasossa jossa vaaka-akseli o s. reaaliakseli ja pystyakseli s. imagiääriakseli. Kuvassa yllä pistee ( xy, ) etäisyys origosta o r x y (Re z) (Im z) z
98 Suure z zz* z o kompleksiluvu z itseisarvo eli suuruus. Puhutaa myös modulosta ja merkitää z mod z. Kompleksitaso pisteide esityksessä voidaa käyttää myös apakoordiaatteja: Napakoordiaattiesityksessä ( r, ): - r o kompleksiluvu itseisarvo z mod - o luvu z vaihekulma eli argumetti z Napakoordiaattiesityksessä kompleksiluvu z x iy koordiaatit ( r, ) ovat siis r z x y arcta( y/ x) ja käätäe x rcos y rsi
Vaihekulmaa arcta( y/ x) laskettaessa o oltava tarkkaa. Tässä arcustagettia o pidettävä moikäsitteiseä fuktioa ja se arvoista o valittava se, jolla cos ja x keskeää sekä si ja y keskeää ovat samamerkkisiä. Esimerkki: Kirjoita kompleksiluvu 3i apakoordiaattiesitys. Ratkaisu: Modulo o r 3i ( 3) 4 1 4 ja vaihekulma 3 arcta arcta 3 3 O siis valittava joko /3 tai 4 /3. Nyt x 0 ja y 0 ja myös cos /3 0 ja si /3 0, mutta cos4 /3 0ja si4 /3 0. Oikea valita o siis /3 ja esitykseksi saadaa 3i4cos 4si i 3 3 99
Esimerkki: Kirjoita kompleksiluvu 3i apakoordiaattiesitys. Ratkaisu: Modulo o sama kui edellisessä esimerkissä r 3i ( 3) 4 1 4 ja vaihekulmalle tulee 3 arcta arcta( 3) 3 O siis valittava joko /3 tai 5 /3. Nyt x 0 ja y 0, mutta cos /3 0 ja si /3 0, jote ei käy. Toie mahdollisuus cos5 /3 0ja si5 /3 0 toteuttaa ehdo. Oikea valita o siis 5 /3 ja esitykseksi saadaa 5 5 3i4cos 4si i 3 3 100
101 5.3 KOMPLEKSIFUNKTIOT Tarkastellaa fuktiota f( z ), joka kuvaa kompleksiluvu z kompleksiluvuksi w, ts. w f( z) Fuktio f( z ) o - yksiarvoie fuktio, jos ja vai jos jokaie z kuvautuu täsmällee yhdeksi luvuksi w - moiarvoie fuktio, jos ja vai jos jotki muuttuja z arvot kuvautuvat useammaksi kui yhdeksi luvuksi w Esimerkiksi: w f( z) z o yksiarvoie 1/ w f( z) z o moiarvoie (kaksiarvoie), sillä esimerkiksi z 1 kuvautuu kahdeksi arvoksi w 1 Tarkastellaa yksiarvoisia fuktioita (ellei toisi maiita). Fuktio reaali- ja imagiääriosat Selvitetää esimerkiksi fuktio w f z z ( ), missä z x iy, reaali- ja imagiääriosat. Kirjoitetaa w u iv ( x iy) x y ixy josta äemme, että
10 reaaliosa o imagiääriosa o u x y v xy Reaalifuktio jatkamie kompleksitasoo Usei halutaa s. jatkaa (aalyyttisesti) reaalimuuttuja reaaliarvoie fuktio kompleksitasoo site, että alkuperäie ja jatkettu fuktio yhtyvät reaaliakselilla. Jos reaalifuktio f( x ) voidaa esittää Taylori sarjaa, jatkamie tapahtuu site, että korvataa yksikertaisesti reaalimuuttuja x kompleksimuuttujalla z. x Esimerkiksi reaalie fuktio e voidaa jatkaa kompleksitasoo yksikertaisesti kirjoittamalla e, missä z z x iy. Fuktiot ovat samoja reaaliakselilla (siis x- akselilla), koska siellä imagiääriosa y 0. Kompleksiluvut oudattavat samoja laskusäätöjä kui reaaliluvut, jote aalyyttisessä jatkamisessa fuktioaaliset omiaisuudet säilyvät. Esimerkiksi jatkettu z expoettifuktio e oudattaa edellee relaatiota z1 z z1 z e ee. Samoi trigoometriset fuktiot säilyttävät yhteelaskukaavasa jatkamisessa.
Euleri kaava z Tarkastellaa expoettifuktiota w e, joka Taylori sarja o 3 4 5 e z 1z z z z z! 3! 4! 5! Sijoitetaa tähä z muodossa z ix, jolle ( ix) i x x 3 ( ix) ix( ix) 3 ix 4 ( ix) 3 ix( ix) 4 i x 4 x 5 ( ix) 4 ix( ix) 5 ix ( ix) ( 1) x 1 1 ( ix) i( 1) x Sijoitus johtaa tuloksee 3 4 5 ix x x x x e 1 ix i i...! 3! 4! 5! 4 3 5 x x x x 1... i x...! 4! 3! 5! Toisaalta sii- ja kosiifuktioide Taylori sarjat ovat 3 5 x x si x x... 3! 5! 4 x x cos x1...! 4! 103
104 jote saamme tulokse ix e cos x isi x joka o s. Euleri kaava. Napakoordiaattiesitys Euleri kaava mahdollistaa kompleksiluvuille erittäi käyttökelpoise apakoordiaattiesitykse. Yleisesti i z r cos ir si r(cosi si ) re missä siis r z ja arcta(re z) /(Im z). Esimerkki: Kirjoita kompleksiluvu 3i apakoordiaattiesitys ekspoettimuodossa. Ratkaisu: Sivu 99 esimerki mukaa apakoordiaattiesitys o 3i4cos 4si i, 3 3 joka Euleri kaavalla saadaa muotoo /3 3i 4e i
Potessifuktiot z ( re ) r (cos isi ) i i r e r (cos isi ) Tämä o s. De Moivre kaava kompleksilukuje potessii korotukselle. Joskus se kirjoitetaa muodossa (cosisi ) cos isi 105 1/ z 1/ Kompleksiluvu :e juure z laskemisessa o oltava erityise tarkkaa, koska apakoordiaattiesitykse re apakulma ei ole yksikäsitteie. Jos i o luvu z apakulma, ii sitä ovat myös kulmat k, k 0, 1,, Esimerkiksi i( k ) i ik i e e e e k i k (cos si ) i i e (1 i(0)) e. Kompleksiluku z o siis i ik, k 0, 1, z re ja tämä luvu :s juuri 1/ z o 1/ 1/ i/ ik / 1/ i/ ik / z r e r e e, k 0, 1, Katsotaa yt mitä juuria löytyy, ku k lähtee juoksemaa:
106 k 0 k 1 k k 1 k e e e e e e ik / i0 / ik / i / ik / i4 / 1 ik / e i( 1) / e ik / e i / i e e 1 Näistä viimeie o sama kui esimmäie ja tästä eteepäi juurisarja toistuu. i Siis: Kompleksiluvulla z re, ku r 0, o täsmällee kpl erilaista :ttä juurta: 1/ 1/ i / z r e, 1/ i( )/ r e, 1/ i( 4 )/ r e, 1/ i( ( 1) )/ r e. Esimerkki: Määritä luvu 16 kaikki eljäet juuret. Ratkaisu: Juuria o eljä kappaletta. Jos kirjoitetaa 16 16 16 16 16 16 ähdää suoraa, että 0i i 4i 6i 8i e e e e e, 1/4 i/4 4 i/4 6 i/4 8 i/4 i 16, e, e, e,e e, joista viimeie o jo sama kui esimmäie. Siis: 1/4 / 16, i i e,e ja i3 / e
Ku ämä vielä puretaa auki Euleri kaavalla i / e cos( / ) isi( / ) i i e cos( ) isi( ) 1 i3 / e cos(3 / ) isi(3 / ) i saadaa lopputulos: 1/4 16, i, ja i 107 Trigoometriset fuktiot e e i i cos isi cos isi 1 1 i si e e i i i Summa: cos e e i Erotus: Hyperboliset kosii- ja siifuktiot määritellää: 1 x x cosh x e e 1 x x sih x e e
108 Hyperbolie tagetti o sih x tah x cosh x ja vallitsee yhteys: cosh( i) cos sih( i) isi tah( i) ita