Oa VII Laplace muunno 1 Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 181 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 182 / 246 Laplace-muunno 1 Määritelmä ja peruominaiuudet Laplace-muunno Laplace-käänteimuunno Laplace-muunnoken lineaariuu Alkeifunktioiden Laplace-muunnokia Hyperboliet ja trigonometriet funktiot Potenifunktiot ja Gammafunktio Siirto :n uhteen Muunnoten olemaaolo 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia Olkoon f : R + C. Tarkatellaan komplekilukua, Re >. Uein on ykinkertaieti reaalinen. Funktion f Laplace-muunno L {f } L {f }() : on määritelty niillä joilla integraali uppenee. e t f (t) dt, (1.1) Ooittautuu, että jo integraali (1.1) uppenee jollekin, Re >, niin e uppenee kaikilla >. eli alueea H α : { C : Re > α R} jollakin vakiolla α >. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 183 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 184 / 246
Konventioita Laplace-käänteimuunno Merkitään jatkoa t:n funktioita pienillä kirjaimilla ja niiden muunnokia ioilla, ii eim. F on f :n muunno ja X on x:n muunno. Laplace muunnoken argumentti on funktio, e ei ii riipu t:tä. On ii oikein kirjoittaa L {f }. Kun tarkoitetaan muunnoken arvoa tietyä piteeä, kirjoitetaan L {f }(). Merkintä L {f (t)} on harhaanjohtava, tulohan ei riipu t:tä. Jo ii haluamme ottaa muunnoken funktiota t in 2t on oikein kirjoittaa L {t in 2t}. Uein tämä kuitenkin kaiketa huolimatta lyhennetään muotoon L {t in 2t} L {in 2t}, Oletetaan että F : H α C, ja F () L {f }() e t f (t) dt, niin funktiota f kututaan funktion F Laplace-käänteimuunnokeki ja merkitään f L 1 {F }. Erityieti ii L 1 {L {f }} f ja L {L 1 {F }} F. joa t kuvaa ii geneeritä arvoa ei jotakin tiettyä t arvoa. Mutta muotoa L {f (t)} ei ole yytä käyttää. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 185 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 186 / 246 Johdanto Eimerkki 1 Laplace muunno on integraalimuunno, kuten myö Fourier muunno. Se on muotoa f F, F () k(, t)f (t) dt, joa integraali on f määrittelyalueen ja k(, t) on muunnoken ydin. Fourier muunnoken tapaukea integoidaan reaaliakelin, k(, t) e ti Laplace muunnokea t [, ], C + ja k(, t) e t. Laplace ja myö Fourier muunnoken tärkeimpiä ovellukia differentiaali ja integraaliyhtälöiden teoria. Laketaan vakiofunktion f (t) 1, kun t Laplace-muunno F (). L {f }() L {1}() Huomaa, että e t e} tre {{} e} tiim {{} 1 > nimenomaan koka oletamme Re > e t dt 1 e t 1, t (Re > ). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 187 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 188 / 246
Eimerkki 2 Laplace-muunnoken lineaariuu Laketaan ekponenttifunktion f : t e αt, miä α on vakio ja t Laplace-muunno F. L {e αt }() e t e αt dt 1 α e ( α)t. Kun Re ( α) > eli Re > α, aadaan L {e αt } 1 α. t Laue 1 Laplace-muunno on lineaarinen kuvau: Jo f, g ovat funktioita, joille muunno L {f }() on olemaa kaikilla > α f, muunno L {g}() on olemaa kaikilla > α g, ja a, b C ovat vakioita, niin kaikilla > max{α f, α g } L {af + bg}() al {f }() + bl {g}(). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 189 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 19 / 246 Toditu Hyperboliet funktiot Väite euraa uoraan määritelmätä ja integraalioperaattorin lineaariuudeta: Oletetaan Re > max{α f, α g }.Silloin L {af + bg}() a e t [af (t) + bg(t)] dt f (t)e t dt + b al {f }() + bl {g}(). g(t)e t dt Laketaan hyperbolien koinin ja inin Laplace-muunnoket. Koka coh at (e at + e at )/2, aadaan Laueeta 1 ja Eimerkitä 2 L {coh at} 1 2 ( L {e at }+L {e at } ) 2( 1 1 a + 1 ) + a Vataavati inh at (e at e at )/2 ja L {inh at} 1 2 ( L {e at } L {e at } ) 1 1 2( a 1 ) + a 2 a 2. a 2 a 2. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 191 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 192 / 246
Koini ja ini (ratkaiu reaalianalyyin avulla) Sijoittamalla f (t) co ωt ja g (t) e t oittaiintegrointikaavaan b a f (t)g b (t) dt f (t)g(t) b a f (t)g(t) dt aadaan L {co ωt}() L {in ωt}() ta e t e t co ωt dt co ωt ω t 1 ω L {in ωt}(). e t in ωt dt ω L {co ωt}(). e t in ωt dt Koini ja ini (ratkaiu reaalianalyyin avulla, jatkoa) Olemme johtaneet L {co ωt}:lle eityken L {in ωt}:n avulla ja kääntäen. Sijoitetaan ne toiiina: L {co ωt}() 1 ω L {in ωt}() 1 ω ( ω ) L {co ωt}, ) (1 + ω2 2 L {co ωt}() 1 2, L {co ωt}() 2 2 + ω 2. L {in ωt}() ω L {co ωt}()... ω 2 + ω 2. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 193 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 194 / 246 Muunoken realiuu Huomatu Jo f : R + R, eli f (t) R kaikilla t >, L {f }() eli L {f }() R kaikilla > ; f (t)e t }{{} R, > dt R Trigometriten funktioiden Laplace muunno aadaan myö käyttäen komplekianalyyiä: Erityieti in t, co t R kaikilla t >. (1) Sijoitetaan a iω Eimerkiä 2, ja toiaalta (2) käytetään Eulerin kaavaa e iωt co ωt + i in ωt ja muunnoken lineaariuutta, L {e iωt }() L {e iωt }() (1) 1 + iω iω ( iω)( + iω) 2 + ω 2 + i ω 2 + ω 2 (2) L {coωt + i in ωt} + iω 2 + ω 2 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 195 / 246 Potenifunktio (luonnolliet luvut) Tutkitaan potenifunktion f (t) t n Laplace-muunnota, kun n, 1, 2,.... Eimerkin 1 nojalla, L {t 1} ( 1 ). L {t n+1 } voidaan ilmaita L {t n } avulla oittaiintegroimalla L {t n+1 }() Induktiolla aadaan yleieti e t t n+1 dt 1 e t t n+1 t } {{ } + n + 1 L {t n }() n L {tn 1 }() (n)! n+1. e t t n dt. } {{ } L {t n }() A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 196 / 246
Gamma-funktio Halutaan määritellä Laplace-muunno funktiolle t a, kun a > on reaalinen vakio. Tulo on helppo kirjoittaa Gamma-funktion Γ() t 1 e t dt, C + avulla. Jo Re niin integraali yllä uppenee iteieti. Gamma-funktiolle pätee, Γ(1) 1 Γ(1/2) π Γ( + 1) Γ(), C, Re Γ(n + 1) n Γ(n)... n!, n, 1, 2,... Huomaa Gamma-funktion ja kertoman yhtey. Kolmannen väitteen voi nähdä ooittaiintegroimalla: Γ( + 1) t e t dt t e t + }{{} t 1 e t dt Γ() A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 197 / 246 Kuva: Gamma-funktio reaaliakelilla. Huomaa erityieti lokaali minimi piteiden 1 ja 2 väliä. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 198 / 246 Potenifunktio t a, a > Lähdetään liikkeelle Laplace-muunnoken määritelmätä. Oletetaan > ja tehdään muuttujanvaihto x t L {t a } Saadaan e t t a dt ja erityieti, koka Γ(n + 1) n!, e x( x ) a dx L {t a } (a+1) Γ(a + 1), 1 a+1 e x x a dx, } {{ } Γ(a+1) Kuva: Funktio h(z) Γ(z) komplekitaoa. L {t n } n! n+1. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 199 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 2 / 246
Siirto :n uhteen Toditu Jo L {f } on tunnettu, niin funktion e at f (t) Laplace-muunno aadaan helpoti: Laue 2 Oletetaan, että f on Laplace-muuntuva, ja en muunno on F () kun Re > α. Tällöin kaikilla a C eli L {e at f (t)}() F ( a) e at f (t) L 1 {F ( a)}(t), kun Re ( a) > α Re > α + Re a. Suoraan määritelmätä aadaan F ( a) e ( a)t f (t) dt e t [e at f (t)] dt L {e at f (t)}. Jo F () on olemaa, kun Re > α, niin integraali on olemaa, kun Re ( a) > α. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 21 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 22 / 246 Eimerkki Etitään käänteimuunno f lauekkeelle F () 3 137 2 L {f }(). + 2 + 41 Käyttämällä käänteimuunnoken lineaariuutta laueke voidaan kirjoittaa oamurtoina, in ja co muunnokina Välittömäti iirtolaueeta ja trigonometriten ja hyperboliten funktioiden muunnokaavoita aadaan L {e at a co ωt}, L {e at ω in ωt}, ( a) 2 +ω 2 ( a) 2 +ω 2 L {e at a coh ωt}, L {e at ω inh ωt}. ( a) 2 ω 2 ( a) 2 ω 2 Valitemalla a 1 ja ω 41 a 2 2 nimittäjä voidaan kirjoittaa ( a) 2 + ω 2 ( 2 2a + a 2 ) + ω 2 2 + 2 + 41. joten F () 3( + 1) 14 ( + 1) 2 + 4 3 + 1 ( + 1) 2 + 2 2 7 2 ( + 1) 2 + 2 2, f (t) L 1 {F }(t) e t (3 co 2t 7 in 2t). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 23 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 24 / 246
Exponentiaalinen kavu Integraali täyttää kavuehdon Jo g täyttää kavuehdon vakioilla M ja α niin integraalifunktio Sanomme että funktio f täyttää exponentiaalien kavuehdon jo on olemaa vakiot M > ja α > iten että kaikilla t määrittelyalueellaan f (t) Me αt. (1.2) Kavuvauhti on tärkeä, koka e antaa riittävän ehdon Laplace muunnoken uppenemielle. f (t) g() + g(t) dt täyttää ehdot vakioilla M g() + M α ja α α: Huomattavaa on, että kavuvauhti α ei muutu. Toditu: f (t) g() + g(t) dt g() + M e αt dt g() + M α (eαt 1) ( g() + M α )eαt A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 25 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 26 / 246 Kaikki alemmat derivaatat täyttävät kavuehdon Laplace-muunnoken olemaaolo Jo f (n) täyttää kavuehdon vakioilla M n, α niin f (k), k, 1,..., n 1 täyttää kavuehdon vakiolla M k, α. M k riippuu arvoita f (k+1) (), f (k+1) (),..., f (n) (). Tod: Kun n 1 ja k valite edellieä kalvoa g f. Yleieä tapaukea valite f f (n) ja g f (n 1) ja käytä induktioita. Laue 3 Jo niin f (t) on määritelty ja paloittain jatkuva t R + ja f täyttää exponentiaalien kavuehdon vakioilla M ja α, Laplace-muunno L {f }() on olemaa ja analyyttinen H α ja L {f }() < C k jollakin vakiolla C ja k. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 27 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 28 / 246
Olkoon nyt ɛ ( α + Re )/2 jolloin α < α + ɛ Re ɛ < Re ja Toditu Laplace muunno on olemaa kaikilla H α : L {f }() F () F () Analyyttiyy euraa jo lauekeea F () e t f (t) dt f (t) e t dt integraali todella uppenee kaikilla H α. Me αt e tre dt ( t)e t f (t) dt M Re () α. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 29 / 246 F () te tɛ e t(ɛ Re ) f (t) dt }{{}}{{} 1/(ɛe) Me ɛt M eɛ 2 4M e (α Re ) 2 joten F on analyyttinen funktio puolitaoa H α. Edelleen F (k) () ( t) k e t f (t) dt 4M ke k ɛ 2 4M (α Re ) 2 ke k Väite, että F voidaan rajoittaa avulla aadaa euraavati: Kun R, edeltä näkyy että F () < 4M/ 2 kun > 2α. Yleinen tapau H α aadaan tarkatemalla analyyttitä funktiota F φ ykikköympyrää joa φ on Möbiukuvau joka vie piteet φ : (α + ɛ, α ± i) (, ±i). Nyt φ(1) ja φ() α + ɛ ja F φ(ω) kavua voidaan tarkatella MacLaurin -arjan avulla. Ykityikohdat ohitetaan. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 21 / 246 Käänteimuunnoken olemaaolo Toditu Laue Oletetaan: F on analyyttinen funktio puolitaoa H α : { C : Re > α}. On olemaa vakiot M ja k >, iten että F () M k, H α. Tällöin on olemaa funktio f, jolle F () L {f }(), L 1 {F }(t) f (t) : 1 2π δ+i δ i miä δ voidaan valita vapaati, kunhan δ > α. e t F () d, Oletetaan, että δ > α ja C γ R Γ R, joa γ R [δ + ir, δ ir], kuten kuvaa (nk. Bromwichin polku). Oletetaan, että on ellainen pite C:n iällä, että Re > δ > α. Koka F on alueea analyyttinen, aadaan Cauchyn integraalikaavata 2πi F () C F () z dz γ R F () z dz + Γ R F () z dz A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 211 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 212 / 246
Mutta ML-epäyhtälötä aadaan uurille R:n arvoille F () z dz MR R k (R ), R joten Γ R δ+i F () 2πi F () δ i z dz Koka liäki L {e zt }() 1 z aamme L {g}() F () L {g}() 1 δ+i F (z) 2πi z dz L {g}() 1 2πi { L g(t) 1 2πi δ i δ+i δ i δ+i δ i F (z) L {e zt } dz } F (z)e zt dz () kun g f. Laplace muunnoken ykikäitteiyydetä euraa ettei muita funktioita f ole. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 213 / 246 1 Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta Derivaatan Laplace-muunno Integraalin Laplace-muunno Differentiaaliyhtälö ja Laplace-muunno 3 Yleiiä Laplace-muunnokia A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 214 / 246 Johdanto Laplace-muunno on erityien hyödyllinen ratkaitaea differentiaaliyhtälöitä ja niihin liittyviä alkuarvo-ongelmia. Ajatukena on, että funktioiden derivointi ja integrointi vataa muunnoten algebralliia operaatioita. Karkeati voidaan ajatella, että f :n derivointi vataa L {f }:n kertomita :llä ja f :n integrointi L {f }:n jakamita :llä. Derivaatan Laplace-muunno Laue 1 Olkoon f : R + C ja f (m) paloittain jatkuva ja toteuttaa ekponentiaalien kavuehdot (1.2) jollakin vakioilla α, M: f (m) (t) Me αt, t > (2.1) Tällöin L {f (k) } on määritelty kaikille k 1, 2,..., m ja L {f }() L {f }() f (), L {f }() 2 L {f }() f () f (), L {f }() 3 L {f }() 2 f () f () f (), k 1 L {f (k) }() k L {f }() k j f (j) (). j A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 215 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 216 / 246
Toditu Eimerkki 1 Oletetaan että funktio g on paloittain jatkuva. Suoraan määritelmätä aadaan oittaiintegroimalla L {g } e t g (t) dt e t g(t) + e t g(t) dt. t }{{}}{{} g() L {g} Jo f (m) toteutaa kavuehdon, myö kaikki alemmat derivaatat f (k), k, 1, 2,..., m toteuttavat en (kato aikaiemmin). Yleinen f (k) kokeva väite aadaan induktiolla; ijoitetaan edellieen g(t) f (k 1), jolloin aadaan väite f (k) :lle. Tutkitaan funktiota f (t) t in ωt. Tällöin f (), f (t) in ωt + ωt co ωt, f (), f 2ω co ωt ω 2 t in ωt. Laketaan L {f } käyttäen hyväki Lauetta 1. Saadaan ii L {f } 2ω 2 + ω 2 ω2 L {f } 2 L {f }, L {f } L {t in tω} 2ω ( 2 + ω 2 ) 2. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 217 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 218 / 246 Eimerkki 2, koinin ja inin muunnoket Tarkatellaan funktiota f (t) co ωt. Nyt f () 1, f (), f (t) ω 2 co ωt. Käyttämällä Lauetta 1 ja Laplace-muunnoken lineaariuutta aadaan Sii L {f } 2 L {f } ω 2 L {f }. L {f } L {co ωt} 2 + ω 2. Vataavati funktiolle g(t) in ωt aadaan g(), g () ω co ωt, joten aadaan Saadaan L {g } L {g} ωl {co ωt}. L {inωt} ω ω L {co ωt} 2 + ω 2. Integraalin Laplace-muunno Laue 3 Oletetaan, että f (t) on paloittain jatkuva funktio, kun t ja en Laplace-muunno F () toteuttaa ekponentiaalien kavuehdon (1.2) vakioilla M, α. Tällöin { t } L f (u) du 1 t { 1 F (), eli f (u) du L }, 1 F () kun >, > α ja t >. Tämä tulo on erityien hyödyllinen Laplace-käänteimuunnoten etimieä. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 219 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 22 / 246
Toditu Differentiaaliyhtälön ratkaieminen Laplace-muunnoken avulla Olemme jo aikaiemmin ooittaneet että g(t) t f (u) du toteuttaa ekponentiaalien kavuehdon (1.2). Koka g (t) f (t) paiti niiä piteiä, joia f (t) ei ole jatkuva, g(t) on paloittain jatkuva. Edelleen, g() ja Laueen 1 nojalla L {f (t)} L {g (t)} L {g(t)} g() L {g(t)}. Tarkatellaan alkuarvo-ongelmaa y + ay + by r(t), y() K, y () K 1. Tehdään muunno Y L {y}, R L {r}. Saadaan [ 2 Y () y() y ()] + a[y () y()] + by () R(). Tämä voidaan edelleen kirjoittaa muotoon ( 2 + a + b)y () ( + a)y() + y () + R(). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 221 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 222 / 246 Differentiaaliyhtälön ratkaieminen.., jatkoa Eimerkki Kirjoitetaan Saadaan Q() 1 2 + a + b 1 ( + 1 2 a)2 + b 1 4 a2 Ratkaitaan y y t, y() 1, y () 1. Tekemällä Laplace-muunno aadaan 2 Y y() y () Y 1/ 2, Y () [( + a)y() + y ()]Q() + R()Q(). Erityieti, jo y() y (), niin Y RQ. Tulokena aadaan y L 1 {Y }. Huomautu: Tää joudutaan uein lakemaan oamurtoja. eli Nyt Q() 1/( 2 1), ja ii ( 2 1)Y + 1 + 1/ 2. Y ( + 1)Q + 1 2 + 1 2 1 + 1 2 ( 2 1). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 223 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 224 / 246
Eimerkki, jatkoa Sieventämällä ja uorittamalla jako oamurtoihin aadaan Y 1 1 + 1 2 1 1 2 y L 1 {Y } L 1 { 1 1 e t + inh t t. } + L 1 { 1 2 1 } L 1 { 1 2 } Eimerkki Ratkaitaan alkuarvo-ongelma y + y + 9y alkuarvoilla y(), 16, y (). Käyttämällä derivaatan Laplace-muunnoken kaavaa aadaan Ratkaitaan Y. Saadaan eli, 16( + 1) Y 2 + + 9 Käänteimuunnokella aadaan 2 Y, 16 + Y, 16 + 9Y. ( 2 + + 9)Y, 16( + 1), y(t) L 1 {Y } e t/2(, 16 co, 16( + 1/2) +, 8 ( + 1/2) 2 + 35/4. 35, 8 35 ) t + in 4 35/4 4 t e,5t (, 16 co 2, 96t +, 27 in 2, 96t). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 225 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 226 / 246 Siirretty alkuarvo-ongelma Eimerkki Ratkaitaan alkuarvo-ongelma y + y 2t, y(π/4) π/2, y (π/4) 2 2. Jo alkuarvo-ongelman alkuarvot on annettu piteeä t > muunnetaan ongelma ijoitettamalla t t + t. Koka t t t Laplace-muunnota voidaan oveltaa ongelman ratkaiemieki tarkatelalla ongelmaa t funktiona. Saadaan t π/4, t t + π/4. Ratkaitava ongelma on ỹ + ỹ 2( t + π/4), ỹ() π/2, ỹ() 2 2, miä ỹ( t) y(t). Laplace-muunnoken avulla aadaan 2 Ỹ π/2 (2 2) + Ỹ 2/ 2 + π/(2), joten ( 2 + 1)Ỹ 2/ 2 + π/(2) + π/2 + 2 2. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 227 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 228 / 246
Eimerkki, jatkoa Ratkaiemalla Ỹ aadaan 2 Ỹ ( 2 + 1) 2 + π/2 ( 2 + 1) + π/2 2 + 1 + 2 2 2 + 1. Kahden eimmäien termin käänteimuunnoket lakettiin Eimerkiä 3, kaki viimeitä ovat inin ja koinin muunnoket (kertaa vakio). Ratkaiu on ii ỹ L 1 {Ỹ } 2( t in t) + 1 2 π(1 co t) + 1 2 π co t + (2 2) in t. 1 Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia Siirto t:n uhteen Diracin deltafunktio Konvoluution Koka t t π/4, in t (in t co t)/ 2 ja y(t) 2t in t + co t. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 229 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 23 / 246 Uein eiintyvien funktoiden Laplace-muunnokia f (t) L {f } 1. 1 1/ 2. t 1/ 2 3. t 2 2!/ 3 4. t n, n 1, 2,... n! n+1 Γ(a+1) a+1 5. t a, a > 6. e at 1 a 7. co ωt 2 +ω 2 8. in ωt ω 2 +ω 2 9. coh at 2 a 2 1. inh at a 2 a 2 11. e at co ωt a ( a) 2 +ω 2 12. e at in ωt ω ( a) 2 +ω 2 Heaviiden funktion Laplace-muunno Tarkatellaan ykikköakelfunktiota eli Heaviiden funktiota u(t): {, kun t < a, u(t a) 1, kun t a, kun a. Suoraan määritelmätä aadaan L {u(t a)} e t u(t a) dt Heaviiden funktion muunnokeki ii aadaan L {u(t a)} e at, ( > ). a e t 1 dt e t ta. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 231 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 232 / 246
Siirto t:n uhteen Toditu Kirjoitetaan Laue 1 Jo funktio f (t) on Laplace-muuntuva kun > α, niin iirretyllä funktiolla {, kun t < a, g(t) f (t a)u(t a) f (t a), kun t a. on muunno kun > α ja L {g}() L {f (t a)u(t a)}() e a F (). e a F () e a e τ f (τ) dτ Sijoitetaan τ + a t ja aadaan e a F () a e t f (t a) dt. Siirretään integrointiväliä funktiolla u(t a) e a F () e t f (t a)u(t a) dt e (τ+a) f (τ) dτ. e t f (t) dt. Integraali yhtälön oikealla puolella on haluttu Laplace-muunno. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 233 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 234 / 246 Eimerkki 1: ykikköakelfunktion käyttö Eimerkki 1: ykikköakelfunktion käyttö, jatkoa Ilmaitaan funktio 2, kun t < 1, 1 f (t) 2 t2, kun 1 a < π/2, co t, kun t π/2. ykikköakelfunktion avulla, ja laketaan en Laplace-muunno. Funktio f (t) voidaan kirjoittaa f (t) 2(1 u(t 1))+ 1 2 t2( u(t 1) u(t 1 2 π)) +(co t)u(t 1 2 π). Lauetta 1 voidaan oveltaa erikeen kaikkiin termeihin, joia eiintyy muotoa f (t a)u(t a) oleva funktio. Jäljelle jää termi 2(1 u(t 1)), jonka muuno on 2(1 e )/. Laketaan L { (t 2 /2)u(t a) } ( 1 3 + 1 2 + 1 ) e 2 { 1 L 2 t2( t 1 )} ( 1 2 π 3 + π 2 2 + π2 ) e π/2 8 { L (co t) (t 1 )} 2 π 1 2 + 1 e π/2. L {f } aadaan lakemalla nämä yhteen. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 235 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 236 / 246
Diracin deltafunktio, kertauta Deltafunktion Laplace-muunno Palautetaan mieleen määritelmä { 1/ε, kun t [, ε], f ε (t), muulloin. Raja-arvona aadaan Diracin deltafunktio Erityieti pätee kaikille jatkuville g(t). δ(t) lim ε + f ε(t). g(t)δ(t a) dt g(a) u(t) u(t ɛ) ɛ Laketaan Laplace-muunno L {f ε (t a)} a+ε a 1 ε e t dt 1 ε [e a e (a+ε) ] Raja-arvo aadaan l Hôpitalin äännön nojalla. Joten L {δ(t a)} e a. e a 1 e ε ε }{{} 1, kun ɛ A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 237 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 238 / 246 Eimerkki: vaaraniku jouea Tutkitaan jouiyteemin mallia, my + cy + ky r(t), miä m on jouea olevan punnuken maa, c on vaimenemikerroin, k jouivakio ja r(t) joueen vaikuttava ulkoinen voima. Tutkitaan tätä tyyppiä olevaa tilannetta, joa yhtälö on y + 3y + 2y δ(t 1), eli joueen kohdituu ykikköimpuli ( vaaraniku ) hetkellä t 1. Alua yteemi on lepotilaa, eli y() ja y (). Muodotetaan Laplace-muunno. Saadaan Eimerkki: vaaraniku jouea, jatkoa Ratkaitaan yhtälö algrebrallieti: Y () e ( 1 ( + 1)( + 2) + 1 1 ) e. + 2 Laueen 1 avulla ratkaiuki aadaan { y(t) L 1, kun < t < 1, {Y } e (t 1) e 2(t 1), kun t 1. ( 2 + 3 + 2)Y () e. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 239 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 24 / 246
Konvoluutio, motivaatio Konvoluutio, eimerkki Motivaatio: Tunnetaan muunnoket L {f }, L {g}. Halutaan löytää funktio h, jonka muunno on L {f }L {g}. Erityieti yleenä L {fg} L {f }L {g}. Tarkatellaan funktioita f e t, g 1, jolloin fg e t. Laketaan Laplace-muunnoket: L {f } L {fg} 1/( 1), L {g} 1/. Sii L {f }L {g} 1/( 2 ) L {fg}. A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 241 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 242 / 246 Konvoluutio Toditu Määritellään f, g : R + C:n konvoluutio funktiona f g : R + C, jo ko integraali uppenee. (f g)(t) : t f (τ)g(t τ) dτ, Laue Jo funktiot f, g ovat Laplace-muuntuvia, niin L {f g} L {f }L {g}. Merkitään F () e τ f (τ) dτ, G() e ρ g(ρ) dρ. Aetetaan t ρ + τ, jolloin ρ t τ ja t:n vaihteluväli on τ:ta :ään. Kirjoitetaan G() τ e (t τ) g(t τ) dt e τ e t g(t τ) dt. τ A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 243 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 244 / 246
Toditu, jatkoa Laketaan F ()G() e τ f (τ)e τ e t g(t τ) dt dτ f (τ) Vaihtamalla integrointijärjetytä aadaan F ()G() τ τ e t g(t τ) dt dτ. t e t f (τ)g(t τ) dτ dt L {f g}() e t (f g)(t) dt Eimerkki Etitään h(t), kun tunnetaan H() 1 ( a). Funktion 1/( a) käänteimuunno on f (t) e at, ja funktion 1/ käänteimuunno on g(t) 1. Laketaan konvoluutio h(t) e at 1 t e aτ 1 dτ 1 a (eat 1). A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 245 / 246 A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 246 / 246