. Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd, ad + bc). (a, ) + (c, ) = (a + c, ) (a, )(c, ) = (ac, ), joten voimme ajatella kompleksilukuja (a, ) ja (c, ) reaalilukuina a ja c. Kompleksilukua i =(, ) kutsutaan imaginaariyksiköksi.jokainenkompleksiluku voidaan esittää yksikäsitteisesti summana (a, b) =(a, ) + (,b)=a(, ) + b(, ) = a + ib, jossa käytetään edellä tehtyä sopimusta, jonka mukaan kompleksiluku (a, ) samastetaan reaaliluvun a kanssa. Näillä merkinnöillä kompleksilukujen laskutoimitukset ovat (a + ib)+(c + id)=(a + c)+i(b + d), (a + ib)(c + id)=(ac bd)+i(ad + bc). Esimerkki.. (a) i =( ) + i( + ) =. (b) ( + i) =( ) + i( + ) = i. ( ) 8 +i (c) = i 4 =. Määritelmä.. Kompleksiluvun z = a+i b reaaliosa on Re(z) = a, imaginaariosa on Im(z) =b ja sen (kompleksi)konjugaatti eli liittoluku on z = a ib.kompleksiluvun z = a + ib moduli on z = z z = Re(z) +Im(z) = a + b = (a, b). Jos x R C, niinsenmodulionsamakuinsenitseisarvoreaalilukuna: x +i = x = x. Seuraava tulos antaa kompleksilukujen laskutoimitusten perusominaisuudet. Propositio.3. () Kompleksilukujen yhteen- ja kertolasku ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia laskutoimituksia. () Yhteenlaskun ja kertolaskun neutraalialkiot ovat =+i ja =+i. (3) Kompleksilukujen kertolasku on distributiivinen yhteenlaskun suhteen. (4) Jokaisella kompleksiluvulla z on vastaluku z = z. Jokaisellanollastapoikkeavalla kompleksiluvulla z on käänteisluku z = z z. (5) Upotuskuvaukset j :(R, +) (C, +) ja j :(R, ) (C, ), jotkamääritellään asettamalla j(x) =x, ovatinjektiivisiähomomorfismeja. 9
Todistus. Kohdat () (4) jätetään harjoitustehtäviksi. (5) Määritelmän mukaan kaikille reaaliluvuille x pätee j(x) =x +i. Siispä ja j(x + y) =x + y +i =(x +i)+(y +i) =j(x)+j(y) j(x)j(y) =(x +i)(y +i) =(xy ) + i(x +y) =xy +i = j(xy). Proposition.3 nojalla kompleksilukujen kertolaskut voidaan laskea tavallisilla laskusäännöillä huomioimalla, että i = : (a + ib)(c + id)=ac+ aid+ ibc+ ibid= ac + iad+ ibc+ i bd =(ac bd)+i(ad + bc). On helppo tarkastaa, että kompleksilukujen kertolasku indusoi laskutoimituksen joukkoon C {}. Laskutoimituksellavarustettujoukko C =(C {}, ) on kompleksilukujen multiplikatiivinen ryhmä. Laskutoimituksellavarustettujoukko (C, +) on kompleksilukujen additiivinen ryhmä. Propositio.4. Kuvaukset : (C, +) (C, +) ja : (C, ) (C, ) ovat automorfismeja. Kuvaukset :(C, ) ([, [, ) ja : C R + ovat surjektiivisia homomorfismeja. Todistus. Kompleksikonjugoinnin homomorfisuutta koskevat väitteet todistetaan harjoitustehtävässä 9. Harjoitustehtävän 9 kohdan () nojalla jokaiselle z C pätee z = z, joten on bijektio ja siis automorfismi. Osoitetaan, että moduli on homomorfismi: Olkoot z, w C. Modulinmääritelmän, kompleksikonjugoinnin homomorfisuuden ja kompleksilukujen kertolaskun kommutatiivisuuden ja assosiatiivisuuden nojalla saadaan zw =(zw)(zw) =(zw)( z w) =(z z)(w w) = z w, mistä väite seuraa ottamalla neliöjuuri. Modulin surjektiivisuus seuraa siitä, että reaaliluvun moduli kompleksilukuna on sama kuin sen itseisarvo. Propositio.5 (Kolmioepäyhtälö). Kaikilla z, w C pätee z + w z + w. Todistus. Todistettu kurssilla Lineaarinen algebra ja geometria. Napakoordinaattikuvaus N : R + R R, N(r, φ) =(r cos φ, r sin φ), kuvaa määrittelyjoukkonsa (oikean puolitason) joukoksi R {}. Napakoordinaattien avulla voimme siis esittää jokaisen kompleksiluvun z muodossa z = N(r, φ) =r(cos φ + i sin φ). Itse asiassa normin homomorfisuuden nojalla saadaan z = r(cos φ + i sin φ) = r (cos φ + i sin φ) = r cos φ + sin φ = r, joten z = z (cos φ + i sin φ), missä φ R on tason R vektorien (, ) ja (Re(z), Im(z)) välinen kulma positiiviseen kiertosuuntaan. Kulma φ on kompleksiluvun z argumentti. Seontarkalleen
ottaen määritelty täyden kulman π monikertaa vaille trigonometristen funktioiden jaksollisuuden nojalla: kaikilla k Z. cos(φ + k π)+i sin(φ + k π) =cosφ + i sin φ z = ( +i) z = φ = 3 4 π φ = 5 4 π z z = Kuva. Kompleksiluvun ( +i) ja sen käänteisluvun esitykset napakoordinaattien avulla. Trigonometristen funktioiden kulman yhteenlaskukaavojenavullasaammeseuraavan tuloksen, jonka mukaan kompleksilukujen kertolasku sopii hyvin yhteen napakoordinaattiesityksen kanssa: Propositio.6. () Olkoot z = r(cos φ + i sin φ), jaw = s(cos θ + i sin θ). Tällöin zw = rs(cos(φ + θ)+i sin(φ + θ)). () Olkoot z k = r k (cos φ k + i sin φ k ), k =,,...,n.tällöin z k = z z z n =( r k )(cos( φ k )+isin( φ k )). Todistus. Harjoitustehtävä. Napakoordinaattikuvauksen avulla voidaan määritellä algebran (ja myöhemmin kompleksianalyysin) kannalta merkittävä kuvaus: Määritelmä.7. Kuvaus exp: C C, jokamääritelläänasettamallajokaiselle z = x + iy C on (kompleksinen) eksponenttifunktio. exp(z) =e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y), Propositio.8. Eksponenttifunktio exp: (C, +) C on surjektiivinen homomorfismi.
iπ i π w = log + i 3 4 π z = ( +i) z = log log exp z z = i π w iπ Kuva. Kompleksinen eksponenttifunktio. Eri suorien kuvautumista on havainnollistettu väreillä. Piste w = log + i 3 π kuvautuu eksponenttifunktiolla pisteeksi z = ( +i) ja piste w pisteeksi z 4. Todistus. Osoitamme ensin, että kompleksinen eksponenttifunktio on homomorfismi. Olkoot z = x + iy,w = u + iv C. Tällöinreaaliseneksponenttifunktion laskusääntöjen ja Proposition.6 nojalla exp(z + w) =e x+u( cos(y + v)+i sin(y + v) ) = e x e u (cos y + i sin y)(cos v + i sin v) =exp(z)exp(w). Olkoon g : R R + R, g(x, y) =(e x,y). Tällöing(R )=R + R. Jostulkitsemme kompleksisen eksponenttikuvauksen kuvauksena, jokaonmääriteltytasossa R,päteeexp = N g. Siisexp on surjektiivinen, koska molemmat kuvaukset g ja napakoordinaattikuvaus N ovat surjektiivisia. Sovellamme napakoordinaattiesitystä ja Propositiota.6 kompleksilukujen juurten tarkasteluun: Kompleksiluku z, jollepäteez k = w on kompleksiluvun wk:s juuri. Erityisentärkeitäovatykkösen juuret, jotkaovatnekompleksiluvutz C, joille pätee z k =jollain k =,, 3,... Lemma.9. Luvulla C on m kappaletta m. juuria.jos () ζ m =cos π m + i sin π m, niin ykkösen m. juuretovatζ m,ζ m,...,ζm m ja. Todistus. Proposition.6 nojalla ζ m m =cosπ + i sin π =. Jos n {,...,m}, niinproposition.6nojalla joten ζ n m =cosπn m (ζ n m )m =cos πnm m Siis kaikki luvut ζ n m ovat ykkösen juuria. + i sin πn m, πnm + i sin m =.
Toisaalta, jos ζ = r(cos φ + i sin φ) ja ζ m =,niinproposition.6nojallar m = ja mφ = k π jollakin k Z. Siisr =ja φ = k π m R π = D π + m joillekin D, R Z, R m, silläk = Dm + R joillekin tällaisille kokonaisluvuille D ja R. Siis ζ =cos R π R π + i sin m m = ζ m R, joten kaikki ykkösen juuret sisältyvät joukkoon {,ζ m,ζm,...,ζ m m }. i = ζ 8 ζ 3 8 ζ 8 =ζ 4 8 π 4 ζ 5 8 ζ 7 8 i = ζ 6 8 Kuva 3. Ykkösen kahdeksannet juuret. Propositio.. Jokaisella kompleksiluvulla z C {} on m kappaletta m. juuria. Luvun z = r(cos φ + i sin φ) juuret ovat missä w,w ζ m,...,w ζ m m, w = m r(cos φ m + i sin φ m ). Todistus. Harjoitustehtävä. Esimerkki.. Luvun C kolmannet juuret ovat 3, ja 3 ( cos π 3 + i sin π 3 3 ( cos 4π 3 + i sin 4π 3 ) 3 = ( 3 + i ) ) = 3 ( + i 3 3 ).
Kompleksisen eksponenttifunktion avulla saadaan yksinkertainen lauseke ykkösen juurille: Yhtälön z m =ratkaisut ovat luvut R {,,,...,m }. ζ R m = e R π m i, Proposition. avulla voimme myös ratkaista toisen, kolmannen ja neljännen asteen polynomiyhtälöt. (a ) Propositio.. Olkoot a,a C. Olkoon a toinen kompleksiluvun ( ) a a neliöjuurista. Luvut z = a (a ) + a ja z = a (a ) a ovat yhtälön ratkaisuja. Todistus. Havaitsemme, että mistä väite seuraa. z + a z + a = (z z )(z z )=z + a z + a =, Kaikki toisen asteen kompleksikertoimiset polynomiyhtälöt voidaan ratkaista Proposition. avulla. Kaikki kolmannen asteen kompleksikertoimiset yhtälöt saadaan muuttujanvaihdolla muotoon z 3 + pz + q =.Josu,v C siten, että u 3 = q ( + q ) (p) 3, + 3 ( v 3 = q q ) + ( p) 3, ja 3 u v = p 3, ja ζ 3 = +i 3 on kaavan () antama ykkösen kolmas juuri, niin luvut z = u +v, z = ζ 3 u + ζ 3 v ja z 3 = ζ 3 u + ζ 3 v ovat yhtälön z 3 + pz + q =ratkaisuja. Alkuperäisen yhtälön juuret saadaan näistä tekemällä muuttujanvaihto toiseen suuntaan. Neljännen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat ovat samankaltaisia kuin kolmannen asteen tapauksessa. Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisemista käsitellään enemmän kurssilla Lukualueet ja esimerkiksi kirjassa K. Väisälä: Lukuteorian ja korkeamman algebran alkeet. Abel osoitti 8-luvulla, että viidennen ja korkeamman asteen polynomeille ei ole samanlaista ratkaisualgoritmia kuin alemman asteen polynomeille. Tämän väitteen todistuksessa käytetään yleensä ryhmäteoriaa, jota tarkastelemme luvusta 4 alkaen. Polynomeja tarkastellaan lähemmin tämän kurssin lopussa. Viidennen asteen yhtälön ratkeamattomuutta ei tarkastella tällä kurssilla. Aihepiiriin voi halutessaan tutustua K. Väisälän kirjan ja Galois n teoriaa käsittelevien oppikirjojen avulla. 4
Harjoitustehtäviä. Tehtävä 6. Osoita, että kompleksilukujen kertolasku on assosiatiivinen ja kommutatiivinen laskutoimitus. Osoita, että kompleksilukujen kertolasku on distributiivinen yhteenlaskun suhteen. Onko kompleksilukujen yhteenlasku distributiivinen kertolaskun suhteen? Tehtävä 7. Olkoot z, w C lukuja, joille pätee zw =.Osoita,ettäz =tai w =kahdella tavalla: () käyttämättä napakoordinaatteja ja () napakoordinaattien avulla. Tehtävä 8. Osoita, että kompleksilukujen kertolaskulle pätee seuraava laskusääntö: Jos a, b, c C, c ja ac = bc, niina = b. Tehtävä 9. Osoita, että kaikilla z, w C pätee () z = z, () z + w = z + w, (3) zw = z w ja (4) z = z. Tehtävä. Olkoot z = r(cos φ + i sin φ), jaw = s(cos θ + i sin θ). Osoita,että zw = rs(cos(φ + θ)+i sin(φ + θ)). Tehtävä. Olkoot z k = r k (cos φ k + i sin φ k ), k =,,...,n.osoitainduktiolla, että z k = z z z n =( r k )(cos( φ k )+isin( φ k )). Tehtävä. Osoita, että jokaisella kompleksiluvulla z C {} on m kappaletta m. juuria. Tehtävä 3. Määritä ykkösen kuudennet juuret. Kirjoita juuret muodossa, jossa ei käytetä trigonometrisiä funktioita eikä kompleksista eksponenttifunktiota. Piirrä kuva, jossa kaikki juuret esitetään tason pisteinä. Tehtävä 4. Ratkaise yhtälöt z 3 = i ja z 5 = napakoordinaattien avulla. Havainnollista ratkaisuja kuvalla. Tehtävä 5. Ratkaise yhtälöt z z +=ja z iz +=. Tehtävä 6. Olkoot a k R kaikilla k {,,...,n} ja olkoon z C yhtälön () a k z k = ratkaisu. Osoita, että z on yhtälön () ratkaisu. 6 Vihje: Käytä reaalilukujen laskutoimitusten vastaavia ominaisuuksia, jotka oletamme tunnetuiksi 5