LORENTZIN MUUNNOSTEN FYSIKAALISIA SEURAAMUKSIA

LORENTZIN MUUNNOSTEN FYSIKAALISIA SEURAAMUKSIA Lorentzin kontraktio: liikkuva sauva kutistuu Aikadilataatio: liikkuva kello jätättää Nämä fysikaaliset efektit johtavat arkijärjen kannalta vaikeasti ymmärrettäviin seuraamuksiin, paradokseihin : Lorentzin kontraktio lipputankoparadoksi aikadilataatio kaksosparadoksi Hyvä www-sivu: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/relcon.html#relcon

Lorentzin kontraktio " t '! t! vx % $ ' # & c x'!(x! vt) K sauvan lepokoordinaatisto l0 Δx' K eli sauva liikkuu K:ssa l0 Δx' γ ( Δx vδt) Δx l K K päät mitataan samanaikaisesti Δt 0 l γ l l v / c 0 0 Liikkuva sauva lyhenee ts. sauvan suhteen liikkuva havaitsija mittaa sen pituudeksi pienemmän numeron kuin sen suhteen levossa oleva havaitsija.

esimerkki: l 0 00 cm l [cm] 0.9 43.6 0.99 4. 0.999 4.5 Kaikki avaruudelliset etäisyydet näyttävät liikkuvan havaitsijan mielestä lyhyemmiltä. Esim. havaitsija aurinkokunnan läpi kiitävässä raketissa näkee Aurinko-Maa etäisyyden lyhyenevän yo. tavalla. 3

LIPPUTANKOPARADOKSI valittu mukavuussyistä lipputanko omassa lepokoordinaatistossaan: l 0 0 m v 3c / tallin lepokoordinaatistossa: l l 5 m mahtuu talliin! 0 5 m Nopeus aina suhteellista: lipputangon lepokoordinaatistossa v 3c / l 0 0 m l γ 5m, 5m 7,5 m tankoa jää ulkopuolelle? 4

Ongelman ratkaisu liittyy samanaikaisuuden määritelmään: pituusmittaus tapahtuu määritelmän mukaan mittaamalla päätepisteet samanaikaisesti. Mutta miten tietää, että lipputanko on tallin sisällä? signaali etenee korkeintaan valon nopeudella Tieto saapuu toiseen päähän ajassa Δt l / c tässä ajassa lipputanko on kulkenut max. matkan 0 3 vδt c l0 / c 8. 7 m eli takapää saa tiedon, kun se on 8.7-7.5 m. m tallin sisäpuolella Muistettakoon myös että ei ole olemassa absoluuttisen jäykkiä kappaleita: joko lipputanko tai vaihtoehtoisesti tallin takaseinä on murskautunut jo aikapäiviä sitten kun tangon takapäähän saapuu viimein tieto seinäkontaktista. 5

Aikadilataatio v K on kellon lepokoordinaatisto K K ajan mittaus kaksi tapahtumaa Δt ' t ' t ' Δx' 0 kellon paikka ei muutu K:ssa v Δ t γ Δt ' Δx ' c Δt ' Δt K liikkuu K :n suhteen nopeudella -v 0 aika venyy : liikkuvassa koordinaatistossa aika kuluu hitaammin 6

Oikeammin: K:n suhteen liikkuva kello näyttää K:n mielestä jätättävän verrattuna K:n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon. Aika ei kulu hitaammin K :ssa: kello on siellä levossa, mutta liike on suhteellista: K :sta katsottuna K:n kello jätättää verrattuna K :n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon. Kumpikin on oikeassa: ei ole olemassa oikeaa (absoluuttista) aikaa esimerkki: Δt vuosi Δt [päiviä] 0.9 59 0.99 5.4 0.999 6.4 0.9999 5.6 Entä jos Maasta (K) lähetetään raketti (K ), joka palaa takaisin niin, että K ja K voivat lopulta verrata kellojaan kumman kello on jätättänyt? kaksosparadoksi (kelloparadoksi) Tähän palataan myöhemmin 7

ESIMERKKI: epästabiilit hiukkaset Korkeaenergiaisia myoneja syntyy ilmakehän yläkerroksissa kosmisten säteiden (esim. protonien) aiheuttamissa reaktioissa. Myoni on epästabiili ja hajoaa keskimäärin ajassa T 0.56 0-6 s eli kulkee keskimäärin matkan ct 0 450 m. Mutta myoneja nähdään kuitenkin paljon! selitys: suhteellisuusteoria 8

Myonin kello liikkuu Maahan nähden ja siis jätättää. 9

Lorentz-kontraktio selittää ilmiön yhtä lailla: myonin näkemä matka kutistuu. 0

DOPPLERIN ILMIÖ lähetetään valonsäde K :sta K:hon v f hav f läh K K Mikä taajuus f hav havaitaan K:ssa kun K :sta lähteneen valon taajuus on f läh? K ja K päällekkäin kun t0 fotoni lähtee liikkeelle hetkellä t K:n aikaa K :sta fotonin kulkema matka on x vt ennen kuin se saapuu K:hon x c c( t t) t t c v intervalli t -t vastaanotetaan intervallina c ( t t) c v

Mikä siis on t -t K :ssa? Valonsäde saapuu K:hon K :n kellon mukaan kun t c v t x c v t t vt x ' γ γ K :n intervalli t -t vastaanotetaan siis intervallina ) ( ) ( ' ' t t t t t t Lähetetty frekvenssi ' f läh Δt loittoneva lähde f f lähestyvä lähde f f läh hav läh hav

läh läh läh läh läh hav f f f f f f ) ( ) ) ) ( ) (( (...)...)( (...) (...) ( 4 8 3 8 3 4 8 3 8 3 8 3 8 3 normaali Doppler: frekvenssi pienenee aallonpituus suure- nee punasiirtymä. suhteellisuusteoreettinen korjaus Loittonevalle kohteelle 3

AVARUUSAIKA Suhteellisuusteoriassa kolmiavaruus ja aika yhdessä muodostavat neliulotteisen avaruusajan. Tämä neliulotteinen avaruusaika ei kuitenkaan ole euklidinen vaan epäeuklidinen Minkowskin avaruus sen 907 ensimmäisenä esittäneen matemaatikko Hermann Minkowskin mukaan. Tarkastellaan siis neliulotteista avaruutta, jonka koordinaatit ovat x! (x 0, x, x, x 3 ) (ct, x, y, z) (t, x) missä x α on nelivektori Kreikkalaiset kirjaimet käyvät läpi kaikki aika-avaruuden suunnat (0,,,3), latinalaiset kirjaimet vain avaruussuunnat (,,3). Minkowskin huomio oli, että yhdistelmä!c t x y z!c t x ei muutu Lorentz-muunnoksissa, ts. se on Lorentz-invariantti. 4

Todistetaan tämä (voidaan rajoittua yksinkertaisuuden vuoksi :een ulottuvuuteen): aika avaruus " t '! t! vx % $ ' # & c x'!(x! vt)!c t ' x'! [!c (t! vx / c ) ( x! vt) ] Myös etäisyysmitta! [!c t! v x / c 4 tvx x v t! tvx]! [!(c! v )t (! v / c )x ]!c t x!c "t ("x "y "z ) ts. ei riipu siitä, missä koordinaatistossa se lasketaan. on invariantti, Erityisesti lepokoordinaatistossa laskettuna saadaan arvo c Δt lepo c Δτ missä τ on nimeltään invariantti itseisaika. 5

) ( ) ( c t dt dt dz dt dy dt dx c dt d z y x t c c v Δ Δ Δ Δ Δ τ τ Invariantin itseisajan suhde kelloaikaan t Erityisesti lepokoordinaatistossa kelloaika itseisaika: dt d τ Koska dτ on invariantti, se voidaan laskea missä koordinaatistossa hyvänsä. 6

Invariantin itseisajan (-aikavälin) neliö voi olla myös nolla tai negatiivinen! -c Δτ 0 valonlaatuinen < 0 ajanlaatuinen > 0 paikanlaatuinen Avaruusaika voidaan esittää avaruusaikadiagrammin avulla: ct x -ct ct x ct tulevaisuus valokartio - 45 o - - - x x maailmanviiva menneisyys valo kulkee pitkin valokartiota 7

Maailmanviivat pysyvät valokartion sisällä: tapahtumat ovat ajanlaatuisia. Maailmanviivat näyttävät erilaisilta eri koordinaatistoissa. Valokartion muoto ei muutu Lorentz-muunnoksissa, koska!c t ' x'!ct x Tapahtumat ovat pisteitä avaruusaika-diagrammissa. Esimerkki: avaruusraketti lähtee K:sta ajanhetkellä t nopeudella v 3c/5 ct v3c/5 valo kulkee valokartion kanssa samansuuntaisesti x 8

KAKSOSPARADOKSI ELI KELLOPARADOKSI A jää Maahan koordinaatistoon K A:n kaksonen B lähtee avaruusmatkalle lähes valon nopeudella A:n mielestä B:n kello jätättää, B:n mielestä A:n kello jätättää B kääntyy ja palaa takaisin Maahan, jolloin A ja B voivat vertailla kellojaan samassa lepokoordinaatistossa Kumman kello on jätättänyt? B kokee kiihtyvyyksiä lähtiessään, kääntyessään ja lopuksi pysähtyessään koordinaatistoon K. Kiihtyvä liike edellyttää yleistä suhteellisuusteoriaa, mutta ongelman voi ratkaista ilman kiihtyvyyden yksityiskohtaista tarkastelua. Ongelmaa voi tarkastella monella tavoin: seurataan tässä, miten A ja B vertailevat kellojaan. Kelloja voi vertailla vain lähettämällä signaaleja Maan ja avaruusraketin välillä. 9

Oletetaan konkreettisuuden vuoksi seuraavaa: B tekee matkan Maasta Siriukseen, joiden välinen etäisyys on 8 valovuotta B kulkee sekä meno- että paluumatkan tasaisella nopeudella v 4c/5 A:n suhteen Oletetaan, että kiihdytykset ja jarrutukset tapahtuvat äärettömän nopeasti A:n koordinaatistossa K raketti kulkee siis kaikkiaan 6 vv ja palaa takaisin ajassa 6 5/4 0 v A lähettää B:lle signaaleja, jotka kertovat, paljonko kello lähetyshetkellä on K:ssa Saatuaan signaalin B kuittaa sen välittömästi lähettämällä A:lle signaalin, jossa kertoo, paljonko kello lähetyshetkellä on K :ssa Signaalit lähetetään tasaisin välein, ja voimme hyödyntää taajuuskaavoja: loittoneva: f hav f läh t ' t lähestyvä: f hav f läh t ' t 0

Kun raketti loittonee Maasta, se saa A:n viestin välein 9 / 5 Δt ' Δt Δt 3Δt / 5 Esimerkki: Maasta vuoden välein lähetetyt viestit saadaan K :ssa kolmen vuoden välein; kuitatut, 3 vuoden välein lähetetyt viestit saadaan K:ssa 3 3 9 vuoden välein. Kun raketti lähestyy Maata, se saa A:n viestin välein / 5 Δt ' Δt Δt 3 9 / 5 Δt A lähettää B kuittaa B saa viestin A saa kuittauksen B loittonee B loittonee Δt 3Δt läh 9Δt läh B loittonee B lähestyy Δt 3Δt Δt /3 riippuu t :stä ja t :stä B lähestyy B lähestyy Δt Δt läh /3 Δt läh /9

ct 0 A saa vuonna lähetetyn signaalin takaisin vuonna 9 A päättelee: B sai signaalin A:n aikaa vuonna 8/5 B:n maailmanviiva Toisaalta A tietää, että B sai viestin kun t 3 vuotta Δ 5 3 t ' Δt valosignaalin maailmanviiva 0 Lorentz-muunnoksen avulla 3 Δt ' Δt dt ( 4 5) 5 γ Δt OK 4 8 x

lähtee A:sta B:ssä tyyppi takaisin A:ssa 3 3 3 9 5 6 3 3 8 0 B:ssä A- aikaa 5 7 3 / 3 8 / 3 / 3 8 8 3 / 3 8 / 3 3 / 3 9 / 3 / 3 9 5 tämän jälkeen lähetetyt viestit B saa paluumatkallaan 4 0 / 3 / 3 9 / 3 6 / 3 7 / 3 / 3 9 / 3 8 / 3 0 0 0 Esim: signaali lähtee A:sta kun t 5 Δt ' 3 3 3 3 7' loittonee lähenee B on palatessaan nuorempi kuin A 3

0 lähestyy A:n aika 0 0 B:n aika loittonee 4

MITÄ B NÄKEE? Ensimmäiset 3 / 3 vuotta A vanhenee vuotta aikadilataatio /(3 / 3 )3/5 OK Seuraavat 5 / 3 vuotta B lähettää signaalinsa poispäin mennessä ja vastaanottaa kuittauksen takaisin tullessaan tämän aikana A vanhenee kaikkiaan 6 vuotta Viimeiset 3 / 3 vuotta A vanhenee vuotta 60 Nuorempi on se, joka vaihtaa inertiaalikoordinaatistoa A pysyy koko ajan samassa lepokoordinaatistossa, B vaihtaa Siriuksessa koordinaatistoa Mistä A tietää ettei ole vaihtanut inertiaalikoordinaatistoa? Tämä vaatii kiihtyvyysmittauksen. http://www.helsinki.fi/~enqvist/artikkeli.dir/kaksos.html 5

Maa A:n koordinaatistossa raketti liikkuu Sirius 8 vv B:n koordinaatistossa Maa Sirius Lorentzkontraktio 4.8 vv raketti paikoillaan Raketin näkemä etäisyys pienenee 6

KÄSITTELY ITSEISAJAN AVULLA Itseisaika on invariantti: dτ dt v ( t) c ct lasketaan A:n lepokoordinaateissa ct paluu B:n rata t paluu (!! ) B dt " v (t) t paluu # < # dt t paluu 0 c 0 t paluu (!! ) A " dt t paluu 0 A:n lepokoordinaatisto x Kun kelloja lopuksi vertaillaan A:n lepokoordinaatistossa, se on silloin myös B:n lepokoordinaatisto itseisaika on sama kuin kelloaika ( Δτ ) Δt > ( Δτ ) Δt ' A B A:n kelloaika > B:n kelloaika kun kelloja verrataan koordinaatistossa K 7

MINKOWSKIN AVARUUS Avaruuden määrittämiseksi tarvitaan vielä pistetulo Kolmiavaruus: x x i (x, x, x 3 ) (x, y, z) x! x! ij x i x j x y z Invariantti kierroissa: x! Rx x' # x& % ( x " x! x'" x' (x, y, z)r T R y x " x % $ z ( ' kreikkalaiset indeksit α,,... 0,..., 4 latinalaiset indeksit i, j,..., 3 Minkowskin avaruus: x! (x 0, x, x, x 3 ) (ct, x, y, z) (t, x) Määritellään pistetulo siten, että vektorin pituus on invariantti Lorentzin muunnoksissa. 8

x!! x! "c t x y z # "c t x "c t ' x' # x'!! x'! Pistetulo invariantti Lorentzin muunnoksen määrittämissä 4-ulotteisen avaruuden kierroissa x!! L(v)x! x'! # ct& % ( x x! " x!! x'! " x'! (ct, x, y, z)l T L % ( % y ( % ( $ z '! x! " x! Minkowskin avaruus on epäeuklidinen: x!! x! " c t x 9

ETÄISYYDEN MÄÄRITELMÄ Kahden pisteen välinen etäisyys euklidisessa 3-avaruudessa: x ( x, y, z), x ( x dx, y dy, z dz) dl ( x x ) dx dy dz dx dx 0 Minkowskin avaruuden neliulotteinen etäisyys on vastaavasti < 0 ds (x! x! ) dx! " dx!!c dt dx dy dz 0 > 0 Minkowskin avaruudessa etäisyyden neliö voi olla negatiivinen. 30

Yleinen metriikka on 4 x 4 matriisi Minkowskin avaruuden metriikka määrittää pistetulon: x!! x! " "!# x! x # #x 0 x 0 x x x x x 3 x 3 Minkowskin metriikka:! "# diag(!,,,) NOTAATIO Metriikka ds g!" dx! dx "!c dt dx dy dz " #!" dx! dx " Einsteinin summasääntö: summa yli toistuvien indeksien 3

Minkowskin avaruuden 4-ulotteinen karteesinen koordinaatisto: yksikkövektorit e µ Huom! koordinaatisto ei ole euklidinen! e 0! e 0 ", e i! e j! ij, e 0! e j 0 # e µ! e " # µ" Mielivaltainen nelivektori x voidaan kirjoittaa tässä karteesisessa koordinaatistossa x! x 0 e 0 x e x e x 3 e 3! x 0 e 0 xe x ye y ze z! x 0 e 0 r Nelivektorien a ja b välinen pistetulo: a!! b! "a 0 b 0 a b a b a 3 b 3 # "a 0 a 0 a! b Toisessa, K:n suhteen x-akselin suuntaan liikkuvassa koordinaatistossa K x'! L(ve x )x! "(x 0! #x)e 0!(x! "x 0 )e x ye y ze z Nelivektori muuntuu Lorentz-muunnoksessa toiseksi nelivektoriksi 3

Esimerkki x! 3e 0! e! e e 3 x!! x! "9 [(") (") () ] 0 Nelivektorin pituus voi siis olla 0 vaikka vektori itsessään on 0 Toinen esimerkki y! e 0 e! 3e e 3 y!! y! "4 [() ("3) () ] 0 x!! y! 3"# [(" # ) (" # "3) (#)] "3 x'! x'! (x!" L # T )!!(L $# x)! x!! x! nelivektorin pituuden neliö on invariantti x'! y'! (x!" L # T )!!(L $# y)! x!! y! sama luku koordinaatistosta riippumatta kahden nelivektorin pistetulo on invariantti sama luku koordinaatistosta riippumatta kannattaa laskea invariantit koordinaatistossa, jossa lasku on helpoin 33

MINKOWSKIN AVARUUDEN FORMALISMIA Nelivektori voi yleisesti olla ajan ja paikan funktio; komponentti on tällöin A! (x 0, x); A'! L! " A " L! 0A 0 L! A L! A L! 3A 3 Tässäkin tapauksessa Totutellaan notaatioon jossa summattavat indeksit ovat eri kerroksissa nelivektorit muuntuvat nelivektoreiksi A!! A! "!# A! A # "(A 0 ) A! A "(A 0 ) (A x ) (A y ) (A z ) Sanomme, että nelivektorit A ja B ovat kohtisuorassa toisiaan vasten jos A! B! "# A " B # 0 Kolmiavaruudessa nopeus on vektori. Minkowskin avaruudessa sen vastine on nelinopeus, joka on nelivektori dx α /dt ei kuitenkaan käy, sillä dx! dt! d(l(v)x! ) dt ' " L(v) dx! dt 34

Itseisaika dτ on invariantti; määritellään siis nelinopeus u u!! dx!! d" dx " v / c dt # c dt " v / c dt e 0 dx & $ % dt ' (!ce 0!v!!(c, v) Nelinopeus muuntuu kuten muutkin nelivektorit u'! L(v)u! nelinopeuden määritelmä Nelinopeuden neliö on u!!u! "(u 0 ) u! u "! c! v "c nelinopeuden neliö on vakio 35

Esimerkki v x y z 0.6c; v v 0 v 0.6ce u! c! 0.6 e 0 0.6c! 0.6 e.5ce 0 0.75ce Voimme edelleen määritellä nelikiihtyvyyden Nelikiihtyvyys muuntuu kuten muutkin nelivektorit a! du! d" d x! d" a'! L(v)a! Nelikiihtyvyys on aina kohtisuorassa nelinopeutta vastaan: u!!u! c " u!! du! d" 0 " a!!u! 0 36

Mikä on nelikiihtyvyyden fysikaalinen merkitys? a! du!! d" du " # du!! v / c dt dt # d # dt c#e dx& 0! $ % dt ' ( #! d! dt ce d! 0 $ % dt v!a & ' ( d! dt d dt! v (t) / c v dv dt (! v (t) / c ) 3/ " 0 hetkellisessä lepokoordinaatistossa, jossa v 0 ja γ hetkellisessä lepokoordinaatistossa a! (0, a) Newtonin. laki on voimassa erityisessä kappaleen mukana liikkuvassa koordinaatistossa (yleensä tämä ei ole inertiaalikoordinaatisto!) 37