143 36 DIFFRAKTIO (Diffraction) Olemme tottuneet ajatukseen, että ääni kiertää helposti esineitä ja voi kuulua nurkankin taakse. Esimerkiksi kulman takana puhuvan henkilön äänen kuulemme selvästi, vaikka lähellä ei olisi ääntä heijastavia elementtejä. Vaikeampi on hyväksyä tosiasiaa, että myös valo taipuu esineien taakse. Jos esimerkiksi tarkastelemme terävän esineen varjoa, huomaamme, että varjo ei ole absoluuttisen terävä. Tätä ilmiötä sanotaan iffraktioksi ja se on seurausta valon aaltoluonteesta. 144 Esimerkki iffraktiosta on esitetty viereisessä kuvassa, missä partakoneen terä on asetettu monokromaattisen pistelähteen ja varjostimen puoleen väliin. Alla oleva kuva on yksityiskohta, jossa pienet nuolet osoittavat geometrisen varjon rajaa. Selvästi (melko) valoa on taipunut jonkin verran varjon puolelle 36.1 Fresnelin ja Fraunhoferin iffraktio (Fresnel an Fraunhofer Diffraction) Geometrisen optiikan approksimaatiossa pistelähteen ja varjostimen väliin sijoitettu läpinäkymätön esine muoostaa absoluuttisen terävä varjon, kuten on esitetty viereisessä kuvassa. Ns. geometrisen varjon alueelle ei tule valoa ollenkaan, kun taas varjostimen yläosa on tasaisesti valaistu. Valon aaltoluonne rikkoo geometrisen optiikan yksinkertaisen mallin. Tärkeä luokka aaltoluonteeseen liittyviä ilmiöitä syntyy juuri silloin kun valo kulkee äärellisen kokoisen aukon (apertuurin) läpi tai esineen reunan läheltä. Tapahtuu interferenssiä, jota tässä yhteyessä kutsutaan iffraktioksi eli valon taipumiseksi. ja reuna näyttää muoostuvan valoisista ja tummista juovista. Käy jopa niin, että ensimmäinen valoisa juova geometrisen varjon ulkopuolella on kirkkaampi kuin tasaisesti valaistu alue kaukana vasemmalla (alakuvassa). Diffraktion havaitseminen jokapäiväisessä elämässä on vaikeaa, koska tavallinen valo ei ole monokromaattista. Jos esimerkiksi eellisessä kokeessa käytettäisiin valkoista (polykromaattista) valoa, niin jokainen aallonpituus kyllä muoostaisi oman iffraktiokuvionsa, mutta ne limittyisivät keskenään niin pahasti, että mitään selkeätä yksittäistä kuviota ei havaittaisi. Seuraavan sivun kuvassa on vielä esitetty 3 mm halkaisijaltaan olevan teräspallon aiheuttama iffraktiokuvio. Kirkkaita renkaita syntyy sekä geometrisen varjoa sisä- että ulkopuolelle. Kannatta myös huomata kirkas piste aivan geometrisen varjon keskellä.
145 Kuvion keskellä esiintyvään kirkkaaseen pisteeseen liittyy hauska tarina. 1800-luvun alussa väittely valon luonteesta kävi kuumana ja vuonna 1818 Ranskan akatemia järjesti asiaan liittyen tieekilpailun, johon ranskalainen tieemies Jean Augustin Fresnel osallistui iffraktion teoriaa käsittelevällä työllään. Fresnel voitti pääpalkinnon. Palkintolautakunnassa istuivat Laplace, Biot, Poisson, Arago ja Gay-Lussac. Poisson oli valon aaltoteorian vastustaja eikä olisi halunnut antaa palkintoa Fresnelille. Perusteluksi hän johti Fresnelin uuen teorian perusteella hassun tuloksen, nimittäin juuri sen, että esineen varjossa pitäisi näkyä kirkas piste. Poissonin mukaan tämä absuri tulos toisti Fresnelin teorian vääräksi. Vähän Poissonin ennustuksen jälkeen Arago ja Fresnel itse pystyivät osoittamaan kokeellisesti pisteen olemassaolon ja Fresnel sai palkintonsa. Huvittavaa on, että nykyisin piste tunnetaan Poissonin pisteenä. 146 Fraunhoferin iffraktio on matemaattisesti yksinkertaisempi ja sitä voiaan soveltaa silloin, kun sekä esteeseen (tai aukkoon) tulevat ja siitä lähtevät aaltorintamat ovat tasoaaltoja. Lähe, este (aukko) ja varjostin ovat siis kaukana toisistaan ja puhutaan ns. kaukaisen kentän (far-fiel) iffraktiosta. Tämä iffraktion muoto on nimetty saksalaisen fyysikon Joseph von Fraunhoferin (1787-1826) mukaan. Toetaan vielä, että iffraktiossa ja interferenssissä on kysymys samasta ilmiöstä. Termiä interferenssi käytetään silloin, kun tutkitaan vain muutamista (tavallisesti kahesta) iskreeteistä lähteistä tulevien säteien aiheuttamia ilmiöitä. Diffraktiossa lähteitä on yleensä äärettömän monta ja ne muoostavat jatkuvan lähejakauman avaruuteen. Esimerkkinä mainittakoon iffraktio kapeassa raossa, jossa kaikki raon alueella olevat pisteet toimivat sekunääristen säteien lähteinä Huygensin periaatteen mukaisesti. 36.2 Fraunhoferin iffraktio kapeassa raossa Nyt tutkimme millaisen iffraktiokuvion kapeaan rakoon tuleva monokromaattinen tasoaalto muoostaa varjostimelle, joka on kaukana raosta. Koejärjestely on esitetty seuraavassa kuvassa. Diffraktio ilmiönä ymmärretään karkeasti Huygensin valon etenemistä käsittelevän periaatteen avulla. Aaltorintaman jokainen piste toimii sekunäärisen palloaallon lähteenä, joten valo tätä kautta voi eetä myös esineien taakse. Diffraktion käsittelyssä on tapana erottaa kaksi tapausta: Fresnelin iffraktio ja Fraunhoferin iffraktio. Fresnelin iffraktiota on sovellettava silloin, kun valon lähe, este ja varjostin ovat lähellä toisiaan, jolloin aaltorintamat eivät ole tasoaaltoja vaan selvästi kaarevia. Puhutaan myös lähikentän (near-fiel) iffraktiosta. Fresnelin iffraktio on matemaattisesti hyvin vaativa, eikä se kuulu kurssimme aihepiiriin. Kuva (a) esittää geometrisen optiikan mukaisen käyttäytymisen, kun taas kuvassa (b) on näytetty mitä toellisuuessa tapahtuu. Ka-
147 pea rako on hyvin pitkä, joten taipumista ei juurikaan tapahu vaakasuunnassa. Seuraavassa kuvassa koejärjestelyä tarkastellaan hieman tarkemmin. Kuvassa (a) rakoon saapuu tasoaaltorintamia ja jokainen aaltorintaman piste raon kohalla toimii sekunäärisen palloaallon lähteenä. Kuvassa on piirretty kahen pisteen tuottamat aallot. 148 Tarkastellaan kapean raon kahta sekunääristä lähepistettä. Toinen piste on lähinnä raon reunaa oleva piste ja toinen on keskellä rakoa. Matkaero näistä pisteistä tarkastelupisteeseen P varjostimelle on ( a /2)sinθ, missä a on raon leveys ja θ suuntakulma pisteeseen P kuvan mukaisesti. Oletetaan nyt, että tämä matkaero on /2, jolloin valituista pisteistä tulevat aallot kumoavat toisensa pisteessä P. Kuvassa (b) on mukana varjostin, jonka pisteeseen P muoostuvaa amplituia (ja lopulta intensiteettiä) halutaan tutkia. Kokonaisamplitui saaaan laskemalla raosta tulevien sekunääristen osa-aaltojen amplituit yhteen ottamalla vaihe-erot asianmukaisesti huomioon. Kuvassa (b) tilanne on Fresnelin iffraktion mukainen. Eri säteien vaihe-erot on helpompi laskea, kun varjostin siirretään niin kauas, kuva (c), että raon kohalta lähtevät säteet ovat käytännössä paralleeleja. Lähtevät aallot ovat siis tasoaaltoja ja olemme Fraunhoferin iffraktion pätevyysalueella. Varjostinta ei tarvitse vieä kovin kauas, kun käytetään apuna linssiä kuvan (c) mukaisesti. Kapean raon Fraunhoferin iffraktiokuvion minimien paikat saaaan selville helposti seuraavalla päättelyketjulla (kuva seuraavalla sivulla): Seuraavaksi valitaan pistepari juuri eellisten pisteien alapuolelta. Myös näien pisteien välimatka on ( a /2) ja suuntakulma pisteeseen P samainen θ, kun x a. Myös tästä pisteparista tulevat aallot kumoavat toisensa pisteessä P. Näin eeten voimme käyä läpi koko raon, jolloin lopputuloksena on, että tumma juova esiintyy suunnissa, joissa a sinθ = ± sinθ = ±. (36.1) 2 2 a Plus-miinus-merkki seuraa kokeen symmetrisyyestä. Eellisessä ajatusleikissä rako jaettiin kahteen osaan, jolloin kulloisenkin pisteparin välimatka oli ( a /2). Jos rako jaetaan neljään osaan, etäisyyeksi tulee ( a /4) ja tummat juovat löytyvät suunnis-
149 ta sinθ =± 2 / a. Näin eeten saaaan helposti yleinen tulos tummille juoville: m sinθ =, m =± 1, ± 2, ± 3, (36.2) a Jos esimerkiksi raon leveys on a = 10, niin tummat juovat ovat 1 2 3 suunnissa sin θ =±, ±, ±, 10 10 10 Tummien juovien välissä ovat kirkkaat juovat, ts. paikat joihin aallot koko raosta saapuvat samassa vaiheessa. Kuvion keskellä on tietysti kirkasjuova, joten kaavassa (36.2) ei saa esiintyä m : n arvo nolla. Keskellä oleva kirkas juova eli ns. keskimaksimi on leveämpi kuin muut maksimit. Pienten kulmien approksimaatiossa, jota jatkossa käytämme, keskimaksimin leveys on kaksinkertainen muihin maksimeihin nähen. 7 Valon aallonpituus on suuruusluokkaa 500 nm = 5 10 m ja tyypillisessä iffraktiokokeessa raon leveys on karkeasti 10 cm = 2 4 10 m. Kulman θ arvot ovat siis hyvin pieniä ja approksimaatio sinθ θ pätee erittäin hyvin. Kun näin on, voimme kirjoittaa tummille juoville m θ =, m =± 1, ± 2, ± 3, a missä θ on nyt tietysti raiaaneina. Jos eelleen x on varjostimen etäisyys raosta, niin m : nnen tumman renkaan etäisyys y m keskimaksimista on m y = xtanθ = xθ = x. (36.3) a Tämä on siis voimassa, kun ym m x. Esimerkki: Kapeaa rakoa valaistaan laservalolla, jonka aallonpituus on 633 nm. Diffraktiokuviota havaitaan 6 m:n päässä olevalla varjostimella. Päämaksimin molemmin puolin olevien ensimmäisten minimien välimatkaksi mitataan 32 mm. Kuinka leveä on rako? 150 36.3 Kapean raon iffraktiokuvion intensiteetti Matemaattinen apuneuvo: Resultanttiamplituin laskeminen vaiheenosoitiniagrammin (phasor iagram) avulla. Esimerkki: Pisteessä P vaikuttaa samanaikaisesti kaksi aaltoa E1() t = E01cos( ω t) E2() t = E02cos( ω t+ φ), joien välillä on vaihe-ero φ. Piirrä aallot vaiheenosoitiniagrammiin ja laske resultanttiaallon amplitui ja vaihekulma. Käytä arvo- E = 2E ja φ = π /4. ja 02 01 Kapean raon iffraktiokuvion intensiteettilauseke johetaan seuraavasti. Raon kohalla oleva tasoaalto ajatellaan taas jaetuksi sekunäärisiksi pistelähteiksi. Raosta kaukana olevassa tarkastelupisteessä P kunkin sekunäärisen lähteen amplitui oletetaan samaksi, mutta matka-erosta tuleva vaihe-ero muuttu siirryttäessä lähteestä toiseen. Sekunääristen lähteien aiheuttama resultanttiamplitui E P pisteessä P lasketaan vaiheenosoitiniagrammilla. Viereisessä kuvassa (a) tarkastelupiste P on keskipiste O sivun 148 kuvassa. Raossa olevien sekunääristen lähepisteien lukumääräksi on oletettu 14. Jokaisesta pisteestä matka tarkastelupisteeseen P on sama, joten aaltojen välillä ei ole vaihe-eroja ja kaikki osa-aallot asettuvat vaaka-akselille. Summa-amplitui on E 0.
151 Kuvassa (b) tarkastelupiste P ei ole symmetria-akselilla, vaan kulmassa θ (katso sivun 148 kuvaa). Nyt peräkkäisten sekunääristen lähteien välille syntyy vaihe-ero, joka säilyy vakiona siirryttäessä pisteestä toiseen. Summa-amplitui syntyy osa-aaltojen vektorisummana kuvan mukaisesti. Kuvassa ensimmäisen ja viimeisen pisteen välistä vaihe-eroa on merkitty β : lla. Myös kuvassa (b) rako on jaettu 14:sta osaan. Sekunäärisiä pistelähteitä on tietysti äärettömän monta, joten osaaallot muoostavat kuvan (c) mukaisen ympyrän kaaren. Ympyrän keskipiste löytyy piirtämällä kohtisuorat pisteisiin A ja B. Perusgeometrian nojalla on selvää, että pisteestä C kaari näkyy kulmassa β ja että ympyrän säe on E 0 / β (muistele kulman määritelmä). Tämän jälkeen on helppo muoostaa kuvan (c) mukaiset kulmat ja etäisyyet. Resultanttiamplituiksi saamme Intensiteetiksi tulee EP sin( β / 2) = E0. (36.4) β /2 2 sin( β / 2) = I0 I β /2, (36.5) missä I 0 on keskimaksimin intensiteetti suunnassa θ = 0. Vielä on laskettava äärimmäisistä raon pisteistä lähtevien säteien välinen vaihe-ero β. Sivun 148 kuvan mukaan reunimmaisen ja keskimmäisen säteen välinen matkaero on ( a /2)sinθ, joten reunimmaisten säteien välillä se on tämä kaksinkertaisena. Kun matkaero asinθ muutetaan vaihe-eroksi kaavalla (35.11), saaaan β = sin θ, (36.6) ja yhtälö (36.5) saa muoon 2 sin( π asin θ / ) I = I0 πasin θ /, (36.7) 152 Tulos on esitetty viereisessä kuvassa. Keskimaksimi on hyvin voimakas ja intensiteetti pienenee nopeasti siirryttäessä suurempiin kulmiin θ. Tummat juovat sijaitsevat kulmissa, joissa I = 0. Näin käy kohissa, joissa jakauman (36.5) osoittaja on nolla, ts. β /2 on π : n monikerta eli β on 2 π : n monikerta. Saaaan m sinθ =, m = ± 1, ± 2, (36.8) a joka on sama kuin aikaisempi tuloksemme (36.2). Eellä olemme tarkastelleet pääasiassa intensiteettiminimien paikkoja. Nyt tuloksen (36.5) avulla voimme tutkia myös intensiteettimaksimien sijaintia. Ensinäkemältä näyttä siltä, että maksimit ovat siellä, missä sinifunktio saavuttaa maksiminsa, ts. siellä missä sin( β / 2) =± 1 eli β =± π, ± 3 π,, tai yleisemmin β ± (2m + 1) π, m = 0,1, 2, (36.9) Tämä tulos onkin approksimatiivisesti oikein, mutta nimittäjän ( β /2) 2 takia ei aivan tarkasti. Tarkkojen paikkojen laskemiseksi erivoimme (36.5):n ( β /2):n suhteen ja merkitsemme tuloksen nollaksi (ääriarvon etsintää). Lasku (kotilasku) johtaa yhtälöön tan( β / 2) = β / 2, joka voiaan ratkaista vain numeerisesti (sinänsä helppo temppu esimerkiksi laskimella). Osoittautuu, että π : n lähellä ei ole maksimia ollenkaan. Ensimmäiset sivumaksimi sijaitsevat lähellä β =± 3 π : tä paikassa ± 2,860π. Toiset lähellä β = ± 5 π : tä paikassa ± 4,918π, ja niin eelleen. Ero tarkan tuloksen ja kaavan (36.9) vä-
153 lillä pienenee, kun m kasvaa, ts siirrytään kauemmaksi päämaksimista. Sivumaksimien approksimatiiviset intensiteetit saaaan, kun (36.9) sijoitetaan (36.5):een. Tulos on 1 Im = I 2 0, m = 1, 2, 3, (36.10) ( m + 1/2) missä I m on m : nnen sivumaksimin intensiteetti. Tämä approksimaatio antaa I1 = 0,0450 I0, I1 = 0,0162I0 I1 = 0,0083I0 kun tarkka tulos on I = 0,0472 I, I = 0,0165I I = 0,0083I 1 0 1 0 1 0 154 Viereinen kuva (a) esittää a levyisen kapean raon iffraktiokuvion intensiteettiä. Diffraktiominimit on merkitty kokonaisluvuilla m. Esimerkki: Laske kapean raon iffraktiokuvion intensiteetti suunnassa, jossa raon äärimmäisten pisteien välinen vaihe-ero on 66 raiaania. Jos kyseinen suunta on θ = 7,0, niin laske montako aallonpituutta raon leveys on. Esimerkki: Laske sivun 149 esimerkin koejärjestelyssä intensiteetti varjostimen pisteessä, joka on 3,0 mm:n päässä keskimaksimista. 36.4 Diffraktio monessa raossa Youngin kahen raon interferenssikokeessa interferenssikuviota johettaessa rakojen leveyteen ei otettu kantaa. Tämä tarkoittaa sitä, että raot oletettiin äärettömän kapeiksi. Mitä tapahtuu, kun raoille annetaan äärellinen leveys? Käy niin, että kaksi rakoa muoostaa eelleenkin interferenssikuvion, mutta nyt niin, että interferenssikuvio mouloituu yhen raon iffraktiokuviolla, jonka määrää käytettyjen rakojen leveys. Pohittavaa: miksi syntyy vain yksi iffraktiokuvio? Kuva (b) esittää kahen äärettömän kapean raon (välimatka ) muoostamaa interferenssikuviota. Kuva on piirretty välimatkan arvolla = 4a. Interferenssimaksimit on merkitty kokonaisluvuilla m. i Kuvassa (c) interferenssikokeen raot on levitetty arvoon a. Kuvio muoostuu nyt interferenssikuvion ja iffraktiokuvion tulona. Kun käytetään yhtälöitä (35.10) interferenssille ja (36.5) iffraktiolle saaaan 2 2 φ sin( β / 2) I = I0 cos 2 β /2, (36.12) missä a φ = sinθ ja β = sinθ.
155 Kannattaa huomata, että neljäs interferenssimaksimi ( m i = 4) puuttuu, koska ensimmäinen iffraktiominimi ( m = 1) sattuu juuri sen kohalle. Tämä johtuu siitä, että rakojen välimatka on nelinkertainen rakojen leveyteen verrattuna, ts = 4a. Muistele: Interferenssimaksimit (35.4): sin θ = mi / Diffraktiominimit (36.2): sin θ = m / a Nämä sattuvat samaan suuntaan, kun m / = m / a = ( m / m ) a i i 156 Kuvassa (b) rakoja on N = 8. Myös nyt maksimit sattuvat samaan suuntaan kuin kahen raon tapauksessa, niinkuin eellisen sivun kaava kertoo. Nämä ns. päämaksimit (principal maxima) ovat nyt 2 kirkkaampia ( NI) 0 ja paljon kapeampia kuin kahen raon tapauksessa. Niien väliin syntyy myös useita ( N 2) pieniä sivumaksimeita (seconary maxima). Onko kuvan (c) kuvio interferenssikuvio vai iffraktiokuvio, siinäpä kysymys. No se on tietysti molempia. Interferenssin ja iffraktion välillä ei ole olemassa perustavaa laatua olevaa fysikaalista eroa. Eellä tarkastelimme kahen raon tuottamaa kuviota. Seuraavassa kuvassa rakoja on useita. Konstruktiivinen interferenssi tapahtuu suunnassa θ, jos sinθ = m, m = 0, ± 1, ± 2, missä peräkkäisten rakojen välimatka. Tilanne muistuttaa siis kahen raon tapausta. Nyt kuitenkin sakosysteemissä on rakoja myös 2 : n, 3 : n jne. välein, joten tilanne on hieman monimutkaisempi. Asiaa tarkastellaan seuraavan sivun kuvassa. 2 Kuvassa (a) rakoja on kaksi ( N = 2) ja kuvio on tuttu cos käyrä. Maksimi-intensiteetti on nelinkertainen yhen raon intensiteettiin I verrattuna (huomaa merkintäero aikaisempaan verrattuna). 0 Kuvion minimit löyetään suunnista, joissa vaihe-ero φ = sinθ on 2 π / N : n kokonainen monikerta, paitsi silloin, kun se on 2 π : n monikerta, jolloin saaaan päämaksimit. Esimerkiksi, jos N = 8 ja m = 0, niin keskimmäinen päämaksimi on suunnassa θ = 0. Ensimmäinen minimi heti päämaksimin vieressä saaaan, kun φ = sinθmin1 = 1 sinθ min1 =. 8 8 36.5 Diffraktiohila (The Diffraction Grating) Kasvattamalla eellisessä tarkastelussa rakojen lukumäärää käy niin, että intensiteetti keskittyy päämaksimeihin, jotka tulevat myös hyvin teräviksi, ja sivumaksimit heikkenevät käytännössä olemat-
157 tomiin. Laite, jossa on suuri määrä tasaisin välein olevia a-levyisiä rakoja on ns. iffraktiohila (iffraction grating) tai hila. Ensimmäisen hilan rakensi Fraunhofer käyttäen ohuita metallilankoja. 158 Diffraktiohiloja käytetään paljon spektroskopiassa. Tyypillinen hilaspektrometri on esitetty viereisessä kuvassa. Spektrometrillä analysoiaan tulevan valon aallonpituussisältöä. Viereisessä kuvassa GG on poikkileikkaus ns. läpäisyhilasta (transmission grating). Kuvassa näkyy vain kuusi rakoa (ns. hilaviivaa, rulings). Oikeissa hiloissa rakoja voi olla useita tuhansia. Välimatka raosta toiseen (vastinpisteien väli) on ns. hilavakio. Eellisen kappaleen mukaan päämaksimit löytyvät suunnista, jotka toteuttavat ns. hilayhtälön sin θ = m, m= 0, ± 1, ± 2, (36.13) Maksimit, jotka syntyvät arvoilla m =± 1 ovat ns. ensimmäisen kertaluvun maksimeita (first-orer maxima). Arvot m = ± 2 antavat toisen kertaluvun jne. Jos hilaa valaistaan valkoisella valolla, niin jokaiseen kertalukuun syntyy oma spektrinsä. Hilayhtälön (36.13) mukaan punainen valo (700 nm) taipuu eniten ja violetti (400 nm) vähiten. Heijastushilassa raot korvataan hyvin heijastavalla pinnalla ja niien välit tehään huonosti heijastaviksi. Heijastushilan toimintaperiaate on sama kuin läpäisyhilan. Esimerkki: Hilaa, jossa on 600 rakoa millimetrillä valaistaan kohtisuorasti näkyvällä valolla (400-700 nm). (a) Laske spektrin kulmaleveys ensimmäisessä kertaluvussa. (b) Osoita, että kolmannen kertaluvun spektrin violetti reuna ja toisen kertaluvun punainen reuna menevät päällekkäin. Spektrometrin tärkeä ominaisuus on ns. erotuskyky eli resoluutio R (resolving power). Erotuskyky kertoo mikä on pienin aallonpituusero, joka laitteella voiaan erottaa. Se määritellään kaavalla R =. (36.14) Jos esimerkiksi spektrometrillä pystytään näkemään natriumin ubletti 589,00 nm ja 589,59 nm juuri ja juuri kahtena erillisenä viivana, niin erotuskyky on 589 R = 1000. 0,59 Hilaspektrometrin erotuskyky on helppo laskea teoreettisesti. Oletetaan, että kahen lähellä toisiaan olevan aallonpituuen muoostamat päämaksimit voiaan vielä erottaa toisistaan, jos toinen maksimi sattuu toisen maksimin vieressä olevaan ensimmäiseen minimiin (sivu 156).
159 Tarkastellaan kertalukua m. Sivun 156 perustelujen mukaan päämaksimin vaihe-ero φ on m(2 π ) ja ensimmäiselle minimille se on m(2 π ) + 2 π / N. Näien erotus on φ = 2 π / N. Toisaalta φ = sinθ, josta erivoimalla θ : n suhteen saaaan φ = cosθ φ = cosθθ. θ Erotettavien viivojen kulmaero θ voiaan nyt laskea, kun asetetaan = cosθ θ cosθθ =. N N Sovelletaan vielä hilayhtälöä sinθ = m, josta erivoimalla : n suhteen saaaan cosθ θ = m. Saaaan siis = m Nm N =, josta erotuskyvyksi kirjoitamme R= = Nm. Erotuskyky on siis sitä parempi mitä enemmän hilassa on viivoja ja mitä suuremmassa kertaluvussa spektriä tarkastellaan. Esimerkki: Montako rakoa hilassa on oltava, jotta natriumin ubletti (sivu 158) erotetaan ensimmäisessä kertaluvussa? Neljännessä kertaluvussa? 160 36.6 Diffraktio röntgensäteillä (X-Ray Diffraction) 10 Röntgensäteet ( 10 m) löysi Wilhelm Röntgen vuonna 1895. Samoihin aikoihin oivallettiin, että kiteisessä aineessa atomit muoostavat säännöllisiä ja toistuvia rakenteita, joissa atomeien välimatka on suuruusluokkaa 10 m. Max von Laue huomasi yhtey- 10 en ja ehotti vuonna 1912, että kiteitä voitaisiin käyttää 3-ulotteisina iffraktiohiloina röntgensäteille. Vuonna 1912 von Laue (ja Knipping) suorittivat ensimmäiset kokeet (kuva alla) ja havaitsivat, että kiteen läpäisevät säteet toellakin muoostavat iffraktiokuvion. Diffraktiokuvion avulla tutkittavan materiaalin kierakenne voiaan selvittää. Perusiea on seuraava: Kuvassa (a) seuraavalla sivulla röntgen-tasoaalto saapuu kierakenteeseen tulo kulmassa θ a. Huomaa, että röntgenanalytiikassa kulma mitataan kiteen tasosta, ei normaalista kuten normaalisti. Sirontakulma on θ r. Kierakenteessa peräkkäisten kietasojen väli on ja kietasossa atomeien väli a.
161 Kuvassa (b) osoitetaan, että kun θr = θa, peräkkäisistä atomeista siroavien säteien välille syntyvä matka-ero on aallonpituuen monikerta. 162 Esimerkki: Röntgensäekimppu, jonka aallonpituus on 0,154 nm, ohjataan piikiteeseen kietasojen suunnassa. Kun säteen tulokulmaa kasvatataan hitaasti, ensimmäinen voimakas sirontamaksimi havaitaan kulmalla 34,5. Mikä on kietasojen välimatka? Havaitaanko seuraava maksimi suuremmalla kulmalla? 36.7 Diffraktio pyöreässä aukossa ja erotuskyky (Circular Apertures an Resolving Power) Kuva (c) kertoo, että kun θ = θa = θr, peräkkäisistä tasoista siroavien säteien matkaeroksi muoostuu 2 sinθ. Voiaan siis päätellä, että iffraktiomaksimin syntymiseksi suuntaan θ = θr kahen ehon on toteuuttava: θ = θa = θr ja 2sinθ = m, m = 1, 2,3, (36.16) Jälkimmäistä ehtoa sanotaan Braggin ehoksi konstruktiiviselle interferenssille, Sir William Braggin ja hänen poikansa Laurence Braggin kunniaksi. Pyöreän aukon aiheuttama iffraktiokuvio lasketaan samalla periaatteella kuin raonkin kuvio. Aukon jokainen piste toimii sekunäärisenä palloaaltolähteenä ja tarkastelupisteessä P havaittava resultanttiamplitui saaaan laskemalla kaikkien sekunääristen aaltojen amplituit yhteen ottamalla vaihe-erot asianmukaisesti huomioon. Käytännössä lasku johtaa vaikeisiin integraaleihin eikä se kuulu tämän kurssin aihepiiriin. Toetaan seuraavassa tulokset. Pyöreän aukon (halkaisija D) iffraktiokuvion syntyminen on esitetty viereisessä kuvassa. Röntgenmenetelmää käytetään paljon myös suurten orgaanisten molekyylien rakenteien tutkimisessa. Oheisessa kuvassa on esitetty brittiläisen Rosalin Franklinin vuonna 1953 mittaama DNAmolekyylin iffraktiokuvio. Kyseisen kuvion avulla selvitettiin DNA-molekyylin kaksoiskierteinen rakenne.
163 Diffraktiokuvio koostuu pyöreästä kirkkaasta keskiympyrästä, jota ympäröi tummat ja kirkkaat renkaat. Kuviota karakterisoiaan kulmalla θ, joka kuvaa renkaien kulmasäettä (angular raius). Kuvassa θ 2 on toisen tumman renkaan kulmasäe. ten esinepisteien kuvat ovat pyöreän aukon iffraktiokuvioita. 164 Kun esinepisteitä tuoaan lähemmäksi toisiaan tilanne voisi olla seuraava: Ensimmäisen tumman renkaan kulmasäe θ 1 saaaan yhtälöstä sinθ = 1,22, (36.17) D 1 missä D on aukon halkaisija ja kokeessa käytetty aallonpituus. Seuraavien tummien renkaien kulmasäteet ovat sinθ 2 = 2,23 ja sinθ 3 = 3.24. (36.18) D D Kirkkaille renkaille puolestaan pätee sinθ = 1,63, 2,68, 3,70,. (36.19) D D D Kirkas keskiympyrä on nimeltään Airy n levy (Airy isk) englantilaisen tähtitieteilijän Sir George Airy n (1801-1892) kunniaksi. Airy johti ensimmäisenä pyöreän aukon iffraktiokuvion matemaattisesti. Airy n levyn säe on (36.17):n mukainen kulma. Kirkkaien renkaien intensiteetti pienenee nopeasti kulman θ kasvaessa. Ensimmäisen ja toisen kirkkaan renkaan intensiteetit ovat vain 1,7% ja 0.4% Airy n levyn keskikohan kirkkauesta. Koko kuvion intensiteetistä 85% sijaitsee Airy n levyn alueella. Optisissa instrumenteissa iffraktio asettaa usein rajan sille, miten lähellä toisiaan olevat kuvapisteet vielä erotetaan toisistaan. Viereisessä kuvassa kaksi esinepistettä kuvataan linssillä varjostimelle. Linssi on pyöreä aukko, jo- Kuvassa (b) kuvapisteet erotetaan vielä helposti toisistaan, mutta kuvassa (c) ollaan jo erotuskyvyn rajalla. Rayleigh n kriteeri: Kaksi kohetta on juuri erotettavissa toisistaan, jos toisen iffraktiokuvion maksimi sattuu toisen 1. minimin kohalle. Esimerkki: Kameran f 2 linssin polttoväli on 50 mm ja se muoostaa kuvan 9,0 m:n pässä olevasta esineestä. (a) Laske kahen vielä juuri ja juuri toisistaan erotettuvan esinepisteen etäisyys toisistaan. Mikä on vastaavien kuvapisteien välimatka? (b) Miten tilanne muuttu, kun linssi muutetaan f 16 linssiksi? Kaukoputken suurennuksen ja erotuskyvyn suhteista kirjoittaa avaruustähtitieteen professori Esko Valtaoja tieto-finlanialla palkitussa kirjassaan Kotona Maailmankaikkeuessa (suosittelen) seuraavasti:
165 Kun esittelen teleskooppeja tähtitieteeseen perehtymättömille vierailijoille, joku aina kysyy ensimmäisenä mieleen tulevaa mittaa kaukoputken laaulle: Kuinkas paljon tämä oikein suurentaa?. Kaukoputken tarkoitushan on tuoa kaukaiset kohteet lähelle, joten mikäpäs muukaan olisi se oleellinen ja tärkein tieto? Suurennus ei ole kaukoputken ominaisuus; se riippuu okulaarista. Olisi helppo laittaa silmän eteen linssiyhistelmä, joka saisi aikaan vaikkapa satatuhatkertaisen suurennuksen, toisi periaatteessa kuun muutaman kilometrin päähän ja Marsinkin sieettävälle etäisyyelle. Miksi astronomit eivät sitten tee niin? Syitä on kaksi: valon aaltoluonne ja ilmakehä. 166 36.8 Holografia Holografia on interferenssiin perustuva tekniikka, jolla kuvia voiaan tallentaa ja tuottaa uuelleen. Toisin kuin perinteinen valokuvaus tai TV-kuvaus, jotka molemmat ovat kaksiulotteisia, holografiakuvat ovat kolmiulotteisia. Katsottaessa holografiakuvaa eri suunnista kuvan esine nähään eri suunnista. Ajatellaan netistä imuroitua pikkuruista jpeg-kuvaa. Kuvankäsittelyohjelmalla se on helppo suurentaa vaikka kuinka suureksi, mutta mitään uutta ei sillä keinolla näe; pian tulee vastaan raja jossa suurikokoisista pikseleistä ei enää näe esittääkö kuva Elvistä vai Marilyniä. Tarkempaan kuvaan tarvitaan joko enemmän ja pienempiä pikseleitä tai suurempi kuva. Kuvan terävyyen saa selville jakamalla pikselimäärän kuvan halkaisijalla; sata pistettä senttimetrillä tarkoittaa, että millimetrin kymmenesosaa pienempiä yksityiskohtia on kuvasta turha etsiä ees suurennuslasin avulla. Valo ei koostu pikseleistä, mutta valoaallon koko (aallonpituus) asettaa yhtä ehottoman rajan sille kuinka pieniä yksityiskohtia pystymme näkemään. Mitä useampi valoaalto mahtuu teleskoopin objektiivista sisään, sitä tarkempi kuva; terävyyen rajana on iffraktioraja, valon aallonpituus jaettuna objektiivin halkaisijalla. Viisisenttinen (objektiivin halkaisija) kaukoputki erottaa kahen kaarisekunnin kulmaläpimittaisia yksityiskohtia (500 nm:n aalloilla). Herne erottuu viiensaan metrin päästä. Intohimoisen tähtitieteen harrastajan 50-senttisen teleskoopin pitäisi pystyä kymmenen kertaa parempaan. Suurennus valitaan sitten sopivaksi okulaaria vaihtamalla niin että katsellaan itse kohetta eikä sen pikseleitä siis iffraktiokuviota, jos tarkkoja ollaan. Peruslaitteisto hologrammin valmistamiseksi on esitetty viereisessä kuvassa (a). Kuvattavaa esinettä (object) valaistaan monokromaattisella valolla. Käytännössä valolähteen on oltava laser. Esineestä siroavan valon lisäksi filmille ohjataan saman aikaisesti valolähteen valoa suoraan. Suoraan tulevan ja esineestä siroavan valon yhteisvaikutuksena filmille muoostuu hyvin monimutkainen interferenssikuvio. Filmi kehitetään, jolloin saaaan hologrammi. Eellisessä kuvassa (b) esitetään miten esineen kuva rekonstruoiaan hologrammista. Kehitetyn hologrammin läpi ohjataan monokromaattista valoa (samaa kuin hologrammia muoostettaessa), jolloin syntyy kaksi kuvaa, toellinen kuva filmin taakse ja valekuva filmin eteen. Havaitsija katsoo valekuvaa.
167 Hologrammin muoostumisen periaatteen ymmärrämme tarkastelemalla miten muoostuu yksittäisen pisteen hologrammi, kuva (a) alla. Filmille saapuu samanaikaisesti tasoaalto suoraan lähteestä ja palloaalto pistemäisestä esineestä P. Olkoon P : n etäisyys filmistä b 0. Koska molemmat aallot ovat peräisin samasta laserista ne ovat monokromaattisia ja koherentteja keskenään. Oletetaan lisäksi, että aaltojen vaiherelaatio on sellainen, että pisteeseen O filmillä (ks. kuva) syntyy konstruktiivinen interferenssi. Konstruktiivinen interferenssi syntyy myös kaikkiin pisteisiin Q, jotka ovat aallonpituuen monikerran verran kauempana P:stä kuin O. Konstruktiiviset interferenssialueet muoostavat O-keskeisiä ympyröitä, joien säteet r m toteuttavat yhtälön 168 niin, että interferenssimaksimit tummuvat ja minimit jäävät kirkkaiksi. Muoostuu negatiivi. Filmi (negatiivi) kehitetään ja siitä muoostetaan positiivinen kuva läpinäkyvälle kalvolle. Positiivi läpäisee valoa parhaiten niiltä alueilta, joihin negatiiviin muoostui interferenssi maksimit. Tämä positiivi on hologrammi. Kuvassa (b) hologrammia valaistaan samalla aallonpituuella, jolla se muoostettiin. Tarkastellaan nyt pistettä P ', joka on etäisyyellä b 0 hologrammista. Hologrammin kirkkaien renkaien etäisyyet pisteeseen P ' muuttuvat yhellä aallonpituuella aina kun siirrytään renkaasta seuraavaan. Pisteessä P ' havaitaan siis voimakas interferenssimaksimi ja se on pisteen P toellinen kuva. Tämän lisäksi käy niin, että hologrammin läpäisseet aaltorintamat muoostavat myös ivergoivan aaltokartion, joka näyttää lähtevän pisteestä P (kuvassa b). Piste P on alkuperäisen pisteen P (kuvassa a) valekuva. Äärellinen esine koostuu suuresta joukosta pistelähteitä, joista jokainen muoostaa eellä kuvatun interferenssirengaskuvion. 2 2 bm b0 = b0 + rm b0 = m, m = 1, 2, 3, (36.20) Tästä ratkaisemalla saaaan 2 2 r = (2 mb + m ). Tavallisesti b0 m, joten säteiksi saamme rm 0 0 = 2mb, m = 1, 2, 3, (36.21) Interferenssikuvio siis koostuu kaavan (36.21) säteisistä tummista renkaista, joien välissä on kirkkaat renkaat. Filmi reagoi valoon