TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa

Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia..... 1 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot..... 13 3. Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys topologisissa ryhmissä...29 4. Pituusfunktiot....34 II Lokaalisti kompaktien ryhmien yleistä teoriaa 5. Perusominaisuuksia...43 6. Jatkuvat homomorfismit ja pituusfunktiot...54 III Kompaktin ryhmän invariantti integraali. Peter Weylin lause. 7. Integraalin olemassaolo ja yksikäsitteisyys......59 8. Lineaariset ryhmät ja topologisten ryhmien esitykset.... 71 9. Peter-Weylin lause. a) Sisätuloavaruuksien operaattoreista...80 b) Peter Weylin lause ja sen sovellutuksia...88 IV Kommutatiivisten lokaalisti kompaktien ryhmien dualiteettiteoriaa. 10. Karakteerit ja duaaliryhmät. Johdatusta dualiteettiteoriaan....96 11. Kompaktien ryhmien ja diskreettien ryhmien välinen dualiteetti. a) Diskreetin ryhmän karakteeriryhmä.... 103 b) Stone-Weierstrassin lause ja kompaktin ryhmän karakteeriryhmä..... 105 c) Dualiteettilause kompakteille ja diskreeteille toporyhmille.....111 12. Lokaalisti kompaktien kommutatiivisten ryhmien rakenne. a) Itseduaaleja toporyhmiä... 114 b) Rakennelauseita....... 117 13. Dualiteettilause ja sen seurauksia.... 125 Liite: Ascolin lause....... 137

I. Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä. Perusominaisuuksia 1.1 Määritelmä Olkoon (G, ) ryhmä. Joukon G topologia τ on ryhmän (G, ) ryhmätopologia, mikäli on voimassa: a) (G, ) on ryhmä. b) (G, τ) on topologinen avaruus. c) (x, y) x y on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ) (G, τ). d) x x 1 on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ). Topologinen ryhmä on kolmikko (H,, π), missä (H, ) on ryhmä ja π on ryhmän (H, ) ryhmätopologia. Lyhennyksiä: toporyhmä = topologinen ryhmä. Kun sekaannuksen vaaraa ei ole, käytetään ilmauksen toporyhmä (G,, τ) asemasta ilmausta toporyhmä G. 1.2 Esimerkkejä topologisista ryhmistä: 3 o (G,, δ), missä (G, ) on mielivaltainen ryhmä ja δ on joukon G diskreetti topologia. 1 o (R, +, τ), missä τ on R:n tavallinen (euklidinen) topologia. 2 o (Q, +, τ ), missä τ on Q:n relatiivitopologia esimerkin 1 o topologian τ suhteen. 4 o (T,, τ), missä T = {z C : z = 1}, merkitsee kompleksilukujen kertolaskua ja τ euklidista topologiaa. 5 o (GL(n, C),, τ), missä GL(n, C) on kaikkien n n säännöllisten (= kääntyvien ) C kertoimisten matriisien joukko, on matriisien kertolaskun merkki ja τ saadaan C n2 :n topologiasta identifikaatiolla a 1,1 a 1,n.. (a 11,..., a 1n, a 21,..., a n1,..., a nn ). a n,1 a n,n 1

Vastaesimerkkejä : 1 o (R, +, π), missä π:lla on kantana perhe {[x, x + ε) : x R ja ε > 0}. Nähdään helposti, että kuvaus (x, y) x + y on jatkuva, mutta kuvaus x x on epäjatkuva. 2 o (R, +, ρ), missä ρ on saatu laajentamalla R:n tavallista topologiaa siten, että piste 0 tulee eristetyksi. Nähdään, että kuvaus x x on jatkuva, mutta kuvaus (x, y) x+y on epäjatkuva. 1.3 Merkintöjä: Olkoon (G, ) ryhmä ja olkoot A ja B G:n osajoukkoja. Merkitään AB = {a b : a A &b B}. Edelleen, merkitään A 1 = A, A 2 = AA ja yleisesti A n+1 = A n A. Merkitään A 1 = {a 1 : a A}. Kun g G, niin merkitään ga = {g}a ja Ag = A{g}. Jos G:n operaatiomerkkinä on +, kirjoitetaan A + B, na, A, g + A, jne. Merkitään inv:llä kuvausta x x 1 G:ltä G:lle. Jokaisella n > 1, merkitään op n :llä kuvausta (x 1,..., x n ) x 1 x n G n :ltä G:lle. 1.4 Lemma Kaikilla A 1,...A n G on voimassa A 1 1 = inv(a 1 ) ja A 1 A 2 A n = op n (A 1 A 2 A n ). 1.5 Lemma Olkoot x 1,..., x n toporyhmän G alkioita ja olkoon O sellainen G:n avoin osajoukko, että on voimassa x 1 x n O. Tällöin on olemassa sellaiset G:n avoimet osajoukot U 1,..., U n, että U 1 U n O ja jokaisella i n pätee, että x i U i. Todistus. Induktiolle luvun n suhteen. Jos n = 1, niin väite on triviaalisti voimassa. Oletetaan väite todistetuksi arvolla n = k. Olkoon G:n alkioille x 1,..., x k+1 voimassa x 1 x k+1 O. Koska op 2 on toporyhmän määritelmän nojalla jatkuva kuvaus G G G, on joukko op 1 2 (O) G G:n avoin osajoukko. On voimassa op 2(x 1 x k, x k+1 ) O, joten (x 1 x k, x k+1 ) op 1 2 (O). Joukon op 1 2 (O) avoimuuden ja tulotopologian määritelmän nojalla on olemassa sellaiset G:n avoimet osajoukot U ja V, että x 1 x k U, x k+1 V ja U V op 1 2 (O). Koska on voimassa U V op 1 2 (O), niin pätee, että UV = op 2 (U V ) O. Koska joukko U on avoin ja x 1 x k U, niin induktio oletuksen nojalla on olemassa sellaiset avoimet joukot U i G, i = 1,..., k, että U 1 U k U ja x i U i jokaisella i = 1,..., n. Merkitään U k+1 = V. Tällöin U 1 U k+1 = (U 1 U k )V UV O ja jokaisella i k + 1 on voimassa x i U i. 2

Lemmojen 1.4 ja 1.5 nojalla on voimassa 1.6 Lause Kun G on toporyhmä, niin op n on jatkuva kuvaus G n G jokaisella n 1. Yllä olevasta tuloksesta seuraa, että kaikki kuvaukset, jotka saadaan kertomalla keskenään toporyhmän alkioita tai niiden käänteisalkioita, ovat jatkuvia: 1.7 Korollaari Olkoon G toporyhmä. Olkoot x 1,..., x n muuttujasymboleita ja olkoot y 1,..., y k joukon {x 1,..., x n } G alkioita. Olkoot ǫ 1,..., ǫ k joukon { 1, 1} alkioita. Tällöin on jatkuva kuvaus G n G. (x 1,..., x n ) y ǫ 1 1 yǫ 2 2 yǫ k k Todistus. Määritellään kuvaus f : G n G k asettamalla f(x 1,..., x n ) = (y ǫ 1 1, yǫ 2 2,..., yǫ k k ). Kuvaus f on jatkuva, koska jokaisella i k, komponenttikuvaus (x 1,..., x n ) y ǫ i i on joko vakiokuvaus (kun y i G), projektiokuvaus (x 1,..., x n ) x l (kun y i = x l ja ǫ i = 1) tai projektion ja jatkuvan kuvauksen inv yhdistetty kuvaus (x 1,..., x n ) x 1 l (kun y i = x l ja ǫ i = 1). Korollaarissa mainitun kuvauksen jatkuvuus seuraa nyt Lauseen 1.6 nojalla, koska mainittu kuvaus voidaan esittää muodossa op k f. Seuraavassa Korollaarin 1.7 tulosta käytetään usein ilman eri mainintaa, korkeintaan todetaan jonkun funktion olevan jatkuva ryhmäoperaatioiden jatkuvuuden nojalla. Näytetään seuraavaksi, että jokaisessa toporyhmässä on runsaasti itseishomeomorfismeja. 1.8 Lause Olkoot g ja h toporyhmän G alkioita. Tällöin kuvaukset x x 1 ja x gxh ovat surjektiivisia homeomorfismeja G G. Todistus. Kuvausten jatkuvuus seuraa Korollaarista 1.7. Kuvaukset ovat bijektioita G G, koska niillä on käänteiskuvaukset x x 1 ja x g 1 xh 1. Myös käänteiskuvausten jatkuvuus seuraa Korollaarista 1.7. Erityisesti, G:n oikean ja vasemmanpuoliset siirrot eli translaatiot x xg ja x gx sekä G:n sisäiset automorfismit x gxg 1 ovat homeomorfismeja. 1.9 Korollaari Jos E on toporyhmän G avoin (suljettu) osajoukko ja g, h G, niin joukot E 1 ja geh ovat avoimia (suljettuja). 3

1.10 Korollaari Olkoot A, B ja U G:n osajoukkoja. Jos U on avoin, niin joukko AUB on avoin. Todistus. Tämä seuraa edellisen korollaarin tuloksesta, koska AUB = {aub : a A ja b B}. Topologisen avaruuden X osajoukon A sulkeumaa merkitään joko A, ClA tai Cl X A ja sisäosaa joko A, IntA tai Int X A. 1.11 Korollaari Olkoon A G:n osajoukko ja g, h G:n alkioita. Tällöin A 1 = A 1, gah = gah, (A ) 1 = (A 1 ) ja ga h = (gah). Todistus. Tämä seuraa Lauseen 1.8 tuloksesta, sillä jokaiselle surjektiiviselle homeomorfismille f : G G pätee, että f(a) = f(a) ja f(a) = f(a ). Kun P on jokin algebrallinen (topologinen) ominaisuus, niin toporyhmällä (G,, τ) (lyhyesti, toporyhmällä G) sanotaan olevan ominaisuus P, mikäli ryhmällä (G, ) (topologisella avaruudella (G, τ)) on ominaisuus P. POIKKEUS: Ilmaisu normaali aliryhmä viittaa aina aliryhmään, joka on algebrallisessa mielessä normaali (eli invariantti) eikä aliryhmään, joka on aliavaruutena topologisessa mielessä normaali. 1.12 Korollaari Olkoon e toporyhmän G neutraalialkio. Tällöin G on T 1 toporyhmä jos ja vain jos G:n osajoukko {e} on suljettu. Todistus. Jos G on T 1, niin joukko {e} on suljettu. Jos taas {e} on suljettu joukko, niin Korollaarin 1.11 nojalla jokainen joukko {g}, missä g G, on suljettu, koska {g} = g{e} = g{e} = g{e} = {g}. 1.13 Määritelmä Joukon A osajoukkojen perhe F on filtterikanta joukolla A, mikäli 1 / F ja 2 kaikilla F, H F on olemassa sellainen E F, että E F H. Perhe F on filtteri joukolla A, jos F toteuttaa ehdot 1 ja 2 sekä lisäksi ehdon 3 : jos F F ja F B A, niin tällöin B F. Filtterin F osaperhe H on F :n kanta, mikäli on voimassa F = {B A : sellainen H H, että H B}. Nähdään helposti, että filtterin jokainen kanta on filtterikanta. Topologisen avaruuden X pisteen x ympäristöfiltteri on perhe {B X : x B }; tästä filtteristä käytetään merkintää η x (X) tai, milloin sekaannuksen vaaraa ei ole, merkintää η x. Filtterin η x kantoja kutsutaan pisteen x ympäristökannoiksi. 4

Ryhdytään nyt tarkastelemaan toporyhmien pisteiden ympäristökantoja. Ensimmäinen tulos osoittaa, että riittää tarkastella neutraalialkion e ympäristökantoja sekä että jokainen e:n ympäristökanta määrää ryhmätopologian yksikäsitteisesti. 1.14 Lause Olkoon U perhe toporyhmän G osajoukkoja ja olkoon g G:n alkio. Tällöin seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitävät: a) U on e:n ympäristökanta. b) {U 1 : U U} on e:n ympäristökanta. c) {gu : U U} on g:n ympäristökanta. d) {Ug : U U} on g:n ympäristökanta. Todistus. Lause 1.8 ja huomio, että homeomorfismi vie pisteen ympäristökannan kuvapisteen ympäristökannaksi. Seuraavassa lauseessa karakterisoidaan niitä perheitä, jotka voivat esiintyä jossain ryhmätopologiassa ryhmän neutraalialkion ympäristökantoina. Todistetaan aluksi 1.15 Lemma Olkoon U toporyhmän G neutraalialkion ympäristökanta. Tällöin on voimassa: a) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 2 U. b) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 1 U. c) Kaikilla U U ja g G on olemassa sellainen V U, että gv g 1 U. Todistus. Olkoon U perheen U joukko. a) Koska e e U ja koska op 2 on jatkuva kuvaus, on olemassa sellaiset e:n ympäristöt O ja W, että OW = op 2 (O W) U. Valitaan V U siten, että on voimassa V O W. Tällöin V 2 OW U. b) Tämä seuraa suoraan Lauseesta 1.14. c) Olkoon g G:n piste. Määritellään kuvaus f : G G kaavalla f(x) = gxg 1. Kuvaus f on Lauseen 1.8 nojalla jatkuva. Koska f(e) = e ja U η e, on voimassa f 1 (U) η e. Olkoon joukolle V U voimassa V f 1 (U). Tällöin f(v ) U eli gv g 1 U. 1.16 Lause Olkoon G ryhmä ja olkoon U sellainen filtterikanta joukolla G, että Lemman 1.15 ehdot a), b) ja c) toteutuvat. Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi sellainen G:n ryhmätopologia τ, että U on G:n neutraalialkion ympäristökanta topologiassa τ. 5

Todistus. Topologian yksikäsitteisyys seuraa Lauseen 1.14 tuloksesta, joten riittää näyttää olemassaolo. Näytetään aluksi, että on voimassa e U. Olkoon U perheen U joukko. Ehtojen a) ja b) voimassaolosta seuraa, että on olemassa sellaiset joukot V, W U, että V 2 U ja W 1 V. Koska U on filtterikanta, on voimassa V W. Olkoon g joukon V W alkio. Tällöin g 1 W 1 V, joten e = g g 1 V 2 U. Merkitään τ = {O G : x O U U s.e. xu O}. Näytetään, että τ on G:n topologia. Selvästikin, G τ ja τ. Nähdään myös helposti, että τ on suljettu yhdistysten suhteen. Osoitetaan, että τ on suljettu äärellisten leikkausten suhteen. Olkoot O 1,..., O n perheen τ joukkoja ja O = n i=1 O i. Olkoon x joukon O piste. Jokaisella i n, koska x i τ, on olemassa sellainen U i U, että xu i O i. Koska U on filtterikanta, on olemassa sellainen U U, että U n i=1 U i. Nyt on voimassa xu n i=1 xu i n i=1 O i = O. On näytetty, että τ on G:n topologia. Pannaan merkille, että topologialla τ on seuraava ominaisuus: kaikilla O τ ja g G on voimassa go τ. Tämä pätee, koska x go g 1 x O U U s.e. g 1 xu O eli s.e. xu go. Näytetään, että U on η e (G, τ):n kanta. Jos E η e (G, τ), niin e Int τ E, joten τ :n määrittelyn nojalla on olemassa sellainen U U, että U = eu Int τ E E. Kääntäen, olkoon U perheen U joukko. Merkitään W = {x G : V U s.e. xv U}. Tällöin e W U. Näytetään, että W τ. Olkoon x W :n piste. Tällöin on olemassa sellainen V U, että xv U. Edelleen, on olemassa sellainen P U, että P 2 V. On voimassa xp W, sillä jokaiselle y xp pätee, että yp xp 2 xv U. Täten W τ. On näytetty, että U on η e (G, τ):n kanta. Näytetään lopuksi, että τ on G:n ryhmätopologia. Olkoon W τ :n joukko ja olkoot x ja y sellaisia G:n pisteitä, että on voimassa xy W. Tällöin on olemassa sellainen U U, että xyu 2 W. Edelleen, on olemassa sellainen V U, että y 1 V y U eli V yuy 1. On voimassa xv yu x ( yuy 1) yu = xyu 2 W. Koska V, U η e (G, τ), on aikaisemmin osoitetun nojalla voimassa xv η x (G, τ) ja yu η y (G, τ). On näytetty, että kuvaus (x, y) xy on jatkuva. 6

Sen osoittamiseksi, että kuvaus x x 1 on jatkuva, riittää näyttää, että W 1 τ jokaisella W τ. Olkoon W perheen τ joukko ja olkoon x joukon W 1 piste. Tällöin x 1 W, joten on olemassa sellainen U U, että x 1 U W. Edelleen, on olemassa sellaiset joukot V, R U, että V 1 U ja xrx 1 V. Nyt on voimassa xr V x = ( x 1 V 1) 1 ( x 1 U ) 1 W 1. On näytetty, että W 1 τ. 1.17 Esimerkki Olkoon G ryhmä ja olkoon U sellainen filtterikanta G:llä, että jokainen U :n jäsen on G:n normaali aliryhmä. Tällöin U toteuttaa Lemman 1.15 ehdot a) c), joten U on e:n ympäristökanta jossain G:n ryhmätopologiassa. Lauseen 1.14 tulos osoitti, että toporyhmän pisteelle g voidaan konstruoida ympäristökantoja neutraalialkion ympäristökantojen avulla. Esitetään vielä yksi tällainen konstruktio. 1.18 Lemma Olkoon g toporyhmän G piste. Tällöin perhe {UgU : U η e (G)} on g:n ympäristökanta. Todistus. Jokaiselle U η e pätee, että Ug UgU, joten UgU η g, Lauseen 1.14 nojalla. Olkoon nyt annettuna O η g. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xgy; f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Koska f(e, e) = g IntO, on olemassa sellaiset joukot V, W η e, että f(v W) O eli V gw O. Kun valitaan U η e siten, että on voimassa U V W, niin on voimassa UgU O. Seuraavassa lauseessa esitetään lausekkeita toporyhmän osajoukon sulkeumalle. 1.19 Lause Toporyhmän G osajoukolle A pätee, että A = UA = U η e AU = UAU. U η e U η e Todistus. Näytetään aluksi, että A U η e UA ja A U η e AU. Olkoon x joukon A piste ja U perheen η e joukko. Lemman 1.15 nojalla on olemassa sellainen V η e, että V 1 U. Koska x A, on voimassa (xv ) A ja (V x) A. Täten on olemassa sellaiset joukon V pisteet v ja w, että xv A ja wx A. Nyt on voimassa x = (xv)v 1 AV 1 AU ja x = w 1 (wx) V 1 A UA. On näytetty, että A UA ja A AU. 7

Koska jokaiselle U η e pätee, että UA UAU ja AU UAU, on todistus suoritettu kunhan osoitetaan, että U η e UAU A. Tehdään vastaväite: on olemassa piste x U η e UAU \ A. Tällöin G \ A η x, joten Lemman 1.18 nojalla on olemassa sellainen U η e, että UxU A =. Valitaan V η e siten, että V 1 U. Oletuksen nojalla x V AV, joten on olemassa sellaiset pisteet v, w V ja a A, että x = vaw. Nyt on voimassa a = v 1 xw 1 V 1 xv 1 UxU, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että UxU A =. Seuraava tulos saadaan Lauseesta 1.19 Korollaarin 1.12 nojalla. 1.20 Korollaari Toporyhmä G on T 1 toporyhmä jos ja vain jos η e = {e}. tuloksen. Valitsemalla Lauseessa 1.19 joukoksi A perheen η e jäsenen U, saamme seuraavan 1.21 Korollaari Jokaisella U η e on voimassa U U 2. Palautetaan mieliin, että topologisen avaruuden sanotaan olevan säännöllinen, mikäli jokaisella avaruuden pisteellä on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta. Säännöllisiä T 1 avaruuksia kutsutaan T 3 avaruuksiksi. 1.22 Korollaari A. Jokainen toporyhmä on säännöllinen. B. Jokainen T 1 toporyhmä on Hausdorffin avaruus. Todistus. A. Olkoon G toporyhmä. Korollaarin 1.21 ja Lemman 1.15 nojalla G:n pisteellä e on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta; tästä seuraa Lauseen 1.14 ja Korollaarin 1.9 nojalla, että jokaisella G:n pisteellä on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta. B. Jokainen säännöllinen T 1 avaruus on Hausdorffin avaruus. Seuraavaksi esitetään eräitä toporyhmien kompakteja osajoukkoja koskevia tuloksia. Todistetaan aluksi eräs topologinen aputulos. 1.23 Lemma Olkoon jokaisella i = 1,..., n K i topologisen avaruuden X i kompakti osajoukko ja olkoon O sellainen tuloavaruuden n i=1 X i avoin osajoukko, että n i=1 K i O. Tällöin on olemassa sellaiset avoimet joukot O i X i, i = 1,..., n, että n i=1 K i n i=1 O i O. 8

Todistus. Koska O on joukon n i=1 K i jokaisen pisteen ympäristö tuloavaruudessa n i=1 X i, on jokaisella (k i ) n i=1 n i=1 X i olemassa sellaiset avoimet joukot V i X i, että (k i ) n i=1 n i=1 V i O. Tästä seuraa, koska joukko n i=1 K i on kompakti, että on olemassa sellaiset avoimet joukot V l i X i, i = 1,..., n ja l = 1,..., m, että n i=1 K i m l=1 Merkitään jokaisella i = 1,..., n ja jokaisella k K i {V l i että n n i=1 V l i O. Vk i :lla k:n avointa ympäristöä : l = 1,..., m ja k V l i }. Pannaan merkille, että jokaisella (k i) K i pätee, k i O. Merkitään jokaisella i = 1,..., n O i :llä X i :n avointa osajoukkoa {V i k : k K i } ja pannaan merkille, että K i O i. Osoitetaan, että n i=1 O i O. Olkoon (x i ) joukon n i=1 O i piste. Tällöin jokaisella i = 1,..., n on voimassa x i O i, i=1 V i joten on olemassa sellainen k i K i, että x i V i k i. On voimassa (x i ) n i=1 V i k i O. Seuraava tulos vahvistaa Lemman 1.18 tulosta. 1.24 Lause Olkoon K toporyhmän G kompakti osajoukko ja olkoon O sellainen G:n avoin osajoukko, että K O. Tällöin on olemassa sellainen U η e, että UKU O. Todistus. Koska op 3 on Lauseen 1.6 nojalla jatkuva kuvaus G 3 G, on joukko op 1 3 (O) G 3 :n avoin osajoukko. Koska K O, on voimassa op 3 ({e} K {e}) O eli {e} K {e} op 1 3 (O). Lemman 1.23 nojalla on olemassa sellaiset joukot V, W η e, että V K W op 1 3 (O). Olkoon joukolle U η e voimassa U V W ; tällöin U K U op 1 3 (O) eli UKU O. Seuraava tulos vahvistaa Lemman 1.15 ehtoa c). 1.25 Lause Olkoon K toporyhmän G kompakti osajoukko. Tällöin on jokaisella U η e olemassa sellainen V η e, että jokaisella k K on voimassa kv k 1 U. Todistus. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xyx 1. Kuvaus f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Olkoon U e:n avoin ympäristö. Koska f (G {e}) = {e} U, niin Lemman 1.23 tuloksen nojalla on olemassa sellainen V η e, että K V f 1 (U). Jokaisella k K on voimassa f ({k} V ) U eli kv k 1 U. Lauseen 1.25 tulos voidaan ilmaista myös seuraavasti: kun K G on kompakti ja U on e:n ympäristö, niin myös joukko k K k 1 Uk on e:n ympäristö. Seuraava esimerkki osoittaa, että vaatimus joukon K kompaktisuudesta on välttämätön Lauseessa 1.25. 9

0 1 u 1.26 Esimerkki Kun x, y, z ja u ovat reaalilukuja, niin on voimassa ( 1 x 0 y 0 u) = ( 1 z+xu ) ( 0 yu ja, mikäli u > 0, 1 z ) 1 ( 1 z ) { (1 0 u = u ; täten joukko x ) } 0 y : x, y R, y > 0 muodostaa ryhmän matriisien kertolaskun suhteen. Tämän ryhmän kanssa isomorfinen ryhmä (G, ) saadaan asettamalla G = {(x, y) R 2 : y > 0} ja määrittelemällä operaatio seuraavasti: (x, y) (z, u) = (z+xu, yu). Ryhmällä (G, ) on neutraalialkiona (0, 1) ja alkiolla ( ) (x, y) on käänteisalkiona x y, 1 y. Merkitään τ :lla topologiaa, joka G:llä on euklidisen tason aliavaruutena. Nähdään helposti, että (G, ) on topologinen ryhmä. )( 1 z Joukko U = {(x, y) G : x < 1} on G:n neutraalialkion (0, 1) ympäristö. Näytetään, että jokaisella V η (0,1) on olemassa sellainen g G, että gv g 1 U. Todetaan ( ) aluksi, että kaikille (x, y), (z, u) G pätee, että (x, y) (z, u) (x, y) 1 z+xu x = y, u. Olkoon nyt V (0, 1):n ympäristö. Tällöin on olemassa sellainen ǫ > 0, että (ǫ, 1) V. Jokaisella (x, y) Gon voimassa (x, y) (ǫ, 1) (x, y) 1 ǫ ( = ), y, 1 joten valitsemalla (x, y) G siten, että ǫ y > 1, on voimassa (x, y) (ǫ, 1) (x, y) 1 / U. Seuraavaksi esitetään Korollaarien 1.9 ja 1.10 vastineet kompakteille joukoille. 1.27 Lause Kun K on toporyhmän G kompakti osajoukko, niin joukko K 1 on kompakti. Kun K ja C ovat kompakteja joukkoja, niin joukko KC on kompakti. Kun K on kompakti joukko ja S suljettu joukko, niin joukot KS ja SK ovat suljettuja. Todistus. Ensimmäinen väite seuraa suoraan Lauseesta 1.8. Olkoot K G ja C G kompakteja. Tällöin G G:n osajoukko K C on Tihonovin Lauseen nojalla kompakti. Joukko KC on kompakti, koska se on kompaktin joukon K C kuva jatkuvassa kuvauksessa op 2. Olkoon nyt K G kompakti ja S G suljettu. Näytetään, että joukko KS on suljettu. Olkoon x joukon G \ KS piste. Tällöin on voimassa ( K 1 x ) S = eli K 1 x G \S. Joukko G \S on avoin ja joukko K 1 x on todistuksen alkuosassa esitetyn nojalla kompakti. Lauseen 1.24 nojalla on olemassa sellainen U η e, että on voimassa ( K 1 x ) U G \ S eli ( K 1 (xu) ) S =. On voimassa (xu) (KS) = ; koska joukko xu on Lauseen 1.14 nojalla x:n ympäristö, on näytetty, että joukko KS on suljettu. Aivan vastaavasti näytetään, että joukko SK on suljettu. 1.28 Korollaari Kun K on toporyhmän kompakti osajoukko, niin joukko K on kompakti ja K = K{e} = {e}k. 10

Todistus. Joukot K{e} ja {e}k ovat edellisen lauseen nojalla suljettuja. Koska K K{e} {e}k, on voimassa K K{e} {e}k. Korollaarin 1.11 nojalla on voimassa K{e} = k K k{e} = k K {k} = k K {e}k = {e}k ; tästä seuraa, että on voimassa ( ) ( ) K{e} {e}k K. Täten K = K{e} = {e}k. Lauseen 1.19 nojalla on voimassa {e} = η e, joten joukko {e} on kompakti. Edellisen lauseen nojalla joukko K = {e}k on kompakti. Seuraava esimerkki osoittaa, että toporyhmän osajoukko F S ei välttämättä ole suljettu, vaikka sekä F että S olisivat suljettuja joukkoja. 1.29 Esimerkki Merkitään F = Z ja S = {n + 1 n : n Z, n > 1}. Tällöin F ja S ovat R:n suljettuja osajoukkoja, mutta joukko F + S ei ole suljettu, sillä 0 / F + S, mutta kuitenkin 0 F + S, koska 1 n F + S jokaisella n > 1. Karakterisoidaan lopuksi ryhmätopologioita. Ensimmäiseksi osoitetaan, että ryhmätopologian määritelmässä esiintyvät kaksi ehtoa voidaan korvata yhdellä ehdolla. 1.30 Lause Joukon G topologia π on ryhmän (G, ) ryhmätopologia jos ja vain jos kuvaus (x, y) x y 1 on jatkuva (G, π) (G, π) (G, π). Todistus. Välttämättömyys Korollaarin 1.7 nojalla. Riittävyys. Oletetaan, että kuvaus (x, y) x y 1 on jatkuva. Tällöin kuvaus y y 1 on jatkuva yhdisteenä y (e, y) y 1. Edelleen, kuvaus (x, y) (x, y 1 ) on jatkuva komponenttikuvausten jatkuvuuden nojalla; täten kuvaus (x, y) x y on jatkuva yhdisteenä (x, y) (x, y 1 ) x (y 1 ) 1. Seuraavaksi osoitetaan, että jos π on sellainen ryhmän G topologia, että G:n alkioiden määräämät siirrot ovat jatkuvia topologian π suhteen, niin ryhmätopologian määritelmän kaksi ehtoa voidaan korvata heikommilla ehdoilla. Palautetaan mieliin, että topologisten avaruuksien välinen kuvaus f : X Y on jatkuva pisteessä x X, mikäli jokaisella V η f(x) (Y ) on voimassa f 1 (V ) η x (X). 1.31 Lause Olkoon (G, ) ryhmä ja olkoon π joukon G topologia. Perhe π on (G, ):n ryhmätopologia jos ja vain jos on voimassa i) Kuvaus (x, y) x y on jatkuva G G:n pisteessä (e, e). ii) Kuvaus x x 1 on jatkuva G:n pisteessä e. iii) Jokaisella g G, translaatiot x gx ja x xg ovat jatkuvia. 11

Todistus. Välttämättömyys Lauseen 1.8 nojalla. Riittävyys. Oletetaan, että π toteuttaa ehdot i) iii). Pannaan merkille, että ehdon iii) voimassaolosta seuraa, kuten Lauseen 1.8 todistuksessa, että translaatiot ovat homeomorfismeja G G. Merkitään U = η e (G, π). Ehdosta i) seuraa, että U toteuttaa Lemman 1.15 ehdon a) ja ehdosta ii) seuraa, että saman lemman ehto b) toteutuu. Osoitetaan, että myös Lemman 1.15 ehto c) on voimassa. Valitaan U U ja g G. Koska kuvaus x xg on homeomorfismi ja koska U η e (π), niin on voimassa Ug η g (π); tästä seuraa vastaavasti, kuvauksen x g 1 x homeomorfisuuden nojalla, että on voimassa g 1 (Ug) η e (π). Valitaan V = g 1 Ug. Tällöin V U ja gv g 1 = U. On osoitettu, että Lemman 1.15 ehto c) on voimassa. Lauseen 1.16 todistuksen nojalla perhe τ = {O G : g O U U s.e. gu O} on G:n ryhmätopologia. Koska U = η e (π), nähdään translaatioiden x gx homeomorfisuuden nojalla olevan voimassa τ = π. 12

2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Topologisten ryhmien tulo. Tarkastellaan nyt eräitä konstruktioita, joiden avulla voidaan muodostaa annetuista toporyhmistä lähtien uusia toporyhmiä. Osoitetaan aluksi, että toporyhmän algebrallinen aliryhmä voidaan luonnollisella tavalla tehdä toporyhmäksi. 2.1 Lause Toporyhmän aliryhmän relatiivitopologia on aliryhmän ryhmätopologia. Todistus. Olkoon (G,, τ) toporyhmä ja olkoon (H, ) ryhmän (G, ) aliryhmä. Merkitään ρ:lla H :n relatiivitopologiaa avaruudessa (G, τ) (ts. ρ = {O H : O τ}). Koska x x 1 on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ), niin tämän kuvauksen rajoittuma H :hon on jatkuva kuvaus (H, ρ) (H, ρ). Koska kuvaus (x, y) x y on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ) (G, τ) ja koska tuloavaruuden (H, ρ) (H, ρ) topologia on sama kuin H H :n relatiivitopologia tuloavaruudessa (G, τ) (G, τ), niin kuvauksen (x, y) x y rajoittuma joukkoon H H on jatkuva kuvaus (H, ρ) (H, ρ) (H, ρ). Kun seuraavassa puhutaan toporyhmän aliryhmästä, niin tarkoitetaan toporyhmää, joka saadaan varustamalla aliryhmä relatiivitopologiallaan. Esimerkkejä. Q on R:n aliryhmä ja Z on Q:n aliryhmä. 2.2 Lause Jos H on G:n (normaali) aliryhmä, niin H on G:n (normaali) aliryhmä. Jos G on T 1 toporyhmä ja H on G:n kommutatiivinen aliryhmä, niin H on G:n kommutatiivinen aliryhmä. Todistus. Todetaan aluksi, että kaikilla A, B G on voimassa AB AB. Joukko AB ( ) voidaan esittää muodossa op 2 A B. Koska G G:ssä pätee, että A B = A B, ja ( ) koska kuvauksen op 2 jatkuvuuden nojalla on voimassa op 2 A B op2 (A B) = AB, niin nähdään inkluusion AB AB olevan voimassa. Olkoon H G:n aliryhmä. Tällöin HH = H ja H 1 = H. Edellä esitetyn nojalla on voimassa H H HH, joten H H H ; näinollen H on suljettu G:n laskutoimituksen suhteen. Toisaalta, Korollaarin 1.11 nojalla on voimassa H 1 = H 1 ; tästä seuraa, että 13

H 1 = H, joten H on myös suljettu käänteisalkioiden muodostamisen suhteen. On näytetty, että H on G:n aliryhmä. Oletetaan, että aliryhmä H on normaali. Tällöin jokaiselle g G pätee, että ghg 1 = H ja näinollen, Korollaarin 1.11 nojalla, että ghg 1 = ghg 1 = H. Täten aliryhmä H on normaali. Oletetaan lopuksi, että G on T 1 toporyhmä ja aliryhmä H on kommutatiivinen. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xyx 1 y 1. Kuvaus f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Koska G on T 1 toporyhmä, on G:n osajoukko {e} suljettu. Edellisen nojalla G G:n osajoukko f 1 ({e}) on suljettu. Koska aliryhmä H on kommutatiivinen, kaikilla x, y H on voimassa f(x, y) = e; näinollen on voimassa H H f 1 ({e}) ja edelleen H H f 1 ({e}). Koska H H = H H, on edellisen nojalla voimassa f ( H H ) = {e}. Näinollen kaikilla x, y H on voimassa xyx 1 y 1 = e eli xy = yx. On osoitettu, että G:n aliryhmä H on kommutatiivinen. 2.3 Korollaari Jos e on toporyhmän G neutraalialkio, niin {e} on G:n normaali aliryhmä. 2.4 Korollaari T 1 toporyhmä G on kommutatiivinen, mikäli G:llä on tiheä kommutatiivinen aliryhmä. Toporyhmä on monoteettinen, mikäli se on T 1 ja sillä on tiheä syklinen aliryhmä. Edellisen tuloksen nojalla jokainen monoteettinen toporyhmä on kommutatiivinen. 2.5 Esimerkki Toporyhmä T on monoteettinen. Todistus. Jokaisella n Z\{0} on olemassa ainoastaan äärellisen monta sellaista alkiota t T, että t n = 1. Koska joukko T on ylinumeroituva, on olemassa sellainen alkio s T, että jokaisella n Z \ {0} on voimassa s n 1. Osoitetaan, että s:n virittämä T:n aliryhmä H = {s n : n Z} on tiheä T:ssä. Olkoon ǫ positiiviluku. Tällöin on olemassa sellaiset luvut n N ja k N, että n < k ja s n s k < ǫ. Koska n k, niin on voimassa sn s k, sillä muussa tapauksessa olisi voimassa 1 = sn = s n k. Joukon H alkiolle s n k on voimassa s k 0 < s n k 1 s n = s k 1 s n = s k s k = s n s k < ǫ ja tästä seuraa, että jokaisella t T on olemassa sellainen luku j N, että ǫ. Edellä esitetystä seuraa, että joukko H on tiheä T:ssä. 14 ( s n k) j t <

Toporyhmälle voidaan konstruoida suljettuja aliryhmiä paitsi Lauseen 2.2 myös seuraavan tuloksen avulla. 2.6 Lause Olkoon G toporyhmä ja olkoon perheelle U η e (G) voimassa: a) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 2 U. b) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 1 U. Tällöin U on G:n suljettu aliryhmä. Oletetaan, että ehtojen a) ja b) lisäksi on voimassa: c) Kaikilla U U ja g G on olemassa sellainen V U, että gv g 1 U. Tällöin U on G:n normaali aliryhmä. Todistus. Merkitään H = U. Oletetaan, että ehdot a) ja b) ovat voimassa. Nähdään helposti, että tällöin on voimassa H = {U 2 : U U} = {U 1 : U U}. Koska jokaiselle U U pätee, että H 2 U 2 ja H 1 U 1, seuraa edellisestä, että on voimassa H 2 H ja H 1 H ; näin ollen H on G:n aliryhmä. Koska jokaiselle U U pätee Korollaarin 1.21 nojalla, että U U 2, niin on voimassa H = U {U : U U} {U 2 : U U} = H ja tästä seuraa, että H on suljettu. Oletetaan, että myös ehto c) on voimassa. Näytetään, että aliryhmä H on normaali. Olkoon g G:n alkio. Ehdon c) voimassaolosta seuraa, että {gv g 1 : V U} H. Koska ghg 1 = g ( U) g 1 {gv g 1 : V U}, on edellisen nojalla voimassa ghg 1 H. On näytetty, että aliryhmä H on normaali. Näytetään seuraavaksi, että toporyhmän lokaalisti suljettu aliryhmä on (globaalisti) suljettu. 2.7 Lause Toporyhmän aliryhmä on suljettu, mikäli aliryhmä on suljettu jonkun pisteensä jossain ympäristössä. Todistus. Olkoon H toporyhmän G aliryhmä. Oletetaan, että on olemassa sellainen h H ja sellainen U η h, että joukko H U on suljettu G:n aliavaruudessa U. Näytetään, että H = H. Merkitään O = Int(U). Tällöin H O on O:n suljettu osajoukko ja tästä seuraa, koska O on G:n avoin osajoukko, että H O = H O. Jokaisella k H, koska kh = H ja k 1 H = k 1 H = H, on voimassa H ko = k ( k 1 H O ) = k ( H O ) = 15

k(h O) = H ko. Tästä seuraa, että on voimassa H HO = H k H ko = k H H ko = k H H ko H. Korollaarin 1.10 nojalla G:n osajoukko HO on avoin. Näin ollen, koska e = h 1 h HO, on voimassa HO η e. Lauseen 1.19 nojalla on voimassa H H(HO) = HO; täten pätee, että H HO = H ja tästä seuraa yhdessä aikaisemman kanssa, että on voimassa H H. On osoitettu, että H on suljettu. 2.8 Korollaari T 1 toporyhmän lokaalisti kompakti aliryhmä on suljettu. Todistus. Olkoon H T 1 toporyhmän G lokaalisti kompakti aliryhmä. Olkoon R e:n kompakti ympäristö G:n aliavaruudessa H. On olemassa sellainen joukko V η e (G), että V H = R. Koska G, ja täten myös jokainen G:n aliavaruus, on Korollaarin 1.23 nojalla Hausdorffin avaruus ja koska Hausdorffin avaruuden jokainen kompakti osajoukko on suljettu, on joukko R = V H suljettu G:n aliavaruudessa V. Lauseen 2.7 tuloksesta seuraa nyt, että H on G:n suljettu osajoukko. 2.9 Korollaari T 1 toporyhmän diskreetti aliryhmä on suljettu. Tarkastellaan seuraavaksi toporyhmien avoimia aliryhmiä. 2.10 Lause Olkoon H toporyhmän G aliryhmä. Jos Int G (H), niin H on avoin G:ssä. Jos H on avoin G:ssä, niin tällöin H on myös suljettu G:ssä. Todistus. Merkitään O = Int G (H). Oletetaan, että O. Joukko HO on Korollaarin 1.10 nojalla avoin G:ssä. Koska O H, on voimassa HO H 2 = H. Toisaalta, kun k on joukon O alkio, niin on voimassa H = {(hk 1)k : h H} HO. Täten H = HO ja H on avoin G:ssä. Jos H on G:n avoin aliryhmä, niin H η e ; koska H on G:n aliavaruuden H suljettu osajoukko, seuraa Lauseen 2.7 tuloksesta, että H on G:n suljettu osajoukko. Toporyhmän G avoin aliryhmä on G:n neutraalialkion ympäristö. Osoitetaan seuraavaksi, että jokainen G:n neutraalialkion ympäristö virittää G:n avoimen aliryhmän. Tarkastellaan ensin (algebrallisen) ryhmän osajoukon virittämää aliryhmää. 2.11 Lemma Jos A on ryhmän G osajoukko, A, niin joukko n=1 ( A A 1 ) n on G:n aliryhmä. 16

Todistus. Merkitään B = A A 1 ja H = n=1 Bn. Osoitetaan, että H on G:n aliryhmä. Koska B 1 = B, nähdään helposti, että jokaisella n 1 on voimassa ( B 1) n = B n ; tästä seuraa, että on voimassa H 1 = H. Toisaalta, HH = ( n=1 Bn ) ( n=1 Bn ) = n,k=1 Bn B k = n,k=1 Bn+k H. Koska on voimassa H, HH H ja H 1 = H, niin joukko H on G:n aliryhmä. 2.12 Määritelmä Olkoon A ryhmän G osajoukko, A. G:n aliryhmää ( ) n=1 A A 1 n kutsutaan A:n virittämäksi G:n aliryhmäksi. Jos ( ) n=1 A A 1 n = G, niin sanotaan, että A virittää G:n tai että A on G:n virittäjäjoukko. Selvästikin G:n epätyhjän osajoukon A virittämä G:n aliryhmä on suppein G:n aliryhmä, joka sisältää joukon A. 2.13 Lause Kun G on toporyhmä ja U η e (G), niin joukot ( ) n=1 U U 1 n ja ( ) U U 1 n ovat G:n avoimia aliryhmiä. n=1 Todistus. n=1 ( U U 1 ) n on U :n virittämä G:n aliryhmä ja n=1 ( U U 1 ) n on joukon U U 1 virittämä G:n aliryhmä. Koska U U 1 η e ja koska joukko U U 1 sisältyy kumpaankin aliryhmään, ovat aliryhmät Lauseen 2.10 nojalla avoimia. Siirrytään nyt tarkastelemaan toporyhmien tekijäryhmiä sekä toporyhmien välisiä jatkuvia homomorfismeja. Palautetaan mieliin algebrallisen tekijäryhmän määritelmä. Olkoon H ryhmän G normaali aliryhmä. Joukon H kaikkien siirtojoukkojen muodostamassa joukkoperheessä G/H = {xh : x G} voidaan määritellä binäärioperaatio asettamalla xh yh = xyh kaikilla x, y G. Operaatiolla varustettuna G/H on ryhmä, jonka neutraalialkio on H ja jossa alkion xh käänteisalkio on x 1 H. Merkitään ϕ H :lla luonnollista kuvausta G G/H, ϕ H (x) = xh. Tällöin ϕ H on surjektiivinen ryhmähomomorfismi ja jokaisella x G on voimassa ϕ 1 H (ϕ(x)) = xh. Olkoon nyt G toporyhmä ja olkoon τ(g) G:n topologia. Määritellään G/H :n osajoukkoperhe τ(g/h) seuraavasti: τ(g/h) = {O G/H : ϕ 1 H (O) τ(g)}. 2.14 Lause τ(g/h) on G/H :n ryhmätopologia. 17

Todistus. Merkitään τ(g) = τ, τ(g/h) = π, G/H = G ja ϕ H = ϕ. Koska jokaiselle G:n osajoukkoperheelle O pätee, että ϕ 1 ( O) = {ϕ 1 (O) : O O} ja ϕ 1 ( O) = {ϕ 1 (O) : O O}, nähdään helposti, että π on G:n topologia. Näytetään, että jokaisella U τ on voimassa ϕ(u) π. Topologian π määrittelyn nojalla on voimassa ϕ(u) π, mikäli ϕ 1 (ϕ(u)) τ. Jokaiselle x G on voimassa ϕ 1 (ϕ(x)) = xh ; tästä seuraa, että on voimassa ϕ 1 (ϕ(u)) = x U xh = UH. Korollaarin 1.10 nojalla UH τ, mikäli U τ. Edellä esitetyn nojalla on jokaisella U τ voimassa ϕ 1 (ϕ(u)) τ eli ϕ(u) π. Osoitetaan, että (a, b) a b on jatkuva kuvaus ( G, π) ( G, π) ( G, π). Olkoon O topologian π joukko ja olkoon G:n alkioille a ja b voimassa a b O. Olkoot x ja y sellaisia G:n alkioita, että on voimassa a = ϕ(x) ja b = ϕ(y). Tällöin ϕ(xy) = ϕ(x) ϕ(y) = a b O, joten xy ϕ 1 (O). Koska O π, on voimassa ϕ 1 (O) τ. Koska τ on ryhmätopologia ja xy ϕ 1 (O) τ, on olemassa sellaiset perheen τ joukot U ja V, että x U, y V ja UV ϕ 1 (O). Käyttämällä hyväksi ϕ:n homomorfisuutta, nähdään helposti, että on voimassa ϕ(uv ) = ϕ(u)ϕ(v ). Koska UV ϕ 1 (O), on voimassa ϕ(uv ) O eli ϕ(u)ϕ(v ) O. Aikaisemmin esitetyn nojalla pätee, että ϕ(u) π ja ϕ(v ) π. Koska a = ϕ(x) ϕ(u) ja b = ϕ(y) ϕ(v ), on osoitettu, että kuvaus (a, b) a b on jatkuva ( G, π) ( G, π) ( G, π). Sen osoittamiseksi, että kuvaus a a 1 on jatkuva ( G, π) ( G, π), todetaan ensin, että jokaiselle A G pätee, että ( ϕ 1 (A) ) 1 = ϕ 1 (A 1 ); tämä on voimassa, koska jokaisella x G on voimassa ϕ(x) 1 = ϕ(x 1 ) ja näinollen x ( ϕ 1 (A) ) 1 x 1 ϕ 1 (A) ϕ(x 1 ) A ϕ(x) 1 A ϕ(x) A 1 x ϕ ( 1 A 1). Koska jokaiselle U τ on voimassa U 1 τ, seuraa edellisestä topologian π määrittelyn nojalla, että jokaisella O π on voimassa O 1 π; tämä merkitsee sitä, että a a 1 on jatkuva kuvaus ( G, π) ( G, π). Topologiaa τ(g/h) kutsutaan toporyhmän G tekijäryhmän G/H tekijätopologiaksi. Kun seuraavassa puhutaan toporyhmän tekijäryhmästä, tarkoitetaan aina toporyhmää, joka saadaan varustamalla tekijäryhmä tekijätopologialla. 18