Kansantaloudellinen aikakauskirja 108. vsk. 1/2012 Väitöskirja implementaatioteoriasta * Ville Korpela FM, VTT, Erikoistutkija Julkisen valinnan tutkimuskeskus (PCRC), Turun yliopisto Alun perin, 1920 1940 luvulla, peliteoria luotiin tarkoituksena kehittää jonkinlainen yleinen kehikko, jossa strategista vuorovaikutusta voitaisiin analysoida (ks. von Neumann ja Morgenstern 1944). Tarkoituksena oli etsiä menetelmiä, joilla voidaan ennustaa annetun pelin lopputulema, kun pelaajien preferenssit tunnetaan. Hieman myöhemmin kävi kuitenkin selväksi, että monet käytännössä tärkeät ongelmat ovat täysin päinvastaisia tämän alkuperäisen ongelman muotoilun kanssa. Toisin sanottuna monissa käytännön tilanteissa pelaajien preferenssejä ei tunneta ja tarkoituksena on löytää peli, joka tuottaa halutun lopputuleman huolimatta siitä, mitkä ovat pelaajien todelliset preferenssit. Tämä on huomattavasti vaikeampi ongelma kuin alkuperäinen, sillä nyt itse peli * Kirjoitus perustuu Turun yliopistossa 10.12.2011 tarkastettuun väitöskirjaan Four Essays on Implementation Theory. Väitöskirjan esitarkastajina toimivat professori Juuso Välimäki (Aalto-yliopisto) ja professori Klaus Kultti (Helsingin yliopisto). Vastaväittäjänä toimi professori Tomas Sjöström (Rutgersin yliopisto) ja kustoksena professori Hannu Salonen (Turun yliopisto). Väitöskirjan ohjaaja oli Hannu Vartianen (HECER). on tuntematon muuttuja. Sitä peliteorian osaaluetta, joka kehittää menetelmiä tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi kutsutaan mekanismin suunnitteluksi tai implementaatioteoriaksi. 1 Yleisessä muodossa implementaatioteorian perusongelma voidaan ilmaista seuraavalla tavalla. Olkoon I = {1,,n} kaikkien mekanismiin osallistuvien henkilöiden joukko ja A kaikkien mahdollisten lopputulemien joukko (lopputulema voi olla esimerkiksi jokin resurssien allokaatio). Jokaisella henkilöllä on jokin tyyppi t i, joka on peräisin joukosta T i (tyyppi saattaa pitää sisällään hieman eri asioita tilanteesta riippuen, mutta se määrittää minimissään ainakin henkilön preferenssit yli joukon A). Suunnittelija, joka voi olla esimerkiksi jokin kolmas osapuoli, kuten oikeuslaitos, ei tunne henkilön i tyyppiä t i tarkasti, vaan ainoastaan joukon T i, josta tyyppi on peräisin. Suunnittelijan tarkoituksena on toteuttaa jokin päämäärä F: T A, missä T n, 1 Maskin ja Sjöström (2002) sekä Jackson (2001) ovat hyviä yleisesityksiä alan keskeisistä tuloksista. 101
KAK 1 / 2012 joka riippuu siitä, mitkä ovat henkilöiden todelliset tyypit. Koska suunnittelija ei oletettavasti voi luottaa siihen, että henkilöt paljastavat todellisen tyyppinsä, hänen täytyy löytää sellainen mekanismi, tai pelimuoto, joka tuottaa halutun lopputuleman olipa henkilöiden todelliset tyypit mitä tahansa. Mekanismilla tarkoitetaan kaksikkoa G = (M,g), missä 1 on viestiavaruus ja funktio määrittää mekanismin lopputuleman. Kun tyypit on annettu, määrittelee mekanismi G pelin. Olkoon S jokin peliteoreettinen ratkaisukäsite ja kaikkien S-ratkaisujen joukko pelissä. Päämäärän F sanotaan olevan S-implementoituva, mikäli on olemassa sellainen mekanismi G, että (1) Toisin sanottuna mekanismin G lopputulema kaikissa S-ratkaisuissa vastaa päämäärää F olivat todelliset tyypit mitä tahansa. Käytännössä implementaatio-ongelmat jakaantuvat eri luokkiin sen perusteella, minkälaista mekanismia (normaalimuodon peli, ekstensiivisen muodon peli, toistettu peli) ja ratkaisukäsitettä (Nash-tasapaino, Bayesin taspaino, vahva tasapaino, dominoivat strategiat) käytetään. Leonid Hurwicz (1960, 1972) formuloi ensimmäisenä mekanismin käsitteen eksaktisti ja häntä pidetäänkin yleisesti mekanisminsuunnittelun isänä. Käsite muotoiltiin alunperin selventämään pitkään jatkunutta kinastelua (joka tunnetaan nykyään Hayek-Mises-Lange-Lerner-debattina) siitä, kumpi markkinatalous vai suunnitelmatalous on parempi resurssien allokaatiomenetelmä. Hurwicz huomautti koko kinastelun olevan ideologisesti värittynyt, koska ei ole mitään syytä olettaa, että kumpikaan allokaatiomenetelmistä olisi paras. Sen sijaan, että tarkastellaan vain kahta allokaatiomenetelmää, meidän tulisi muotoilla yleisesti, mitä tarkoitetaan resurssien allokaatiomenetelmällä, tai allokaatiomekanismilla, ja tämän jälkeen valita paras tiettyjen ominaisuuksien suhteen. Yhtenä mekanisminsuunnittelun merkittävimpänä tuloksena voidaankin pitää todistusta siitä, että markkinamekanismi on informatiivisesti tehokkain kaikkien mahdollisten resurssien allokaatioon käytettävien mekanismien joukossa. Mekanisminsuunnittelusta jaettiin Ruotsin keskuspankin taloustieteen palkinto vuonna 2007 (Erik Maskin, Leonid Hurwicz ja Roger Myerson), ja sen jälkeen on tutkimuksen määrä alalla kasvanut räjähdysmäisesti. Nykyisin alaan perehtyneelläkin on vaikeuksia pysyä mukana siinä, mitä kaikkea on tekeillä, ennen kaikkea sovellutusten puolella. Omassa väitöskirjassani kehitetään mekanisminsuunnittelun teoreettista koneistoa vastaamalla seuraaviin kysymyksiin: (a) kuinka paljon viestejä M tarvitaan (minimissään), jotta annettu päämäärä F voidaan implementoida dominoivissa strategioissa; (b) mikä on yksinkertaisin päämäärää F koskeva ehto, joka takaa että ongelma (1) on ratkeava (niin sanottu karakterisointi) ja (c) missä määrin oletus rationaalisuudesta on tärkeä ongelman (1) yhteydessä. 1. Minimaaliset mekanismit Palataan hetkeksi hieman taaksepäin ja pilkotaan ongelma (1) pienempiin osiin. Oletetaan, että jokainen henkilö seuraa tiettyä protokollaa. Toisin sanottuna, jos henkilön i todellinen tyyppi on t i, niin tällöin hän valitsee viestin huolimatta siitä, tuottaako tämä parhaan mahdollisen lopputuleman. Mikäli 102
Ville Korpela (2) sanotaan että protokolla p = (p 1,,p n ) realisoi päämäärän F. Huomaa, että tämän määritelmän mukaan mikä tahansa päämäärä F voidaan realisoida (toisin kuin implementoinnin tapauksessa) ei tarvitse kuin valita g = F sekä. Luonnollinen kysymys tässä yhteydessä on, mikä on pienin mahdollinen viestiavaruuden M koko, jolla annettu päämäärä F voidaan realisoida. Hurwicz ja Reiter (2008) ovat vastanneet tähän kysymykseen kehittämällä algoritmeja, joiden avulla minimaalinen mekanismi voidaan konstruoida. Väitöskirjani ensimmäisessä esseessä ositetaan, että Hurwicz-Reiterkonstruktiota voidaan käyttää myös dominoivissa strategioissa implementoituvien päämäärien (pienellä varauksella) sekä turvallisesti implementoituvien päämäärien yhteydessä. 2 Toisin sanottuna, Hurwicz-Reiter-konstruktio säilyttää myös insentiivit. Tämä on kaikkea muuta kuin selvä asia nythän minimaalisessa realisoivassa mekanismissa on täsmälleen yhtä monta viestiä kuin minimaalisessa implementoivassa mekanismissa. Minimaalisten mekanismien tunnistaminen on tärkeää, koska juuri näitä mekanismeja voi odottaa näkevänsä todellisuudessa. 2. Nash-implementoituvien päämäärien karakterisointi Implementaatioteoriassa karakterisoinnilla tarkoitetaan sellaista tulosta, joka hävittää mekanismin G ongelmasta (1). Yleensä karakterisointi koostuu päämäärää F koskevista ominaisuuksia, jotka yhdessä takaavat, että jokin implementoiva mekanismi G pystytään löytämään. Ensimmäisen karakterisoinnin Nashimplementoituvista päämääristä antoi Erik Maskin (1977). 3 Tämä karakterisointi antoi kuitenkin vain riittävän ehdot Nash-implementoituvuudelle, jolloin kysymys riittävästä ja välttämättömästä ehdosta jäi vielä avoimeksi. Tästä huolimatta Maskinin paperi on ehdottomasti tärkein implementaatiopaperi, joka on koskaan kirjoitettu, mikä johtuu yksinkertaisesti siitä, että lähes kaikki myöhemmin kirjoitetut paperit käyttävät oleellisesti samoja menetelmiä. Ensimmäisen täydellisen karakterisoinnin (välttämätön ja riittävä ehto) Nash-implementoituvista päämääristä antoi Moore ja Repullo (1990). Tämä karakterisointi on melko monimutkainen ja itse asiassa täsmälleen samat päämäärät, jotka tuottavat ongelmia Maskinin karakterisoinnin yhteydessä, tuottavat ongelmia myös Moore-Repullo-karakterisoinnin yhteydessä. Hieman myöhemmin Sjöström (1991) osoitti, että Moore-Repullo-karakterisointi voidaan muuttaa erittäin yksinkertaiseen muotoon (ehto M), joka on käytännössä vain yksi monotonisuutta muistuttava ehto. Sjöströmin karakterisointi ei kuitenkaan ole aivan täydellinen siinä joudutaan olettamaan että T:llä on tulorakenne. Tämä on hieman rajoittavaa, koska kirjallisuus on täynnä esimerkkejä, joissa näin ei ole. Väitöskirjani toisessa esseessä (Korpela 2010) johdetaan hyvin samankaltainen karak- 2 Turvallisella implementoinilla tarkoitetaan sitä, että mekanismi implementoi samanaikaisesti sekä Nash-tasapainossa että dominoivissa strategioissa (ks. Saijo, Sjöström ja Yamato 2007). 3 Tämä työpaperi julkaistiin vasta 1999 (Maskin 1999). Maskin itse on kertonut, ettei paperia kannattanut enää julkaista, koska se oli jo työpaperina niin hyvin tunnettu. 103
KAK 1 / 2012 terisointi, joka on täydellinen. Ehto on nimeltään yleistetty monotonisuus. 4 3. Rajoitettu rationaalisuus ja implementaatioteoria Perinteisesti ongelman (1) yhteydessä oletetaan lähes poikkeuksetta, että henkilön tyyppi määrittää täydellisen ja transitiivisen preferenssirelaation yli joukon A. Toisaalta implementaatioteorian perusajatuksessa ei ole mitään, mikä vaatii meitä tekemään tällaisen oletuksen. Tarkoituksenahan on yksinkertaisesti löytää mekanismi, joka tuottaa halutun lopputuleman käyttäytymisen funktiona. Toisin sanottuna aina, kun käyttäytyminen muuttuu, lopputulemakin muuttuu halutulla tavalla. Hurwicz (1986) esitti ensimmäisenä ongelman (1) sellaisessa muodossa, jossa henkilön tyyppi määrittää preferenssirelaation sijaan jonkin valintafunktion, missä C(B) B kaikilla B 2 A. 5 Tällöin voidaan periaatteessa käsitellä minkälaista käyttäytymistä tahansa eikä rationaalisuusoletusta enää tarvita. Täydellisen rationaalisuuden tapaus saadaan tunnetusti erikoistapauksena, kun kaksi ehtoa, ominaisuus ja ominaisuus, ovat kummatkin voimassa (ks. Kreps 1988). Väitöskirjani kolmannessa esseessä (Korpela 2012) osoitetaan, että Hurwiczin (1986) käyttämä taspainokäsite ei ole täysin yhteensopiva valintafunktion perusajatuksen kanssa. Jotta Hurwiczin (1986) esittämää tasapainokäsitettä voidaan soveltaa, täytyy valintafunktion 4 Jälkeenpäin harmittaa, etten käyttänyt nimeä yleistetty ehto M. 5 Normaalisti valintafunktio esitetään muodossa. Implementaatioteorian yhteydessä kuitenkin voidaan käsitellä myös tilanteita, joissa henkilö kieltäytyy tekemästä mitään valintaa. Kyseessä ei siis ole virhe. C olla normaali (ks. Sen 1977). Valintafunktioille voidaan kuitenkin määritellä myös sellainen tasapainokäsite, jossa mitään lisäoletuksia itse valintafunktioista ei tarvitse tehdä (käytän tästä tasapainosta nimeä behavioral Nash equilibrium). Tämän jälkeen voidaan osoittaa, että implementaatioteorian tulokset pätevät sellaisenaan, kunhan kaikki valintafunktiot toteuttavat ominaisuuden. Tämä on huomattavasti vähemmän kuin täydellinen rationaalisuus vaatii. Lopullisena päämääränä on tietenkin karakterisoida kaikki implementoituvat päämäärät riippumatta siitä, miten mekanismiin osallistuvat henkilöt käyttäytyvät. Nyt tiedetään, että olemassa olevat tulokset pätevät, kunhan ominaisuus on voimassa. Tämän jälkeen täytyy keksiä uudenlainen karakterisointi. Sellaiset tilanteet, joissa käyttäytyminen ei toteuta tätä ominaisuutta, ovat vielä tällä hetkellä täysin tutkimatonta aluetta. Viimein neljännessä esseessä osoitetaan, että myös tunnettu revelaatioperiaate on voimassa täsmälleen niin kauan kuin ominaisuus on voimassa. Jos tämä ominaisuus ei päde, joudutaan astumaan aidosti epäsuorien mekanismien maailmaan. Tällöin mekanismin suunnittelu muuttuu huomattavasti vaikeammaksi. Itse asiassa, jokainen joka tuntee mekanismin suunnittelua, ymmärtää, että juuri tämä tulos pohjimmiltaan ajaa kolmannessa esseessä johdettua tulosta. Kirjallisuus Hurwicz, L. ja Reiter, S. (2008), Designing Economic Mechanisms, Cambridge University Press, New York, USA. Hurwicz, L. (1986), On the Implementation of Social Choice Rules in Irrational Societies, teoksessa Heller, W., Starr, R. ja Starrett, D. (toim.), 104
Ville Korpela Social Choice and Public Decision Making, Essays in Honor of Kenneth J. Arrow: Volume I, Cambridge University Press, USA. Hurwicz, L. (1972), On Informationally Decentralized Systems, teoksessa McGuire, C.B. ja Radner, R. (toim.) Decision and Organization, North- Holland, Amsterdam. Hurwicz, L. (1960), Optimality and Information Efficiency in Resource Allocation Processes, teoksessa Arrow, K., Karlin, S. ja Suppes, P. (toim.), Mathematical Methods in Social Sciences, Stanford University Press: 27 46. Jackson, M.O. (2001), A Crash Course in Implementation Theory, Social Choice and Welfare 18: 655 708. Korpela, V. (2012), Implementation without Rationality Assumptions Theory and Decision 72: 189 203. Korpela, V. (2010), Nash Implementation Theory A Note on Full Characterizations, Economics Letters 108: 283 285. Kreps, D. (1988), Notes on the Theory of Choice, Undergroung Classics in Economics, Westview Press, USA. Maskin, E. ja Sjöström, T. (2002), Implementation Theory, teoksessa Arrow, K.J. ja Sen, A.K. (toim.), Handbook of Social Choice and Welfare, Elsevier: luku 5. Maskin, E. (1977), Nash Equilibrium and Welfare Optimality, Department of Economics, MIT, mimeo. Maskin, E. (1999), Nash Equilibrium and Welfare Optimality, Review of Economic Studies 66: 23 38. Moore, J. ja Repullo, R. (1990), Nash Implementation A Full Characterization, Econometrica 58: 1083 1099. Morgenstern, O. ja von Neumann, J. (1944), Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, USA. Saijo, T., Sjöström, T. ja Yamato, T. (2007), Secure Implementation, Theoretical Economics 2: 204 229. Sen, A. (1977), Social Choice Theory: A Re-Examination, Econometrica 45: 53 89. Sjöström, T. (1991), On the Necessary and Sufficient Conditions for Nash Implementation, Social Choice and Welfare 8: 333 340. 105