30 3 Lämpölaajeneminen, lämmön siirtyminen ja diffuusio 3-1 Lämpölaajeneminen Useimmat aineet laajenevat niiden lämpötilan noustessa. Tätä lämpölaajenemista (engl. thermal expansion) käytetään hyväksi esimerkiksi kappaleen 1 kuvan 1(a) mukaisessa nestelämpömittarissa ja kuvan 3 mukaisessa kaksoismetalliliuskalämpömittarissa. Se aiheutuu aineen molekyylien liikkeiden laajenemisesta lämpötilan kasvaessa. Esimerkiksi kiinteässä aineessa molekyylit värähtelevät tasapainoasemiensa ympärillä sitä suuremmalla amplitudilla, mitä korkeampi lämpötila on. Tämä merkitsee sitä, että lämpötilan kasvaessa molekyylien keskimääräiset etäisyydet toisistaan kasvavat, sillä niiden keskinäisiä vuorovaikutuksia kuvaava potentiaalienergiafunktio on kuvan 1(b) mukaisesti epäsymmetrinen (ainetta on helpompi laajentaa kuin puristaa kokoon). ituuden lämpölaajeneminen Homogeenisesta aineesta valmistetun sauvan pituus L riippuu jossakin määrin sekä lämpötilasta että paineesta. Tätä riippuvuutta kuvaavaa yhtälöä L = L(T, ) voidaan pitää sauvan tilanyhtälönä. Lämpötilan infinitesimaalinen muutos dt aiheuttaa vakiopaineessa pituuden infinitesimaalisen muutoksen dl, joka saadaan funktion L(T, ) differentiaalina: ( ) L dl = dt. (3.1) Kuva 1.
Tällä rajalla pituuden muutos on siis suoraan verrannollinen lämpötilan muutokseen. Koska sauvan jokainen yhtä pitkä osa laajenee yhtä paljon, dl:n täytyy lisäksi olla suoraan verrannollinen sauvan kokonaispituuteen L: 31 dl = α L dt. (3.2) Tässä yhtälössä esiintyvä verrannollisuuskerroin α on yhtälön (3.1) mukaan α = 1 L ( ) L (3.3) ja sitä sanotaan pituuden lämpölaajenemiskertoimeksi (engl. coefficient of linear expansion tai linear expansivity). Se on kullekin aineelle ominainen luku, jonka yksikkö on 1/K tai 1/ C. Se on tavallisesti hyvin pieni, kuten taulukosta 1 ilmenee. Itse asiassa α:n arvot eivät ole vakioita, vaan ne riippuvat jossakin määrin lämpötilasta ja paineesta: α = α(t, ). Yhtälö (3.2) on approksimatiivisesti voimassa myös lämpötilan äärellisillä muutoksilla T = T T 0. Näin ollen pituuden lämpölaajenemista voidaan kuvata yhtälöllä L = α L 0 T, (3.4) missä L 0 on sauvan alkuperäinen pituus lämpötilassa T 0 (edellyttäen, että T on suhteellisen pieni, suuruusluokkaa 100 C tai alle). Sauvan pituus lämpötilassa T = T 0 + T on siis L = L 0 + L = L 0 + α L 0 T = L 0 (1 + α T ). (3.5) Jos lämpötilan muutos T on suuri, yhtälöihin (3.4) ja (3.5) on otettava mukaan T :n suhteen korkeamman asteen termejä. Tilavuuden lämpölaajeneminen Kiinteät aineet laajenevat lämpötilan noustessa kaikissa suunnissa yhtälön (3.2) osoittamalla tavalla. Tällöin aineen tilavuus kasvaa. Esimerkiksi L-sivuisen kuution tilavuuden V = L 3 muutos saadaan differentiaalina dv = dv dl dl = d ( ) L 3 dl dl = 3L2 dl = 3α L 3 dt = 3α V dt β V dt, (3.6) Taulukko 1.
32 missä verrannollisuuskertoimelle 3α on käytetty merkintää β: β = 3α. (3.7) Sitä sanotaan tilavuuden lämpölaajenemiskertoimeksi (engl. coefficient of volume expansion tai expansivity). Kertoimien α ja β välistä relaatiota (3.7) johdettaessa on oletettu, että lämpölaajenemisen suuruus on kaikissa suunnissa sama. Tämä ei kuitenkaan pidä kaikille aineille paikkaansa. Esimerkiksi puussa ja erilliskiteissä α:n arvo voi riippua suunnasta. Tällaisessa anisotrooppisessa aineessa voi olla kolme eri suurta pituuden lämpölaajenemiskerrointa, α 1, α 2 ja α 3, jotka on mitattu kolmen keskenään kohtisuoran akselin 1, 2 ja 3 suunnassa: α i = 1 ( ) Li, i = 1, 2, 3. (3.8) L i Jos suorakulmaisen särmiön särmät L 1, L 2 ja L 3 ovat näiden akselien suuntaiset, sen isobaarinen tilavuuden V = L 1 L 2 L 3 muutos on lämpötilan muuttuessa ( ) [( ) ( ) ( ) ] (L1 L 2 L 3 ) L1 L2 L3 dv = dt = L 2 L 3 + L 1 L 3 + L 1 L 2 dt = (α 1 L 1 L 2 L 3 + α 2 L 1 L 2 L 3 + α 3 L 1 L 2 L 3 ) dt = (α 1 + α 2 + α 3 )V dt = β V dt, (3.9) missä tilavuuden lämpölaajenemiskertoimen lauseke on nyt β = α 1 + α 2 + α 3. (3.10) Tulos (3.7) on tämän yleisen lausekkeen erikoistapaus, joka on voimassa isotrooppisilla aineilla (joilla α 1 = α 2 = α 3 = α). Koska jokaisen kappaleen voidaan ajatella muodostuvan pienistä kuutioista tai suorakulmaisista särmiöistä, saatu tulos dv = β V dt (3.11) on voimassa kaikille kappaleille niiden muodosta riippumatta. Kappaleen tilavuuden muutos on siis suoraan verrannollinen sekä alkuperäiseen tilavuuteen V että lämpötilan muutokseen dt. Itse asiassa tulos (3.11) on voimassa kaikille homogeenisille aineille, siis myös nesteille ja kaasuille. Se voidaan johtaa yleisesti aineen tilanyhtälöstä V = V (T, ) laskemalla lämpötilan infinitesimaalisen muutoksen dt aiheuttama tilavuuden muutos vakiopaineessa: ( ) V dv = dt. (3.12) Koska homogeenisilla aineilla dv :n täytyy olla suoraan verrannollinen tilavuuteen V, päädytään yhtälöön (3.11), missä esiintyvän tilavuuden lämpölaajenemiskertoimen β yleiseksi lausekkeeksi saadaan β = 1 ( ) V. (3.13) V Yhtälöllä (3.11) voidaan approksimoida myös lämpötilan äärellisen muutoksen T aiheuttamaa tilavuuden muutosta V : V = β V 0 T. (3.14)
33 Taulukko 2. Taulukossa 2 on annettu eräiden aineiden tilavuuden lämpölaajenemiskertoimien arvoja huoneen lämpötilan läheisyydessä. Yleensä β:n arvot ovat nesteillä paljon suurempia kuin kiinteillä aineilla. Veden lämpölaajenemiskerroin käyttäytyy poikkeuksellisella tavalla. Se on matalissa lämpötiloissa negatiivinen (esim. 0 C:ssa 6, 8 10 5 K 1 ), saa lämpötilassa 4 C arvon nolla ja on korkeammissa lämpötiloissa positiivinen (esim. 100 C:ssa 75, 0 10 5 K 1 ). Tästä syystä veden tilavuudella on 4 C:ssa minimi, kuten kuvasta 2 käy ilmi. Kun ilman lämpötila jäähtyy talven lähestyessä, vesistöjen pintaosat jäähtyvät. Jos jäähtyneen veden lämpötila on yli 4 C, sen tiheys kasvaa lämpötilan laskiessa ja vesi painuu pohjaan. Tämä virtaus lakkaa, kun lämpötila laskee 4 C:n alapuolelle, koska veden tiheys alkaa tällöin pienentyä. Kylmin vesi jää siis pinnalle, jossa se jäähtyy edelleen ja lopulta jäätyy. Toisin kuin useimmilla muilla aineilla, veden tiheys pienenee sen jäätyessä. Tästä syystä muodostuva jää kelluu veden pinnalla eikä painu pohjaan. Näin ollen pohjalla olevan veden lämpötila säilyy 4 C:ssa, ellei lähes koko vesistö jäädy. Jos vesi käyttäytyisi kuten lähes kaikki muut aineet, kylmin vesi ja jää painuisivat pohjaan ja vesistöt jäätyisivät alhaalta ylöspäin. Lämpimin vesi nousisi jatkuvasti pintaan, jossa se jäähtyisi tehokkaasti. Tällöin vesistöt jäätyisivät talven aikana helposti kauttaaltaan. Tämä merkitsisi sitä, että kaikki ne vesistön eliöt, jotka eivät kestä jäätymistä, kuolisivat talven aikana. Lämpöjännitys Jos sauvan pituuden muuttuminen estetään kiinnittämällä se tiukasti ympäristöönsä, lämpötilan muutos aiheuttaa siinä veto- tai puristusjännityksen, jota sanotaan lämpöjännitykseksi (engl. thermal stress). Se voi olla niin voimakas, että sauva deformoituu pysyvästi Kuva 2.
tai jopa rikkoutuu. Tämä ilmiö täytyy ottaa huomioon erilaisia rakennelmia suunniteltaessa. Esimerkiksi sillan kannen eri osien välille on sijoitettava raot, jotka sallivat osien pitenemisen tai lyhenemisen. Lämpöjännityksen suuruus saadaan selville laskemalla, millä ulkoisella voimalla sauva voidaan lämpölaajenemisen jälkeen palauttaa takaisin alkuperäiseen pituuteensa. Yhtälön (3.2) mukaan lämpötilan muutos dt aiheuttaisi vapaassa L:n pituisessa sauvassa pituuden muutoksen dl thermal = α L dt. (3.15) Toisaalta Hooken lain mukaan sauvaa venyttävä tai puristava voima F aiheuttaisi siinä pituuden muutoksen dl tension = F L Y A, (3.16) missä A on sauvan poikkileikkauksen pinta-ala ja Y on aineen kimmomoduli (Youngin moduli, engl. Young s modulus). Sauvan pituus ei muutu, jos muutokset (3.15) ja (3.16) kumoavat toisensa: dl thermal + dl tension = α L dt + F L = 0. (3.17) Y A Tästä saadaan veto- tai puristusjännitykselle lauseke F A 34 = α Y dt. (3.18) Jos lämpötilan muutos dt ja lämpölaajenemiskerroin α ovat positiivisia, sauva pyrkii pitenemään. Tällöin F/A on negatiivinen, mikä merkitsee sitä, että kyseessä on puristusjännitys. Jos taas dt on negatiivinen, sauva pyrkii lyhenemään (kun α on positiivinen). Tällöin F/A on positiivinen ja kiinnitettyyn sauvaan kohdistuu vetojännitys. 3-2 Lämmön siirtyminen Lämpö voi siirtyä paikasta toiseen kolmella eri mekanismilla. Ne ovat johtuminen (engl. conduction), konvektio (engl. convection) ja säteily (engl. radiation). Johtuminen Kun jonkin aineen lämpötila nousee, sen molekyylit saavat lisää liike-energiaa. Kiinteässä aineessa molekyylit värähtelevät suuremmalla energialla tasapainoasemiensa ympärillä ja nesteessä tai kaasussa molekyylien etenemisliikkeen vauhti kasvaa. Jos lämpötila on jossakin kohdassa korkeampi kuin muualla, tässä kohdassa olevien molekyylien liike-energiat ovat keskimäärin korkeampia kuin muiden molekyylien liike-energiat. Kun tällaiset energeettiset molekyylit ovat vuorovaikutuksessa vähemmän energeettisten naapurimolekyylien kanssa, ne luovuttavat niille ylimääräistä energiaansa. Tämä merkitsee sitä, että lämpimän kohdan lähiympäristö lämpenee. Sieltä lämpö siirtyy samalla mekanismilla edelleen kauempana olevaan aineeseen. Tätä mekanismia, jossa aine itse ei siirry, mutta sen atomien tai molekyylien liike-energia siirtyy, sanotaan lämmön johtumiseksi. Useimmissa metalleissa pääosa energiasta siirtyy atomeista irronneiden, kidehilassa lähes vapaasti liikkuvien elektronien välityksellä. Koska ne pystyvät kuljettamaan energiaa hyvin nopeasti korkeammasta lämpötilasta matalampaan, metallit ovat yleensä hyviä lämmönjohteita (ja samojen elektronien takia myös
hyviä sähkönjohteita). Esimerkiksi 20 C:n lämpöinen metallikappale tuntuu kosketettaessa kylmemmältä kuin samanlämpöinen puukappale, koska metalli siirtää kädestä tulevan lämmön nopeasti kosketuskohdasta muualle. Lämmön johtumista voi tapahtua vain, jos aineessa esiintyy lämpötilaeroja. Lämpövirta esimerkiksi x-akselin pisteiden x ja x + dx välillä on sitä suurempi, mitä suurempi on näiden pisteiden välinen lämpötilaero dt = T (x + dx) T (x), ts. mitä suurempi on lämpötilagradientti dt/dx. Kokeet osoittavat, että lämpövirran tiheys jossakin pisteessä on suoraan verrannollinen tässä pisteessä vallitsevaan lämpötilagradienttiin: 35 h = k dt dx. (3.19) Lämpövirran tiheydellä (engl. density of heat current) tarkoitetaan siirtynyttä lämpömäärää aika- ja pinta-alayksikköä kohti: jos x-akselia vastaan kohtisuoran pinta-alaelementin da läpi siirtyy ajassa dt lämpömäärä d Q, lämpövirran tiheys x-akselin suunnassa on h = d Q/(dt da). Yhtälössä (3.19) esiintyvä verrannollisuuskerroin k on aineen lämmönjohtavuus (engl. thermal conductivity). Yhtälön etumerkkivalinnalla positiivinen k antaa lämpövirralle oikean suunnan, ts. korkeammasta lämpötilasta matalampaan. Koska lämpövirran tiheyden yksikkö on W/m 2, lämmönjohtavuuden yksikkö on W/(m K). Taulukossa 3 on annettu lämmönjohtavuuden arvoja eräille aineille. Erityisesti kaasujen lämmönjohtavuudet ovat hyvin pieniä, ja tästä syystä ilmaa sisältävät huokoiset aineet (esimerkiksi vaahtomuovi ja lasivilla) ovat hyviä eristeitä. Taulukko 3.
36 Kuva 3. Kuvassa 3 nähdään yksinkertainen esimerkki lämmön johtumisesta homogeenisesta aineesta valmistetussa sauvassa. Sen päät pidetään vakiolämpötiloissa T H ja T C, missä T H > T C. Sauvan sivupinnat on päällystetty täydellisellä eristeellä, joten lämpö virtaa kaikkialla sauvan akselin (x-akselin) suuntaisesti. Stationaarisen tilan saavuttamisen jälkeen tangon lämpötila laskee lineaarisesti x:n funktiona: T (x) = T H T H T C x. (3.20) L Tämä merkitsee sitä, että lämpötilagradientti on paikasta riippumaton vakio dt/dx = (T H T C )/L. Sauvassa kulkeva lämpövirta H (= sauvan poikkipinnan läpi kulkeva energia aikayksikköä kohti, engl. rate of heat flow tai heat current) on lämpövirran tiheyden (3.19) ja sauvan poikkileikkauksen pinta-alan A tulo: H = d Q dt = ha = ka dt dx = kat H T C. (3.21) L Myös se on stationaarisessa tilassa paikasta riippumaton vakio. Konvektio Konvektiossa yleensä nesteeseen tai kaasuun varastoitunut lämpö siirtyy aineen virtauksen mukana paikasta toiseen. Tähän voi liittyä aineen olomuodon muutos, esimerkiksi veden haihtuminen merestä ja sen tiivistyminen nesteeksi ylempänä ilmakehässä. Vapaassa konvektiossa virtaus johtuu lämpölaajenemisen aiheuttamista aineen tiheyseroista (esimerkiksi lämpimän ilman kohotessa ylöspäin). akotetussa konvektiossa neste tai kaasu pakotetaan liikkeelle esimerkiksi pumpulla tai puhaltimella. Ihmisruumiin lämmönsäätelyjärjestelmä perustuu pääasiassa lämmön siirtymiseen verenkierron avulla, ts. veren pakotettuun konvektioon, missä sydän toimii pumppuna. Säteily Kappaletta, joka absorboi kaiken siihen ympäristöstä tulevan sähkömagneettisen säteilyn, sanotaan ideaaliseksi mustaksi kappaleeksi (engl. black body). Myöhemmin johdettavasta lanckin säteilylaista seuraa, että tällaisen kappaleen pinnalta emittoituu ympäristöön sähkömagneettisena säteilynä lämpövirta, jonka tiheys on h = σ T 4. (3.22) Tämä on Stefan-Boltzmannin laki. Siinä esiintyvä T on kappaleen absoluuttinen lämpötila ja verrannollisuuskerroin σ on universaalinen vakio, Stefan-Boltzmannin vakio, jonka arvo
on σ = 5, 670400(40) 10 8 W/(m 2 K 4 ). Lämpövirran tiheyttä kutsutaan tässä tapauksessa myös säteilemisvoimakkuudeksi (engl. radiant exitance tai radiant emittance). Todelliset kappaleet (joita voidaan sanoa harmaiksi ) absorboivat tulevasta säteilystä vain osan. Jos kappaleen pintaan ympäristöstä sähkömagneettisena säteilynä tulevan lämpövirran tiheys (jota voidaan nyt kutsua säteilytysvoimakkuudeksi tai irradianssiksi, engl. irradiance) on h s, kappale absorboi siitä osan 37 h abs = ɛ h s. (3.23) Tässä yhtälössä esiintyvä laaduton kerroin ɛ on pinnan säteilyominaisuuksia karakterisoiva absorptiokerroin (engl. absorptivity), jonka arvo on 0:n ja 1:n välillä. Sen arvo riippuu kappaleen pinnan ominaisuuksista, pinnan lämpötilasta, tulevan säteilyn suunnasta ja aallonpituusjakaumasta. Esimerkiksi sileän kuparipinnan absorptiokerroin on näkyvälle valolle noin 0,3 ja hyvin mustan ja himmeän pinnan ɛ voi olla lähes 1. Kuinka paljon sähkömagneettista säteilyä todellinen kappale emittoi? Oletetaan, että tarkasteltavaa kappaletta ympäröi joka puolelta ideaalinen musta kappale, jonka lämpötila on T. Kappaleita erottaa toisistaan hyvin ohut rajapinta, jonka läpi lämpövirta pääsee vain sähkömagneettisen säteilyn muodossa. Tällöin tarkasteltavan kappaleen pintaan osuvan lämpövirran tiheys (säteilytysvoimakkuus h s ) on sama kuin mustan kappaleen emittoima säteilemisvoimakkuus σ T 4. Tästä lämpövirran tiheydestä kappaleeseen absorboituu yhtälön (3.23) mukaan osa h abs = ɛ h s = ɛ σ T 4. (3.24) Tasapainon saavuttamisen jälkeen tarkasteltavan kappaleen lämpötila on sama kuin sitä ympäröivän mustan kappaleen lämpötila (T ). Jotta lämpötila ei enää muuttuisi, kappaleen on luovutettava ympäristöönsä energiaa samalla nopeudella kuin se ottaa sitä vastaan. Tämä merkitsee sitä, että kappaleen on emittoitava sähkömagneettisena säteilynä lämpövirta, jonka tiheys on h = h abs = ɛ σ T 4, (3.25) missä T on nyt ko. kappaleen lämpötila. Tällöin myös kappaleen ympäristö (musta kappale) on tasapainotilassa, sillä se ottaa vastaan yhtä paljon energiaa kuin luovuttaa: tarkasteltavan kappaleen ympäristöönsä heijastaman ja säteilemän lämpövirran tiheydet ovat (1 ɛ)h s ja ɛ h s, joiden summa on h s. Yhtälö (3.25) osoittaa, että lämpötilassa T oleva todellinen kappale emittoi vähemmän säteilyä kuin samassa lämpötilassa oleva ideaalinen musta kappale. Korjauskerrointa ɛ sanotaan tässä yhteydessä pinnan emissiivisyydeksi (engl. emissivity). Kuten edellä oleva tarkastelu osoittaa, termisessä tasapainossa ympäristönsä kanssa olevan pinnan emissiivisyys on sama kuin sen absorptiokerroin. Tämä on Kirchhoffin lämpösäteilylaki. Jos pinta absorboi säteilyä tehokkaasti, tasapainotilassa se myös emittoi sitä tehokkaasti, ja päinvastoin. Jos kappale ei ole lämpötasapainossa ympäristönsä kanssa, sen pinnan emissiivisyys ei välttämättä ole sama kuin absorptiokerroin. Tämä johtuu siitä, että tällöin pintaan absorboituvan ja siitä emittoituvan säteilyn aallonpituusjakaumat poikkeavat toisistaan (Kirchoffin lain mukaan jonkin säteilyn absorptiokerroin on sama kuin tämän saman säteilyn emissiivisyys). Jos säteily tulee esimerkiksi Auringosta, jonka pintalämpötila on 5780 K, sen aallonpituudet (λ) ovat suurelta osin näkyvän valon alueella (suuruusluokkaa λ 500 nm). Maapallon absorptiokerroin tällaiselle säteilylle, ɛ 1, on noin 0,7. Koska Maan keskimääräinen pintalämpötila on 14 C (287 K), se itse emittoi infrapunasäteilyä, jonka
aallonpituudet ovat suuruusluokkaa 10 µm. Näin pitkäaaltoiselle säteilylle Maan absorptiokerroin, ɛ 2, on lähes 1, joten myös sen emissiivisyys (= ɛ 2 ) on lähes 1 (siis sille säteilylle, jota Maa todellisuudessa emittoi). Jos kappaleen ja sen ympäristön lämpötilojen ero on pieni, emissiivisyys ja absorptiokerroin voidaan olettaa samoiksi. Jos ympäristön muodostaa lämpötilassa T s oleva musta kappale, sen säteilemän lämpövirran tiheys on σ Ts 4. Tästä tarkasteltava kappale absorboi osan ɛ σ Ts 4. Jos kappaleen lämpötila on T, se emittoi samanaikaisesti säteilyä ympäristöönsä voimakkuudella ɛ σ T 4. Näin ollen kappaleesta suuntautuu ulospäin kokonaislämpövirta, jonka tiheys on h tot = ɛ σ ( T 4 Ts 4 ). (3.26) Jos h tot on negatiivinen, kappale vastaanottaa energiaa ympäristöstään (tällöin T s > T ). Sovellus: kasvihuoneilmiö Maa saa lähes kaiken energiansa Auringon lähettämästä sähkömagneettisesta säteilystä, jonka irradianssi on Maan kohdalla (ilmakehän ulkopuolella) h 0 = 1366 W/m 2. Tätä sanotaan aurinkovakioksi (engl. solar constant). Koska Maan absorptiokerroin Auringon säteilylle on noin 0,7 (voidaan myös sanoa, että Maan albedo on suuruusluokkaa 30 %), noin kolmannes säteilystä heijastuu välittömästi takaisin avaruuteen. Näin ollen Maan lämpötaloutta tarkasteltaessa riittää ottaa huomioon ilmakehään, maaperään ja meriin absorboituva osa h abs = ɛ 1 h 0 = 940 W/m 2. Maahan absorboituu energiaa kokonaisteholla 38 = h abs πr 2, (3.27) missä R on Maan säde (joten πr 2 on Maan poikkipinta-ala). Tämä energia jakautuu Maapallon kokonaispinta-alalle 4πR 2, joten keskimääräinen Maahan absorboituva lämpövirran tiheys on h av = /(4πR 2 ) = h abs /4 = 235 W/m 2. Tasapainotilassa Maapallon on emittoitava keskimäärin tämän verran energiaa avaruuteen lämpösäteilynä. Säteilylain (3.25) avulla saadaan Maapallon efektiivinen lämpötila T : h av = ɛ 2 σ T 4. (3.28) Koska ɛ 2 1 Maan emittoimalle infrapunasäteilylle, lämpövirran tiheyttä h av = 235 W/m 2 vastaa efektiivinen lämpötila T = 254 K ( 19 C). Se approksimoi karkeasti Maan keskimääräistä lämpötilaa. Jos ilmakehä ei absorboisi säteilyä, tämä approksimaatio kuvaisi Maan pinnan lämpötilaa. Saatu tulos T = 19 C vastaa varsin hyvin Kuun keskimääräistä pintalämpötilaa. Kuten edellä todettiin, Maan pintalämpötila on kuitenkin paljon korkeampi, noin +14 C. Tästä syystä Maan meret pysyvät sulina, mikä on hyvin tärkeää Maassa esiintyvälle elämälle. Maan pinnan lämpeneminen johtuu ilmakehän aiheuttamasta kasvihuoneilmiöstä (engl. greenhouse effect). Kuten kuvasta 4 nähdään, ilmakehä absorboi vain vähän Auringosta tulevaa lyhytaaltoista säteilyä (λ 0,5 µm). Tästä syystä tämä säteily lämmittää pääasiassa Maan pintaa, ei ilmakehää. Sen sijaan ilmakehä absorboi suhteellisen voimakkaasti sitä pitkäaaltoista infrapunasäteilyä, jota Maan pinta emittoi (λ 10 µm). Tämä säteily lämmittää siis ilmakehää ja vain osa siitä pääsee suoraan avaruuteen. Tästä syystä pääosa Maapallolta emittoituvasta infrapunasäteilystä on peräisin ylemmästä ilmakehästä, ei Maan pinnalta. Jos ilmakehä absorboisi kaiken infrapunasäteilyn, sen oman säteilemisvoimakkuuden olisi oltava h av = 235 W/m 2. Tämä merkitsee sitä, että edellä saatu Maan efektiivinen lämpötila T = 19 C olisikin ylemmän ilmakehän lämpötila, ei Maan pinnan lämpötila.
39 Kuva 4. Koska ilmakehä emittoi säteilyä samalla voimakkuudella myös alaspäin, Maan pinnalle absorboituvan lämpövirran tiheydeksi tulisi yksinkertaisimmassa approksimaatiossa yhteensä 2h av = 470 W/m 2 (h av Auringosta ja h av ilmakehästä). Tästä syystä Maan pinnan lämpötilan T 0 olisi tasapainotilassa oltava niin korkea, että sen säteilemisvoimakkuus olisi 2h av. Kun käytetään yhtälöä (3.28), saadaan tällöin ɛ 2 :n arvolla 1 tulos σ T 4 0 = 2h av = 2σ T 4, ts. T 4 0 = 2T 4. (3.29) Tästä ratkaistu Maan pintalämpötila on T 0 = 1, 189 T = 302 K (+29 C). Todellisuudessa ilmakehä ei absorboi kaikkea infrapunasäteilyä, eikä kasvihuoneilmiö aiheuta näin voimakasta lämpötilan nousua. Ilmiö voi kuitenkin vahvistua, jos infrapunasäteilyn absorptiosta vastuussa olevien kaasujen, kasvihuonekaasujen, määrä ilmakehässä lisääntyy. Kuten kuvasta 4 nähdään, tällaisia kaasuja ovat ennen kaikkea vesihöyry (jota on ilmakehässä tyypillisesti 1-4 %) ja hiilidioksidi (0,038 %), mutta myös esimerkiksi otsoni ja metaani. Kuvassa 5 on yksinkertaistettu esitys Maan pinnan, ilmakehän ja avaruuden välisistä energiavirroista. Siinä otetaan sähkömagneettisen säteilyn lisäksi huomioon myös konvektion sekä siihen liittyvän veden haihtumisen ja nesteytymisen aiheuttama energian siirtyminen.
40 Kuva 5. Edellä käytetyssä yksinkertaisessa mallissa ilmakehä käyttäytyy kuten kasvihuoneen lasikatto. Se absorboi Maan pinnalta tulevan lämpövirran (tiheys 2h av ) ja säteilee sen puoliksi ylöspäin ja puoliksi alaspäin (säteilemisvoimakkuus on molempiin suuntiin h av ). Jos ilmakehä absorboisi infrapunasäteilyä hyvin voimakkaasti, sen kuvaamiseen tarvittaisiin moninkertainen lasikatto. Tässä tapauksessa ylimmän lasikerroksen alaspäin emittoima lämpövirta ei pääsisikään Maan pinnalle, vaan se absorboituisi toiseksi ylimpään lasikerrokseen. Jotta tasapaino säilyisi, ko. toiseksi ylimmän lasikerroksen lämpötilan olisi tällöin oltava niin korkea, että sen säteilemisvoimakkuus olisi 2h av. Vastaavasti kolmanneksi ylimmän kerroksen säteilemisvoimakkuuden olisi oltava 3h av jne. Jos kerroksia olisi monta, Maan pinnan lämpötila voisi kohota hyvin korkeaksi. Tällainen äärimmäinen kasvihuoneilmiö vallitsee Venuksessa. Sen kaasukehä on hyvin tiheä ja muodostuu lähes kokonaan hiilidioksidista (96 %) ja muista kasvihuonekaasuista, joten se absorboi infrapunasäteilyä hyvin tehokkaasti. Tästä syystä Venuksen pintalämpötila on keskimäärin 464 C, mikä on paljon korkeampi kuin esimerkiksi lyijyn sulamispiste. On syytä huomauttaa, että vaikka edellä kuvattua lämpenemismekanismia kutsutaan kasvihuoneilmiöksi, se aiheuttaa vain pienen osan todellisen kasvihuoneen (tai esimerkiksi auringonpaisteeseen pysäköidyn auton) lämpenemisestä. Tämä johtuu siitä, että lähellä Maan pintaa tärkein jäähtymismekanismi ei ole säteily, vaan konvektio. Auringon säteilyn lämmittämä Maan pinta lämmittää yläpuolellaan olevaa ilmaa, joka kevenee ja nousee ylöspäin kuljettaen tehokkaasti lämpöä mukanaan. Kasvihuoneen lasikatto pysäyttää tämän ilman virtauksen, jolloin rakennuksen jäähtyminen vähenee merkittävästi. Lasikaton lähettämällä lämpösäteilyllä ei ole tähän verrattuna suurta merkitystä. 3-3 Diffuusio Tarkastellaan kaasua, nestettä tai kiinteää ainetta A, jossa on sekoittuneena tai liuenneena jotakin toista ainetta B. Tämän toisen aineen molekyylit B siirtyvät satunnaisliikkeensä takia jatkuvasti paikasta toiseen. Jos molekyylien B hiukkastiheys ϱ = N/V
on kaikkialla sama, siirtymiä tapahtuu kaikkiin suuntiin yhtä paljon eikä mitään makroskooppista aineen B liikettä havaita. Jos sen sijaan ϱ on jollakin alueella suurempi kuin tämän alueen ympäristössä, molekyylejä B kulkeutuu enemmän ko. alueelta ympäristöön kuin päinvastaiseen suuntaan. Tällöin esiintyy makroskooppista aineen B siirtymistä suuremmasta tiheydestä pienempään. Tällaista siirtymistä sanotaan aineen diffuusioksi (engl. diffusion). Diffuusiota voidaan kuvata hiukkasvirran tiheydellä (engl. matter flux) j, jolla tarkoitetaan siirtynyttä hiukkasmäärää aika- ja pinta-alayksikköä kohti. Jos esimerkiksi x-akselia vastaan kohtisuoran pinta-alaelementin da läpi siirtyy dn molekyyliä ajassa dt, hiukkasvirran tiheys x-akselin suunnassa on j = dn/(da dt). Sen yksikkö on siis kpl/(m 2 s) = m 2 s 1. Näin määritelty j on sitä suurempi, mitä enemmän tarkasteltavien molekyylien (B) hiukkastiheydet ϱ poikkeavat toisistaan x-akselin vierekkäisissä pisteissä x ja x + dx, ts. mitä suurempi on hiukkastiheyden gradientti dϱ/dx. Fickin ensimmäisen diffuusiolain mukaan hiukkasvirran tiheys jossakin pisteessä on suoraan verrannollinen tässä pisteessä vallitsevaan hiukkastiheyden gradienttiin: 41 j = D ϱ x. (3.30) Gradientti on tässä kirjoitettu osittaisderivaattana, sillä ϱ voi riippua x:n lisäksi myös ajasta t. Verrannollisuuskerroin D on diffuusiokerroin (engl. diffusion coefficient). Koska j:n yksikkö on m 2 s 1, D:n yksikkö on m 2 /s. Yhtälön (3.30) etumerkkivalinnalla positiivinen D antaa hiukkasvirralle oikean suunnan, ts. korkeammasta hiukkastiheydestä matalampaan. Yleisessä tapauksessa hiukkastiheys on kaikkien paikkakoordinaattien x, y ja z sekä ajan t funktio: ϱ = ϱ(x, y, z, t). Jos väliaine A oletetaan isotrooppiseksi (jolloin diffuusiokerroin D on kaikissa suunnissa sama), yhtälö (3.30) on tällöin yleistettävä muotoon j = D ϱ D ( ϱ x, ϱ y, ϱ z ), (3.31) missä j on vektori. Yhtälössä (3.30) esiintyvän j:n nähdään olevan vektorin j x-komponentti j x. Jotta saataisiin selville, miten diffuusio muuttaa hiukkastiheyttä, tarkastellaan ϱ(x, t):n muutosta x-akselin pisteiden x ja x + x välisellä alueella. Jos tämän alueen x-akselia vastaan kohtisuora poikkipinta-ala on A, alueen sisälle tulee ajassa t paikassa x olevan pinnan kautta N 1 = j(x)a t molekyyliä. Samassa ajassa alueelta poistuu N 2 = j(x + x)a t molekyyliä paikassa x + x olevan pinnan kautta. Koska alueen tilavuus on V = A x, hiukkastiheyden muutosnopeus on ϱ t = N 1 N 2 A x t = j(x) j(x + x) x = j(x + x) j(x). (3.32) x Kun t ja x lähestyvät nollaa, tässä yhtälössä esiintyvät osamäärät muuttuvat osittaisderivaatoiksi ja saadaan seuraava yksiulotteinen jatkuvuusyhtälö (kontinuiteettiyhtälö) (engl. continuity equation): ϱ t = j x. (3.33) Yleisessä tapauksessa, missä ϱ = ϱ(x, y, z, t), jatkuvuusyhtälö saa muodon ϱ t = j j x x j y y j z z. (3.34)
Kun j:n lauseke (3.30) sijoitetaan yhtälön (3.33) oikealle puolelle ja diffuusiokerroin D oletetaan paikasta riippumattomaksi vakioksi, saadaan diffuusioyhtälö tai Fickin toinen diffuusiolaki ϱ t = D 2 ϱ x 2. (3.35) Kolmiulotteisessa isotrooppisessa tapauksessa diffuusioyhtälö yleistyy yhtälöitä (3.31) ja (3.34) käyttämällä muotoon ( ϱ 2 ) t = j = D ϱ 2 ϱ D x 2 + 2 ϱ y 2 + 2 ϱ z 2. (3.36) Jos hiukkastiheys on pallosymmetrinen, se voidaan esittää muodossa ϱ(r, t), missä r on etäisyys jostakin origosta. Tällöin kolmiulotteinen diffuusioyhtälö (3.36) saa muodon ϱ t = D 2 ϱ = D 1 ( r 2 r 2 ϱ ). (3.37) r r 42 Diffuusioyhtälön ratkaisut riippuvat alkuehdoista. Diffusoituvan aineen voidaan esimerkiksi olettaa lokalisoituneen aluksi (hetkellä t = 0) yhteen pisteeseen, joka voidaan valita origoksi. Jos väliaine on isotrooppinen, hiukkastiheys on tällöin kaikkina aikoina pallosymmetrinen. Yhtälöön (3.37) sijoittamalla voidaan todeta, että tätä alkuehtoa vastaava ratkaisu on ϱ(r, t) = C 2 e r /4Dt, (3.38) t3/2 missä C on ainemäärästä riippuva vakio. Tämä ratkaisu on Gaussin funktio, jonka keskipiste on origossa ja jonka leveyden neliötä luonnehtiva varianssi on σ 2 = 2Dt. (3.39) Voidaan osoittaa, että varianssi (3.39) antaa molekyylin ajassa t missä tahansa suunnassa kulkeman matkan (esimerkiksi x, y tai z) neliön keskiarvon (engl. mean square distance): x 2 = y 2 = z 2 = 2Dt. (3.40) Kolmiulotteisessa tapauksessa molekyylin kulkeman kokonaismatkan neliö on r 2 = x 2 + y 2 + z 2, jonka keskiarvo on r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = 6Dt. (3.41) Voidaan sanoa, että molekyylin ajassa t diffuusion takia kulkemaa matkaa luonnehtii neliöllinen keskimatka (engl. root mean square distance), joka on yksiulotteisessa liikkeessä x2 = 2Dt (3.42) ja kolmiulotteisessa liikkeessä r2 = 6Dt. (3.43)