Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1

Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja arvolause Log normaali, Cauchy, Gamma, Beta ja Weibull jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 2

Jatkuva tasainen jakauma Jatkuva tasainen jakauma ja sen tiheysfunktio 1/3 Olkoon satunnaismuuttujan X arvoalueena reaaliakselin äärellinen väli [a, b]. Olkoot [c 1, d 1 ] ja [c 2, d 2 ] välin [a, b] kaksi mielivaltaista, samanpituista osaväliä: [c 1, d 1 ] [a, b] [c 2, d 2 ] [a, b] d 1 c 1 = d 2 c 2 Oletetaan, että väleihin [c 1, d 1 ] ja [c 2, d 2 ] liittyvät todennäköisyydet ovat yhtä suuria: Pr( X [ c, d ]) = Pr( X [ c, d ]) 1 1 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 3

Jatkuva tasainen jakauma Jatkuva tasainen jakauma ja sen tiheysfunktio 2/3 Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on 0, x< a 1 f( x) =, a x b b a 0, x> a Funktio f(x) kelpaa tiheysfunktioksi, koska b a f ( x) dx = 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 4

Jatkuva tasainen jakauma Jatkuva tasainen jakauma ja sen tiheysfunktio 3/3 Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa parametreinaan a ja b. Merkintä: X Uniform(a, b) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 5

Jatkuva tasainen jakauma Jatkuva tasainen jakauma ja sen kertymäfunktio Olkoon X Uniform(a, b). Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on 0, x a x a F( x) = Pr( X x) =, a x b b a 1, x b TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 6

Jatkuva tasainen jakauma Jatkuva tasainen jakauma ja sen kertymäfunktio: Johto Olkoon X Uniform(a, b). Satunnaismuuttujan X tiheysfunktion lauseke, kun x [a, b] : 1 f( x) = b a Siten satunnaismuuttujan X kertymäfunktion lausekkeeksi saadaan, kun x [a, b] : x x 1 F( x) = Pr( X x) = f () t dt = dt b a a 1 = b a = x a b a x a TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 7

Jatkuva tasainen jakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X Uniform(a, b). Odotusarvo: a+ b E( X) = 2 Varianssi ja standardipoikkeama: 2 ( b a) Var( X) = D ( X) = 12 b a D( X) = 2 3 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 8

Jatkuva tasainen jakauma Odotusarvon johto Olkoon X Uniform(a, b) Tällöin + 1 E( X ) = xf ( x) dx = x dx b a b a 1 1 2 = x b a 2 2 2 b a = 2( b a) a+ b = 2 b a TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 9

Jatkuva tasainen jakauma Tiheysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää jatkuvan tasaisen jakauman Uniform(a, b) tiheysfunktiota 1 f( x) =, a x b b a Jakauman odotusarvo: a+ b E( X) = 2 a Uniform(a, b) 1 b a b a+ b E( X) = 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 10

Jatkuva tasainen jakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuudet Jatkuvan tasaisen jakauman tiheysfunktio 1 f( x) =, a x b b a saa positiivisen vakioarvon 1/(b a) välillä [a, b] ja saa arvon 0 välin [a, b] ulkopuolella. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 11

Jatkuva tasainen jakauma Kertymäfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää jatkuvan tasaisen jakauman Uniform(a, b) kertymäfunktiota 0, x a x a F( x) =, a x b b a 1, x b 1 0 a Uniform(a, b) b TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 12

Jatkuva tasainen jakauma Todennäköisyyksien määrääminen jatkuvasta tasaisesta jakaumasta 1/2 Olkoon X Uniform(a, b). Olkoon [c, d] [a, b] jokin välin [a, b] osaväli. Välin [c, d] todennäköisyys saadaan integroimalla jatkuvan tasaisen jakauman Uniform(a, b) tiheysfunktio 1 f( x) =, a x b b a välillä [c, d]: d d c Pr( c X d) = f ( x) dx = b a c TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 13

Jatkuva tasainen jakauma Todennäköisyyksien määrääminen jatkuvasta tasaisesta jakaumasta 2/2 Kaikkien muiden jatkuvaan tasaiseen jakaumaan Uniform(a, b) liittyvien tapahtumien todennäköisyydet saadaan välin [a, b] osavälien todennäköisyyksistä todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 14

Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma >> Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja arvolause Log normaali, Cauchy, Gamma, Beta ja Weibull jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 15

Eksponenttijakauma Eksponenttijakauma ja sen tiheysfunktio Olkoon satunnaismuuttujan X tiheysfunktio λ x f( x) = λe, λ > 0, x 0 Funktio f(x) kelpaa tiheysfunktioksi, koska + 0 f ( x) dx = 1 Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa eksponenttijakaumaa parametrinaan λ. Merkintä: X Exp(λ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 16

Eksponenttijakauma Eksponenttijakauma ja sen kertymäfunktio Olkoon X Exp(λ). Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on λx F( x) = Pr( X x) = 1 e, λ > 0, x 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 17

Eksponenttijakauma Eksponenttijakauma ja sen kertymäfunktio: Johto Olkoon X Exp(λ). Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio: λx f( x) = λe, λ > 0, x 0 Siten satunnaismuuttujan X kertymäfunktioksi saadaan, kun x 0 : λt F( x) = Pr( X x) = f () t dt = λe dt x x 0 = e = 1 e λt λx x 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 18

Eksponenttijakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X Exp(λ). Odotusarvo: 1 E( X) = λ Varianssi ja standardipoikkeama: 2 Var( X) D ( X) 1 D( X) = λ = = 1 2 λ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 19

Eksponenttijakauma Odotusarvon johto Olkoon X Exp(λ) Tällöin osittaisintegroinnilla saadaan: + + λx E( X ) = xf ( x) dx = xλe dx 0 0 1 = e λ 1 = λ + λx + λx xe e dx 0 0 = + λx + 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 20

Eksponenttijakauma Tiheysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää eksponenttijakauman Exp(λ) tiheysfunktiota f( x) =λe λx välillä [0, 6], kun (i) λ = 1/2 (ii) λ = 1/4 Jakauman odotusarvo: E( X) = 1/ λ 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Exp(λ) Exp(1/2) Exp(1/4) 0 2 4 6 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 21

Eksponenttijakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuudet Eksponenttijakauman tiheysfunktio λ x f( x) = λe, λ > 0, x 0 on positiivinen kaikille ei negatiivisille argumentin arvoille: f(x) > 0, x > 0 Tiheysfunktiolla on maksimi pisteessä x = 0 Tiheysfunktio on monotonisesti laskeva kaikille λ > 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 22

Eksponenttijakauma Kertymäfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää eksponenttijakauman Exp(λ) kertymäfunktiota F( x) = 1 e λx välillä [0, 6], kun λ = 1/2 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Exp(λ) 0 2 4 6 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 23

Eksponenttijakauma Poisson prosessi Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista jatkuvalla aikavälillä, jonka pituus on t aikayksikköä. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja Z = Niiden tapahtumien lukumäärä, jotka sattuvat aikavälillä [0, t] Sopivin oletuksin satunnaismuuttuja Z noudattaa Poisson jakaumaa parametrinaan νt: Z Poisson(νt) Parametri νt kuvaa tapahtumaintensiteettiä eli tapahtumien keskimääräistä lukumäärää aikavälillä, jonka pituus on t aikayksikköä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 24

Eksponenttijakauma Poisson prosessi ja eksponenttijakauma Olkoon Z Poisson(νt) Määritellään jatkuva satunnaismuuttuja X = Ensimmäisen tapahtuman sattumisaika = Tapahtumien väliaika Satunnaismuuttuja X noudattaa eksponenttijakaumaa parametrinaa ν : X Exp(ν) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 25

Eksponenttijakauma Eksponenttijakauman tiheysfunktion johto 1/2 Olkoon X Exp(λ) Johdetaan ensin satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F X. Kertymäfunktion määritelmän ja komplementtitodennäköisyyden kaavan mukaan ( ) FX ( x) = Pr( X x) = 1 Pr( X > x) Ensimmäinen tapahtuma sattuu ajanhetken x jälkeen, jos ja vain jos aikavälillä [0, x] ei ole sattunut yhtään tapahtumaa. Siten Pr( X > x) = Pr( Z = 0) jossa Z Poisson(λx). Poisson jakauman pistetodennäköisyysfunktion kaavasta saadaan: Pr( X > x) = Pr( Z = 0) = exp( λx) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 26

Eksponenttijakauma Eksponenttijakauman tiheysfunktion johto 2/2 Sijoittamalla tämä satunnaismuuttujan X lausekkeeseen ( ) kalvolla 1/2 saadaan josta satunnaismuuttujan X tiheysfunktioksi saadaan derivoimalla Siten F ( x) = Pr( X x) = 1 Pr( X > x) = 1 exp( λx) X d fx( x) = FX( x) = λexp( λx) dx X Exp(λ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 27

Eksponenttijakauma Eksponenttijakauman unohtamisominaisuus Olkoon X Exp(λ). Tällöin Pr( X a+ b X b) = Pr( X a) Siten eksponenttijakaumalla on seuraava unohtamisominaisuus: Se, että tapahtuman sattumista on jouduttu odottamaan ajan b, ei vaikuta todennäköisyyteen joutua odottamaan ajan a lisää. Poisson prosessin unohtamisominaisuutta on esimerkki stokastisen prosessin Markov ominaisuudesta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 28

Eksponenttijakauma Todennäköisyyksien määrääminen eksponenttijakaumasta 1/2 Olkoon X Exp(λ). Olkoon [c, d] [0, + ) jokin välin [0, + ) osaväli. Välin [c, d] todennäköisyys saadaan integroimalla eksponenttijakauman Exp(λ) tiheysfunktio λx f( x) = λe, λ > 0, x 0 välillä [c, d]: d λc Pr( c X d) = f( x) dx= e e c λd TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 29

Eksponenttijakauma Todennäköisyyksien määrääminen eksponenttijakaumasta 2/2 Kaikkien muiden eksponenttijakaumaan Exp(λ) liittyvien tapahtumien todennäköisyydet saadaan välin [a, b] osavälien todennäköisyyksistä todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 30

Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma >> Normaalijakauma Keskeinen raja arvolause Log normaali, Cauchy, Gamma, Beta ja Weibull jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 31

Normaalijakauma Normaalijakauma ja sen tiheysfunktio 1/2 Olkoon satunnaismuuttujan X tiheysfunktio 2 1 1 x µ f( x) = exp, < µ <+, σ > 0 σ 2π 2 σ < x< + Funktio f(x) kelpaa tiheysfunktioksi, koska + f ( x) dx = 1 Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa parametreinaan µ ja σ 2. Merkintä: X N(µ, σ 2 ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 32

Normaalijakauma Normaalijakauma ja sen tiheysfunktio 2/2 Normaalijakaumaa kutsutaan kehittäjänsä mukaan usein Gaussin jakaumaksi ja sen tiheysfunktion kuvaajaa Gaussin käyräksi tai kellokäyräksi (engl. bell curve). TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 33

Normaalijakauma Normaalijakauma ja sen kertymäfunktio Olkoon X N(µ, σ 2 ). Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on 1 t µ 1 2 σ F( x) = Pr( X x) = e dt σ 2π Koska normaalijakauman tiheysfunktion integraalifunktiota ei osata esittää suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla, niin normaalijakauman kertymäfunktiolle ei voida antaa eksplisiittistä lauseketta. Siten normaalijakauman kertymäfunktion arvojen määräämiseen on käytettävä numeerista integrointia. x 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 34

Normaalijakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X N(µ, σ 2 ). Odotusarvo: E( X ) = µ Varianssi ja standardipoikkeama: Var( X) = D ( X) = σ D( X) = σ 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 35

Normaalijakauma Odotusarvon johto 1/2 Olkoon X N(µ, σ 2 ) Tällöin Sijoituksella z = saadaan: x µ σ + + 1 x µ 1 2 σ σ 2π E( X ) = xf ( x) dx = xe dx 1 + z 1 2 µ σ 2π E( X ) = ( + z) e dz 1 1 + z + z 1 2 σ 2 µ 2π 2π 2 2 2 = e dz + ze dz 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 36

Normaalijakauma Odotusarvon johto 2/2 Nyt Perustelu: 1 1 + z + z 1 2 σ 2 2π 2π 2 2 E( X) = µ e dz + ze dz = µ 1 2 1 2 + z + z 1 2 1 2 e dz e dz 1 2π 2π µ = µ = µ = µ koska integroitava on standardoidun normaalijakauman N(0,1) tiheysfunktio ja 1 2 + z σ 2 ze dz = 0 2π koska integroitava on muuttujan z pariton funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 37

Normaalijakauma Tiheysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää normaalijakauman N(µ, σ 2 ) tiheysfunktiota välillä [ 6, +6], kun (i) µ = 2 σ 2 = 4 (ii) µ = 0 σ 2 = 1 (iii) µ = +3 σ 2 = 0.09 Jakauman odotusarvo: { 2 ( ) } 2 x f( x) = exp E( X ) = µ 1 1 µ σ 2π 2σ 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 N(µ, σ 2 ) N(3, 0.09) N(0,1) N( 2, 4) 6 4 2 0 2 4 6 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 38

Normaalijakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuuksia 1/3 Normaalijakauman tiheysfunktio on kaikkialla positiivinen: { 2 ( ) } 2 x f( x) = exp 1 1 µ σ 2π 2σ f(x) > 0 kaikille x Tiheysfunktio on yksihuippuinen. Tiheysfunktio saa maksimiarvonsa pisteessä µ. Tiheysfunktio on symmetrinen suoran x = µ suhteen: f(µ x) = f(µ + x) kaikille x TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 39

Normaalijakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuuksia 2/3 Tiheysfunktiolla on käännepisteet pisteissä µ σ ja µ + σ ja tiheysfunktio on kupera ylöspäin välin [µ σ, µ + σ] sisäpuolella ja kupera alaspäin välin [µ σ, µ + σ] ulkopuolella. Kaikki normaalijakaumat ovat samanmuotoisia, jos ne piirretään standardoiduissa yksiköissä x µ z = σ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 40

Normaalijakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuuksia 3/3 Kuva oikealla esittää normaalijakauman N(µ, σ 2 ) tiheysfunktiota Tiheysfunktiolla on maksimi pisteessä x = µ Tiheysfunktiolla on käännepisteet pisteissä x = µ σ x=µ+σ { 2 ( ) } 2 x f( x) = exp 1 1 µ σ 2π 2σ N(µ, σ 2 ) Maksimi Käännepiste Käännepiste σ σ µ σ µ µ + σ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 41

Normaalijakauma 68 95 99.7 sääntö Kaikille normaalijakaumille pätee (likimäärin): (i) 68% jakauman todennäköisyysmassasta on välillä [µ σ, µ + σ] (ii) 95% jakauman todennäköisyysmassasta on välillä [µ 2σ, µ +2σ] (iii) 99.7% jakauman todennäköisyysmassasta on välillä [µ 3σ, µ +3σ] TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 42

Normaalijakauma 68 95 99.7 sääntö: Havainnollistus N(µ, σ 2 ) µ 3σ µ 2σ µ σ µ µ + σ µ + 2σ µ + 3σ 68 % 95 % 99.7 % TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 43

Normaalijakauma Standardoitu normaalijakauma Olkoon X N(0,1) jolloin siis E( X ) = 0 2 D ( X ) = 1 Tällöin sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa standardoitua normaalijakaumaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 44

Normaalijakauma Standardoitu normaalijakauma: Tiheysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää standardoidun normaalijakauman N(0,1) tiheysfunktiota f( x) = exp { x 2 } 1 1 2π 2 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 N(0,1) jakauman tiheysfunktio 0 4 3 2 1 0 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 45

Normaalijakauma Standardoitu normaalijakauma: Kertymäfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktiota. Standardoidun normaalijakauman kertymäfunktion F(x) määrittelee kaava F( x) Pr( X x) f () t dt = = jossa f(x) on standardoidun normaalijakauman tiheysfunktio. x 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 N(0,1) jakauman kertymäfunktio 4 3 2 1 0 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 46

Normaalijakauma Lineaarimuunnoksen jakauma Olkoon X N(µ, σ 2 ). Määritellään satunnaismuuttuja Y = a + bx jossa a ja b ovat (ei satunnaisia) vakioita. Tällöin Y on normaalinen: Perustelu: Y a b b 2 2 ~ N( + µ, σ ) Ks. lukua Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 47

Normaalijakauma Standardointi Olkoon X N(µ, σ 2 ), jolloin E(X) = µ D(X) = σ Standardoidaan satunnaismuuttuja X: X µ Z = σ Standardoitu satunnaismuuttuja Z noudattaa standardoitua normaalijakaumaa N(0,1): Z ~ N(0,1) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 48

Normaalijakauma Normaalijakauma ja standardoitu normaalijakauma 1/2 Kaikki normaalijakaumat N(µ, σ 2 ) ovat samanmuotoisia standardoiduissa yksiköissä X µ Z = σ Siten todennäköisyydet mielivaltaisesta normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ) voidaan aina määrätä standardoidun normaalijakauman N(0,1) avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 49

Normaalijakauma Normaalijakauma ja standardoitu normaalijakauma 2/2 Olkoon siis X N(µ, σ 2 ) Z N(0,1) Tällöin Pr( a X b) a µ X µ b µ = Pr σ σ σ a µ b µ = Pr Z σ σ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 50

Normaalijakauma Normaalijakauma ja standardoitu normaalijakauma: Esimerkki 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 X N(2,1/ 4) Z = ( X µ )/ σ N(0, 1) µ σ X 2 X = 2 = 1/4 A 0 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 µ σ Z 2 Z = 0 X X = 1 A a = 1.5 b = 3 a µ X σ b µ X = 1 = 2 σ Standardoidun normaalijakauman N(0,1) taulukoista saadaan: ( ) ( ) Alueen A pinta ala = Pr 1.5 X 3 = Pr 1 Z 2 = 0.8185 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 51 X X

Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta 1/2 Todennäköisyydet standardoidusta normaalijakaumasta N(0,1) voidaan määrätä jakauman kertymäfunktion avulla. Olkoon Z N(0,1). Olkoon satunnaismuuttujan Z kertymäfunktio Φ(z) = Pr(Z z) Huomautus: Koska normaalijakauman tiheysfunktion integraalifunktiota ei osata esittää suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla, normaalijakauman kertymäfunktion määräämiseen on käytettävä jotakin numeerista menetelmää. Siksi useimmissa alan oppikirjoissa on valmis taulukko, jossa on taulukoituna normaalijakauman kertymäfunktion arvoja ja niihin liittyviä todennäköisyyksiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 52

Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta 2/2 Kaikkien standardoituun normaalijakaumaan liittyvien tapahtumien todennäköisyydet saadaan todennäköisyyksistä Pr(Z z) = Φ(z) todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen avulla. Esimerkiksi Pr( a Z b) =Φ( b) Φ( a) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 53

Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta: Taulukot 1/2 Standardoidun normaalijakauman taulukot sisältävät standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktion Φ(z) arvoja taulukoituna usealle eri argumentin z arvolle. Siten taulukot mahdollistavat seuraavien tehtävien ratkaisemisen: (i) Määrää todennäköisyys Pr(Z z) = Φ(z) kun z on annettu. (ii) Määrää z, kun todennäköisyys Pr(Z z) = Φ(z) on annettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 54

Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta: Taulukot 2/2 Monissa normaalijakauman taulukoissa on taulukoitu todennäköisyyksiä Pr( Z z) =Φ( z) vain, kun z 0. Tällöin todennäköisyydet Pr(Z z) = Φ( z) saadaan soveltamalla standardoidun normaalijakauman tiheysfunktion symmetrisyyttä suoran z = 0 suhteen: Φ( z) = Pr( Z z) = 1 Pr( Z z) = 1 Pr( Z z) = 1 Φ( z) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 55

Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta: Esimerkki 1/2 Olkoon Z ~ N(0,1) ja olkoon f Z (z) satunnaismuuttujan Z tiheysfunktio. Standardoidun normaalijakauman N(0,1) taulukoista saadaan: Alueen = 1 f Z A pinta ala ( z) dz = Pr( Z 1) = 0.8413 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 N(0,1) jakauman tiheysfunktio A 4 3 2 1 0 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 56

Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen standardoidusta normaalijakaumasta: Esimerkki 2/2 Olkoon Z ~ N(0,1) ja olkoon Φ(z) satunnaismuuttujan Z kertymäfunktio. Standardoidun normaalijakauman N(0,1) taulukoista saadaan: Φ(1) = Pr( Z 1) = 0.8413 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 N(0,1) jakauman kertymäfunktio 4 3 2 1 0 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 57

Normaalijakauma Todennäköisyyksien määrääminen normaalijakaumasta: Ohjelmat Olkoon X N(µ, σ 2 ). Monet tietokoneohjelmat mahdollistavat seuraavien tehtävien ratkaisemisen mielivaltaisille parametrien µ, σ 2 arvoille: (i) Määrää todennäköisyys Pr(X x) kun x on annettu. (ii) Määrää x, kun todennäköisyys Pr(X x) kun on x annettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 58

Normaalijakauma Kahden normaalijakautuneen satunnaismuuttujan summan jakauma Olkoon X N(µ X, σ X2 ) Y N(µ Y, σ Y2 ) ja olkoot X ja Y lisäksi riippumattomia. Määritellään satunnaismuuttuja W = X + Y Tällöin summa W = X + Y on normaalinen: Perustelu: W µ µ σ σ 2 2 ~ N( X + Y, X + Y) Ks. lukua Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 59

Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma 1/2 Olkoon X i, i = 1, 2,, n jono riippumattomia normaalijakautuneita satunnaismuuttujia. Siten X, X, K, X 1 2 2 Xi N( µ i, σi ), i = 1,2, K, n Olkoon Y n n = i= 1 X i n satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n summa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 60

Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma 2/2 Tällöin summa Y n on normaalinen: Sanoin: Riippumattomien, normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summa on normaalinen ja parametrit saadaan yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien vastaavien parametrien summina. Perustelu: Y ~ N( µ + µ + L+ µ, σ + σ + L+ σ ) 2 2 2 n 1 2 n 1 2 n Ks. lukua Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 61

Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma 1/2 Olkoon X i, i = 1, 2,, n jono riippumattomia, samaa normaalijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia. Siten X, X, K, X 2 Xi N( µσ, ), i = 1,2, K, n Olkoon Y 1 2 n n = i= 1 X i n satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n summa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 62

Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma 2/2 Tällöin summa Y n on normaalinen: i= 1 Siten riippumattomien, samaa normaalijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summa on normaalinen ja parametrit saadaan yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien vastaavien parametrien summina. Huomautus: n n = Y X n n i 2 ~ N( µ, σ ) Tulos on erikoistapaus riippumattomien, normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summaa koskevasta yleisestä jakaumatuloksesta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 63

Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien aritmeettisen keskiarvon jakauma 1/2 Olkoon X i, i = 1, 2,, n jono riippumattomia, samaa normaalijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia. Siten X, X, K, X 2 Xi N( µσ, ), i = 1,2, K, n Olkoon X 1 2 1 n Xi n i = 1 = n satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n aritmeettinen keskiarvo. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 64

Normaalijakauma Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien aritmeettisen keskiarvon jakauma 2/2 Tällöin aritmeettinen keskiarvo Xon normaalinen: 2 σ X ~ N( µ, ) n Siten riippumattomien, samaa normaalijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien aritmeettinen keskiarvo on normaalinen. Huomautus: Ilman normaalisuusoletustakin pätee: E( X) 2 D ( X) = µ 2 σ = n TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 65

Normaalijakauma Miksi normaalijakauma on normaali? Normaalijakauma on sekä teoreettisen että soveltavan tilastotieteen tärkein jakauma. Normaalijakauman keskeinen asema tilastotieteessä perustuu siihen teoreettiseen ja empiiriseen tosiseikkaan, että moniin satunnaisilmiöihin liittyvät satunnaismuuttujat noudattavat ainakin approksimatiivisesti normaalijakaumaa. Mikä on tämän tosiseikan selitys? Selityksenä on keskeinen raja arvolause; ks. seuraavaa kappaletta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 66

Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma >> Keskeinen raja arvolause Log normaali, Cauchy, Gamma, Beta ja Weibull jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 67

Keskeinen raja arvolause Johdanto 1/2 Olkoon X i, i = 1, 2,, n jono riippumattomia, samaa normaalijakaumaa N(µ, σ 2 ) noudattavia satunnaismuuttujia. Tällöin satunnaismuuttujien X i summa Y n on normaalinen: n Kysymys: n = Y X nµ nσ i= 1 i 2 ~ N(, ) Mitä voidaan sanoa riippumattomien, samaa jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakaumasta, jos ko. satunnaismuuttujat eivät noudata normaalijakaumaa? TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 68

Keskeinen raja arvolause Johdanto 2/2 Ei normaalisten satunnaismuuttujien summa ei yleensä ole normaalinen. Kuitenkin, jos yhteenlaskettavia on tarpeeksi paljon, satunnaismuuttujien summa on (hyvin yleisin ehdoin) approksimatiivisesti normaalinen. Tämä on keskeisen raja arvolauseen olennainen sisältö. Koska monia satunnaismuuttujia voidaan pitää usean riippumattoman tekijän summana, antaa keskeinen rajaarvolause selityksen empiiriselle havainnolle niiden normaalisuudesta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 69

Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen formulointi 1/3 Olkoon X i, i = 1, 2, jono riippumattomia, samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo ja varianssi ovat E( X ) = µ, i = 1,2, K i 2 2 D ( Xi) = σ, i = 1,2, K Olkoon Y n n = i= 1 X i satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n summa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 70

Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen formulointi 2/3 Summan Y n odotusarvo ja varianssi ovat E( Y ) = nµ n 2 2 D ( Yn) = nσ Standardoidaan summa Y n : Yn nµ Zn = σ n Annetaan n + Tällöin satunnaismuuttujan Z n jakauma lähestyy standardoitua normaalijakaumaa N(0,1). TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 71

Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen formulointi 3/3 Siten keskeinen raja arvolause sanoo, että jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. Merkintä: n X nµ i i= 1 lim Pr z =Φ( z) n + n i= σ n Xi nµ 1 a N(0,1) σ n TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 72

Keskeinen raja arvolause Kommentteja 1/3 Keskeiselle raja arvolauseelle esitetään todistus luvussa Stokastiikan konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet. Keskeisen raja arvolauseen mukaan usean satunnaismuuttujan summa on (tietyin ehdoin) approksimatiivisesti normaalinen (lähes) riippumatta yhteenlaskettavien jakaumasta. Huomautus: Yhteenlaskettavien ei tarvitse olla edes jatkuvia, vaan ne voivat olla jopa diskreettejä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 73

Keskeinen raja arvolause Kommentteja 2/3 Approksimaation hyvyys riippuu yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien lukumäärästä, niiden jakaumasta ja erityisesti niiden jakauman vinoudesta. Approksimaation hyvyys paranee, kun yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien lukumäärä kasvaa. Jos yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien jakauma on symmetrinen, approksimaatio on hyvä jo suhteellisen pienillä yhteenlaskettavien lukumäärillä. Jos yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien jakauma on epäsymmetrinen, hyvä approksimaatio vaatii enemmän yhteenlaskettavia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 74

Keskeinen raja arvolause Kommentteja 3/3 Keskeinen raja arvolause koskee satunnaismuuttujien asymptoottista käyttäytymistä samaan tapaan kuin luvussa Jakaumien tunnusluvut esitetty suurten lukujen laki. Keskeisessä raja arvolauseessa esiintyvä rajakäyttäytymisen muoto on esimerkki ns. jakaumakonvergenssista eli heikosta konvergenssista. Keskeisestä raja arvolauseesta on olemassa yleisempiä muotoja, joissa lievennetään samoinjakautuneisuus ja riippumattomuusoletuksia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 75

Keskeinen raja arvolause Aritmeettisen keskiarvon approksimatiivinen jakauma Keskeisestä raja arvolauseesta seuraa: Riippumattomien samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, n aritmeettinen keskiarvo X n 1 n n i = 1 = X i on suurille (mutta äärellisille) n approksimatiivisesti normaalinen parametreinaan µ ja σ 2 /n: X n a σ N µ, n 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 76

Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen seurauksia 1/3 Keskeisellä raja arvolauseesta seuraa erikoistapauksina monet yksittäisiä jakaumia koskevat asymptoottiset tulokset. Käsittelemme seuraavia erikoistapauksia: (i) Binomijakauma lähestyy normaalijakaumaa, kun toistokokeiden lukumäärän n annetaan kasvaa. (ii) Poisson jakauma lähestyy normaalijakaumaa, kun jakauman intensiteettiparametrin λ arvon annetaan kasvaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 77

Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen seurauksia 2/3 Sitä, että binomijakauma lähestyy toistokokeiden lukumäärän n kasvaessa normaalijakaumaa, kutsutaan tavallisesti De Moivren ja Laplacen raja arvolauseeksi. De Moivren ja Laplacen raja arvolauseen mukaan binomitodennäköisyyksiä voidaan approksimoida normaalijakaumasta määrätyillä todennäköisyyksillä, jos toistokokeiden lukumäärä on kyllin suuri. Koska hypergeometrinen jakauma muistuttaa tietyin ehdoin binomijakaumaa, myös hypergeometrisen jakauman todennäköisyyksiä voidaan approksimoida normaalijakaumasta määrätyillä todennäköisyyksillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 78

Keskeinen raja arvolause Keskeisen raja arvolauseen seurauksia 3/3 Poisson jakaumaa koskevan keskeisen raja arvolauseen muodon mukaan Poisson jakauman todennäköisyyksiä voidaan approksimoida normaalijakaumasta määrätyillä todennäköisyyksillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 79

Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause Olkoon X Bin(n, p) ja q = 1 p. Siten E( X ) = np Var( X ) = npq Tällöin X np lim Pr z =Φ( z) n + npq jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 80

Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Perustelu 1/2 Olkoon X Bin(n, p). Tällöin satunnaismuuttuja X voidaan esittää riippumattomien, samaa Bernoulli jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien X i summana: n X X jossa Koska niin = i = 1 i X Bernoulli( p), i = 1,2, K, n i E( X ) = i Var( X ) = npq, q = 1 p i p n i= 1 E( X ) = E( X ) = np n Var( X ) = Var( X ) = npq i= 1 i i TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 81

Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Perustelu 2/2 Tällöin keskeisestä raja arvolauseesta seuraa, että X np lim Pr z =Φ( z) n + npq jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 82

Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Havainnollistus 1/5 Kalvoilla 2/5 5/5 oleva kuvasarja havainnollistaa De Moivren ja Laplacen raja arvolausetta. Kuvasarja näyttää miten satunnaismuuttujien X Bin(n, p) Z N(µ, σ 2 ) jakaumat alkavat muistuttaa yhä enemmän toisiaan, kun toistokokeiden lukumäärän n annetaan kasvaa. Kuvasarjassa p = 0.1 n = 1, 10, 30, 100 µ = np σ 2 = np(1 p) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 83

Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Havainnollistus 2/5 Olkoon ja X Bin(n, p) n = 1 p = 0.1 Z N(µ, σ 2 ) µ = np = 0.1 σ 2 = np(1 p) = 0.09 Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiota ja satunnaismuuttujan Z tiheysfunktiota välillä [ 3, 12]. 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Jakaumat Bin(1, 0.1) ja N(0.1, 0.09) 3 0 3 6 9 12 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 84

Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Havainnollistus 3/5 Olkoon ja X Bin(n, p) n = 10 p = 0.1 Z N(µ, σ 2 ) µ = np = 1 σ 2 = np(1 p) = 0.9 Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiota ja satunnaismuuttujan Z tiheysfunktiota välillä [ 3, 12]. 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Jakaumat Bin(10, 0.1) ja N(1, 0.9) 3 0 3 6 9 12 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 85

Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Havainnollistus 4/5 Olkoon ja X Bin(n, p) n = 30 p = 0.1 Z N(µ, σ 2 ) µ = np = 3 σ 2 = np(1 p) = 2.7 Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiota ja satunnaismuuttujan Z tiheysfunktiota välillä [ 3, 12]. 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Jakaumat Bin(30, 0.1) ja N(3, 2.7) 3 0 3 6 9 12 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 86

Keskeinen raja arvolause De Moivren ja Laplacen raja arvolause: Havainnollistus 5/5 Olkoon ja X Bin(n, p) n = 100 p = 0.1 Z N(µ, σ 2 ) µ = np = 10 σ 2 = np(1 p) = 9 Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiota ja satunnaismuuttujan Z tiheysfunktiota välillä [0, 20]. 0.15 0.1 0.05 0 Jakaumat Bin(100, 0.1) ja N(10, 9) 0 5 10 15 20 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 87

Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma 1/4 De Moivren ja Laplacen raja arvolauseen mukaan binomijakaumaa Bin(n, p) voidaan suurille n approksimoida normaalijakaumalla N(µ, σ 2 ) jossa µ = σ 2 np = npq, q = 1 p TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 88

Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma 2/4 Jos siis X Bin(n, p) niin De Moivren ja Laplacen raja arvolauseen mukaan suurille n b np a np Pr( a< X b) Φ Φ npq npq jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 89

Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma 3/4 Jos a ja b ovat kokonaislukuja, approksimaatio on hieman parempi, jos käytetään kaavaa b + 1/2 np a 1/2 np Pr( a< X b) Φ Φ npq npq Korjaustekijä 1/2 perustuu siihen, että diskreettiä binomijakaumaa approksimoidaan jatkuvalla normaalijakaumalla. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 90

Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma 4/4 Jos annetaan a, saadaan approksimaatiotulos b + 1/2 np Pr( X b) = FX( b) Φ npq jossa F X on binomijakauman kertymäfunktio. Jos a = b, saadaan approksimaatiotulos a + 1/2 np a 1/2 np Pr( X = a) = fx( a) Φ Φ npq npq jossa f X on binomijakauman pistetodennäköisyysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 91

Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma: Esimerkki 1/3 Kuva oikealla esittää jakauman Bin(100, 0.1) pistetodennäköisyysfunktiota ja jakauman N(10, 9) tiheysfunktiota välillä [6, 12]. De Moivren ja Laplacen rajaarvolauseen mukaan binomitodennäköisyyttä pisteessä x = 8 voidaan approksimoida varjostetun alueen pinta alalla; ks. kalvoja 2/3 3/3. 0.15 0.1 0.05 0 Jakaumat Bin(100, 0.1) ja N(10, 9) 6 7 8 9 10 11 12 7.5 8.5 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 92

Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma: Esimerkki 2/3 Olkoon X Bin(n, p), jossa n = 100 p = 0.1 Tällöin f ( 8) = 0.1148 jossa X f X (x) on binomijakauman Bin(100, 0.1) pistetodennäköisyysfunktio. 0.15 0.1 0.05 0 Jakaumat Bin(100, 0.1) ja N(10, 9) 6 7 8 9 10 11 12 7.5 8.5 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 93

Keskeinen raja arvolause Binomitodennäköisyydet ja normaalijakauma: Esimerkki 3/3 Olkoot µ = np =10 σ 2 = np(1 p) = 9 jossa n = 100 p = 0.1 Tällöin 8+ 1/2 µ Φ σ 8 1/2 µ Φ = σ jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. 0.1052 0.15 0.1 0.05 0 Jakaumat Bin(100, 0.1) ja N(10, 9) 6 7 8 9 10 11 12 7.5 8.5 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 94

Keskeinen raja arvolause Hypergeometrisen jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 1/2 Hypergeometrinen jakauma HyperGeom(N, r, n) lähestyy perusjoukon koon N kasvaessa rajatta binomijakaumaa jossa Bin(n, p) p = r/n TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 95

Keskeinen raja arvolause Hypergeometrisen jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 2/2 Siten hypergeometrista jakaumaa HyperGeom(N, r, n) voidaan suurille N approksimoida normaalijakaumalla N(µ, σ 2 ) jossa µ = r n N σ 2 r = n 1 N r N TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 96

Keskeinen raja arvolause Poisson jakauma ja normaalijakauma Olkoon X Poisson(λ). Siten E( X) = λ Var( X) = λ Tällöin X λ lim Pr z =Φ( z) λ + λ jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 97

Keskeinen raja arvolause Poisson jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 1/4 Poisson jakaumaa koskevan raja arvolauseen mukaan Poisson jakaumaa Poisson(λ) voidaan suurille λ approksimoida normaalijakaumalla N(µ, σ 2 ) jossa µ = λ σ 2 = λ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 98

Keskeinen raja arvolause Poisson jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 2/4 Jos siis X Poisson(λ) niin Poisson jakaumaa koskevan raja arvolauseen mukaan suurille λ b λ a λ Pr( a< X b) Φ Φ λ λ jossa Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 99

Keskeinen raja arvolause Poisson jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 3/4 Jos a ja b ovat kokonaislukuja, approksimaatio on hieman parempi, jos käytetään kaavaa b+ 1/2 λ a 1/2 λ Pr( a< X b) Φ Φ λ λ Korjaustekijä 1/2 perustuu siihen, että diskreettiä Poisson jakaumaa approksimoidaan jatkuvalla normaalijakaumalla. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 100

Keskeinen raja arvolause Poisson jakauman todennäköisyydet ja normaalijakauma 4/4 Jos annetaan a, saadaan approksimaatiotulos b+ 1/2 λ Pr( X b) = FX( b) Φ λ jossa F X on Poisson jakauman kertymäfunktio. Jos a = b, saadaan approksimaatiotulos a+ 1/2 λ a 1/2 λ Pr( X = a) = fx( a) Φ Φ λ λ jossa f X on Poisson jakauman pistetodennäköisyysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 101

Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja arvolause >> Log normaali, Cauchy, Gamma, Beta ja Weibull jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 102

Jakaumia Log normaalijakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa log normaalijakaumaa parametrein µ ja σ 2, jos sen tiheysfunktio on 2 1 1 1 log x µ f( x) = exp, x 0 2 > 2πσ x 2 σ Merkitään: Odotusarvo: Varianssi: 2 X LogN( µσ, ) 2 E( X ) = exp( µ + σ / 2) 2 2 Var( ) exp[2( )] exp[2( / 2)] X = µ + σ µ + σ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 103

Jakaumia Log normaalijakauman tiheysfunktion kuvaajia Oikealla on log normaalijakauman tiheysfunktion kuvaajia, kun (i) (ii) (iii) µ = 0.25, σ = 1.5 µ = 0, σ = 1 2 2 µ = 1, σ = 0.5 2 2 2 2 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 LogN(µ,σ 2 ) LogN( 0.25,1.5 2 ) LogN(0,1 2 ) LogN(1,0.5 2 ) 0 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 104

Jakaumia Log normaalijakauman yhteydet muihin jakaumiin Jos 2 X LogN( µσ, ) niin satunnaismuuttuja noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ ja σ 2 : ja kääntäen, jos niin Y = log( X) 2 Y N( µσ, ) 2 Y N( µσ, ) 2 X = Exp( Y ) LogN( µσ, ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 105

Jakaumia Cauchyn jakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa Cauchy jakaumaa parametrilla θ, jos sen tiheysfunktio on 1 1 f( x) =, x 2 π 1 + ( x θ) < < + Merkitään: X Cauchy( θ) Odotusarvo: Cauchy jakaumalla ei ole odotusarvoa. Varianssi: Cauchy jakaumalla ei ole varianssia. Parametri θ on Cachy jakauman mediaani ja moodi. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 106

Jakaumia Cauchy jakauman tiheysfunktion kuvaaja Oikealla on Cauchyjakauman tiheysfunktion kuvaaja, kun θ = 0 0.5 0.4 0.3 Cauchy(0) 0.2 0.1 0 4 3 2 1 0 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 107

Jakaumia Cauchyn jakauman yhteydet muihin jakaumiin Jos satunnaismuuttuja Y noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä ( π/2,+π/2) eli Y Uniform( π / 2, + π / 2) jossa niin tällöin Jos X = tan( Y) X Cauchy(0) niin tällöin Cauchy(0) X t(1) jossa t(1) on t jakauma yhdellä vapausasteella; ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 108

Jakaumia Gamma jakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa gamma jakaumaa parametrein α ja β, jos sen tiheysfunktio on 1 α 1 x/ β f( x) = x e, x 0 α Γ( αβ ) Merkitään: X Gamma( αβ, ) Odotusarvo: E( X) Varianssi: Var( X) = αβ = αβ 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 109

Jakaumia Gamma jakauman tiheysfunktion kuvaajia Oikealla on gammajakauman tiheysfunktion kuvaajia, kun (i) (ii) (iii) α = 1, β = 1 α = 2, β = 1 α = 2, β = 2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Gamma(α,β) Gamma(1,1) Gamma(2,1) Gamma(2,2) 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 110

Jakaumia Gamma jakauman yhteydet muihin jakaumiin 1/3 Jos X Gamma( αβ, ) jossa α on kokonaisluku, niin tällöin Pr( X x) = Pr( Y α) jossa satunnaismuuttuja Y noudattaa Poisson jakaumaa parametrilla x/β : Y Poisson( x/ β ) Lisätietoja Poisson jakaumasta: ks. lukua Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 111

Jakaumia Gamma jakauman yhteydet muihin jakaumiin 2/3 Jos X Gamma( αβ, ) jossa α = 1, niin tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla 1/β : X Exp(1/ β ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 112

Jakaumia Gamma jakauman yhteydet muihin jakaumiin 3/3 Jos X Gamma( αβ, ) jossa α = p/2 ja β = 2, niin tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa χ 2 jakaumaa vapausastein p : X χ 2 ( p) Lisätietoja χ 2 jakaumasta: ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 113

Jakaumia Beta jakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa beta jakaumaa parametrein α ja β, jos sen tiheysfunktio on Γ ( α + β) α 1 β 1 f( x) = x (1 x),0 x 1 Γ( α) Γ( β) Merkitään: X Odotusarvo: Varianssi: Beta( αβ, ) E( X) = α /( α + β) 2 Var( X) = αβ /[( α + β) ( α + β + 1)] TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 114

Jakaumia Beta jakauman tiheysfunktion kuvaajia 1/2 Oikealla on beta jakauman tiheysfunktion kuvaajia, kun (i) (ii) (iii) α = 1, β = 4 α = 2, β = 3 α = 2, β = 1.5 (iv) α = 2.5, β = 1 0 4 3 2 1 Beta(1,4) Beta(α,β) Beta(2,3) Beta(2.5,1) Beta(2,1.5) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 115

Jakaumia Beta jakauman tiheysfunktion kuvaajia 2/2 Oikealla on beta jakauman tiheysfunktion kuvaajia, kun (i) (ii) (iii) (iv) α = 1, β = 1 α = 0.7, β = 0.7 α = 2, β = 2 α = 0.3, β = 0.3 4 3 2 1 0 Beta(α,β) Beta(0.3,0.3) Beta(0.7,0.7) Beta(2,2) Beta(1,1) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 116

Jakaumia Beta jakauman yhteydet muihin jakaumiin Jos X Beta( αβ, ) jossa α = 1 ja β = 1, niin tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä (0,1) : X Uniform(0,1) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 117

Jakaumia Weibull jakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa Weibull jakaumaa parametrein γ ja β, jos sen tiheysfunktio on γ γ 1 x / f( x) x e γ β =, x 0 β Merkitään: X Weibull( γ, β) Odotusarvo: 1/ γ E( X ) = β Γ (1+ 1/ γ) Varianssi: γ Var( X) = β Γ (1 + 2 / γ) [E( X)] 2/ 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 118

Jakaumia Weibull jakauman tiheysfunktion kuvaajia Oikealla on Weibulljakauman tiheysfunktion kuvaajia, kun (i) (ii) (iii) γ = 0.8, β = 1 γ = 2, β = 1 γ = 2, β = 4 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Weibull(γ,β) Weibull(0.8,1) Weibull(2,1) Weibull(2,4) 0 0 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 119

Jakaumia Weibull jakauman yhteydet muihin jakaumiin Jos Y Exp( β ) niin satunnaismuuttuja 1/ X = Y γ noudattaa Weibull jakaumaa parametrein γ ja β : X Weibull( γ, β) ja kääntäen, jos niin X Weibull(1, β ) Y = X Exp( β ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 120